Аннотация: Относится к теории автоматического управления и прикладной математике
ВЫБОР ЖЕЛАЕМЫХ ПОЛИНОМОВ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЗАМКНУТОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1. ВВЕДЕНИЕ
В теории автоматического управления зачастую регулятор проектируется исходя из задачи наилучшей аппроксимации желаемого уравнения замкнутой системы.
Однако методика выбора желаемого уравнения замкнутой системы остается неопределенной, и авторы мало внимания уделяют этой проблеме, считая ее самоочевидной. Этой самоочевидности, тем не менее, нет.
В данной работе рассматривается методика выбора желаемого уравнения замкнутой системы автоматического регулирования.
1. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим замкнутую динамическую систему автоматического регулирования. Как правило, если система астатическая, то эквивалентная передаточная функция замкнутой системы представляет собой фильтр НЧ порядка N, который можно приближенно описать соотношением:
W(s) = 1 / PN(s), (1)
где s - аргумент преобразования Лапласа, PN - полином вида [1]
PN(s) = 1 + a1 s + a2 s^2 + ... s^N. (2)
Здесь свободный член равен единице принципиально, так как коэффициент передачи замкнутой астатической системы равен единице, а коэффициент при старшем члене полинома (2) мы положили равным единице для определенности, поскольку это можно всегда обеспечить соответствующим выбором масштаба времени и частот.
Отклик системы с передаточной функцией вида (1) можно найти моделированием, например, в программе VisSim.
2. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА
Приемлемость свойств какого-либо переходного процесса может оцениваться, например, экстремумом некоторого критерия, зависящего от этого процесса.
Мы же решали обратную задачу - искали такой критерий, который достигает минимума в том случае, когда переходный процесс наиболее приемлем.
Первоначально мы рассматривали интеграл по времени от квадрата ошибки управления.
То есть критерий был задан в виде:
Cr(F,T) = integral [0...T]{e^2 dt}. (3)
Здесь integral [0...T]{F dt}- интеграл от функции F по dt при изменении t от 0 до T;
F = e^2 - порождающая функция критерия.
Получаемые переходные процессы характеризуются перерегулированием порядка 50%, при больших значениях N система склонна к колебаниям.
Целесообразно ввести под интеграл весовой множитель t (в этом вопросе автор не претендует на новизну, но ссылку на статью, где такой критерий встречался, дать затруднительно).
Получаемые в этом случае переходные процессы характеризуются перерегулированием до 30%, склонность к колебаниям сохраняется.
Действуя по индукции, получим обобщенный квадратичный взвешенный критерий с порождающей функцией следующего вида:
Fa [2, n] = e^2 t^N. (4)
Смысл введения t^N состоит в том, что чем далее от начала переходного процесса, тем нежелательнее остаточная ошибка.
Выбор желаемого полинома знаменателя
Найдем значения коэффициентов полиномов, которые дают минимум критерия
CrE[2]T[N] = integral [0...T]{e^2 t^N dt}. (5)
Для краткости можно этот критерий обозначить CZ[N].
По критерию Q2 получаем следующие значения полиномов:
Проверка результатов моделированием показывает, что для полинома пятого порядка наилучшим образом соответствует субъективно оптимальному переходному процессу настройка, осуществленная минимизацией критерия CZ(6), то есть критерия с временем в шестой степени.
Для полинома четвертого порядка качество, достигнутое субъективно, не достигается ни одним из этих объективных критериев.
Черная линия (по субъективному критерию) лучше всего - и меньше перерегулирование, и быстрее в целом оканчивается переходный процесс. Ближе к оптимальному результат с квадратичным критерием CZ(2), дальше всех - с критерием в шестой степени CZ(6).
Для полинома третьего порядка качество, достигнутое субъективно, не достигается ни одним из этих объективных критериев.
Черная линия (по субъективному критерию) лучше всего - и меньше перерегулирование, и быстрее в целом оканчивается переходный процесс. Ближе к оптимальному результат с критерием шестой степени CZ(6), дальше всех - с квадратичным критерием CZ(2).
В целом критерий 6 степени дает наиболее одинаковые результаты (стабильные по качеству).
Таким образом, в целом, наиболее привлекательными представляются полиномы для N=6.
Дальнейшее наращивание степени полинома, равно как и дальнейшее уточнение значений коэффициентов этих полиномов не имеет пока значительной практической ценности.
З. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложен интегральный критерий качества переходного процесса замкнутой системы в виде (3) с порождающей функцией вида (4).
Моделированием найдено оптимальное значение для показателя степени N в (4), равное шести (N=6). Близким к оптимальному значению являются также значения 5 и 7.
В настоящее время существуют методы оптимизации регуляторов замкнутых систем (например, ПИД-регуляторов или как частный случай ПИ-, ПД-регуляторов и т.п.), осуществляющих подбор коэффициентов по заданной целевой функции, которая минимизируется автоматически в процессе процедуры поиска оптимальных коэффициентов.
Были проделаны некоторые предварительные модельные эксперименты, показавшие эффективность оптимизации таких регуляторов для линейных объектов до третьего порядка с транспортным запаздыванием, соизмеримым с коэффициентом при члене первого порядка. Получены вполне обнадеживающие результаты. Осуществлена проверка работоспособности алгоритма даже в условиях шумов, результаты положительные: гауссов шум со среднеквадратичным значением до 0,2 (при единичном ступенчатом воздействии) не существенно изменяет результаты оптимизации, тогда как сами результаты по экспертным оценкам (перерегулирование, длительность переходного процесса) весьма близки к оптимальным. Другими итеративными методами (не расчетным) достичь таких же результатов по совокупности показателей качества переходных процессов не удалось.
Поэтому целесообразно рекомендовать указанный критерий для оптимизации регуляторов замкнутых динамических систем.
В данной работе не осуществляется доказательств преимуществ критерия, поскольку таких доказательств не проводилось. По той же причине не обсуждается эффективность критерия для более сложных классов объектов: это предмет дальнейших исследований.
![[]](/img/z/zhmudx_w_a/polinom/polinom1.jpg)
![[]](/img/z/zhmudx_w_a/polinom/polinom2.jpg)
![[]](/img/z/zhmudx_w_a/polinom/polinom3.jpg)