Аннотация. Цель работы - найти правила, обеспечивающие доказательство гипотезы Гольдбаха, точнее, доказательство его бинарной проблемы. Поскольку бинарная проблема Гольдбаха гласит, что любое чётное число, начиная с числа 4, можно выразить суммой двух простых чисел, т. е. чётное число (c≥4) выразить суммой простых нечётных чисел (a) и (b): c=a+b, то очевидно есть число, которое можно выразить разностью этих же чисел: c_1=a-b при a>b. Тогда есть и некоторое число (C), являющееся произведением суммы этих простых чисел и разности этих простых чисел: C=c∙c_1=a^2-b^2, т. е. разностью квадратов нечётных чисел. Следовательно, чётное число Гольдбаха - множитель в этой разности квадратов, а не простая математическая случайность, но строгая закономерность, не имеющая ограничений в числовом поле. Это и есть алгоритм проблемы, которой нет.
Вводная часть. Рассмотрим "посыл" [1], принятый за основу "Полного доказательства гипотезы Била", который выглядит следующим образом: любое чётное число, имеющее множителем число 8, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. То есть это чётное число можно представить произведением суммы и разности этих нечётных чисел. Сумма и разность в этом случае числа чётные, но одно из них имеет множителем одно число 2, а другое - минимум число 4. То есть предполагая, что сумма двух нечётных чисел имеет множителем число 4, надо иметь ввиду, что разность этих же чисел будет иметь чётный множитель только число 2. Или же наоборот: если сумма двух нечётных чисел имеет множитель только одно число 2, то разность этих же чисел имеет множитель минимум число 4. Рассмотрим это на примере пифагоровых троек (3, 4, 5) и (5, 12, 13).
4^2=5^2-3^2=(5+3)(5-3)=8∙2.
〖12〗^2=〖13〗^2-5^2=(13+5)(13-5)=18∙8=(2∙9)∙8.
Итак, имеется чётное число (c) с чётным множителем ≥4 равное сумме двух нечётных чисел. В данном случае это числа a и b.
c=a+b. (1)
Пусть это будет первый множитель некоторого числа (C). Второй множитель этого числа - разность этих же нечётных чисел. И этот множитель (c_1) содержит только одно число 2.
c_1=a-b. (2)
Имеются два множителя c и c_1. Перемножим уравнение (1) и уравнение (2).
C=c∙c_1=(a+b)(a-b)=a^2-b^2. (3)
Результат - некоторое чётное число (C), являющееся произведением суммы и разности двух нечётных чисел. Следовательно, это число имеет множитель число 8. Если принятое число с=a+b имеет чётный множитель минимум число 4, то число c_1=a-b должно иметь один множитель 2. Заметим, однако, что значения множителей могут быть противоположными. Главный результат перемножения суммы и разности этих нечётных чисел тот, что их произведение имеет чётный множитель ≥8 при том, что один из множителей имеет в своём составе только одно чётное число 2.
Из уравнения (3) видно, что сумма и разность двух нечётных чисел имеют следующие значения:
c=a+b=4∙c_2; (4) c_1=a-b=2∙c_(3.) (5)
Надо заметить, в уравнении (5) число c_1, являясь чётным числом, содержит множителем только одно число 2 при нечётном числе c_3.
Увяжем предлагаемый метод доказательства с рассматриваемой гипотезой.
Возьмём её первое рассматриваемое число 4. Представим его суммой двух нечётных чисел 3 и 1. Умножим их сумму на их разность.
3+1=4; 3-1=2; 9^2-1^2=8.
Аналогично рассмотрим число 6, представив его суммой чисел 5 и 1, и их разностью.
5+1=6: 5-1=4: 5^2-1^2=24=3∙8.
Несмотря на "непростоту" числа 1 смысл связи метода доказательства и гипотезы понятен, и заключается он в нахождении чисел, разлагаемых на два множителя - сумму и разность нечётных чисел c и c_1, выражаемых простыми числами a и b. (См. (4) и (5).)
Рассмотрим нахождение множителей, составляющих сумму и разность нечётных чисел, и выделение этих простых нечётных чисел.
Примем число 12 "гольдбаховой" суммой простых чисел 7 и 5.
a+b=7+5=12. (6)
Разность этих чисел будет такой. Она выражается теми же простыми числами.
a-b=7-5=2. (7)
Перемножим уравнения (6) и (7).
C=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=7^2-5^2=24. (8)
Итак, "гольдбаховая" сумма простых чисел, число 12, всего лишь множитель числа 24, имеющего упомянутый уже важный множитель число 8. Из тех же самых простых чисел состоит и второй множитель, соответствующая этой сумме и незаслуженно забытая "гольдбаховая" разность.
Произведём обратное действие с выделением простых нечётных чисел, составляющих сумму "гольдбахового" числа. Упростим задачу, взяв для примера число C = 24. Прежде всего это число нужно разложить на множители, выделив первым множитель с одним числом 2. Примем этим множителем значение уравнения (7), т. е число 2. Тогда второй множитель - значение уравнения (6), т. е. число 12. Отсюда имеем:
(a+b)=12; (9) (a-b)=2. (10)
Сложим левые и правые части уравнений (9) и (10).
2∙a=12+2; a=(12+2)/2=7; (11)
Вычтем из правой и левой частей уравнения (9) правую и левую часть уравнения (10).
2∙b=12-2; b=(12-2)/2=5. (12)
В результате имеем два простых числа, составляющие "гольдбаховую" сумму, т. е. число 12, и соответствующую ей разность число 2, вместе образующие в разности квадратов число 24. (См. уравнение (8).) При этом, как видно из примера, первое простое число является половиной суммы полученных разложением множителей, а второе - половиной разности этих же множителей. То есть полученные числа a и b являются выражением тех самых нечётных чисел, что образуют ту самую разность квадратов, в том числе и простых, чисел.
Выделим нечётные числа, поменяв разложение на множители число 24, где имеем: 24=3∙8=(2∙3)∙4. Так как сумма двух чисел больше, чем их разность, поэтому сумма и разность нечётных чисел будут выглядеть так:
(a+b)=2∙3; (13) (a-b)=4. (14)
Поскольку первый нечётный множитель равен половине суммы множителей, а второй половине разности множителей, то имеем:
2∙a=2∙3+4; a=3+2=5. (15)
2∙b=2∙3-4; b=3-2=1. (16)
Выведем уравнение аналогичное уравнению (8) со значениями ур. (15) и (16).
C=c∙c_1=(a^2-b^2 )=(5+1)(5-1)=(5^2-1^2 )=24. (17)
Таким образом, имеется ещё одна "сумма" число 6 равное (5 + 1).
Из уравнений с (8) по (12), а также из уравнений (13) по (17) следует, что из одного числа С возможно выделить не одну "сумму" с соответствующими парами нечётных чисел. Рассмотрим это детальнее на разложении числа 27000, принятого произведением трёх чисел в кубе для упрощения расчётов.
〖30〗^3=27000=2^3∙3^3∙5^3.
Первый вариант разложения этого числа на множители для выделения простых чисел a и b таков:
В данном случае "сумма" - (a+b)=179+71=250, а разность квадратов:
〖179〗^2-〖71〗^2=27000.
Итак, числа a = 277 и b=223 первого варианта разложения, а также числа a =179 и b = 71 второго варианта - числа простые. Очевидно, что разложение на множители чётного числа, имеющего множитель число 8, как разность квадратов двух нечётных чисел и выделение из них простых чисел, как сумму одного и разность другого множителей, строгая математическая закономерность, а не простая случайность, и зависит от количества множителей исходного числа.
Выше рассмотрена возможность разложения на множители и выделения сумм с простыми множителями из одного числа, имеющего множитель 8. Рассмотрим возможность выделения нескольких пар простых чисел для одной суммы. Возьмём число 14. Поскольку 14=2∙7 имеет только множитель 2 и его нельзя выразить разностью квадратов нечётных чисел, умножим его на 4.
14∙4=56=7∙8=(7∙2)∙4.
Примем 14 суммой квадратов, а 4 разностью. Тогда:
(a+b)=14 и (a-b)=4. a=7+2=9. b=7-2=5.
Примем 14 суммой, а 8 разностью, где 14∙8=112.
(a+b)=14; (a-b)=8. a=7+4=11. b=7-4=3.
Примем 14 суммой, а 12 разностью, где 14∙12=168.
(a+b)=14; (a-b)=12. a=7+6=13. b=7-6=1.
Приведённые выше примеры в отношении выделенных пар нечётных чисел показательны, хотя только в одной паре оба числа 11 и 3 являются простыми. Поэтому эта пара не выглядит чем-то исключительным, поскольку в первой и третьей паре присутствуют по одному простому числу. Очевидно, что в простейших вариантах выделение простых чисел при разложении чётных чисел ограничено по количеству, тогда как с возрастанием рассматриваемого четного числа и увеличения в нём числа множителей увеличивается также количество выделенных пар простых чисел, выражающих "гольдбаховую" сумму. Возьмём в качестве "суммы" число 2744. Это число является третьей степенью числа 14.
〖14〗^3=2744=(8∙343).
Принятое нами за "сумму" число содержит множителем число 8, поэтому за разность надо принять число с множителем 2, т.е. нечётное число, умноженное на 2. Пусть это будет 750 = 375 ∙ 2. Тогда имеем число множителями которого являются принятые нами сумма и разность.
Выделим нечётные простые числа для "суммы" 2744 ещё из двух чисел.
C=(a+b)(a-b)=2744∙978=2683632.
a=1861; b=883. a+b=1861+883=2744.
C=(a+b)(a-b)=2744∙990=2716560.
a=1867; b=877. a+b=1867+877=2744.
И в обоих этих случаях числа, составляющие "сумму", а в общем разность квадратов, числа простые.
Рассмотренные примеры показывают возможность сочетания той же "суммы" и другой разности, как множителей в новом числе - произведении, и выделение при этом другой пары простых чисел, составляющих эту "сумму". Это значит, что при всё большем исходном числе и большем количестве множителей в нём возрастает вероятность выражения "суммы" в разных сочетаниях при одном и том же её значении. Поэтому можно сделать вывод, что нет никакого нового "алгоритма" для "гольдбаховой суммы", а есть простое правило разности квадратов нечётных чисел.
До сих пор нечётные числа разложения, простые числа, рассматривались нами наглядно, выразим представление о них абстрактно, в полном их связи с гипотезой.
Поскольку разложение чётного числа на множители разностью квадратов подразумевает наличие у него множителя 2^3, произведём выделение нечётных чисел из числа 〖12〗^3, прежде выделив множители, соответствующие чётным сумме и разности нечётных чисел.
Разложим число 〖12〗^3 на множители: сумму и разность нечётных чисел.
(a+b)=2∙3^3=54; (a-b)=2^5=32.
2∙a=2∙3^3+2^5; a=3^3+2^4=43. (19)
2∙b=2∙3^3-2^5; b=3^3-2^4=11. (20)
Уравнения (19) и (20) выражают нечётные числа разности квадратов числа 〖12〗^3, и они простые. (Примечательно, что число 2^6 уравнения (18) при выделении этих чисел теряет множитель 2^2. См.: (18), (19), (20).) [2]
Представим уравнение (18) в отвлечённом, общем, виде.
При этом нужно заметить, что число c_1^3 нечётное, а числа 〖〖(2〗^3∙с〗_2^3) и с_1^3, степенные множители числа С^3, взаимно простые, то есть не имеют общих множителей, иначе при разложении числа a и b имели бы общий множитель.
Выделим множители разности квадратов.
(a+b)=2∙c_1^3; (a-b)=2^2∙c_(2.)^3
Нечётные числа равны половине суммы и половине разности множителей разности квадратов. Отсюда имеем:
a=c_1^3+2∙c_2^3. (22) b=c_1^3-2∙c_2^3. (23)
Примем уравнение (22) как вариант суммы n - х степеней, а уравнение (23) как вариант разности n - х степеней. Разложим на множители уравнение (22).
Из уравнений (24) и (25) следует: поскольку целые нечётные числа (a) и (b) нельзя разложить на целые множители, следовательно они являются простыми числами. Примем подтверждением приблизительное разложение на множители уравнения (19), представляющего число a как сумму кубов, в соответствии с уравнениями (22) и (24).
Числовое подтверждение простоты нечётных чисел доказывает правильность применения метода к доказательству гипотезы. А теперь представим уравнение (3) со значением C^n,c^n,c_2^n. То есть представим общие формулы разложения на множители числа C^n, выделения простых чисел a,b и разложения их на множители.
Нужно обратить внимание на чётное число 2^((n-2)) в формулах (29) и (30), которое потеряло множитель 2^2, что явилось причиной иррационального разложения на множители значений чисел a,b.
Из уравнений (31) и (32) следует, что целые числа (a) и (b) нельзя разложить на целочисленные множители, следовательно, они простые. Уравнения (31) и (32) общие для всех выражений чисел a и b, то есть ключевые для всей темы разности квадратов нечётных чисел в рамках рассматриваемой гипотезы, что обосновывает доказательство.
Итак, показано: чётное число ≥ 4, представляемое суммой двух нечётных чисел, можно выразить множителем некоторого числа (C), второй множитель которого - разность этих же нечётных чисел. Число (C), тем самым, является разностью квадратов двух нечётных чисел, что не имеет ограничений в числовом поле для него и его множителей, которые выражаются "суммой" и разностью простых чисел, что следует из доказательства. Следовательно, бинарная проблема Гольдбаха решена.
Литература.
Ведерников С. И. Полное доказательство гипотезы Била. - Журнал: Проблемы современной науки и образования. 2025. No 8 (207). Стр. 6.
Ведерников С. И. Разность квадратов нечётных чисел и гипотеза Била. - Журнал: Интернаука. 2023. No33 (303). Часть 1. Стр. 25.