(a ∙ b) = |a| ∙ |b| ∙ cos(a, b) - cкалярное произведение векторов a и b,
[a, b] = |a| ∙ |b| ∙ sin(a, b) ∙ n - векторное произведение векторов a и b,
n - единичный вектор перпендикулярно плоскости векторов a и b.
)
I. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ:
На плоскости Oxy задана векторная функция
f( r ) = (- x ∙ y ∙ i + x2 ∙ j) / |r|3 = fx ∙ i + fy ∙ j (1)
где i, j - единичные векторы (орты) вдоль горизонтальной Ox и вертикальной Oy осей соответственно,
r - радиус-вектор из центра координат O в точку С с координатами (x, y),
так что r = x ∙ i + y ∙ j.
А. Доказать потенциальность функции f( r ), т.е. тот факт, что интеграл
от f( r ), взятый вдоль кривой ACG (рис. 1), зависит только от координат
точек A и G, но не от того, какой кривой мы их соединили.
Б. Найти для f( r ) потенциальную функцию F(r ), то есть такую, что
f( r ) = grad F(r ) = (dF / dx) ∙ i + (dF / dy) ∙ j (2)
II. Предварительные замечания.
Откроем [1] и на странице 177 найдём формулировку (без доказательства) следующей теоремы: "
Для того, чтобы интеграл от векторной функции f( r ) на плоскости не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
dfx / dy = dfy / dx. " (3)
Я проверил это равенство в применении к (1) - оно выполняется. Расчет производных довольно занудный. К тому же вопрос "Б" при этом остаётся открытым. Хочется найти более изящный способ решения задачи. И он есть!
III. Физическое решение задачи.
Перейдём в новую систему координат, в которой произвольная точка С
характеризуется своим расстоянием до центра системы координат точки О
и углом Ф между вектором r = OC и осью Oу. По формулам элементарной
тригонометрии, тогда
f( r ) = (- sinФ ∙ cosФ ∙ i + sin2Ф ∙ j) / |r|, (4)
Однако переход в новую СК означает не только преобразование переменных,
но и преобразование ортов. Вместо "горизонтального" орта i и "вертикального" - j,
нам теперь нужен орт e1, направленный вдоль r = OC и перпендикулярный ему
(повернутый относительно e1 против часовой стрелки) орт e2.
Формулы преобразований от пары старых к паре новых ортов выписаны в любом
справочнике по математике, но их легко вывести и самому:
e1 = sinФ ∙ i + cosФ ∙ j, (5а)
e2 = - cosФ ∙ i + sinФ ∙ j. (5б)
(Легко найти и формулы для обратных преобразований ортов, но нам они пока не понадобятся)
Записав (5а) как
sinФ ∙ i = e1 - cosФ ∙ j,
и подставив эту формулу в (4), получим
f( r ) = (j - cosФ ∙ e1) / |r|, (6)
Теперь рассмотрим бесконечно длинную железную иглу, ориентированную вертикально так, что её остриё совпадает с центром координат точкой О (рис. 2). Игла намагничена "вверх", и, соответственно, в точке О находится её северный полюс. В той-же плоскости Oxy, что и ранее, расположим замкнутый проволочный виток ACGC'A. Будем крутить плоскость Oxy вместе с витком ACGC'A вокруг оси Oy с какой-то угловой скоростью W
(W = |W| ∙ j).
Чему равна величина Е Э.Д.С. индукции Фарадея, возникающая при этом в витке ACGC'А? Нулю, очевидно!
Поскольку
E = - dФ' / dt (7)
где Ф' - магнитный поток через замкнутую поверхность ACGC'A (приходится снабдить штрихом стандартный символ магнитного потока, чтобы не путать его с углом Ф, введённым ранее), а Ф' = 0 всё время вращения (силовые линии магнитной индукции B( r) полюса иглы лежат в плоскости витка).
Производная функции "тождественный ноль" - тождественный ноль! Е = 0!
Теперь вспомним строгое определение Э.Д.С. - это величина работы сторонних сил при обходе единичного заряда q = 1 по замкнутому контуру ACGC'A. (Математически - формула (1) на рисунке вверху справа.)
В роли сторонней силы в данном случае выступает сила Лоренца
Fл = q ∙ [v( r); B( r)] (8)
где v( r) = [W; r] - вектор скорости вращения участка контура длиной dh с центром в точке С вокруг оси Oy. Таким образом, равен нулю интеграл по замкнутому контуру ACGC'A от выражения
f( r ) = [v( r); B( r)] = [[W; r]; B( r)] (9)
Преобразуя двойное векторное произведение через сумму скалярных произведений по известной формуле векторного анализа
[[a; b]; c] = b ∙ (a ∙ c) - c ∙ (a ∙ b)
приведём (9) к виду
f( r ) = W ∙ (B( r) ∙ r) - r ∙ (B( r) ∙ W) (10)
Наконец, вспоминая выражение для магнитной индукции поля северного полюса магнита-иглы
B( r) = (1 / r2) ∙ e1 (11)
и подставляя (11) в (10), получим
f( r ) = |W| ∙ (j - cosФ ∙ e1) / |r|
что с точностью до несущественной константы совпадает с (6). Таким образом, интеграл
по замкнутой кривой от f( r ) есть ноль, что эквивалентно утверждению о потенциальности f( r ). Утверждение "А" из условия доказано.
Теперь для вычисления потенциала нужно взять кривую интегрирования поудобнее.
Оптимально рассмотреть ломаную, состоящую из отрезка прямой вдоль радиуса ОА от точки А до окружности длиной OG и дуги этой окружности до точки G (не показано, чтобы не загромождать рисунок). ЭДС на первом участке, очевидно, ноль и нам надо проинтегрировать (6) только по вышеупомянутой дуге.
Для этого запишем обратные преобразования ортов:
i = sinФ ∙ e1 - cosФ ∙ e2, (12а)
j = cosФ ∙ e1 + sinФ ∙ e2. (12б)
и, подставив (12б) в (6), преобразуем (6) к виду
f( r ) = (sinФ ∙ e2) / |r|, (13)
Нам нужно взять интеграл от (13) вдоль кривой (дуги окружности), то есть вычислить сумму скалярных произведений
dF = f( r ) ∙ dh = (sinФ / |r|) ∙ (dh ∙ e2),
где dh - бесконечно малый вектор, соединяющий 2 соседние точки на кривой ACG.
Для дуги окружности, скалярное произведение векторов (dh ∙ e2) совпадает с произведением их модулей, так что
(dh ∙ e2) = |r| ∙ dФ
где dФ - угол, "заметаемый" точкой С при перемещении вдоль дуги окружности (для кривой ACG на рисунке 1, dФ - отрицательное число).
Таким образом,
dF = sinФ ∙ dФ, (14)
Полученное выражение (14) интегрируется элементарно, давая разность значений
потенциальной функции F(r ) в конечной ("G") и начальной ("A") точках плоскости:
F(G) - F(A) = cosФ(G) - cosФ(A) (15)
Легко возвратиться в Декартову систему и записать окончательный результат как
F(r ) = y / |r|.
Любитель математики может в своё удовольствие посчитать и проверить, что, действительно
dF(x, y ) / dx = - (x ∙ y) / |r|3
(слагаемое перед "i" в (1)), а
dF(x, y ) / dу = x2 / |r|3
(слагаемое перед "j" в (1)), как и должно быть для потенциальной функции.
Резюме: не преподаю математику с 1998 года, но уверен, что задача в задачниках по матанализу есть. А вот насчёт именно предложенного способа решения, такой уверенности нет. Поэтому я и решил выставить его на всеобщее обозрение - может, какому-то студенту когда-нибудь пригодится.
[1] Г. Корн, Т. Корн, "Справочник по математике", М.: "Наука, 1979, 830 с.
P.S. а вот ещё одна чисто математическая задачка:
доказать, что
P1 + P2 + P3 = 1 (16)
где
Р1 = (th(a - b) / th(a + b))2
Р2 = (th 2a ∙ th 2b) / (th(a + b) ∙ ch(a - b) )2
Р3 = (th 2a ∙ th 2b) ∙ (th(a - b) / sh(a + b))2
Здесь "а" и "b" - произвольные действительные числа,
sh, ch и th - гиперболические синус, косинус и тангенс соответственно. Любитель алгебры может вдоволь потешиться, проверяя монстрообразную формулу (16) для произвольных действительных а и b. Я обнаружил (16) в 1984 году. Сейчас, много лет спустя, уже не помню, как мне удалось доказать (16)
![[]](/img/s/sazonow_s_n/gradient/1126.jpg)