Аннотация: Глупцов не сеют и не жнут, они сами нарождаются? Нет! Сеют!!!
Некоторые считают, что глупцов не сеют и не жнут, они сами нарождаются. Возможно, это справедливо, но лишь частично. Я могу продемонстрировать пример, как глупцов сеют, причем массово.
Геометрия - одна из немногих наук, здание которой построено изящно, логически точно, на минимально необходимом фундаменте аксиом. Каждый последующий этаж основан на строгом доказательстве предыдущих построений, поэтому справедливость утверждений геометрии не подлежит сомнению. Однако учебник геометрии Шарыгина [1] Евклид, видимо, швырнул бы в печку, и был бы прав.
Этот учебник издан тиражом 30 000 экземпляров. Поскольку сейчас из-за высокой цены на учебники в большинстве школ практикуется передача учебников по эстафете, это означает, что количество детей, которые будут обучаться по этому учебнику, может быть доведено до 100 000 человек! Всем этим детям, следовательно, предстоит попытаться понять те 'логические' построения, которые сделаны автором для доказательств элементарных геометрических теорем, а многие уже через это прошли. Возможно, кто-то разочаровался в себе из-за того, что не смог понять написанного.
Я убеждён, и надеюсь убедить в этом моих читателей, что этот учебник вредоносен, поскольку примеры неумения пользования логикой автор демонстрирует как примеры логики, приучает к схоластике, эристике, пустословию. Те мальчишки и девчонки, которые не удовлетворятся приводимыми доказательствами, наверняка получат двойки, либо вынуждены будут механически заучить эти 'доказательства' и повторить учителю. Это нанесёт непоправимый ущерб молодым мозгам наших детей. Едва ли кто-нибудь из них пожелает стать математиком, а если и пожелает под влиянием такой книги, то это ему на пользу не пойдёт.
Вот что написано в аннотации на учебник:
'Новый учебник по геометрии для общеобразовательных школ реализует авторскую, наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Это выражается прежде всего в отказе от аксиоматического подхода. Аксиоматика, конечно, присутствует, но не выдвигается на первый план'.
Мои дорогие читатели, я уверен, что многие из вас уже по одному этому поймут, что такой учебник может научить чему угодно, но только НЕ ГЕОМЕТРИИ.
К сожалению, в этой же аннотации читаем:
"Учебник входит в Федеральный перечень учебников 2000/2001 г."
Таким образом, НАША ФЕДЕРАЛЬНАЯ ВЛАСТЬ ПО ОБРАЗОВАНИЮ ОДОБРИЛА ЭТОТ УЧЕБНИК.
Мои дорогие читатели, я уверен, понимают, что я не просто прицепился к какой-то абстрактной книжице, а борюсь за наше подрастающее поколение. Выпуск одной даже самой вредоносной книги - это всего лишь глупость. Выпуск и официальное одобрение книги федеральными чиновниками - это диверсия против подрастающего поколения, следовательно, против нашей с вами страны, против каждого из нас конкретно.
Для того чтобы было ясно, что не только в аннотации, но и в самом тексте учебника, в его теоремах содержится зёрна глупости, которые взойдут тучными колосьями всеобщего идиотизма молодёжи, я приведу выдержки из вступительного слова автора и рассмотрю всего лишь только три теоремы. Если бы я не столь дорожил своим временем и временем читателей, я мог бы найти таких примеров больше, приведенные мной теоремы взяты в порядке их появления в учебнике практически наугад.
Итак, автор учебника пишет: '... Чем же геометрия выделяется среди других разделов математики? Прежде всего, геометрия, наверное, самая древняя наука. ... И если вы любите и интересуетесь историей, то должны неплохо знать и геометрию. Однако далеко не все школьники испытывают большую любовь к математике. Некоторые не слишком хорошо выполняют арифметические действия, плохо разбираются в процентах, и вообще, пришли к выводу, что у них нет никаких математических способностей. Хочу их обрадовать: геометрия - это не совсем математика. Во всяком случае, это совсем не та математика, с которой до сих пор вам приходилось иметь дело. Геометрия - это предмет для тех, кому нравится фантазировать, рисовать и рассматривать картинки, кто умеет наблюдать и делать выводы...'
Ничего предосудительного в этом пока, казалось бы, нет. Но неприятно противопоставление геометрии математике, притом, что это противопоставление подчеркивается: если вы считаете, что у вас нет математических способностей, и вы плохо разбираетесь в арифметически действиях, то я хочу вас обрадовать, геометрия - это не такая математика. Получается, что вам нет необходимости хорошо разбираться в арифметических действиях для того, чтобы изучать геометрию.
Если бы на этом ошибки автора заканчивались, то не стоило бы на них обращать внимание, но это - как раз те самые 'уши царя Мидаса', которые не скрыть, и по которым мы совершенно верно опознаем и всего автора целиком.
Я намерен это продемонстрировать.
'Теорема 2.3 (о симметрии перпендикулярных прямых). Если две прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярны, то при симметрии относительно одной из них вторая прямая переходит сама в себя'.
ИТАК! Дано.
Две прямые лежат в плоскости и перпендикулярны. Дано условное предположение и следствие: если ... то ... В качестве 'если' предполагается симметрия одной из прямой относительно другой. В качестве следствия доказывается, что прямая переходит сама в себя.
В геометрии предположение, что 'две прямые лежат в плоскости и перпендикулярны' дает ряд следствий. Поскольку две прямые не параллельны, и лежат в одной плоскости, они, следовательно, пересекаются. Поскольку две эти перпендикулярные друг другу прямые пересекаются, то, следовательно, каждая из них является осью симметрии для другой. Каждая! Поскольку они являются осью симметрии, то про каждую из них можно было бы сказать 'вторая прямая переходит сама в себя', но в геометрии так не говорят. Что значит - переходит сама в себя? При каких условиях? При перегибе или при повороте? 'Перегнутая', сложенная прямая уже не будет прямой, а превратится в два луча. В геометрии следовало бы сказать, что если плоскость мысленно сложить вдоль оси симметрии, то получаемые из этой прямой два луча совпадут. Но это доказывать нет необходимости, поскольку по определению симметрии это следует. Симметрией называется именно это свойство - совпадение двух половин геометрической фигуры или линии при мысленном перегибе плоскости по оси симметрии и совмещении получаемых полуплоскостей.
То есть, если одна прямая симметрична относительно другой, то из определения симметрии следует то, что автор пытается доказать.
С другой стороны непонятно, почему эта симметрия всего лишь гипотетическая. Перпендикуляр к прямой является центром симметрии этой прямой, никаких 'если' здесь не должно быть.
То есть по формулировке данная теорема напоминает следующую:
'Если шар покрашен красной краской и если он красного цвета, то он - красный'.
С другой стороны, доказательство теоремы никак не может служить доказательством.
Прочитайте, пожалуйста, внимательно.
'Из определения симметрии следует, что любая фигура при симметрии переходит в равную ей фигуру'. Если бы на этом автор остановился, то было бы верно, но мы имели бы пример не теоремы, а разъяснения определения. Но автор продолжает: 'Значит, и угол переходит в равный угол'.
Далее идёт тавтология - набор слов, повторяющий то же самое со ссылкой на чертеж. В математических доказательствах необходимо избегать повторов, автор этим правилом пренебрёг, он продолжает: 'Обозначим рассматриваемые прямые через а и b. Рассмотрим любой из углов, образованных при их пересечении. Сторонами этого угла являются лучи прямых a1 и b1 (рис. 44). Этот угол по условию равен 90 град. В результате симметрии относительно a этот угол перейдет в равный ему угол'.
Предыдущий абзац заканчивался тем же результатом, следовательно, весь этот абзац - не нужен. Автор делает заключение: 'Но при этом сторона, лежащая на прямой a (луч a1), останется на месте. Значит, другая сторона (луч b1) перейдет в свое продолжение - другой луч той же прямой b (луч b1)'.
Здесь, очевидно, используется свойство: 'через одну точку под заданным углом можно провести только одну прямую'. Это свойство справедливо только если угол понимать в тригонометрическом смысле, то есть угол 30град по часовой стрелке не равен такому же углу против часовой стрелки. Это следовало бы оговорить.
Либо надо было бы использовать понятие 'прямой угол', и тогда следовало бы апеллировать в свойству 'через одну точку можно провести только один перпендикуляр к заданной прямой'.
Читатель полагает, что данное свойство в данном учебнике уже ранее было рассмотрено и доказано? Читатель в таком случае ошибается!
Сразу же после этой теоремы следуют следующие слова:
'Теорема 2.3 означает, что при симметрии относительно любой из двух перпендикулярных прямых каждая из этих прямых переходит сама в себя.
Теперь можно доказать еще одну важную теорему.
Теорема 2.4 (о единственности перпендикуляра).
Через любую точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой'.
Ну, разве не великолепно? Только что в доказательстве теоремы 2.3 было использовано это свойство, а теперь оно только доказывается, и совпадает с формулировкой теоремы 2.4!
Но если к моменту доказательства теоремы 2.3. читателю не было доказано, что 'через любую точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой', то на чем же тогда основано доказательство теоремы 2.3?
Здесь мы столкнулись не просто с перестановкой теорем, здесь кроется нечто большее. Это - логическая ошибка, известная как 'круг в доказательстве'.
Пример.
Теорема 1. Всякое пиво холодное.
Доказательство. Пиво приятно только если оно холодное, а поскольку всякое пиво приятно, то всякое пиво - холодное.
Теорема 2. Всякое пиво - приятно.
Кстати, это свойство мы использовали в доказательстве предыдущей теоремы.
Доказательство. Пиво приятно, только если оно холодное. Но, поскольку всякое пиво холодное (см. теорему 1), то всякое пиво приятно.
Ложная логика:
Пусть из 'А' следует 'В', а из 'В' следует 'А'. Допустим, что 'В', что далее покажем. Следовательно, 'А'.
Теперь докажем, что 'В'.
Поскольку мы доказали, что 'А', и поскольку из 'А' следует 'В', несомненно, что 'В'.
Чтобы избежать этого и принимаются аксиомы. Автор учебника этого не понял, а берётся учить наших детей. Хуже. Один плохой учитель может оболванить не более 60 учеников в год. Автор плохого учебника может оболванить 30 000 учеников в год. Чувствуете разницу?
Читаем доказательство теоремы 2.4 в учебнике [1]:
'Итак, даны некоторая прямая a и точка A на плоскости. Мы должны доказать, что через A можно провести единственную прямую, перпендикулярную a'.
'Доказательство. Рассмотрим два случая.
1. Точка A лежит на прямой a (рис. 45). Этот случай вполне очевиден. Ведь в каждой из двух полуплоскостей, соответствующих a, существует лишь один луч, образующий прямые углы с обеими полупрямыми, на которые точка А разбивает прямую а. Эти два луча лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой а.
Кстати, при доказательстве теоремы 2.3 мы опирались на этот факт.
2. Рассмотрим теперь случай, когда точка A расположена вне прямой (рис.46)'. ...
И так далее.
Итак, доказательство для случая один состоит в утверждении 'этот случай вполне очевиден'. Как видим, автор не разделяет принятие 'очевидных' положений без доказательств (что называется формулировкой аксиом) от доказательства теорем.
Автор, видимо, вообще не знает, что называется теоремой, а что - аксиомой.
Геометрия только в результате усилий многих ученых древности стала такой простой, понятной и истинно научной дисциплиной. Евклид собрал воедино весь опыт предшественников, отсёк всё лишнее, сузил перечень аксиом до чрезвычайно малого количества. Если убрать хотя бы одну аксиому из Евклидовой геометрии, часть доказательств невозможно будет сделать. Составленный перечень аксиом обеспечивает полную доказательность всего предмета геометрии. Автор учебника провозгласил отказ от аксиом, и мы видим, во что это вылилось. Вместо того чтобы опираться на твердую почву тех положений, которые уже приняты без доказательства, и, применяя методы логики, доказывать те положения, которые не столь очевидны, автор занимается формулировкой утверждений, которые потом 'доказывает' объявляя их 'очевидными'.
Это называется - отказаться от аксиоматики.
Бедные наши дети! За что им такое наказание?
Не устали? Не надоело? Дорогие читатели, поставьте себя на место детей. Их-то никто не спрашивает, не надоело ли им. Наберитесь терпения.
'Теорема 2.5 (об осях симметрии окружности).
Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
Утверждение этой теоремы очевидно. Мы докажем ее по той лишь причине, что важные факты (а этот факт очень важен!) полезно формулировать в виде теорем, а теоремы положено доказывать'.
Как вам такое? Опять теорема достаточно очевидна, доказывать её, вроде бы, даже нет необходимости, мы её докажем просто, потому что полезно доказывать... Полезно, мои дорогие, спортом заниматься и витамины кушать! Теоремы доказывать необходимо, чтобы двигаться дальше. Если вы не считаете необходимым доказывать теорему, следовательно, вас не интересует данная наука. Тогда вам полезно закрыть эту книгу и больше никогда не открывать. Не в каждой профессии необходима геометрия. Но если вы считаете для себя необходимой геометрические сведения, то вам не полезно, а необходимо доказывать теорему. Доказательства очевидных вещей вредны. Мы не доказываем, что время не движется вспять, мы принимаем это без доказательств. Всякая попытка доказать то, что очевидно, наталкивается на противоречие: используемые основания не более обоснованы, чем доказываемое следствие.
Прочтём же авторское доказательство!
'Доказательство. По определению окружность состоит из всех точек плоскости, удаленных на одно и то же расстояние от ее центра. Проведем через центр окружности - точку O - произвольную прямую a. Пусть A - некоторая точка окружности (рис. 58).
Если A лежит на прямой a, то в результате симметрии относительно a точка A останется на месте.
Если же A не принадлежит прямой a, то в результате симметрии она перейдет в некоторую точку А', а отрезок ОА - в отрезок ОА'. Согласно свойству симметрии ОА = ОА', а значит, и точка А' принадлежит окружности. Но при этой симметрии точка А', в свою очередь, перейдет в А. Короче говоря, при симметрии относительно прямой a точки А и А', лежащие на окружности, просто поменяются местами. Из этого следует, что вся окружность перейдет сама в себя'.
В теореме предполагалось доказать СИММЕТРИЮ, в доказательстве широко используется то предположение, что симметрия имеет место.
Аналогично можно было бы доказать что угодно. Докажем, например, что 'стол - это рояль'.
Теорема. Всякий стол - рояль.
Доказательство. Если стол чёрен, то, поскольку он рояль, то он имеет три ноги, и, следовательно, он - рояль. Если же он другого цвета, то, поскольку он рояль, он всё же является роялем на трёх ногах.
И напоследок - ещё одна теорема.
'Теорема 3.1 (свойства равнобедренного треугольника). В любом равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
Доказательство. Оба эти свойства доказываются совершенно одинаково. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС. Пусть ВВ1 - биссектриса этого треугольника (рис. 70). Как известно, прямая ВВ1 является осью симметрии угла ABC. Но в силу равенства АВ = ВС при этой симметрии точка А переходит в С. Следовательно, треугольники АВВ1 и СВВ1 равны (* - В.Ж.). Отсюда все и следует. Ведь в равных фигурах равны все соответствующие элементы. Значит, ∟BAB1 = ∟ВСВ1. Пункт 1) доказан. Кроме того, АВ1 = СВ1 т. е. BB1 - медиана и ∟BB1A = ∟ВВ1С = 90 град; таким образом, ВВ1 также и высота треугольника AВС'.
В месте, обозначенном (*), следовало бы сказать: 'как треугольники, в которых АВ = ВС, ∟ABB1 = ∟СВВ1, сторона BB1 - общая'. Но если это сказано, то о симметрии говорить нет необходимости. Из равенства треугольников следует равенство сторон АВ1 = СВ1 (следовательно, данная биссектриса совпадает с медианой) и равенство углов ∟BB1A = ∟ВВ1С. А равенство этих углов величине 90град следует не просто из их равенства, но и дополнительно из того факта, что они - смежные, и, следовательно, их сумма равна 180град. И только из этого следует, что биссектриса является одновременно высотой.
Доказательство, что медиана, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой проводится по-другому. Равенство треугольников доказывается на основании равенства трёх сторон.
Доказательство, что высота, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и медианой, также осуществляется по-другому. Равенство треугольников доказывается на основании того, что оба получаемых треугольника - прямоугольные, имеют равные гипотенузы и общий катет, следовательно, на основании теоремы Пифагора, и вторые катеты равны.
В примененном же автором доказательстве используется неявно утверждение, которое им не сформулировано, но предполагается очевидным: если при данных условиях биссектриса треугольника является медианой и высотой, то при этих же условиях медиана является одновременно биссектрисой и высотой, а высота является одновременно биссектрисой и медианой.
Это утверждение, вообще говоря, не столь очевидно, чтобы его можно было так легко применять.
Например, если 'в условиях Земли' 'всякий человек является приматом', то вовсе не обязательно, что 'в условиях Земли' 'всякий примат является человеком'.
Примеры Льюиса Кэрролла: 'Я всегда думаю, что говорю' - это не одно и то же, что 'Я всегда говорю, что думаю'. 'Я всегда вижу всё, что я ем' - не тоже, что 'Я всегда ем всё, что я вижу'.
Во всяком случае, доказательство того, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника одновременно является биссектрисой должно состоять в упоминании, что через две точки - вершину и середину основания - можно провести только одну прямую, поэтому, коль скоро доказано, что биссектриса совпадает с медианой, то и медиана совпадает с биссектрисой.
По поводу высоты доказательство аналогично с учетом того, что из одной точки можно провести только один перпендикуляр к заданной прямой.
Литература
1. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб, завел. - 4-е изд., доп. - М.: Дрофа, 2000. - 368 с.: ил. ISBN 5-7107-3507-8.