Млекоченко Николай Федорович : другие произведения.

444444444

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками
 Ваша оценка:


   В разд. 6.2 было получено точное решение задачи о распростране­нии электромагнитного излучения в периодической слоистой среде. Существует, однако, много периодических сред, для которых мож­но получить лишь приближенные решения системы уравнений Максвелла. Для решения этой задачи обычно используют два под­хода. Первый из них основан на формализме блоховских функций, рассмотренном в разд. 6.1, а второй -- на теории связанных мод. В теории связанных мод периодическое изменение диэлектрического тензора рассматривается как возмущение, которое приводит к свя­зи между невозмущенными нормальными модами структуры. Иными словами, диэлектрический тензор как функция пространст­венных координат записывается в виде
   е(х, у, z) = е0(х, у) + Де(х, у, z), (6.4.1)
   где ё0(г, у) -- невозмущенная часть диэлектрического тензора, а Де(г, у, z) -- периодический в направлении оси г тензор, являющий­ся единственной периодически изменяющейся частью диэлектриче­ского тензора. Сравнивая (6.4.1) с фурье-разложением величины Е(х, у, z), приведенным в (6.1.10), нетрудно видеть, ЧТО Е0(х, у) представляет собой нулевой член ряда, а остальные члены входят в Ае(х, у, z).
   ,г)
   Предположим, что распространяющиеся нормальные моды в невозмущенной диэлектрической среде, описываемой диэлектриче­ским тензором е0(х, у), известны. Поскольку невозмущенная диэлектрическая среда однородна в направлении оси г [т. е. Эе0(лт, у)/Ьг = 0], нормальные моды можно записать в виде
   (6.4.2)
   где т -- модовый индекс, который может принимать либо непре­рывные значения для неограниченных мод, таких, как плоские вол­ны, либо дискретные значения для локализованных мод, например типа волноводных. Эти нормальные моды удовлетворяют уравне­нию
  
  
   Ет(х,у) = 0,
   (6.4.3)
   дх
   --- + -- + ш2це0{х, у) - &
   ду
  
  
   где предполагается, что (У-Е) = 0 и уравнение (6.4.3) является приближением волнового уравнения (1.4.7) (см. разд. 2.1). Если при г = 0 возбуждается произвольное поле с частотой со, то поле, распространяющееся в невозмущенной среде, всегда можно пред­ставить в виде линейной комбинации нормальных мод:
   Е= 1,АтЕт(х, (6.4.4)
   т
   где Ат -- постоянные. Такое разложение возможно благодаря то­му, что эти нормальные моды образуют полный набор. Данные моды обычно нормируют таким образом, чтобы поток энергии в направлении оси г был равен 1 Вт. Следовательно, условие ортого­нальности этих мод можно записать в виде (см. разд. 11.1)
   |/(Е/ХН *к)гЛх<1у = 8, (6.4.5)
   где Н, -- магнитное поле, связанное с модой Е^. Если У Е = 0 и моды Ет удовлетворяют уравнению (6.4.3), то это соотношение ор­тогональности принимает вид (см. разд. 11.1)
   /Е*(х, у) • Е,(х, у) ах йу = (6-4.6)
   где 6к/ -- дельта-символ Кронекера для локализованных мод идельта-функция для неограниченных мод. Если при г = О возбужде­на только одна мода, например мода у)е то при рас­пространении через невозмущенную среду электромагнитная энер­гия будет оставаться в этой моде.
   Рассмотрим теперь распространение невозмущенной моды Е,(х, через возмущенную среду, описываемую диэлектри­
   ческим тензором ё0(х, у) + Ле(х, у, г). Наличие возмущения диэ­лектрического тензора Де(х, у, z) приводит к новому возмущению поляризации:
   ДР = Де(х, у, г)Е,(х,
   Если эта поляризационная волна, действующая как распределенный источник, может перекачивать энергию в некоторую другую моду Е2(х, у)е'' ^ (или из нее), то можно говорить, что диэлектриче­ское возмущение Де(х, у, г) приводит к связи (т. е. вызывает обмен энергией) между модами Е, и Е2. Определим теперь, при каких ус­ловиях имеет место такая связь.
   волны Е/п(х, у)ё
   (6.4.8)
   Обмен энергией между невозмущенными модами, обусловлен­ный возмущением диэлектрического тензора, аналогичен переходу между состояниями атома под действием нестационарного возму­щения. При этом метод расчета, который иногда называют мето­дом вариации постоянных, является весьма простым. Он состоит в том, что вектор электрического поля электромагнитной волны за­писывают в виде суперпозиции нормальных мод, отвечающих не­возмущенному диэлектрическому тензору, причем коэффициенты такого разложения, очевидно, зависят от г, поскольку при Де Ф О
   <(и)/-0 г)
   уже не являются независимыми модами:
   (6.4.7)
   т
   Подставляя выражение (6.4.7) в волновое уравнение
   {V2 + <о2ц[е0(х, у) + Де(х, у, г)]}Е = О
   и используя (6.4.3), получаем
   I ё.Ак-2фкЂАк Ек(х,у)е-^' =
   = -<о2м]ГДЕ(х, у, г)А,Е,(х, у)е-*>*. i
   Предположим далее, что возмущение диэлектрического тензора "слабое", т. е. изменение модовых амплитуд является "медлен­ным" и удовлетворяет условию
  
  
   " й л
  
  
  
  
   Это условие называется параболическим приближением и часто ис­пользуется в случае малых возмущений. Таким образом, пренебре­гая в уравнении (6.4.9) второй производной, получаем
   = у, г)А1 Е,{х, у)е~'Ь*.
      --
      --
      --
   1
   Умножим теперь скалярно уравнение (6.4.11) на Щ(х, У) и проинте­грируем его по х и у. Используя свойство ортогональности (6.4.6) нормальных мод, имеем
   {к\к)ЂЛк{г) = ^ЫкМОЛМ,"'*-"",
   (6.4.10)
   (6.4.11)
   где
   <к\к> = 1щ{х,у)'Ек{х,у)с1х(1у=^, (/с|ДЕ|/> ^ /Е*к(х,у)'Ае(х,у,г)Е/(х,у)4хс1у.
   Поскольку возмущение диэлектрического тензора Дё(х, у, z) являет­ся периодическим по г, его можно разложить в ряд Фурье:
  
  
   (6.4.15)
   т* 0

2тт -1т--,--г Л


  
  
   где в силу определения величины Де(х, у, г) в (6.4.1) суммирование ведется по всем т, кроме т = 0.
   йг
   Подставляя выражения (6.4.13)--(6.4.15) в уравнение (6.4.11), по­лучаем следующие уравнения:
   1Р*1 I тв которых коэффициенты связи С*?' определяются следующим об­разом:
   %<к\ет\1) = ^{Е1(х,у)-ет(х,у)Е1(х,у)<Ь<!у. (6.4.17)
   Эти коэффициенты Сур отражают величину связи между к-й и 1-й модами, обусловленную т-й фурье-компонентой тензора диэлект­рического возмущения.
   (6.4.18)
   Уравнения (6.4.16) представляют собой систему линейных диф­ференциальных уравнений, которые в принципе определяют беско­нечное число модовых амплитуд. Однако на практике, особенно вблизи условия резонансной связи, только две моды оказываются сильно связанными и уравнение (6.4.16) сводится к системе двух уравнений относительно двух модовых амплитуд. Под условием ре­зонансной связи мы подразумеваем следующее равенство:
   Рк-Р,-т--=0>
   где т -- целое число. Это условие имеет фундаментальное значе­ние, и мы будем называть его условием продольного фазового син­хронизма или просто фазового синхронизма. Условие (6.4.18) явля­ется пространственным аналогом закона сохранения энергии в не­стационарной теории возмущений, и поэтому его можно называть законом сохранения импульса. Резонансную связь можно объяснить следующим образом. Из уравнения связанных мод (6.4.16) видно, что прирост амплитуды поля к-й моды с1Ак, обусловленный связью с 1-й модой в области между г и г + dz, выражается через т-ю фу- рье-компоненту возмущения диэлектрического тензора:
  
  
   '^ехр
   ьк1
   (6.4.19)
  
  
   Поскольку амплитуды представляют собой медленно меняющиеся функции координат, выражение (6.4.19) можно проинтегрировать по расстоянию, которое много больше периода Л, но много мень­ше масштаба изменения амлитуд. Это приводит к следующему вы­ражению для результирующего приращения амплитуды ДАк, обус­ловленного связью с 1-й модой на расстоянии между г и г 4- Ь че­рез т-ю фурье-компоненту тензора диэлектрического возмущения:
  
  
   (6.4.20)
   ехр
   к I •'Аз.Л
   '[Рк - Р/~ I*
   Из этого выражения видно, что модовая связь между к-й и 1-й мо­дами является незначительной, когда условие (6.4.18) при некото­ром целом m не выполняется. Действительно, в выражении (6.4.20) интеграл не обращается в нуль лишь в том случае, когда аргумент экспоненты равен нулю. Это условие точно совпадает с условием фазового синхронизма (6.4.18).
   Таким образом, для изучения распространения электромагнит­ного излучения в диэлектрической среде с периодическим возмуще­нием можно использовать метод вариации постоянных. Эти ^по­стоянные" (модовые амплитуды) удовлетворяют уравнениям свя­занных мод (6.4.16). Для того чтобы между модами /си / имела ме­сто сильная связь, должны выполняться два условия. Первым из них является (6.4.18), называемое кинематическим условием. Вто­рое состоит в том, чтобы коэффициенты связи не обращались в нуль. Последнее условие называется также динамическим, по­скольку оно зависит от таких характеристик волн, как поляризация и конфигурация моды.
   Описанные выше общие свойства модовой связи имеют важное значение, поскольку они позволяют определить, какие процессы могут иметь место и какой вид возмущений требуется для возник­новения связи между данной парой нормальных мод. Этот вопрос мы будем рассматривать на протяжении всей настоящей главы на ряде конкретных примеров.
   (6.4.22)
   Соотношение (6.4.18) называют также условием Брэгга, по­скольку оно совпадает с аналогичным условием для дифракции рентгеновского излучения в кристаллах. В этом случае падающая волна, описываемая плоской волной с пространственной зависимос­тью exp( -- ik у - ifSz), сильно связана с отраженной волной, у кото­рой зависимость от координат имеет вид ехр( -- ikvy + ifSz). Посто­янная (3 является составляющей волнового вектора, перпендикуляр­ной соответствующим кристаллическим плоскостям. Из условия (6.4.18) следует, что расстояние Л между кристаллическими плоско­стями должно удовлетворять условию
   (6.4.21)
   или условию
   2Acos в = тХ,
   поскольку /3 = ксоьв, где в -- угол падения, а т - 1, 2, 3, ... -- не­которое целое число. Выражение (6.4.22) представляет собой хоро­шо известное условие Брэгга для дифракции рентгеновского излуче­ния. Как уже отмечалось выше, это условие является необходи­мым, но не достаточным. Интенсивность дифракции зависит от ко­эффициентов фурье-разложения периодической диэлектрической по­стоянной и от поляризации волн [выражение (6.4.17)].
   6.4.1. УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННЫХ МОД
   Уравнение (6.4.16) описывает наиболее общий случай связи между модами, обусловленной периодическим возмущением диэлектричес­кой проницаемости. На практике во многих случаях имеет значение связь лишь между двумя модами. Обозначим эти две связанные моды индексами 1 и 2. Пренебрегая взаимодействием со всеми дру­гими модами, уравнения связанных мод можно записать в виде
   ^Ах 1КАге ,
   (6.4.23)
   2 = -мсМ.е-'^, аг
   где
   = /Зх - р2 - , (6.4.24)
   а С'^' и С(пт) -- коэффициенты связи, определяемые выражением (6.4.17). Из определения (6.4.17) можно непосредственно показать, что
   С<Г> = [С<Г т)]% (6.4.25)
   •если Ле(х, у, г) -- эрмитов диэлектрический тензор.
   В случае когда диэлектрический тензор ё в (6.4.1) является функ­цией только от г (т. е. не зависит от х и у), нормальные моды не­возмущенной среды представляют собой плоские волны и коэффи­циенты фурье-разложения ет возмущения диэлектрической проница­емости оказываются постоянными. В этом частном случае коэффи­циенты связи принимают вид
   С1Т" да""е"Р" <6'4-26)где р^ И Р/ -- единичные векторы поляризации плоских волн.
   Заметим, что коэффициенты связи (6.4.26) зависят как от состо­яний поляризации связанных мод, так и от тензорных свойств ко­эффициентов фурье-разложения ет.
   Знаки множителей /3,/1/3,1 и /32/1/321 в уравнениях (6.4.23) игра­ют очень важную роль; они определяют характер поведения связи. Эти знаки, разумеется, зависят от направления распространения связанных мод. Поэтому можно рассматривать два типа связи, а именно связь волн, распространяющихся в одном направлении, и связь волн, распространяющихся в противоположных направле­ниях.
   Распространение электромагнитных волн в периодических средах
   36
  
  
   Распространение электромагнитных волн в периодических средах
   4
  
  
   (6.4.9)
  
  
   (6.4.9)
  
  
   Глава 6
   3
  
   42 Глава 5
  
   Распространение электромагнитных волн в периодических средах 10
  
  
  
  
  
   6
   Глава 6
  
  

(6.4.16)

  
  
  
  

 Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"