On relationship of famous Godel's theorems with properties of the real world
Я понимаю, что название заметки не вызывает ни малейшего желания её прочитать. И читатель будет прав - почти. Что за нужда морочить себе голову математикой, тем более такой сложной - и в техническом плане, и в концептуальном? Тем не менее, последняя часть заметки, "Теоремы Гёделя и устройство мира", общего плана, знания математики не требует. В ней рассмотрены достаточно общие вопросы мышления как такового, а именно его рациональная часть, поддающаяся описанию логикой, и наличие других механизмов мыслительной деятельности, которые, мне кажется, даже не дополняют логику, а вносят не меньший вклад, а может быть даже и превалируют (у разных людей эта доля может очень сильно различаться, ведь некоторые не используют рациональное мышление совсем). Так что в заметке есть и вещи для общего чтения.
О ТЕОРЕМАХ ГЁДЕЛЯ И ЧЕМ БЫЛ ВЫЗВАН ИНТЕРЕС ИНТЕРЕС АВТОРА К НИМ
У меня давно была мысль, что в рамках любой логической системы можно вывести противоречивые утверждения. Примеры таких логических систем есть, например такие утверждения можно получить в рамках формальной логики. Поэтому и пытаются придумать логические системы (Complex logic, к примеру), которые бы ликвидировали такие противоречия. Но такие попытки, похоже, тщетны, и создать такие системы невозможно ПРИНЦИПИАЛЬНО. Я дилетант в таких вопросах, и соответственно дальше этих умозрительных соображений дело не пошло.
Известный математик Гильберт в своё время поставил задачу найти полный непротиворечивый набор аксиом для всей математики. Гёдель показал, что построить такую систему теорем невозможно. И это было открытие, которое заставило пересмотреть то, что до тех пор представлялось как фундаментальные основы и естественные свойства математики. А когда фундамент рушится, на его месте возникает нечто качественно новое.
Теперь о самих теоремах Гёделя. Его Теорема о неполноте и вторая теорема Гёделя - две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.
Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.
Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.
Формальная система может иметь несколько фундаментальных свойств, включая полноту, непротиворечивость и свойство эффективной аксиоматизации. Теорема о неполноте утверждает, что система, содержащая достаточное количество арифметических данных, не может обладать всеми тремя свойствами. Здесь встаёт вопрос, что значит "достаточное", но в эти дебри влезать не будем, ограничимся интуитивным пониманием, что в такой арифметике достаточно операций и аксиом для работы с каким-то множеством.
ПОЛНОТА. Набор аксиом является синтаксически полным, если любое утверждение, сформулированное на языке этих аксиом, или его отрицание, может быть доказано на основе этого набора аксиом. Обратим внимание, что речь идёт о синтаксической, но не семантической полноте. Последняя означает, что набор аксиом может доказать все семантические тавтологии данного языка аксиом. Тут может звучит несколько заумно, но отличие в том, что синтаксис - это формальные построения на основе аксиом, а семантика имеет дело со смыслом, значением полученных конструкций.
НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ. Система аксиом непротиворечива, если в ней нельзя вывести противоположные утверждения.
ЭФФЕКТИВНАЯ АКСИОМАТИЗАЦИЯ. Это если набор теорем системы рекурсивно перечисляем. Скажем, когда компьютерная программа в принципе может перечислить все теоремы системы без того, чтобы не добавить утверждения, которые теоремами не являются.
ОТВЕТ НА ВОПРОС АВТОРА
Определившись с аппаратом, можем теперь порассуждать. Система может полной и непротиворечивой (но тогда не обладает свойствами эффективной аксиоматизации). Согласно теореме Гёделя о неполноте, в непротиворечивой системе существуют формулы, которые нельзя доказать и опровергнуть. Но в силу непротиворечивости в таких системах нельзя вывести конфликтные утверждения. Это не значит, что они не могут существовать, но вот вывести их нельзя. И это пожалуй и есть ответ на мой вопрос. Если система неполная и противоречивая, то результат тот же самый.
В отношении теорем Гёделя дополнительную ясность может внести их интерпретация, предложенная А. Танцуром. "... дело не совсем в языках или аксиоматических системах. Язык это просто множество предложений, написанных по определенным правилам. Без семантики никаких проблем нет. Если на предложение языка накладывается семантика, то тут и возникают проблемы. Предложение становится или истинным, или ложным. Видимо, утверждение Геделя состоит в том, что невозможно построить систему предикатов, такую, чтобы любое предложение было однозначно или истинным, или ложным."
Такое понимание в какой-то мере подтверждает сделанный выше вывод о невозможности доказать существование конфликтных формул в рамках логических систем (речь, разумеется, идёт об аксиоматических системах).
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ И УСТРОЙСТВО МИРА
Хотя и теоремы Гёделя, и наши рассуждения об арифметике, о цифрах, они применимы и к другим разделам математики, построенных аксиоматически на основе арифметики, в том числе теория вероятности, квантовая механика. В этом смысле они неотличимы для нас от арифметики, и соответственно к ним также приложимы теоремы Гёделя.
На первый взгляд то, о чём говорилось выше, это чистейшая математическая абстракция. Однако если взглянуть пошире, то связь есть, и связь глубокая. Ведь если невозможно создать логическую систему, в которой бы не существовали невыводимые и недоказуемые формулы, то значит наше мышление только частично логично, и включает в себя ещё и не логические переходы. Иначе всё, о чем мы мыслим, можно было бы описать логическими конструкциями, включая наше отображение объективной реальности. Но это не так. Эвристическое мышление как раз такой способ мышления, который состоит из многих связок, которые структурно сложно взаимосвязаны между собой и описанию логикой не поддаются. Эвристическое мышление - это КАЧЕСТВЕННЫЙ скачок, и ДО эвристического открытия логически такое открытие сделано быть не может в рамках одной аксиоматической системы. (Возможно, если взять совокупность нескольких логических систем, и как-то их совместно использовать, новое знание можно синтезировать. Но мы обсуждаем что можно и что нельзя в пределах одной аксиоматической системы.) Постфактум иногда можно "натянуть" логику, объяснив, как такое открытие было сделано, но это уже будет натяжка на УЖЕ известный результат. Логика не описывает качественные скачки, все её выводы находятся в рамках заранее заданной системы ОДНОГО КАЧЕСТВА, заданной набором аксиом. Теоремы Гёделя и данные выше определения и подтверждают это.
Эвристический синтез происходит на основе ОДНОВРЕМЕННОГО учёта многих факторов разной степени значимости. Он не может происходить линейно, цепочками "если - то" к результату не прийти. Знание о многих факторах сводится воедино в каком-то фокусе, и их одновременное взаимодействие, слияние и порождает новое знание. Открытие Архимеда нельзя вывести логически из того, что он знал на момент открытия. Там есть зазор, который логикой не заполнить. Это была гениальная эвристическая догадка, которая сразу всё поставила на свои места.
Эвристические открытия - дело подсознания. Где-то в глубинах мозга перерабатывается информация, и скорее всего не логически, или не только логически, и затем выдаётся наверх, в сознание. С таким предположением хорошо согласуется известная физиология работы мозга.
Физиологически мышление осуществляется нейронами, группами нейронов и вспомогательными клетками (которые тоже, оказывается, не совсем пассивные в этом смысле). Идет суперпозиция электрических сигналов, где-то генерится импульс (action potential), где-то нет. Но есть ещё один интересный момент. Электрическое возбуждение может иррадиировать в соседние участки мозга (научный факт), и возбуждать там импульсы, которые уже будут распространяться по другим цепочкам. (Это то, как иногда возникают мысли, вроде бы не относящиеся к предмету размышления на данный момент - по ассоциации.) И в итоге над одной проблемой начинают мыслить (или вызывать эмоции) несколько параллельных цепочек. И такие ветви мышления могут инициироваться и одновременно, и сосуществовать параллельно, и пересекаться, причём пересекаться неоднократно. Вполне себе подходящий механизм для эвристического мышления. Так что физиологически структура и работа мозга могут поддерживать такое не логическое мышление.
А ещё есть интуиция. Там ведь тоже невозможно описать всё логикой.
Но есть и более фундаментальные основания для того, чтобы наш мир был нелогичен. Мир материален. Материя обладает свойством движения, она в постоянном движении. Это её фундаментальное свойство. Если бы материя не двигалась, о её существовании невозможно было узнать. Вот подумайте. Что значит узнать о существовании материи? Мы должны получить какой-то сигнал от материи. Пусть даже отражённый, если не собственный материи. Но любое материальное взаимодействие неминуемо вызывает изменения во взаимодействующих объектах. А материя постоянно взаимодействует - с другой материей, или со своей частью. Электроны в атомах движутся - известный факт. Они не могут застыть на месте, иначе атом разрушится или трансформируется.
Но движение материи приводит к изменениям. Обычно это постепенные количественные изменения, которые рано или поздно перерождаются в изменения качественные. А логика, как выше было сказано, не описывает качественные изменения (в пределах одной аксиоматической системы). И значит, наш мир НЕ ЛОГИЧЕН - в принципе. А логика - только часть его механизмов, законов.
Другая особенность нашего мира, которая указывает в том же направлении, что логика только часть его устройства (и нашего мышления, которое сформировано внешним миром и отражает его), это недетерминированность мироустройства, на что указал А. Танцур. Чтобы в этом убедиться, многим будет достаточно личного опыта. Но есть и более веские причины для этого. Поскольку на события реального мира влияют многие факторы, каждый из которых в свою очередь имеет в той или иной степени вероятностный характер, то значит и исход событий будет тоже вероятностный. Но теория вероятностей построена на арифметике. И соответственно унаследовала и те свойства, которые описываются теоремами Гёделя. А значит и там будут и невыводимость, и недоказуемость, а значит и недетерминированность. То есть даже с формальной, описательной точки зрения недетерминированность присутствует в моделях реального мира, которыми мы оперируем.
Объективная реальность не детерминирована принципиально, если взглянуть на вопрос с точки зрения философии. Детерминированность и случайность - это две философские категории, которые существуют в паре. Одна без другой существовать не может. Любое явление обязательно будет в какой-то мере и детерминировано, и случайно. Даже для событий, которые ну казалось бы полностью детерминированы, существует возможность, какая бы она маловероятной не была, дать другой, нежели ожидаемый исход. И кроме того, движение материи, о котором уже было упомянуто, тоже приводит к недетерминированности. Я понимаю, что просто сославшись на категории философии и сделать такой вывод может выглядеть не очень убедительным. Но иначе надо тогда рассматривать вопрос слишком подробно и долго. Так что ограничусь сказанным.
И в то же время арифметика отражает определенные свойства реального, не детерминированного мира. Но только определенные, не все. И получается, что математика - это детерминированная модель не детерминированного мира. И из-за одного этого она не может быть полностью адекватной реальному миру. И возможно из-за этой неадекватности и нелогичности нашего мира она и приобретает те свойства, о которых мы говорили выше, и в частности невозможность построить полный непротиворечивый набор аксиом для всей математики.
А вот теперь интересный момент. Давайте вообразим, что такой набор аксиом возможен. Математика, как уже было сказано, является отражением реального мира - не всего, но многих его аспектов, которые можно описать числами. Но тогда можно придумывать и придумывать аксиоматические системы, которые будут всё адекватнее реальному миру, и значит будет описывать всё точнее наш мир ЛОГИЧЕСКИ. Но мир НЕ ЛОГИЧЕН, в принципе. И теоремы Гёделя, получается, с этой точки зрения, по сути устанавливают границу применимости описания реального мира логическими системами. Вывод интересный, он удивляет меня самого. Но в то же время к похожим умозаключениям, перекликающимися с моим выводом, приходят и другие люди. В качестве примера приведу цитату из статьи на сайте
dzen.ru/a/XYsrEdTwegCuTR-G :
"Проблема непротиворечивости, которая арифметикой осознаётся, не может быть ею же решена, если арифметика на самом деле непорочна. Язык арифметики оказывается достаточно сложным, чтобы рассуждать о себе, но следующий шаг, довести выкладки до конца, выполнить не в силах. В итоге вопрос о непротиворечивости "повис в воздухе". Скажу больше. Если вы ДОКАЖЕТЕ эту непротиворечивость, то это приведёт к ПРОТИВОРЕЧИЮ в самых основах науки.
Пока перечитайте прошлый абзац, если его не поняли до конца. Я подожду. Теоремы Гёделя были одним из гениальнейших открытий математики XX века. Они интерпретировались философами всех мастей, зачастую, с искажениями самой формулировки. Действительно, как интересно получается. В попытках перевести весь мир в цифру, подогнать его под человеческие мерки, вышли как совершенно не интерпретируемая на человеческом языке физика, так и математика, анонсировавшая себя как абсолютную опору в научных рассуждениях, которая в итоге не смогла выполнить обещанную программу.
Возможно, вы станете задумываться над тем, что математика бесполезна. Как бы не так! Странно, но она работает. Несмотря на свою неполноценность. Вот я пишу, а компьютер, построенный по математическим моделям, выводит буквы на экран. Скорее, теоремы Гёделя - это о том, что рациональное мышление не всесильно, и не всё поддаётся расчёту. Но многое. Так что те люди, которым нужна была математика для самолётов, не забивали себе голову достижениями логики."
Как видите, цитата созвучна с тем, что было сказано до сих пор. Цифра - часть реального мира, отражение одного из его фундаментальных свойств. Но не всего. И поэтому неудивительно, что она даёт в широком диапазоне адекватные объективной реальности результаты, в той же физике. Это нормально. Но также не стоить удивляться, что где-то она не оправдывает возлагаемые на неё надежды - всё по той же причине, что она часть реального мира, в котором есть не только цифры, но и другие механизмы и законы, которые основаны не только на цифрах. И такие механизмы тоже управляют этим миром, нашей объективной реальностью. Конечно, для многих покажется странным (и для меня тоже), что не всё в мире можно описать цифрой. Но вот так оно есть, такая вот объективная реальность, в которой мы живём.
Ещё один интересный момент, на сей раз философский, на который обратили внимание и А. Шариков, и А. Танцур. А. Шариков отметил: "Но ведь абсолютная истина как адекватное построение модели мира в голове тоже всегда идеал, по пути к которому идет трудный процесс познания."
A. Танцур написал, что ему показалась интересной моя мысль, которая пересекается с природой научной истины, отметив, "Мы можем строить все более навороченные теории, которые будут не противоречивы, но никогда не будут полны. То есть, мы всегда будем иметь дело с относительными истинами, а абсолютная истина не достижима". Добавив, что философы об этом всегда говорили, а теперь и математики дошли.
Это очень хорошие замечания, которые подводят дополнительное, на сей раз философское, обоснование под полученные выводы, соединив знание философии о реальном мире с полученным нами знанием об объективной реальности, являющимся следствием, казалось бы (!) абстрактной математики. Конечно, всё сказанное может и не слишком доказательно, но тем не менее осмелюсь утверждать, что логические системы В ПРИНЦИПЕ не могут быть полностью адекватным отображением объективной реальности. В этом смысле они, как бы это сказать, чересчур прямолинейны, слишком просты для реального мироустройства, которое и многомернее, и более обширное, а главное постоянно меняется, развивается, трансформируется, в том числе качественно. И последнее - не возможность, а НЕОБХОДИМОСТЬ. То есть качественных изменений не избежать. Но тогда и знание о новом состоянии будет КАЧЕСТВЕННО новым. А аксиоматические системы сами по себе новое качество не приобретут.
И в заключение. Собственно, выводы были сделаны, повторяться нет смысла. Для меня главные результаты этого небольшого исследования, что сумел (думаю, что сумел) ответить на свой давний вопрос о возможности существования конфликтных утверждений в рамках логических систем. А второе - это лишний раз убедиться в нелогичности нашего мира, но также и в том, что наше мышление, а значит и отражение мира, использует разные способы познания объективной реальности, решения проблем разного уровня, что наш арсенал мыслительных механизмов, сформированных реальным миром, гораздо более широк и гибок, чем это принято думать, и цифра важная, но не единственная составляющая мира. И значит надо исследовать и тренировать эти механизмы, и использовать их себе и обществу во благо. (Сейчас, конечно, о благе общества мало кто думает, но без общества мы никто.)
Автор признателен А. Танцуру и А. Шарикову за обсуждение темы и интересные мысли.