Исходим из теории Большого Взрыва и закона всемирного тяготения. Вселенная возникла из точки, скорее области малого размера, назовем её Ядром Вселенной, в результате Большого Взрыва. Рассмотрим шар, который расширяется, радиуса r с центром в точке Взрыва и звезду(звёздное скопление) на поверхности шара. Масса шара М не меняется при расширении. На звезду действует ускорение:
d2 r / d t2= - GM / r2 = - b / r2 (1)
G - Гравитационная постоянная. При расширении шара М не меняется, b = const.
Решим это уравнение. На первом шаге получим уравнение относительно первой производной (или скорости звезды):
d r / d t = (2b /r + c1)1/2 (2)
c1 = V02 - 2b / r0
V0, r0 - скорость звезды и расстояние её от точки Взрыва в какой-то момент времени t0 (например, в наше время).
Приравняем c1 = 0. Это означает устойчивость шара, в том смысле, что звезда никогда не оторвется от шара и не упадёт внутрь. Случай, когда c1 отлична от 0 рассмотрим в другой статье.
Тогда:
d r / d t = (2b / r)1/2 (3)
Решая это уравнение, получим:
r = ((3/2) t (2b)1/2 + c2 )2/3 (4)
c2 = r03/2 - (3/2)t0 (2b)1/2 (5)
При t = 0 (начало расширения шара) r равно:
r = (r03/2 - 3/2 t0 (2b)1/2 )2/3 = r0 (1 - t0 (6 G П p0 )1/2 )2/3 (6)
p0 - плотность вселенной в наше время, G - гравитационная постоянная, П - число пи.
Чтобы r была равна 0 (или почти 0) в начальный период времени, необходимо равенство 0 выражения в скобках в формуле (6), или
p0 = 1 / (6 t02 G П ) (7)
При t0 = 18 млрд. лет, p0 = 2.629 * 10-27 кг / м3
При t0 = 12 млрд. лет, p0 = 5.915 * 10-27 кг / м3
На самом деле точность определения должна быть достаточно большой, чтобы выполнялось условие Взрыва из Ядра Вселенной. Так, если принять размер Ядра 106 м (навскидку), то при размере сегодняшней вселенной r0 = 1025 м , выражение в скобках должно быть порядка 10-19 , т.е. точность для p0 должна быть порядка 10-57.
Из формулы (4) получим, дифференцируя по времени, выражение для скорости:
d r / d t = V = (2b)1/2 / ((3/2) t (2b)1/2 + c2)1/3 (8)
Рассмотрим отношение V / r исходя из формулы (3):
H = V / r = (2b)1/2 / r3/2 (9)
Для времени достаточно большого, т.е. когда Вселенная достаточно расширилась, значением c2 в формуле (4) можно пренебречь, т.к. c2 / r0 = 10-17 - 10-20.
Тогда уравнение (9) примет вид:
H = V / r = 2 / (3 t) (10)
H - Постоянная Хаббла, изменяется обратно пропорционально времени, прошедшему с момента расширения. Наиболее надежной считается оценка Н, равная:
H = 75 км / (сек Мпс) = 2.6 * 10-18 1 / сек
То есть звёзды (все звёзды), которые мы видим, имеют возраст:
t0 = 2 / (3H)= 2.564 * 1017 сек = 8.8.млрд лет.
Заметим, это возраст от момента начала расширения шара с этой конкретной звездой до момента испускания света, который видит наблюдатель, и значение Н на тот же момент.
Возраст звезды на сегодняшний момент можно определить, прибавив время прохождения света от звезды до наблюдателя.
T0 = t0 + t1 = 2 /(3H) + r / c = 2 / 3H + V /(Hc) (11)
с - скорость света.
Видим, что возраст звёзд относительно нашего сегодняшнего времени неодинаков для всех звезд. Он больше у тех звёзд, у которых скорость больше, и, соответственно, они находятся дальше. Это можно объяснить так:
Ядро Вселенной не было однородным. В нём существовали структуры с разной энергией. Первыми стали вырываться из Ядра структуры( которые позднее сформировались в скопления, галактики) с высокой энергией, сумевшие преодолеть притяжение Ядра. Затем, когда масса Ядра уменьшилась, стали вырываться структуры с меньшими энергиями.
Время t1 сильно отличается у разных звёзд. Так, для "типичных" звезд скорость равна
V = 0/001c для наиболее удалённых V = 0,25 c (возможно больше). То есть возраст звёзд может отличаться на 0.25 / H = 3.3 млрд лет.
Все приведенные расчёты были сделаны относительно наблюдателя в центре Взрыва. Однако, формулы (9) и далее справедливы для любого наблюдателя, в том числе на Земле. Можно построить треугольник с вершинами -центр Ядра, звезда, Земля. Т.к. векторы скорости и расстояния лежат на одной прямой, то из подобия треугольников следует V / r = V1 /r1 , где V1 - лучевая скорость звезды (проекция скорости на луч Земля-звезда), r1 - расстояние от Земли до звезды.
Выводы:
--
Постоянная Хаббла не постоянна во времени и обратно пропорциональна времени от начала расширения.
--
Время жизни всех звезд, которые мы видим, до момента испускания света одинаково и составляет 8.8 млрд. лет (при Н = 75 км/сек Мпс).
--
Структура Ядра Вселенной до начала Большого взрыва была неоднородной.
--
Большой взрыв был не одномоментный, разница по времени вылета из Ядра между наиболее быстрыми и медленными звездами превышает 3 млрд. лет.
Примечание: Если в формуле (2) c1 отлична от 0, то дальнейшее решение даст уравнение вида:
t = f (r) +c3,
не разрешимое относительно r. Его анализ значительно сложнее.