"Теория катастроф": интерпретация основных понятийс помощью алгоритма построения АМКЛ
При исследовании сложных объектов с помощью интуиционистских моделей математической логики [1, 2, 3] и, в частности, алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики (АМКЛ), обращает на себя внимание следующий факт. Интуиционистские модели могут быть истолкованы (в виде приближенного отображения действительности) как возможные состояния знания некоторого познающего субъекта, как модели творческого сознания. С помощью самой структуры или способа построения этих моделей удалось показать достаточно интересные алгоритмические интерпретации основ квантовой теории, теории калибровочных полей и общей теории относительности; квантовой теории калибровочных полей, квантовой теории гравитации, редукции квантованных когерентных состояний ультраструктур нейронов мозга, особых состояний сознания, структуры качественных выводов из астрономической модели Керра; удалось сопоставить структуру Нагорной проповеди и библейских заповедей с этапами построения АМКЛ [4], а также некоторые другие интерпретации (особенно в области медицины, см. эл. б-ки после списка литературы).
Возможно, любую интересную и сложную область познания можно интерпретировать с помощью этих достаточно гибких по своему построению интуиционистских моделей АМКЛ (далее будем писать иногда просто "моделей" или М). Формализация этого подхода может по мере накопления опыта и новых данных постепенно уточняться и специализироваться при изучении отдельных областей знания. Можно рассматривать эти модели как некоторый "переводчик" терминов, взятых из специализированных областей знания на язык построения М; они являются как бы некоторым формализованным познающим субъектом. Познание здесь осуществляется в виде алгебраических моделей интуиционистской логики (моделей Бета-Крипке). Такие М при практическом их использовании отображают динамику состояний ("свободно становящиеся последовательности" [3]), или динамику знания некоторого познающего субъекта (алгоритма вычисления АМКЛ). Приведем краткое описание этого алгоритма, детальное описание и множество примеров приведено в [1].
В исходном массиве действительных (или комплексных) чисел или чисел k-значной логики) Х(n+1, m), где n - число переменных (столбцов в Х) и m - число состояний t (строк), записанных в порядке течения времени t, выделяется один или несколько столбцов Y, для которых Y = f(X). В дальнейшем для краткости этот массив (базу данных) будем записывать как (Х, Y, t), где t - время (или порядковый номер строки или в иных случаях номер индивида). Значения Y разбиваются на k частей (обычно на 2 по медиане), и эти значения кодируются, например, в виде булевой функции Z = (0, 1), где 0 - нецелевые состояния и 1 - целевые. Далее каждое состояние (строки в Х), которому задано определенное целевое значение Z, сравнивается со всей своей окрестностью нецелевых состояний, начиная с ближайших. Строятся конъюнкции К* (переменные соединены логическими связками "и", &) малого числа r открытых интервалов dx значений переменных для целевого состояния; r будем называть рангом конъюнкции К*. Итоговые К** (по всем целевым состояниям) вычисляются таким образом, чтобы К** были бы простыми импликациями (логические связки "если, то", -->), истинными формулами для Z, например: "если К**, то Z = 1" (иногда эти импликации будем называть исходными М). Примем также (это наше семантическое соглашение), что вычисление К* относится к функции подсознания, а К** и далее по алгоритму - функции сознания. Затем вычисляются оценки Г для каждой К** (число состояний, где встречается данная К**). Далее строятся тупиковые дизъюнктивные формы (АМКЛ) для каждого из Z = (0, 1) в отдельности. Начиная с наибольшей Г отбираются эти К и объединяются логическими связками "или" (V); предварительно отбрасываются те из них, множества состояний которых ("покрытия", множества номеров строк) уже входят в объединение покрытий ранее отобранных итоговых К (т. е. строится тупиковая дизъюнктивная форма или итоговая М). Далее все вышеприведенные аналогичные операции совершаются и в отношении нецелевых состояний. "Целевым" значением здесь становится Z = 0; соответствующее объединенное посредством связок V множество К присоединяется в скобках к целевому множеству К посредством связки V и константы " - " ("ложь", "отрицание").
В некоторых случаях требуется построение вероятностной модели. Для этого все частичные пересечения двух или более К обозначаются как новые К, оставшиеся множества и эти новые К вновь упорядочиваются по их Г, переиндексируются и подсчитываются итоговые Г и Г/m. Эти частоты в сумме дают единицу.
После вычисления модели обычно проводится ее интерпретация (обычно с помощью подходящих информационно-поисковых систем) - сопоставление с уже известными более общими теориями, в которые К входят как подмножества (поиск "мажоранты", "наводящих соображений", "пояснений" [5]). Иногда вычисляется также контекст отдельных наиболее интересных итоговых К, входящих в тупиковую форму. Это замкнутые интервалы значений всех переменных, не включенных в данную К, т. е. только для "своих" Г строк-состояний (для "покрытия" этой К). Интерпретация контекста (вместе с К) соответствует возможному "объяснению" функций Z и также несущественных переменных. При необходимости аналитического отображения логической модели производится аппроксимация всех подмножеств значений (х, у) для каждого К обобщенными рядами Эрмита или Фурье [1, 2, 6]. Будем считать, что мы потенциально имеем возможность отслеживать и сохранять в памяти компьютера весьма большие, но конечные массивы числовой содержательной информации, которая отображает доступный нам смысл исследуемого процесса.
Во многих часто встречающихся случаях Y = (у1, у2, ...) является многокритериальной функцией для Х (алгоритм см. в [1]). В более общем случае можно считать, что Х является массивом всей доступной информации, как бы некоторый текст (в динамике, по строкам), посредством которого исследуемый объект обменивается информацией с исследователем. Номера соответствующих переменных ("слов", столбцов массива Х), являются обычно некоторым ограниченным словарем, тезаурусом. При этом, вообще говоря, каждое слово из этого словаря можно задать в качестве функции цели у относительно оставшейся части Х. Все дело заключается в том, в каком контексте (смысле) проводится исследование. Более того, иногда даже конкретная цель для исследователя не совсем ясна. В этом случае можно вычислить некоторое множество моделей для "обзорного" множества у и отобрать модель, для которой информационная энтропия меньше - практически, можно предпочесть модель, которая содержит меньшее число выводов К с оценками Г = 1. Конечно, далее если возможно, следует с помощью информационно-поисковых средств интерпретировать полученную модель, а иногда и отбросить неинтересные тавтологии, которые неожиданно выявляются при тесной корреляции у с некоторыми сходными (с у) по смыслу переменными. Затем, если это требуется, уже строится модель для многокритериального Y. Еще отметим, что при исследовании объектов в динамике в массив исходных данных можно включать информацию (модели, в том числе и их Y), полученные на предыдущем шаге исследования (модели с "памятью"). Особенно это характерно при исследовании конфликтующих структур(дипломатия, разведка, информационное воздействие на социальные структуры...), при этом обычно Y отображается в виде значений k-значной логики.
Сами модели АМКЛ в динамике (с контекстами) являются как бы некоторым кинофильмом, отображающим поведение исследуемого объекта, который можно видеть с запаздыванием, зависящим от времени передачи исходных данных и всех вычислений. Вычисляемые итоговые импликации К (отдельные модели из АМКЛ) отображают здесь изменения во времени исследуемого объекта (или субъекта). В случае прогнозирования поведения объекта в будущем, входные данные должны включать также некоторые временные переменные: скорости, ускорения и т. п. Весьма часто такие процессы идут с обратной связью - Y зависит не только от значений входных переменных и Y в данный момент времени, но также и от более ранних их значений. При прогнозировании удобно использовать также аппроксимацию всех подмножеств значений (х, у) для каждого К обобщенными рядами Фурье или Эрмита - поведение объекта отображается как бы в виде "голографической интерференции" различных волн или в виде некоторых "пакетов" волн.
Будем считать, что на первом этапе исследования всевозможных текстов по заданной теме уже вычислены модели, которые распознают в этих произведениях ситуации, отображаемые в итоге некоторыми наборами научных, психологических, философских, религиозных понятий или иных обобщенных выводов, часто обозначаемых определенными терминами. Приведем далее список возможных семантических соглашений (интерпретаций результатов функционирования самого алгоритма построения АМКЛ), которые в итоге приписывают как самому алгоритму построения, так и различным параметрам модели, записанной в общем виде (например, функционалам К и Г) их определенные смысловые значения в различных ситуациях. Эти соглашения могут уточняться по мере накопления новых сведений о применении этих соглашений в определенной содержательной области. Следует отметить, что, возможно, лишь интуиционистские модели в настоящее время позволяют как бы более тонко "настроить" способы понимания, семантику получаемых выводов из моделей, относящихся к определенному содержательному виду. Будем записывать (жирным курсивом) далее нумерованный список по теме статьи некоторых сложных высказываний и понятий различных цитируемых авторов. Эти высказывания будем сопоставлять с различными стадиями функционирующего алгоритма или с наличием различных параметров модели (здесь как бы составляется словарь заранее согласованного "перевода" слов с одного языка на другой). Ссылка на литературу для каждого элемента списка приводится лишь один раз - она относится и к последующим элементам списка, вплоть до очередной новой ссылки (но внутри поясняющего текста могут быть свои ссылки). Приводимые ниже элементы списка следуют ходу изложения текста цитируемых авторов. В этом списке и в соответствующих интерпретациях даются по возможности лишь краткие определения различных терминов. Их более точный смысл следует искать в контексте всей статьи. Далее в интерпретациях курсивом выделяются термины и высказывания, поясняющие, например, с точки зрения психологии эти термины (или когда приводятся примеры). Иногда курсив применяется просто для выделения смысла слов.
1. В теории особенностей функции заменены гладкими отображениями, т.е. наборами нескольких функций нескольких переменных [7].- Исследуемый объект может быть отображен гладкими, бесконечно непрерывно дифференцируемыми функциями. Например, после вычисления АМКЛ - некоторым набором обобщенных рядов Эрмита или Фурье (для каждого К свой ряд). Пусть имеется возможность непрерывного слежения за объектом с весьма частой записью его состояний (строк массива данных), т.е. существует потенциальная возможность непрерывного отображения (записи) объекта в виде такого массива. Эту запись можно представить как бы некоторой проекцией объекта на плоскость.
2. Бифуркация. - Основная часть алгоритма построения модели по сути дела является набором конечного числа правил уменьшения и в итоге ликвидации ("схлопывания") некоторых одномерных интервалов dx и правил перехода (дифуркация) к построению интервалов иных определенных dx для построения К* и дальнейшего вычисления К**(для первого выбранного целевого состояния). Далее происходит переход к следующему целевому состоянию, где подобным образом вычисляются К* и К**; в итоге вычисляется сокращенный набор различных К, т.е. вычисляется тупиковая дизъюнктивная форма (модель). Для достаточно большого Х на разных этапах функционирования алгоритма всегда возможно возникновение состояния неопределенности, когда исчерпаны все правила выбора дальнейшего единственного пути. В этих случаях необходимо дальнейшее усложнение этих правил.
3. Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. - Скачкообразные переходы от импликации K(t1) к K(t2) ... и т.д., отображающие поведение объекта исследования во времени.
4. Малое шевеление тел. - Переход объекта к последующему ближайшему состоянию.
5. Фазовое пространство.- Состояния t (строки массива (Х, Y, t)) можно рассматривать также как точки некоторого фазового пространства, которое определяется не только значениями xi, но также и соответствующими значениями "импульсов" pi. Последние определим как произведение скорости изменения во времени xi по отношению к ближайшей очередной строке (для любого состояния - целевого или нецелевого) на величину оценки Г для К, покрытие которой включает в себя данное состояние t1: pi(t1) = {(xi(t2) - xi(t1))/(t2 - t1)}Г. В самом общем случае исследователей интересует не только содержательная интерпретация вычисляемых моделей, но и количество информации, которую они содержат. Модели, т.е. дизъюнктивные тупиковые формы, имеют наименьший ранг r конъюнкций (импликаций) К и наименьшее число самих К. Выберем в качестве функции Гамильтона информацию, содержащуюся в уже вычисленных до определенного момента времени t АМКЛ. Пусть эта информация выражена в подходящих единицах. Уравнения Гамильтона, точнее, некоторый их аналог в конечных разностях, позволяют далее описывать информационную эволюцию во времени исследуемого объекта (см. также [8]). В терминах фазового пространства, АМКЛ в виде обобщенных рядов Эрмита или Фурье есть наборы последовательно переходящих друг в друга аттракторов К, которые можно исследовать традиционными методами.
6. Теория особенностей Уитни. Отображение гладкой поверхности на плоскость. - Пусть модели отображены в виде обобщенных рядов Эрмита или Фурье. Геометрию их гладкой многомерной поверхности можно представить в виде как бы некоторой "амебы" с многочисленными отростками для К, соответствующих большим Y и впадинами, соответствующих К для малых Y (разбиение обычно проводится по медиане значений Y). Напомним, что полученные гладкие поверхности являются регрессионными поверхностями: они проходят через "облака" точек t, соответствующих каждой К так, чтобы минимизировать квадраты отклонений от этой поверхности. При небольшой деформации объекта, когда его поверхность проходит вблизи каких-то иных точек в этом "облаке" (при небольшом "покачивании" или вращении объекта), модель остается той же, она устойчива. Пусть вершина "отростка", находящегося, например, наверху объекта, немного наклоняется в сторону. При проектировании окружности, находящейся чуть ниже вершины, на плоскость под таким объектом (при его "шевелении") на соответствующем графике получаем "складку".
Далее, пусть образ нашего объекта близок к сфере, радиус которой равен медиане Y, и сама поверхность этой сферы обладает некоторой жесткостью - при небольших изменениях поверхности на ней появляются неровности, выпуклости и впадины, соответствующие К, отображающие большие и малые Y, соответственно. При проекции такой сферы на плоскость с соответствующими координатами получаем графики "сборок" на такой измененной сфере; при небольшом "покачивании" этой сферы ее модель остается той же - она устойчива. Заметим, что при отмеченных выше условиях проекциям на плоскость полностью соответствует сама запись массива данных, где столбцы - переменные, принимающие некоторые новые значения, при которых исходная модель сохраняется - она устойчива при малом "шевелении" такой сферы. Здесь еще заметим, что алгоритм построения АМКЛ непосредственно, сам по себе "настроен" на выявление скачкообразных переходов во времени в различные К ("катастрофы").
7. Область устойчивости располагается "углами наружу", вклиниваясь в область неустойчивости. - Согласно алгоритму строится множество многомерных открытых интервалов dx целевых значений переменных (в итоге они будут соответствовать областям определения К). Эти интервалы в пределе примыкают (но не совпадают) с ближайшими нецелевыми значениями х - левые и правые части этих интервалов от "своих" точек х до примыкания к "чужим" х является открытыми зонами. В эти зоны при динамике слежения за объектом могут попадать и "чужие" х. В этом случае объект оказывается в зоне неустойчивости. Далее происходит процесс "переучивания" - строится новая модель.
8. Точки возврата. - Согласно алгоритму построения АМКЛ при выделении интервала очередной единственной переменной (их конъюнкция впоследствии дает "всегда истинную формулу" К), обычно наступает момент "схлопывания" этого интервала. Делается шаг назад, конъюнкция К* уже найденных интервалов проверяется на истинность по всему массиву данных: К* --> Z = 1, помечаются противоречащие состояния. Далее происходит аналогичный процесс (для оставшихся переменных и помеченных состояний) выделения интервала для очередной единственной переменной и т. д. до получения истинной импликации К.
9. Распространение некоторых возмущений (волнового фронта). - См. п. 8. В записи массива данных для каждого его столбца, "луча" (т.е. для каждой переменной) по ходу времени, вниз, пробегает волна возмущения - сжатие соответствующего "своего" интервала dx. Точки возврата на этом фронте фиксируются.
10. Огибающая семейства лучей (возмущений) называется каустикой ("жгущей"). - Множество всех уже вычисленных К**. По-видимому, здесь наибольшее значение имеют итоговые К с максимальными оценками Г (как для Z = 1, так и для Z = 0).
11. В комплексном случае вместо того, чтобы проходить через критическое значение, нужно обходить вокруг него. Комплексным аналогом вещественного понятия "край" является "разветвленное накрытие". - Здесь, прежде всего, отметим, что обычно введение комплексных чисел упрощает задачу, например, сокращение размерности исходного массива данных вдвое - в том случае, когда лишь требуется получить модель в аналитическом виде и когда качественная интерпретация такой модели не требуется. Однако наибольшая ценность АМКЛ состоит именно в возможности такой интерпретации, для обеспечения которой используется некоторая посторонняя, априорная информация. По-видимому, здесь заранее возможны связи (известных априори) лишь для некоторых пар переменных в виде комплексных чисел.
В самом же общем случае опять обратимся к алгоритму последовательного, шаг за шагом выделения очередной переменной х при построении конъюнкций К*, см. п. 8. В локальном смысле здесь реализуется определенный функционал (алгоритм), посредством которого происходит выбор вполне определенной (обусловленной алгоритмом) х2 после такого же выбора предыдущей х1, т.е. происходит заранее обусловленная алгоритмом связка именно этих двух переменных и т.д. Другими словами, в неявном виде здесь происходит генерация цепочки локальных комплексных чисел: c1 = a1x1i + b1x2j, с2 = a2x3i + b2x4j ..., и т.д. вплоть до построения К**. В некоторый момент времени происходит "схлопывание" строящегося интервала dx, он становится пустым, делается шаг назад ("точка возврата", "край" локального множества х). Далее происходит "ветвление" - поиск иной х, увеличение ранга строящейся К* и т.д. Таким образом, здесь алгоритм "обходит вокруг" критического значения dx = 0 и в результате строится "разветвленное накрытие" всех, например, целевых состояний - строится множество К**. Далее для анализа модели объекта в принципе могут использоваться стандартные методы теории особенностей.
12. Разбиение состояний объекта на классы. Состояние назовем простым, если все близкие к нему состояния принадлежат к конечному набору классов. Требование простоты. - Наиболее эффективным (для интерпретации объекта) является разбиение всех состояний объекта на два класса по медиане значений Y. Разбиение на большое число классов для этих целей (например, на m классов, где m - число всех состояний в массиве данных) обычно не эффективно. Требование отделимости ближайших к медиане состояний от значения самой медианы. При отсутствии такой отделимости, например, при длительном слежении за объектом вводятся дополнительные правила разбиения состояний, которые привели бы к требуемой отделимости, например, при совпадении некоторых t с медианой пусть выполняется соглашение - эти t относятся к Z = 0.
13. При жестком плане управления система теряет устойчивость и самоуничтожается. Введение обратной связи стабилизирует ее. - Со временем старая модель перестает быть истинной по самым различным причинам. Возникает необходимость "переучивания" модели не только при сохранении старого списка переменных х ("словаря") и старого алгоритма ("грамматики"), но и, возможно, при увеличении списка х (или даже при удалении некоторых явно "шумящих" х) и/или при изменении самого алгоритма построения АМКЛ.
14. Качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они меньше зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и численные параметры могут быть недостаточно известными. - Алгоритм построения АМКЛ как раз и делает эти выводы (предикаты). Большинство статей автора посвящено именно этой проблеме - получению более обоснованных качественных выводов при исследовании сложных объектов и, в возможных ситуациях, более надежного их управления с помощью математической (интуиционистской) логики.
Литература
1. Щеглов В.Н. Творческое сознание: интуиционизм, алгоритмы и модели. - Тула: "Гриф и К", 2004. - 201 с. (см. http://publ.lib.ru).
2. Щеглов В.Н. Творческое сознание: интерпретация алгоритма построения алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики, 2007. - 12 с. (см. Интернет).
3. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. - М.: "Наука", 1979. - 256 с.
4. Щеглов В.Н. Нагорная проповедь: сопоставление с алгоритмом построения алгебраических моделей интуиционистской логики, 2008. - 9 с. (см Интернет).
5. Шанин Н.А. Об иерархии способов понимания суждений в конструктивной математике// Труды математического института имени В. А. Стеклова, CXXIX // Проблемы конструктивного направления в математике, 6. - Л.: "Наука", 1973. - С. 203 - 266.
6. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. - М.: Мир, 1976. - 312 с.
7. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: "Наука", 1990. - 128 с.
8. Пенроуз Р. Новый ум короля. - М.: Едиториал УРРС, - 384 с.
См. публикации автора в Интернете: http://lib.ru ("Самиздат", "Щ"), http://publ.lib.ru (здесь также статьи с формулами), http://shcheglov.livejournal.com/ (ссылки на новые статьи). Мой фотоальбом1: http://4put.ru/pics/u_135/, мои фотоальбомы 2, 3, 4: http://shcheglov.gallery.ru. Эл. почта: corolev32@mail.ru, тел. 8 905 119 70 97.