ТВОРЧЕСКОЕ СОЗНАНИЕ
ИНТУИЦИОНИЗМ, АЛГОРИТМЫ И МОДЕЛИ ч. 1
__________________
В. Н. Щеглов
Тула 2004
В. Щеглов
Тула, Щекино, 2.07.04
Ч А С Т Ь 1
ТЕОРИИ ТВОРЧЕСКОГО СОЗНАНИЯ
(конъюнкция, "и", иногда будем использовать символ &),
(дизъюнкция, "или"),
(импликация, "если, то"), константы
("ложь") и кванторов
(общность, "для всех"),
("существует"). Пусть знаки
, ?, ? заменяют словесные обороты "есть по определению", "если..., то...", "тогда и только тогда", соответственно. Пусть отрицание ??
. Будем также использовать обычные обозначения арифметики, математического анализа и теории множеств, смысл которых будет ясен из контекста. Язык ? может содержать различные виды переменных, каждый вид рассматривается как пробегающий некоторую область конкретных объектов данного вида (в нашем случае - чисел). Переменные, входящие в формулу свободно (без ограничений), будем называть ее параметрами. Переменные, на которые наложены определенные условия, например, нахождение их значений в определенном интервале, будем называть связанными. Если приписать параметрам формулы соответствующие конкретные значения (термы, в нашем случае числа), то она будет определять высказывательную или оцененную форму (в частности, это может быть предложение).
< х
<
)&(
< x
<
)&..., являющиеся простыми импликациями (истинными формулами) для функции Z = f((X(n, m)). Аналогичные операции совершаются и в отношении не целевых состояний. Далее вычисляются оценки ?Г? для каждой К(число состояний, удовлетворяющих К), затем строятся тупиковые дизъюнктивные формы ( т. е. модели для каждой из Z = 0, 1,... в отдельности): начиная с наибольшей ?Г?, отбираются К и объединяются связкой "или"; предварительно отбрасываются те из них, множества состояний Г которых ("покрытия") уже входят в ранее выбранные К.
?(0)
x (? (x)
? (Sx))
x ? (x),
х(?(х) = t(х)),
, где F - функтор, не содержащий ?. Например, в процессе сопоставления целевой строки с не целевыми постепенно строится сжимающийся интервал ??, который при некотором единственном значении ?, например, совпадающем с его значением в целевой строке обнуляет или "захлопывает" этот интервал (см. алгоритм, ч. 2). Физическая интерпретация аксиомы проста: "обработка" сигналов (уменьшение числа состояний, функционально не связанных с Z) может происходить, например, за счет пространственных затруднений при изменении КС в определенных направлениях, т.е. для определенных степеней свободы колебаний КС. Отсутствие таких степеней свободы соответствует "схлопыванию" этого интервала, другими словами, удалению интервалов несущественных значений переменной ?.
).
y))
(x))
в нашем случае этот вид бар-индукции ("тупиковой" индукции) описывает процесс удаления не существенных переменных (во всяком случае лишь в определенных интервалах их значений) при получении в итоге истинных формул К. При реализации всех частей этой схемы, ? (интервалы) строятся как функция кортежей x
y, где х - некоторая их часть, следствием которой ранее (см. 2. 3.) был осуществлен выбор переменной ?. Эта переменная в итоговой АМКЛ существует в виде отдельных фрагментов, покрывающих (по состояниям-строкам) весь Х,
= <
>. Фрагменты зависят от наборов различных множеств х, уже вошедших в постепенно достраивающиеся различные формулы К. Элементы y характеризуют эту достройку; пусть она состоит в наращивании ранга r для К, т.е. в переходе от ?(х) к ?(х). Здесь возможен случай, когда этот процесс присоединения кортежей x
y обрезается: после использования последнего значения
искомое множество аргументов (интервал их значений) становится пустым, появляется как бы сигнал запрета (тупика). На этом этапе алгоритма данная переменная отбрасывается и далее стандартным способом К достраивается с помощью иных переменных. Общим следствием бар-индукции является утверждение, что н е в с е функции являются общерекурсивными; это мы и видим в существовании запрета на повторение прежних операций. Физическая интерпретация бар-индукции - это, возможно, затухание колебаний первоначально большей части КС ввиду каких-то пространственных препятствий со стороны соседних КС.
0 следует ?(х
y) = ?(х). Другими словами, при дальнейшем присоединении кортежей функция, например, границы строящегося интервала, остаются постоянными. Мы ограничим действие этого принципа; в нашем алгоритме это явление будет наблюдаться лишь в двух случаях: границы интервала будут оставаться постоянными лишь при выходе значений х вне интервала (он может лишь уменьшаться). Другой случай: граница для ? остается прежней, если при вычислении К (на этапе сопоставления какого-либо целевого состояния со всей окрестностью не целевых) уже исчерпан список всех переменных - они уже все удалены, кроме ?. В этом случае помечаются состояния, на которых К ложна и продолжается далее построение усложненной формулы за счет увеличения ранга конъюнкции К вплоть до истинности соответствующей импликации (предполагается достаточные размеры Х). Далее, функцию ? назовем запирающей, если для всякой функции ? найдется х такое, что
. Здесь под ? мы будем понимать функцию достраивания К (увеличение ранга) вплоть до ее истинного значения. Стабильные запирающие функции назовем непрерывными функционалами К. Непрерывность ? проявляется в том, что значение ?(?) определяется уже по некоторому к о н е ч н о м у фрагменту
функции ?, т.е. происходит непрерывное усложнение гипотезы К, на основе уже накопленного опыта. Обозначим через ??? функцию ? такую, что для всякого натурального ? имеем
другими словами, здесь ? зависит лишь от конечного фрагмента ? для данного шага вычислений
. Теперь сам принцип непрерывности будет выглядеть следующим образом:
есть функторное обозначение (термы для функций).
- --
- --
- --
- --
(в нашем случае а - это процесс последовательного построения интервалов, соответствующих в итоге "непротиворечивым" выводам К). Аксиома 2) - шаг индукции: если а(0) = 0 и для любой "сдвинутой" функции
уже установлено
, то итоговое
. Аксиома 3) отображает идею, что класс К получен "только с помощью индуктивных правил 1) и 2) и никак иначе", т.е. является минимальным замкнутым классом (в нашем случае - "точек", заполняющих интервалы а, при описании алгоритма мы покажем расширение этого правила). Рассматривая наш процесс более детально, можно сказать, что а в нашем случае есть оператор последовательного пересечения некоторых замкнутых классов или построение уменьшающегося "острого конуса" значений переменных для не целевых состояний (см. алгоритм). С физической точки зрения процесс "вычисления" К может соответствовать, например, постепенному установлению совместных колебаний различных конформных состояний для разных димеров тубулина. Отметим еще, что из этих аксиом индуктивно следует, как и ранее, стабильность и запираемость функций из К.
|
|
|?)).
.
, зная который, можно вычислить а такое, что
Алгоритмическая и физическая интерпретация этой аксиомы аналогична 5.2.
,...,
)
,...,
)
,...,
)
, ...,
))).
Эта аксиома гласит, что если ? отлична от остальных беззаконных последовательностей, упоминающихся в условии ?, то все, что известно относительно ? - это некоторое ее начало х. В каждый момент исследователю известна только конечная последовательность для функции ? и ничего более относительно закона ее образования. С физической точки зрения можно сказать, например, что степени свободы колебаний КС не заданы a priori, но формируются под влиянием входных сигналов.
Если же эти числа задаются разными источниками, то исследователь принципиально не имеет возможности установить, то что эти источники одинаковы.
, ...,
)
), где
. По сути дела эта запись означает, что все столбцы-переменные в Х различны и взаимосвязаны (логическая связка "и"). Принцип непрерывности запишем следующим образом:
- в LS отсутствует схема примитивно рекурсивной замкнутости для собственных функций (описания обозначений см. в 2.4.). Здесь же утверждается, что "непрерывное" усложнение конъюнкции К (функционала
) вплоть до получения истинной формулы, достигается более сложным образом: всегда существует на некотором шаге вычислений определенный сигнал z, в зависимости от которого и происходит это непрерывное усложнение К. Забегая вперед отметим, что таким z может быть, в частности, сравнение целевого состояния с первым или последним не целевым состоянием в Х (см. часть 2).
выбирается (из многих) с помощью предварительного определения конструктивных переменных b и d, последнее зависит (как и в 6.5.) от некоторого "сигнала окончания" х.
Ч А С Т Ь 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
М = (В, В
,
?),
В истинны или ложны (для удобства справок по отношению к [1] сохраним здесь именно такие обозначения элементов из М). Пусть В
В - множество целевых значений.
B и обозначим это упорядочение как (B,
). Двухместные операции на В,
и элемент ?? В определим теперь более точно с помощью следующих условий:
a, 2)
3)
5)
7)
9) ?
является точной нижней гранью, которая на числовой прямой лежит между наименьшим элементом конъюнкции и ближайшим к нему слева "чужим" (не целевым) элементом или, в частности, может совпадать с ним. В приводимом далее алгоритме эта грань ? выбирается так, чтобы она совпадала с этим "чужим" элементом. Аналогичное замечание можно сделать относительно дизъюнкции
- точной верхней грани ?, которая, в частности, может проходить по ближайшему справа "чужому" элементу.
) называется псевдобулевой алгеброй (п.б.а.). Если еще выполняется условие 10)
Т, где Т - наибольший элемент,
Т и где
то в этом частном случае п.б.а. будет называться булевой алгеброй. Придерживаясь ранее приведенных неформальных пояснений и несколько забегая вперед, можно сказать, что именно псевдобулева алгебра, возможно, является тем основным исходным формализмом, на основе которого проявляется творческое сознание.
) соответствует упорядочению значений каждого переменного х. Будем далее считать, что строки массивов исходных данных Х и У упорядочены по времени t их реализации (очередная строка записывается ниже). Введем принцип локальности во времени: будем сравнивать каждое целевое состояние из Х (оно задается значениями У) со своей ближайшей окрестностью не целевых состояний. Соответственно, упорядочение (М,
) зададим следующим образом. Будем различать текущие индексы j строк - jt для целевых и jn для не целевых; заметим, что каждой строке соответствует ее время реализации t. Далее будем вычислять абсолютное значение разностей | t(jt) - t(jn)|, где для каждого заданного по порядку t(jt) (сверху вниз по массиву Х) выбирается множество t(jn), соответствующее всем не целевым строкам. Эти разности упорядочиваются, соответственно им конструируется логические матрицы М (их число равно числу целевых состояний).
[x(jt)] = {x(jn) ? M | x(jn)
x(jt)}.
) - шкалой Крипке, т.е. системой упорядочений массивов М, где каждое упорядочение повторяется столько раз, сколько целевых строк в Х.
) существует некоторая функция D, с помощью которой вычисляются границы некоторого (по возможности наиболее часто встречающегося) открытого интервала (?, ?) для данной целевой строки. Так, D реализуется с помощью так называемых вынуждающих условий - значений х(tn), которые выбираются из множеств, соприкасающихся к острому конусу х[jt]. Этот процесс весьма нагляден на числовых прямых для каждого х - не целевые значения х как бы "обрезают" снаружи интервал (?, ?). Аналогично шкале Крипке определим шкалу Бета-Крипке (М,
, D). Отношение
будем называть отношением информативности; так если последующий (по ходу вычислений) интервал будет меньше предыдущего, будем говорить, что он информативнее его - это сжатие интервалов возникает только под влиянием дополнительной информации, что будет видно в дальнейшем при описании самого алгоритма. П.б.а., соответствующую шкале Бета-Крипке будем называть алгеброй Бета-Крипке.
АМКЛ = (B, D, R, Cnst, Fn, Pr)
(определяющие соответственные открытые интервалы). Напомним, что эти константы являются элементами D, но принадлежат к иному классу эквивалентности для Y (к не целевому классу). Функция Fn приписывает значения функциональным символам нашего логико-математического языка
.
T, v
u ("v выбираются позже u"). Для каждого i и точки u
М определяется множество U(i, u)
D (область предметных объектов, известных к моменту u). Объекты, с помощью которых будут конструироваться в нашем случае импликации, будем обозначать через q
U. Зададим функцию F ("алгоритм вычисления единственных значений q"), сопоставляющую каждому функциональному символу f и моменту u некоторое частичное отображение
Область определения
включена во множество U(i1, u)
U(in, u) - здесь имеются ввиду цепочки самой различной длины вплоть до n. Область значений включена в U(i, u), т.е. (во всяком случае на первой стадии вычислений) для некоторого единственного вида i элемента u). На это частичное отображение накладываются следующие условия:
u и определено значение
более раннее значение единственного искомого qi), то определено и значение
поскольку заведомо известен более поздний и более информационный момент v. Кроме того,
(должен вычисляться один и тот же единственный qi);
то существует v
S такое, что определено
т.е. задано правило выбора единственного qi. После этих условий определим
(f1,q1,..., qn, q) =
- это функция, вычисляющая те "предшествующие" элементы острого конуса
за которыми следуют элементы v. При их сопоставлении со строкой сравнения в момент v выдается сигнал "отбросить последнюю переменную, соответствующую объекту q" после этого происходит возврат к моменту u и запоминается q, т.е. те значения первого выбранного переменного х(i1), который будет также и первым элементом гипотезы (в общем случае - первым элементом конъюнкции К). Если эта гипотеза после проверки образует импликацию, истинную на М (и, соответственно, на Х), то происходит переход к следующим целевым строкам jt. Если же эта гипотеза ложна на некоторых jn, то для этой же целевой строки аналогичным образом происходит выделение новых q, но для иных переменных, ранг r конъюнкции (в итоге - импликации) возрастает. Аналогичным образом выделяются конъюнкции (как истинные формулы) по всем целевым строкам, они объединяются логическими связками "или", и вся сложная формула соединяется связкою "если, то" с целевыми значениями У. Можно сказать, что функция Fn в итоге приписывает значения этим функциональным символам используемого языка ?, т.е. вычисляется, какие именно переменные (по ходу вычислений) какими символами должны быть соединены.
М выполняются условия: 1) a
Da, 2) a
3) DDa = Da. Элемент a назовем полным, если а = Da. Множество всех полных элементов М обозначим через С(М). В этом случае потребуем еще выполнения условия 4)
, если
Таким образом, полные элементы (интервалы) Da или Db как бы размазаны по числовой оси до своих ближайших соседей. В итоге Pr определяется как функция, вычисляющая множество интервалов вида
соответствующих каждому частичному выводу для определенной целевой строки.
x], [min y, max y] для каждого вывода (элементарной импликации К) по указанию пользователя.
= x
& x
&...x
Z, где x
- области определения для х .