Опря В. Р.

Теория относительности, как топология времени

В этом файле выложена только глава, которая сейчас пишется.

Если Вы хотите посмотреть весь текст, перейдите по ссылке:. Теория относительности, как топология времени

6. Движение тел в пространственно-временном континууме

6.1 Сокращение размеров тел

В источниках по теории относительности обычно указывается, что размер движущихся тел в направлении их движения уменьшаются. Мне встречались разные описания данного эффекта. Например, такое. Если представить себе электрон в виде шарика, то при движении с большой скоростью он становится похожим на эллипсоид, а при движении со скоростью очень близкой к скорости света становится похожим на плоский диск.

Наиболее показателен в отношении сокращения размеров тел в направлении их движения связанный с этим парадокс. Ландау в книге "Что такое теория относительности" приводит другой образ (Ландау Л. Д., Румер Ю. Б. Л22 Что такое теория относительности. 3-е, доп. Изд. М., "Сов. Россия", 1975.). Он описывает поезд, длина которого совпадает с длиной платформы, когда этот поезд на ней стоит. А вот когда этот же самый поезд проносится по рельсам мимо платформы со скоростью близкой к скорости света, пассажиры этого поезда ясно видят, что размер платформы меньше размеров поезда. В то же самое время, люди, которые находятся на самой платформе, так же ясно увидят, что сократился размер поезда.

В некоторых источниках этот парадокс описывается как пролет космических кораблей одинакового размера навстречу друг другу со скоростью близкой к скорости света. Но все происходящее, совершенно аналогично. Пролетая со скоростью близкой к скорости света, мимо другого корабля, каждый из космонавтов увидит, что другой корабль меньше его собственного. И это не визуальная иллюзия. Измерение при помощи приборов покажет, что длина встречного корабля действительно сократилась.

Давайте проведем эксперимент. Пусть на носу и в хвостовой части обоих кораблей работает сверхскоростная видеокамера. Пусть также, с каждой из этих видеокамер будут связаны точные электронные часы, и показания часов записываются на изображении. Тогда после пролета одного корабля мимо другого останутся две видеозаписи. Сравнив эти видеозаписи пилот первого корабля будет утверждать, что был момент, когда хвост второго корабля уже пролетел мимо носа первого, но нос второго корабля еще не достиг хвоста первого корабля. Так, как это показано на рисунке 80. Камеры четко фиксируют событие, когда корабли поравнялись, и оказалось, что второй корабль короче первого и находится между видеокамерами. Конечно, с точки зрения классической физики весьма необычно то, что движущийся объект оказывается меньше его действительного размера. Однако это можно расценить как весьма необычный физический закон.

Парадокс заключается в том, что пилот второго корабля, сделав точно такую же видеозапись, может доказать, что в момент пролета первый корабль был меньше второго. Видеокамеры, установленные на втором космическом корабле, зафиксируют момент, когда первый корабль будет находиться между камерами, как на рисунке 81.

Ландау, в упомянутой выше книге, в примере с поездом и платформой, пишет: "Мы видим, что на правом рисунке платформа длиннее поезда, а на левом - поезд длиннее платформы. Какая из этих картин соответствует действительности? Вопрос ... лишен смысла. И то и другое - картины одной и той же объективной действительности, "сфотографированные" с разных точек зрения".

Это авторитетное мнение. Но причины данного явления, в комментариях Ландау совершенно не раскрыты. Отчасти это понятно, данная книга является популярным изданием. Но неужели все так сложно, что только в специальной литературе можно объяснить происходящее?

Вовсе нет! Весьма оригинально этот парадокс был описан в статье, опубликованной в первой половине 80-х годов в журнале Юный Техник в статье, предназначенной для школьников. В напечатанной там статье, рассматривались карандаш и коробка для карандашей, которая соответствует карандашу по размеру. У коробки были открыты торцевые стороны, так, чтобы карандаш мог пролететь сквозь коробку. Затем предполагалось, что карандаш и коробка движутся относительно друг друга со скоростью близкой к скорости света.

Теперь, если мы будем наблюдать происходящее с точки зрения коробки, при движении карандаш сокращается в размерах. Окажется, что есть момент, когда карандаш пролетает сквозь коробку, когда можно на короткое время закрыть торцевые стороны так, что карандаш окажется внутри коробки (рис. 82).

А вот, с точки зрения карандаша, в размерах сокращается коробка и она оказывается меньше карандаша, поэтому, когда карандаш пролетает сквозь коробку, его размер больше размера коробки, поэтому, невозможно одновременно закрыть обе стороны коробки так, чтобы карандаш оказался внутри нее (рис. 83).

В такой формулировке этого парадокса, очевидно, что происходящее противоречит не только законам классической физики, но и элементарным законам логики. Так, где же ошибка? Ошибка в том, что процессы относительного замедления времени, относительного сокращения размеров и изменение относительной одновременности в большинстве источников по теории относительности рассматриваются раздельно, как разные процессы. На самом деле это различные проявления одного процесса и, для его понимания, должны рассматриваться вместе.

Если с точки зрения коробки, то есть, в системе отсчета коробки, на рисунке 82 торцевые стороны коробки закрываются одновременно, то с точки зрения карандаша, движущегося относительно коробки, все обстоит совершенно иначе. Наблюдатель, движущийся в одной системе отсчета с карандашом (рис. 83), увидит следующее. Карандаш влетает в коробку, затем, когда его передний конец приближается к ее дальней стороне, перед ним быстро закрывается, а затем открывается торец. Потом передний конец карандаша вылетает из коробки. После этого в коробку влетает задняя часть карандаша и уже после этого вслед за карандашом быстро закрывается, а затем открывается торец. То есть, те события, которые в системе отсчета коробки произошли одновременно, в системе отсчета карандаша происходят в разное время.

В таком виде, описание происходящего уже ближе к истине, но все равно еще не полное. Остается непонятным причина, по которой события происходят в разные моменты времени, почему именно в таком порядке и почему вообще происходит сокращение движущегося относительно коробки карандаша.

Для того чтобы рассмотреть это явление более подробно, требуется рассмотреть движение карандаша на схеме в декартовых координатах в системе отсчета коробки (рис. 84). На этом рисунке карандаш двигается с классической скоростью

v = с th |φ| = Δl/Δt.

В частности, это видно по траектории движения точки B. Эта точка движется по прямой t', мировой линией точки B, по терминологии, принятой в теории относительности.

Для наблюдателя, принадлежащего системе отсчета карандаша, прямая t' является осью времени. Следовательно, пространственная ось ix' будет расположена под прямым углом к оси t', так как это изображено на рисунке.

И именно вдоль оси ix' наблюдатель в системе отсчета карандаша будет отмечать одновременность событий. То есть, он будет считать, что события B₁ и A₁ произошли одновременно. А чуть позже одновременно произошли события B₂ и A₂. Но и все физические явления он будет воспринимать в соответствии именно с этой системой отсчета. Поэтому, если он будет измерять длину карандаша, то делать это он будет вдоль оси ix'. И именно вдоль этой оси он измерит истинную длину карандаша.

С точки зрения наблюдателя в системе отсчета коробки все выглядит так, как будто карандаш развернут в пространственно-временном континууме и его передняя часть опережает во времени заднюю. Так ли это в действительности, или это только математическая абстракция, это другое дело. Но если это в действительности так, то из этого следует, что существует не только настоящий момент, а настоящее, прошлое и будущее сосуществуют. Современной физикой сосуществование прошлого, будущего и настоящего, не доказано, отчасти поэтому, физики говорят просто о сокращении длины, замедлении времени и относительности одновременности, используя образ поворота только как удобную математическую абстракцию.

Теперь посмотрим как происходящее видно с точки зрения коробки от карандашей (рис. 85). Если на концах и в середине карандаша расположить часы, которое бы были видны наблюдателю в системе отсчета коробки, то он увидит на этих часах разное время. Так, например, в тот момент времени, когда можно закрыть торцы Y и X, наблюдатель увидит на часах на носу время t₁ (точка A₁), в центре время t₂, а в задней части время t₃ (точка B₃).

Это выглядит так, что в то время, когда наблюдатель в системе отсчета коробки наблюдает точку B₃, соответствующая ей точка A₃ уже сместилась вперед во времени и там заняла положенное ей место, но наблюдатель этого пока еще не видит.

Расстояние в пространстве между точками B₃ и A₁ это видимый размер карандаша в системе отсчета коробки. Это расстояние в

k = (ch |φ|)

раз меньше, чем действительный размер карандаша.

Расстояние между точками B₃ и D соответствует расстоянию между точками в пространстве, в которых часы точек A и B покажут одинаковое время. Это расстояние в

k = (ch |φ|)

раз больше, чем действительный размер карандаша.

Таким образом, получаем пропорцию:

А из этого следует, что реальный размер движущегося объекта можно вычислить как среднее геометрическое

видимого размера объекта |B₃A₁| и расстояния в пространстве между событиями, в которых часы крайних точек объекта будут показывать одно и то же время |B₃D|.

6.2 Проблема актуальной одновременности

В основе теории относительности лежат два постулата, постулат постоянства скорости света и постулат относительности, а также ряд аксиом. Среди аксиом есть такие предположения, как предположения об однородности пространства и равноправие всех направлений пространства, а также, что геометрия пространства является евклидовой.

Знакомясь с различными источниками по теории относительности, я обнаружил, что в них постулаты, на которых строится теория относительности, формулируются различным образом. Очевидно, есть несколько причин такого положения дел. Во-первых, сам автор теории относительности посвятил ей целый ряд публикаций, в которых давал эти определения различным образом. Во-вторых, статьи посвященные теории относительности переводились на русский язык разными людьми, а различие при переводах неизбежно. А в-третьих, многие комментаторы теории относительности достаточно вольно описывают эти постулаты своими словами.

Вот, например, информация, которую я обнаружил в Википедии (интернет сайт http://ru.wikipedia.org). Там постулаты теории относительности описаны так:

СТО полностью выводится на физическом уровне строгости из трёх постулатов (предположений):

1. Справедлив принцип относительности Эйнштейна - расширение принципа относительности Галилея.

2. Скорость света не зависит от скорости движения источника во всех инерциальных системах отсчёта.

3. Пространство и время однородны, пространство является изотропным.

Иногда в постулаты СТО также добавляют условие синхронизации часов по А. Эйнштейну, но принципиального значения оно не имеет.

В книге Ыйглане В мире больших скоростей те же самые постулаты описываются так:

Специальный принцип относительности: для описания явлений природы все инерциальные системы равноправны.

Ни одно тело в природе не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света. Более того, ни одно тело не может двигаться со скоростью, равной скорости света.

Еще один источник, Лилли Теория относительности для всех:

Скорость света (приходящего с любого направления) относительно любого наблюдателя (вне зависимости от того, как он движется) всегда одинакова.

В книге Дьюрелл Азбука теории относительности все те же самые постулаты описываются так:

Эйнштейн выдвинул два общих принципа, или аксиомы:

1. Равномерное движение через эфир не поддается обнаружению

2. При любом волновом процессе скорость распространения волны не зависит от скорости источника.

Смотрим М.В.Сажин Теория относительности для астрономов:

Принцип относительности. Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, эти изменения относятся.

Принцип постоянства скорости света. Каждый луч света движется в избранной системе координат со скоростью с, независимо от того, испускается ли этот луч покоящимся или движущимся телом.

Можно еще долго продолжать этот список, поэтому я решил посмотреть, как сформулировал эти постулаты сам Эйнштейн. Конечно, в первую очередь, в опубликованной им статье К электродинамике движущихся тел:

Мы формулируем оба принципа следующим образом.

1. Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся равномерно и прямолинейно, эти изменения состояния относятся.

2. Каждый луч света движется в "покоящейся" системе координат с определенной скоростью V, независимо от того, испускается ли этот луч света покоящимся или движущимся телом.

Как видите, автор одного из вышеперечисленных источников, все же заглянул в первоисточники и привел определение, данное самим Эйнштейном.

Ну, и для полноты картины, привожу те же самые постулаты, но уже в поздней редакции. В книге А. Эйнштейн, Л. Инфельд. Эволюция физики, (М., Наука, 1965.)

Два постулата: Принцип независимости скорости света: "скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета"; и Принцип относительности: "Все физические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета".

Формулировки постулатов, в большинстве случаев, можно все же узнать, несмотря на искажения, а вот толкования этих постулатов отличаются еще сильнее. И речь идет не о критиках теории относительности и не о людях, стремящихся исправить и дополнить эту теорию. Речь идет о ее верных последователях.

Вот например, постулат "Все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета" допускает целый ряд различных трактовок, не противоречащих теории относительности. И выбор той или иной трактовки зависит только от личных пристрастий исследователей. От того, как этот исследователь понимает теорию относительности, от того, какая концепция ему ближе.

Среди целого ряда концепций, основанных на постулатах теории относительности, я хочу выделить два взаимоисключающих варианта.

1. Выделенная система отсчета существует, но физические законы таковы, что обнаружить эту систему отсчета современными средствами невозможно.

2. Выделенной системы отсчета не существует, все системы отсчета действительно совершенно равноправны.

То, что я рассматриваю здесь только две концепции, вовсе не означает, что их всего только две. Просто, рассматривая эти две концепции, я хочу обозначить одну из главных проблем, с которой сталкивается теория относительности.

Эти две различные концепции обе вполне совместимы с классической теорией относительности, они обе не противоречат теории относительности. Обе они утверждают, что используя частицы, движущиеся со скоростями меньше скорости света и даже со скоростью света, обнаружить выделенную систему отсчета невозможно.

Но, если использование средств, доступных современной физике не дает эффекта, можно попытаться теоретически использовать другие средства, хотя бы для того, чтобы лучше понять проблему. И для этого предположим возможность передачи сигналов в пространстве быстрее скорости света. Здесь важен не физический принцип такой передачи сигналов, а просто допущение принципиальной возможности такой передачи. Существует авторитетное мнение, что скорость выше скорости света не возможна в принципе. Это тоже всего лишь одна из возможных трактовок теории относительности, но из самой теории относительности запрет на сверхсветовую скорость не следует.

Дело в том, что согласно классической теории относительности невозможно достичь скорости света постепенно и равномерно ускоряя частицу. Для того чтобы таким способом достичь скорости света просто понадобится бесконечно большое время. По этой причине невозможно и превысить скорость света, постепенно разгоняя частицу. Однако есть пример фотона, который рождаясь, сразу начинает двигаться со скоростью, близкой к скорости света, не разгоняясь. Так, что возможно построение теорий, в которых существуют частицы, постоянно движущиеся быстрее скорости света. Хотя современной физикой такие частицы пока не обнаружены, ряд физиков допускают возможность их существования и даже придумали для них название - тахионы. Поскольку такие частицы не обнаружены, нельзя точно предсказывать все их свойства, но если тахионы взаимодействуют с обычным веществом, тогда появляясь, они не разгоняются, а сразу движутся со скоростями, превышающими скорость света.

Но даже если предположение о существования тахионов не подтвердится, в теории относительности есть еще ряд лазеек. Например, другой вариант превышения скорости света состоит в том, чтобы изменять саму геометрию пространства не меняя законов теории относительности. Это возможность обойти формальные запреты теории относительности. Если изменить свойства самого пространства так, чтобы в некотором "коридоре" расстояния сократились в миллионы раз, то по этому коридору можно было бы перемещаться, даже особенно не разгоняясь, и при этом преодолевать десятки световых лет. Все это тоже теоретически. И тоже не противоречит теории относительности.

Еще одна дыра в теории относительности связана со скоростью распространения гравитационного взаимодействия. Когда астрономы делают расчеты движения объектов в космосе, они неявно исходят из того, что гравитация распространяется мгновенно. Давайте предположим, что это не так, и посмотрим, что из этого получится. Представьте себе, что в системе из двух звезд примерно одинаковой массы вращение происходит вокруг общего центра. Теперь представьте себе, что гравитационное воздействие проходит со скоростью света. Тогда сила притяжения будет направлена не на то место, в котором звезда находится в данный момент, а к тому месту, в котором она была несколько минут назад (рис. 86).

Как видно из рисунка, при этом вектор силы притяжения будет проходить не прямо через центр масс, а чуть в сторону, таким образом, что у силы притяжения появляется поперечная составляющая, направленная в сторону движения звезды. Эта составляющая должна быть сравнительно невелика, но достаточна для того, чтобы сделать неустойчивой любую двойную систему. Двойные звезды должны постоянно ускоряться и лететь все быстрее, до тех пор, пока не разлетятся окончательно в разные стороны. Причем, этот процесс должен происходить с нарушением законов сохранения импульса и энергии. Вот такой небольшой вечный двигатель. Наблюдения показывают иное. Небесные тела движутся так, как будто поперечная составляющая отсутствует. Но это предполагает, что гравитационное взаимодействие между телами передается со скоростью если не бесконечно большой, то, по крайней мере, значительно большей, чем скорость света. Эта проблема не была решена Эйнштейном, и, насколько мне известно, не решена до сих пор.

Вот теперь, пользуясь таким инструментом, как передача сигналов со скоростью выше скорости света, пусть даже теоретически, можно было бы отдать предпочтение либо концепции существования выделенной системы отсчета, либо концепции ее отсутствия. Концепция о существовании выделенной системы отсчета исторически связана понятием эфир. Так ученые девятнадцатого века называли гипотетическую среду или вещество, через которую распространяется электромагнитное излучение. Тогда высказывалось предположение, что скорость света постоянна относительно этой среды и именно движение Земли относительно эфира пробовали обнаружить в своих опытах Майкельсон и Морли.

После того, как теория относительности завоевала известность, стало популярным утверждение о том, что Эйнштейн доказал, что эфира не существует. Это еще один миф. Действительно, после появления теории относительности, предположение о существовании эфира стало менее популярным. Но даже верность теории относительности никак не может служить доказательством того, что эфира не существует. Максимум, что эфир, если он существует, имеет совсем не те свойства, которые ему приписывались в 19 веке.

Кроме того, в середине двадцатого века теория существования эфира приобрела новую жизнь. И это было связано с развитием квантовой физики и изучением свойств вакуума. В 19 веке вакуум считался пустотой, пространством, в котором отсутствует материя. Исследования века 20-го показали, что вакуум это вовсе не пустота, а определенное энергетическое состояние пространства, которое заполнено постоянно возникающими на короткое время, а затем исчезающими, самыми разными частицами, которым дано обобщающее название - виртуальные. Трехмерное пространство стало рассматриваться не как пустота, в которой движутся элементарные частицы и материальные тела, а как основа, ткань мира, вне которой не могут существовать ни частицы, ни другие тела. При таком подходе, эта основа, по сути, и есть эфир, даже если для него придумываются совсем другие названия. И вместе с тем, любая более продвинутая теория, которая бы описывала процессы, происходящие в физическом пространстве, должна включать в себя теорию относительности как частный случай, либо объяснять эффекты теории относительности иначе, но никак не объявлять их несуществующими.

И еще, любая теория должна объяснить связь между пространством и временем. И в этом вопросе оказывается, что одни исследователи склоны видеть во времени четвертую координату, отчасти подобную пространственным, а другие, считают время лишь мерой изменчивости окружающего нас мира.

Если время это мера изменчивости мира, тогда объективно существует только настоящее, прошлого уже не существует, а будущего пока еще не существует. В таком случае, путешествие в прошлое или будущее невозможно в принципе. Для такого путешествия, потребовалось бы заново создать целую вселенную. Абсолютную копию нашей вселенной, только сдвинутую во времени. Если вам такое по силу, то своим появлением в этой вселенной, вы ее измените. Ее, но не повлияете, ни на свое прошлое, ни на прошлое оригинальной вселенной.

Если же, время это координата, вдоль которой можно двигаться, то будущее и прошлое должны объективно сосуществовать с настоящим. Это совсем другая модель мира, в которой путешествия во времени становятся технической задачей, возможно осуществимой, возможно нет.

Классическая физика исходит из того, что время это мера изменчивости, что объективно существует только настоящее. Если это так, то постулат относительности следует понимать так:

Выделенная система отсчета существует, но физические законы таковы, что обнаружить эту систему отсчета современными средствами невозможно.

Но если использовать частицы, движущиеся со скоростью большей, чем скорость света, тогда, в этом случае, обнаружение выделенной системы отсчета становится возможным. В таком случае, тахионы будут распространяться со скоростями, во много раз превышающими скорость света, только в выделенной системе отсчета. И в этой системе отсчета движение тахионов будет происходить только из прошлого в будущее.

В других системах отсчета, в таком случае, возможная максимальная скорость движения тахионов будет ограничена и при этом, в разных направлениях пространства, это ограничение будет разным. Таким образом, это будет аналогом опытов Майкельсона и Морли, но на качественно ином уровне.

С помощью таких опытов, можно было бы определить систему отсчета, в которой моменты времени удаленных друг от друга точек действительно одновременны. В трудах, посвященных данному вопросу, такой вид одновременности называется разными терминами, мировое время, актуальная одновременность и другими.

Но может случиться так, что опыты с тахионами покажут, что выделенной системы отсчета не существует и для скоростей превышающих скорость света. Тогда действительно можно было бы заключить, что:

Выделенной системы отсчета не существует, все системы отсчета действительно совершенно равноправны.

Но в таком случае, обязательно должны существовать такие системы отсчета, в которых движение тахионов быстрее скорости света в одной из систем, равносильно движению не только в пространстве, но и назад во времени в другой системе отсчета. Причем вовсе не кажущееся движение назад во времени, а вполне реальное, так, что используя последовательность ряда таких движений, можно будет послать сигнал в прошлое. То есть, реализовать машину времени.

Именно этот факт, заставляет многих ученых усомниться в том, что вторая концепция верна. А в таком случае, действительно явления, рассмотренные в прошлом параграфе, это просто замедление времени, сокращение размеров, но никак не поворот движущегося объекта в пространственно-временном континууме.

6.3 Законы сохранения

Увеличение массы движущегося тела, это один из эффектов, следующих из теории относительности. И это еще один миф теории относительности. И, рассматривая этот вопрос, следует понять, что в действительности подразумевается под массой тела.

Еще Ньютон, сформулировавший принципы, на которых лежит современная физика, отметил существование двух разных проявлений массы. Эти проявления массы обычно обозначаются так: гравитационная масса и инерционная масса. Гравитационная масса, это способность тела создавать вокруг себя гравитационное поле, а инерционная масса, это способность тела изменять свою скорость под действием внешнего воздействия.

Гравитационная масса проявляет себя в формуле:

где: a - ускорение свободного падения на расстоянии R от центра массы M₁. Здесь G - постоянная тяготения, коэффициент пропорциональности между инерциальной массой и гравитационной массой.

Инерциальная масса проявляет себя в формуле:

где: a - ускорение тела массой M₂, к которой приложена сила F.

Это два разных свойства материи. Ньютон высказал предположение о том, что инертная масса и гравитационная масса одного и того же тела всегда пропорциональны. Так он получил формулу, по которой рассчитывается движение небесных тел:

Коэффициент G при этом признается постоянным и не зависящим ни от массы M₁, ни от массы M₂, ни от расстояния между телами.

Это предположение перепроверялось многократно различными экспериментаторами, начиная от Ньютона и до нашего времени. Все эти эксперименты показали только одно, инерциальная масса всегда оказывалась пропорциональна массе гравитационной, с точностью проводимых экспериментов.

Пока мы говорим о той версии теории относительности, которая была опубликована в статье "К электродинамике движущихся тел", речь идет исключительно об инертной массе. О свойстве тел изменять свою скорость под действием внешней силы.

Многочисленные критики теории относительности очень часто возвращаются к идее эфира, который увлекаются Землей при ее движении вокруг Солнца. Якобы так можно объяснить результаты экспериментов Майкельсона. Сделаем поправку. Можно было в начале двадцатого века. Но уже во второй половине двадцатого века было создано множество циклотронов и синхрофазотронов, установок, в которых частицы разгоняются до скоростей, сравнимых со скоростью света. Движение частиц в синхрофазотронах рассчитывается при помощи уравнений теории относительности и, если бы эфир просто увлекался Землей, то эти бы уравнения не действовали. И это все очень легко проверяется.

В этих установках заряженные частицы разгоняются переменным магнитным полем множества катушек, расположенных вдоль закольцованной трубы. По этой трубе летят заряженные частицы, и задача состоит в том, чтобы в каждый момент времени электрический импульс подавался именно на ту катушку, мимо которой полетает пучок заряженных частиц. Если будет допущена ошибка, то пучок частиц, либо перестанет разгоняться, либо даже станет тормозиться магнитным полем. Силу, с которой действует на частицы магнитное поле можно рассчитать. А далее все происходит так, как будто с ростом скорости масса частицы увеличивается. Прикладывая постоянную силу к частице, мы обнаружим, что с ростом скорости ускорение начинает уменьшаться. Естественно, если мы берем за основу формулу классической физики

и знаем, что сила остается постоянной, то объяснить уменьшение ускорения можно только предположив, что растет масса. Других вариантов нет. С точки зрения классической физики.

Но теория относительности уже настолько поставила под сомнение многие догмы классической физики, что еще можно предположить, что, либо неверна приведенная формула, либо эта формула неверно применяется.

Действительно, если считать ускорение, основываясь не на классической скорости, а на той скорости, которую выше я назвал релятивистской, то окажется, что ускорение, найденное по формуле

то есть, на отношении приращения релятивисткой скорости к приращению времени, то окажется, что такое ускорение будет оставаться постоянным при постоянной силе, приложенной к частице. В этом случае нет необходимости придумывать легенду о росте инертной массы частицы при повышении ее скорости. Если же за основу брать классическую скорость, то формулу нужно менять, как менялась формула сложения классических скоростей применительно к теории относительности.

Другое дело, что величина приложенной к частице силы, это тоже величина относительная. И то, что выглядит с точки зрения наблюдателя разгоняющего частицу как постоянная приложенная к частице сила, с точки зрения самой этой частицы будет выглядеть как сила постоянно и нелинейно растущая. Обратите на это внимание, если захотите копнуть поглубже.

Еще, с инертной массой связаны такие величины, как энергия и импульс частицы, а так же законы сохранения. С законами сохранения приходится считаться. После Большого Взрыва, в результате которого сформировалась наша физическая вселенная, пространственно-временной континуум пришел к устойчивому состоянию, в котором, при всех взаимодействиях между частицами, с очень большой точностью выполняются законы сохранения энергии и импульса. Законы эти гласят, что если мы будем рассматривать некую изолированную систему, то при всех взаимодействиях между частицами этой системы, сумма их полных энергий будет оставаться постоянной. При этих взаимодействиях также векторная сумма всех импульсов частиц также будет оставаться постоянной.

Причем, из постулатов теории относительности следует, что законы сохранения продолжают действовать в любой инерционной системе отсчета. Правда, при переходе из одной системы отсчета в другую, окажется, что величина суммарного импульса и величина суммы полных энергий изменились. Но это только если мы эти величины рассматриваем по отдельности. Но если рассматривать оба закона сохранения как части одного процесса, то окажется, что из суммы полных энергий и векторной суммы импульсов можно создать инвариант, величину, которая остается постоянной не только при переходах из одной инерциальной системы отсчета в другую, но и остается постоянной в любой ускоренной системе отсчета.

Рассмотрим это при помощи формул. Вначале в той форме, которая является классической в теории относительности. Полная энергия частицы определяется по формуле:

в которой: E - величина энергии частицы, m - ее масса, v - скорость, определенная по правилам классической физики, с - скорость света.

Используя формулы, рассмотренные ранее в этой статье, то же самое соотношение можно записать в другом виде, вот так:

В этой формуле, φ это угол между осями времени наблюдателя и частицы, их чаще называют мировыми линиями, а V - релятивистская скорость, определенная по правилам, данным в прошлых главах.

Импульс частицы в теории относительности определяется по формуле

где p - импульс частицы, все остальные обозначения, те же, что и выше.

Иначе эту формулу можно записать так:

Обобщенный закон сохранения, который еще называют релятивистским инвариантом, записывается следующим образом:

Или так:

Впрочем, результат тот же самый. Скорость света c является постоянной величиной и не зависит от системы отсчета, следовательно, масса частицы всегда остается постоянной в любой системе отсчета. Причем не имеет значения, инерциальная это система отсчета или ускоренная.

Обращаю ваше внимание. Информация о том, что релятивистский инвариант является постоянной величиной в любой из систем отсчета, соседствует в учебниках физики с информацией о том, что масса частицы увеличивается при увеличении скорости этой частицы. Поражает то, какое количество умных людей проходят мимо и не видят этого противоречия. Поражает то, какое количество людей, увидев это противоречие, принимает его на веру, не разбираясь в его сути. Впрочем, противоречия, по сути, тоже нет. Есть неумеренное смешение понятий классической физики и теории относительности. Какой результат вы хотите получить, если в числитель дроби пишите число в арабской системе записи, а в знаменатель в римской? Может быть в двоичной? Но когда такой подход становится системой, когда по этой системе начинают учить других людей, это уже не смешно.

Не буду вас утомлять доказательствами того, что для изолированной системы частиц в целом, эти законы сохранения тоже верны. Такого рода выкладки вы можете найти в других источниках, если вас это интересует.

С точки зрения обобщенного закона сохранения можно дать определение инерциальной и ускоренной системам отсчета. Окажется, что для любой области пространственно-временного континуума, для которого верны законы геометрий, рассмотренных в прошлой главе, выполняется обобщенный закон сохранения, причем выполняется в равной степени для инерциальных и ускоренных систем отсчета. Замечание о свойствах геометрии здесь принципиальное. После Большого Взрыва топология пространственно-временного континуума эволюционировала таким образом, что приняла некую устойчивую форму, некую геометрию. И именно следствием свойств этой геометрии и является выполнение законов сохранения.

Сверх того, для инерциальных, то есть неускоренных систем отсчета, выполняются еще и законы сохранения энергии и импульса по отдельности. Впрочем, можно на это посмотреть и с другой точки зрения. Тогда мы можем назвать инерциальной такую систему отсчета, в которой выполняется не только обобщенный закон сохранения, но и еще, по отдельности, закон сохранения сумм полных энергий и закон сохранения векторной суммы импульсов частиц.

До сих пор я употреблял термин полная энергия, не объясняя его смысл. Все дело в том, что в теории относительности и в классической физике энергия частиц рассчитывается различным образом. Из формулы

E² - c²p² = c⁴m²

Следует, что тело, которое неподвижно относительно вас, импульс которого равен нулю, уже обладает определенной энергией:

E² = c⁴m²,

при p = 0

или, в более привычной форме:

E = mc².

Этот вывод теории относительности часто трактуется как эквивалентность массы и энергии. Иногда, можно встретить трактовку массы, как концентрированной формы энергии. В классической физике до теории относительности таких концепций массы не существовало, поэтому энергия, эквивалентная массе тела, стала рассматриваться как еще один вид энергии, наряду с энергией кинетической, энергией, потенциальной, энергии тепловой и другими ее формами. Термин "полная энергия", как раз и обозначает сумму энергии кинетической и энергии заключенной в самом веществе.

Классическая физика тоже не стоит на месте и использует достижения теории относительности. И здесь мы снова оказываемся на границе теории относительности и классической физики, когда начинают смешиваться понятия. Так возникает понятие "масса покоя". Выше уже было показано, что масса это инвариант, величина, которая всегда остается постоянной, но когда мы рассматриваем происходящее с позиций классической физики, с точки зрения формул классической физики, при росте скорости масса тела увеличивается.

Именно с этих позиций масса тела была разделена на две части, постоянную, то есть, массу покоя, и переменную, зависящую от скорости частицы:

m = m₀ + Δm.

При таком подходе можно получить отдельно энергию, связанную с массой покоя частицы и отдельно энергию, связанную с движением.

Ну что же, классическая физика в своем праве, теоретические и экспериментальные выводы Ньютона давно уже признаны физическими законами, а творение Эйнштейна пока еще остается теорией. Но вот грань, между понятиями классической физики и теорией относительности, обычно четко не проводится, что приводит к сильной путанице.

Так, например, в учебниках физики можно найти таблицы, в которых указаны массы элементарных частиц, и здесь же будет указание о том, что в таблице приведены массы покоя частиц. Обычно эта информация подается как вывод теории относительности, хотя уже сам термин "масса покоя" должен навести на мысли о классической физике. Начало этой путанице положил сам Эйнштейн, который, сформулировав принципы теории относительности, затем в течение десятков лет шел пониманию того, что же на самом деле он создал. В ранних работах, посвященных теории относительности, он сам еще мыслил образами и концепциями классической физики. Чуть позже, я рассмотрю историю создания теории относительности подробнее. А сейчас я хочу рассмотреть несколько интересных моментов, которых вы не найдете в учебниках физики.

Если рассматривать соотношение массы, энергии и импульса объекта с точки зрения геометрии, все выглядит так, как будто масса элементарной частицы это ее размер во времени. Судите сами.

Довод первый. Представим себе элементарную частицу упрощенно в виде жесткого стержня, сориентированного в направлении своего движения. Можете представить себе это в виде движения длинного автобуса по дороге или в виде движения корабля в море. Чем длиннее этот автобус, тем большим будет радиус его поворота, чем меньше длина автобуса, тем меньшим может быть радиус его поворота. То же самое и с кораблем, чем он длиннее, тем больше времени нужно чтобы повернуть, тем больше будет радиус поворота.

На рисунке 87 длинный стержень в 2,5 раза длиннее короткого. И время, которое понадобилось для поворота на тот же самый угол при максимальном ускорении длинному стержню, в 2,5 раза больше, чем время, которое понадобилось короткому. То же самое можно выразить формулами, но так, в виде рисунка, это гораздо нагляднее.

Если длина стержня m, и если ему для поворота на угол ψ, и, соответственно, для того, чтобы изменить скорость на V=cψ, понадобилось время t, то получаем знакомую формулу:

A = V/t = F/m.

То есть, чем больше предполагаемый размер во времени частицы, при условии, что она имеет свойства жесткого стержня, тем большей инерцией она должна обладать.

Довод второй. В предыдущих главах я неоднократно обращал ваше внимание на то, что кривая в пространственно-временном сечении, которая выглядит в декартовых координатах гиперболой, на самом деле является окружностью, множеством точек равноудаленных от одного центра.

Тогда у таких физических величин, как энергия и импульс, тоже появляется геометрический смысл (рис. 88). Оказывается, что энергия элементарной частицы, это проекция ее длины во времени на ось времени:

E = mc² ch |ψ|.

И, оказывается, что импульс элементарной частицы, это проекция ее длины во времени на поверхность перпендикулярную оси времени:

p = mc sh |ψ|.

Ну, и есть еще третий довод. Если масса частицы, это ее размер во времени, то эффективное сечение воздействия частицы на окружающее пространство оказывается пропорциональным ее длине, то есть массе частицы. Отсюда естественным образом следует пропорциональность инертной и гравитационной масс.

Но ко всем перечисленным здесь доводам есть контрдовод. Все сказанное имеет смысл только в том случае, если время действительно является осью, вдоль которой можно перемещаться. А иначе, все сказанное остается только наглядной геометрической абстракцией.

6.4 Кинематика элементарных частиц

Еще один миф теории относительности говорит о том, что она неприменима, когда речь идет об элементарных частицах. Отчасти этот миф верен. Эйнштейну действительно не удалось построить общую теорию, объясняющую одновременно и эффекты теории относительности и теорию квантовой физики. Впрочем, ученые до сих пор работают над созданием такой "теории всего". Но когда речь идет о кинематике элементарных частиц при их взаимодействии между собой, эффекты теории относительности необходимо учитывать.

Критики теории относительности придумывают самые разные объяснения происходящего, для того, чтобы объявить эту теорию фальсификацией. Согласно этим объяснениям, эфир существует и увлекается Землей при ее вращении вокруг Солнца, отклонение лучей звезд происходит не из-за искривления пространства, а вследствие рефракции, потому, что проходят через атмосферу Солнца. Динамику движения в синхрофазотронах объясняется тем, что эфир увлекается мощным магнитным полем. Но если теория относительности фальсификация, то следует считать фальсификаторами сотни ученых физиков, работавших с камерой Вильсона, или с пузырьковой камерой, или с аналогичными аппаратами. Также, придется признать искусным фотомонтажом сотни тысяч фотографий, полученных при помощи этих приборов.

В камере Вильсона, при помощи резкого изменения давления, создается воздушная среда, находящаяся на грани конденсации пара. Пролет заряженных частиц вызывает ионизацию воздуха и образование капелек пара, по которым можно определить траекторию движения элементарных частиц - треков. Эти треки можно сфотографировать, а затем исследовать.

Для того чтобы повысить информативность камеры Вильсона, в ней создается постоянное магнитное поле, поэтому пролетающие через камеру Вильсона частицы летят по искривленной траектории. По направлению закручивания траектории можно определить заряд частицы, а крутизна закручивания зависит от массы частицы и ее скорости.

Несмотря на то, что камера Вильсона сравнительно простое устройство, при помощи нее в двадцатом веке было совершено много замечательных открытий. Но это другая тема, а нас будет интересовать самое простое, упругое рассеяние частиц. В отличие от макрообъектов, у которых при столкновении часть энергии уходит в тепло и часть теряется при деформации объектов, у элементарных частиц возможно действительно упругое рассеяние, при котором кинетическая энергия перераспределяется между частицами без потерь. При упругом рассеянии частицы не превращаются в другие частицы, а просто меняют траектории своего движения.

На рисунке 89 показан пример столкновения двух электронов в камере Вильсона. Один из них движется по треку a-b, и в точке b сталкивается с другим электроном, передает ему часть своей энергии и дальше два электрона разлетаются в разные стороны, один по треку b-c, другой b-d. По какой из траекторий движется первый электрон, а по какой второй, определить невозможно, поскольку электроны идентичны.

Для расчета параметров движения частиц используются кинематические графы, схемы, на которых отображаются скорости частиц до и после столкновения. Электрон B неподвижен в системе отсчета камеры Вильсона, а электрон A движется по отношению к этой системе отсчета со скоростью v_BA (рис. 90). Центр масс системы состоящей из двух электронов A и B движется со скоростью v_BO = v_BA/2. Соответственно, на кинематическом графе точка O, соответствующая скорости центра масс, располагается посередине отрезка AB. Это связано с тем, что электроны имеют одинаковую массу, и "неподвижный" и "движущийся".

Вначале рассмотрим, что происходит при скоростях значительно меньших скорости света, скоростях, при которых действуют законы классической физики. После столкновения электронов, центр масс системы продолжает двигаться в том же направлении и с той же скоростью. Кроме того, при упругом столкновении относительная скорость электронов не изменяется, только изменяется направление их относительных скоростей, система просто разворачивается относительно центра масс (рис. 91).

Я уже отмечал, что электроны идентичны, и определить, какой из них после столкновения двигался по какому из треков, невозможно. Но, просто для определенности, можно предположить, что после столкновения система B_OA (красный цвет) повернется относительно центра масс O на угол BOC по часовой стрелке. Тогда точка C будет соответствовать движению электрона B после столкновения, а точка D будет соответствовать движению электрона A после столкновения. Величина скорости одного электрона относительно другого, при таком столкновении, упругом рассеянии, остается той же самой, что была до столкновения, но направлена в другую сторону. Величина поворота системы при столкновении электронов, это величина случайная, которая зависит только от того, каким образом произошло столкновение.

Рассматривая схему на рисунке 91 можно понять, как связаны между собой скорости и направление движения электронов до и после столкновения. Еще раз обращаю ваше внимание, в системе отсчета камеры Вильсона скорость электрона B до столкновения равна нулю, или, по крайней мере, очень мала. И в этой же системе отсчета электрон A до столкновения движется со скоростью v_BA и в направлении вектора BA. В той же системе отсчета после столкновения электрон B будет двигаться в направлении BC со скоростью v_BC. А электрон A после столкновения будет двигаться в направлении BD со скоростью v_BD. Величину скорости электрона A можно задать с достаточно большой точностью, используя ускорители частиц.

При малых скоростях движения электронов, все эти процессы происходят так, как должны происходить в мире с евклидовой геометрией. И скорости разлетающихся электронов можно определить, зная скорость электрона A и рассчитав косинусы углов отдачи. Но вот что интересно. Согласно классической физике, при любом варианте разлета, при упругом рассеянии при данных условиях, частицы после соударения должны разлетаться под прямым углом. Этот вывод можно сделать и из формул сохранения импульса и энергии, но на рисунке 91 это видно наглядней: угол CBD всегда прямой.

А вот когда в камеру Вильсона влетает электрон, разогнанный до скоростей близких к скорости света в ускорителе, или космическая частица, угол разлета частиц после столкновения оказывается значительно меньше прямого. Например, как это изображено на рисунке 89. Это противоречит законам сохранения классической физики, но вполне объяснимо с точки зрения теории относительности.

Согласно законам теории относительности, правила сложения векторов скоростей соответствуют геометрии Лобачевского. Поэтому, и картинка кинематического графа с рисунка 91 должна быть выполнена по правилам геометрии Лобачевского. Например, так, как это сделано на рисунке 92.

Пунктирными стрелками на этом рисунке показаны направления скоростей разлетающихся электронов V_BC и V_BD с точки зрения наблюдателя в системе отсчета камеры Вильсона. Как видите, сумма углов треугольников BOC и BOD меньше π, поэтому и угол разлета электронов меньше прямого угла. Однако, теперь, зная величины углов CBO, DBO и DBC, а, также, зная, что треугольники BOC и BOD равнобедренные, можно легко вычислить скорости разлетающихся электронов и скорость летящего электрона A.

Нарисуем кинематический граф вот так:

На графе γ это угол разлета электронов после столкновения, α и β - углы отдачи электронов после столкновения.

Теперь, из второй теоремы косинусов для тригонометрии Лобачевского (из параграфа 5.2) имеем:

Помним, что относительная скорость разлета электронов V_CD равна относительной скорости электронов до соударения V_BA. Поэтому:

Обращаю внимание! Скорости здесь даны не классические, а релятивистские. При необходимости пересчитать их в классическую скорость, используйте формулу:

Мнимые величины здесь пропущены.

Из этой формулы легко найти соотношение:

Или, если вас интересует классическая скорость:

Таким образом, для того, чтобы определить скорость налетающего электрона вполне достаточно измерить угол разлета и углы отдачи на фотографии, сделанной в камере Вильсона.

Теперь так же легко определить скорости электронов после столкновения. Используем теорему синусов для тригонометрии Лобачевского:

Для нашего кинематического графа, радиус кривизны равен величине скорости света и формула приобретает следующий вид:

Откуда легко найти величины скоростей электронов после столкновения:

и

При желании, эти значения тоже можно пересчитать к классическим скоростям.

Как я уже отмечал, все эти соотношения легко проверяются экспериментально при помощи камеры Вильсона и ускорителя частиц. И в этом случае нет никакого эфира, который мог бы, увлекаясь Землей или магнитным полем ускорителя, создавать имитацию эффектов теории относительности.

Упругое рассеяние электрона на электроне это одно из самых элементарных событий, которое можно наблюдать в камере Вильсона, но в плане изучения топологии пространства скоростей, одно из самых наглядных. Но исследуя более сложные события, включающие в себя не только рассеяние, но и превращения частиц, так же следует использовать формулы теории относительности.

6.5 Дефект массы

Дефект масс, это явление, которое характерно для распада и слияния элементарных частиц. Состоит оно в том, что после деления частицы на несколько других частиц, их арифметическая сумма масс оказывается меньше массы первоначальной частицы.

Принятое в современной физике объяснение этого феномена состоит в том, что при слиянии частиц, часть энергии, идет на создание связи между ними, а соответственно и прибавляется дополнительная масса. При распаде частицы эта энергия высвобождается, в результате чего дополнительная масса переходит в энергию. И это одно из возможных объяснений источника энергии, выделяющейся при атомном взрыве.

Интересно здесь то, что все происходящее описывается релятивистским инвариантом, то есть, формулой

E² - p²c² = m²c⁴ = const.

Но в данном случае, эта формула описывает состояние не отдельной частицы, а системы в целом. То есть, для системы в целом, величина m²c⁴ остается постоянной и не изменяется при распаде частицы.

На рисунке 94 приведена схема, соответствующая распаду частицы A с массой m_A на две частицы, частицу B с массой m_B и частицу C с массой m_C. При этом, в полном соответствии с законами сохранения энергии и импульса, соблюдаются следующие соотношения. Арифметическая сумма энергий частиц B и C равна энергии первоначальной частицы A:

E_A = E_B + E_C.

Векторная сумма произведений импульсов частиц B и C на скорость света, равна вектору импульса частицы A умноженному на скорость света:

Или, сокращая эти величины на постоянную величину скорости света:

Получаем закон сохранения импульса.

А вот если попробовать вычислить арифметическую сумму масс частиц B и C, она окажется меньше, чем была масса частицы A.

Еще раз говорю о том, что свойства пространственно-временных сечений только на первый взгляд кажутся похожими на евклидову геометрию. И в этой геометрии длины всех отрезков и векторов, расположенных под углом к декартовым осям координат, в евклидовой геометрии отображаются с искажением их действительных размеров. Действительные длины векторов OA, OB и OC изображены правее схемы, и эти величины соответственно равны m_Ac², m_Bc² и m_Сc². Длины этих векторов пропорциональны массам частиц, поэтому из соотношения

m_Ac² > m_Bc² + m_Сc²,

непосредственно следует соотношение:

m_A > m_B + m_С.

Как видите, массу системы, состоящей из двух частиц, B и C можно найти, просуммировав отдельно их энергии и импульсы, а затем, по формуле

определить массу этой системы.

Можно тот же самый результат получить другим способом. Просто использовать правило для сложения векторов в пространственно-временном сечении, тогда:

где: ψ - угол между векторами в пространственно-временном сечении, и который можно найти через релятивистскую скорость

ψ = V_BC / c,

либо через классическую скорость

ψ = arcth (v_BC / c).

Когда мы принимаем как факт, что массы частиц это не скалярные величины, как в классической физике, а вектора, и что их можно складывать, то предположение о том, что часть массы при распаде превращается в энергию, а при слиянии энергия превращается в массу, оказывается излишним. И предположение о наличии дополнительных сил связи просто приведет к несоблюдению законов сохранения.

Представления о "дефекте массы", это в полной мере интерпретация теории относительности с точки зрения классической физики. Термин "дефект массы" и теоретическое предсказание этого эффекта ввел в обиход в 1913 французский физик Поль Ланжевен. Но очевидно, что Эйнштейн не возражал против такой трактовки этого эффекта и в настоящее время информацию об эффектах дефекта массы и его классическое объяснение можно найти практически в любом учебнике по ядерной физике. Теория о том, что разница в массе идет на создание связей между частицами, это рациональное и очень убедительное объяснение происходящего с позиций классической физики. Причем, этот эффект характеризуется как вывод теории относительности.

Почему так? Здесь есть одна тонкость, которая мешает физикам эту эквивалентную массу воспринимать как векторную сумму. Оказывается, что алгебраическая сумма масс получившихся частиц меньше по величине, чем их векторная сумма. В евклидовой геометрии так не бывает! В евклидовой геометрии длина ломаной линии всегда больше, чем длина прямой, соединяющей начало ломанной с ее концом. Это аксиома! Прямая - самый короткий путь. А в случае со сложением массы, мы получаем, что алгебраическая сумма двух масс (сложение по ломаной линии) оказывается меньше их векторной суммы (длины по прямой). Длина ломанной оказывается меньше, чем расстояние по прямой. Очевидно, никто из физиков начала двадцатого века не был готов принять такие правила сложения векторов.

Я думаю, что еще со школы в вас вдолбили на уровне инстинктов, что прямая это самый короткий путь. В пространственно-временных сечениях аксиома о том, что прямая самый короткий путь не работает. Противоположное утверждение, что прямая линия это самый длинный путь, в этой геометрии тоже некорректно. Истина лежит где-то между этими взаимоисключающими утверждениями. Но, давайте по порядку.

Предположим, что у нас есть два разных события A и B в пространственно-временном сечении. Пусть, также, между ними можно провести действительную прямую. Переводя на язык теории относительности, мы предположили, что точки-события находятся во временной области по отношению друг к другу. Пусть, также, есть объект C, который мы перемещаем из точки A в точку B по некоторой траектории. Такой путь из точки A в точку B, при котором расстояние AC будет монотонно и непрерывно увеличиваться, а расстояние CB - монотонно и непрерывно уменьшаться, назовем последовательным путем. К слову сказать, все объекты, движущиеся в пространстве из прошлого в будущее и со скоростью меньше скорости света, движутся по последовательным путям. Вот тогда, на множестве последовательных путей, прямая линия - самый длинный путь.

Если мы заменим прямую линию любой ломаной линией, из множества последовательных путей, так, чтобы начало и конец у нее и у прямой линии совпадали, то ломаная линия будет короче. Если любой прямой сегмент этой ломаной линии заменить ломаной линией, то длина пути сократится еще сильнее. Если любой прямой сегмент этой ломаной линии заменить кривой линией, то длина пути тоже сократится. Единственное ограничение состоит в том, что мы рассматриваем варианты только на множестве последовательных путей.

Это всего лишь геометрия. Геометрия еще в большей степени неевклидова, чем геометрия Лобачевского. Это геометрия мира, в котором мы живем.

В самом ярком виде эффект дефекта масс проявляется во время процесса аннигиляции, когда частица сталкивается с соответствующей ей античастицей, например, электрон и позитрон. Эту реакцию иногда приводят в качестве примера полного превращения массы в энергию, а некоторые религиозные источники приводят в качестве доказательства возможности создания и уничтожения материи "из ничего", из энергии. Но даже в этом процессе, для системы частиц соблюдаются все законы сохранения, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения массы в векторной форме.

Векторная диаграмма такого "превращения" приведена на рисунке 95. Вектором синего цвета показана масса покоящегося в выбранной системе координат электрона, а вектором красного цвета показана масса движущегося позитрона. Масса электрона и масса позитрона равны, это показано пунктирной линией, соединяющей концы векторов. Суммарная масса электрона и позитрона показана вектором зеленного цвета.

При столкновении позитрона с электроном эти частицы аннигилируют, то есть превращаются в два фотона, которые разлетаются в диаметрально противоположные стороны. На рисунке соответствующие векторы показаны оранжевым цветом. Если рассматривать каждый из образовавшихся фотонов отдельно, окажется, что у него нет массы. Если точнее, для фотона согласно формуле

E² - p²c² = m²c⁴ ≈ 0,

масса либо равна нулю, либо настолько мала, что современными средствами еще не обнаружена, либо настолько мала, что не может быть обнаружена вообще, согласно принципу неопределенности Гейзенберга.

Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 95, можно сделать еще один интересный вывод. Если мы будем рассматривать область пространства, заполненную только хаотично летящими в разных направлениях фотонами, то масса каждого из этих фотонов по отдельности будет равна нулю. А вот если рассмотреть эти фотоны как систему частиц, то окажется, что эта система будет обладать массой, распределенной по этой области пространства. Плотность массы и направление вектора массы для каждой из точек фотонного поля этого пространства может меняться, как во времени, так и от точки к точке пространства. Плотность этой массы будет весьма невелика даже в очень интенсивном потоке света, однако, учитывая космические расстояния, эта масса должна составить существенную добавку к скрытой массе вселенной.

Кроме того, плотность массы фотонного поля невелика только в настоящее время, а вот в самом начале образования этой физической вселенной, после отрыва света от остального вещества, плотность массы фотонного поля вполне могла быть сравнима с плотностью массы всего остального вещества.

И здесь я хочу обсудить еще один вопрос, связанный с величиной массы фотона. В учебниках физики можно найти информацию о том, что еще в 1900 году была опубликована работа русского физика Петра Николаевича Лебедева, который измерил давление света и определил массу отдельного фотона. Этот ученный провел уникальные исследования, которые стоят вровень с опытом Майкельсона и Морли. И выводы, которые сделал Лебедев, в своем докладе, вполне соответствовали достижениям физики конца девятнадцатого века. Фактически, Лебедев определил импульс фотона и, зная импульс фотона и скорость света, рассчитал массу фотона определенной частоты по формуле классической физики

p = mv.

Откуда, учитывая, что скорость равна скорости света, следует:

m = p / c.

Но мы, как впрочем, и составители учебников по физике, должны знать, что при движении со скоростью света, классическая формула даст заведомо неверный результат. Вот только опять всплывает неопределенность в определениях понятия масса в классической и релятивистской физике. Ведь действительно, с точки зрения классической физики, у фотона только масса покоя равна нулю, а сама масса зависит от величины импульса. И опять в ход идут двойные стандарты. Когда речь идет об эффекте дефекта масс, массы частиц пересчитываются по формулам теории относительности, а когда речь идет о фотонах, масса рассчитывается по формулам классической физики. И эта смесь понятий опять подается как вывод теории относительности.

6.6 Описание движения объектов в векторной форме

Для описания физических теорий математика это язык, позволяющий создать модель явления, позволяющий выразить мысль более точно. Для описания движения тел со скоростями сравнимыми со скоростью света в теории относительности широко используется векторная алгебра. И здесь я постараюсь рассмотреть приведенный выше материал с точки зрения векторной алгебры.

Вначале, я вкратце повторю рассмотренный материал о классическом и релятивистском пространствах скоростей. Только концепция без детализации. Если этот фрагмент будет сложен для Вас, просто пропустите его и читайте дальше.

Для описания математической модели пространств, описываемых здесь, необходимо и достаточно систем, состоящих из четырех некомпланарных векторов (4-векторов). Описание модели, которое я привожу здесь, несколько отличается от традиционно принятого.

Для упрощения, здесь я буду рассматривать только системы координат, основанные на ортогональных базисах, то есть, такие системы координат, в которых есть четыре взаимно перпендикулярных координатных оси. Такие системы, в которых угол между двумя любыми координатными осями - прямой. В качестве координат используем четыре оси ix, iy, iz и t. В отличие от принятого в современной физике, здесь пространственные компоненты рассматриваются как мнимые величины, а время, как действительная величина. Причины такой замены обсуждались в первой главе.

Такая модель пространства не евклидова. И даже термин псевдоевклидова геометрия не вполне точен. Это однозначно не евклидова геометрия, просто самый наглядный способ рассмотрения этой модели состоит в том, чтобы отобразить его на четырехмерное евклидово пространство E₄. Таким образом, для наглядности, мы параллельно рассматриваем неевклидово пространство Т и его отображение на евклидово пространство:

Положение любой точки в T пространстве можно сопоставить с четверкой чисел -декартовых координат x₁, x₂, x₃ и x₄.

Напоминаю, что в отличие от классической физики, здесь в качестве расстояния между точками-событиями принимается время, которое необходимо для перемещения из одного события в другое при равномерном неускоренном движении иначе, собственное время. То есть, если вы никуда не идете, просто находитесь на одном месте пространства в течение 5 минут, с момента A до момента B, то расстояние между событием A и событием B равно 5 минутам. Такой способ измерения расстояния непривычен, но он ничем не хуже, традиционного. При таком способе, расстояние между двумя звездами в 10 световых лет равно 10 годам, только имеет мнимое значение. Такую модель, в которой рассматривается топология времени, я называю T пространством.

Каждой точке T пространства можно поставить в соответствие вектор x, соединяющий начало координат с этой точкой. Тогда величина T это длина вектора х, и вектор x можно разложить по осям координат следующим образом:

Соответственно, длины векторов, разложенных по ортогональному базису системы координат следующие:

Расстояние между началом системы отсчета и точкой с координатами (t, ix/c, iy/c, iz/c) можно найти по формуле:

В этой формуле величины (x₂)², (x₃)² и (x₄)² могут принимать отрицательное значение или равны нулю, а величина (x₁)² может быть положительной или равна нулю. Соответственно, если сумма этих величин больше нуля

то, величина Т имеет положительное действительное значение. Раз мы рассматриваем вектор, соединяющий начало координат с некоторой точкой пространства, то это означает, что эта точка лежит во временной области, по отношению к началу координат, и в нее можно попасть из начала координат, двигаясь со скоростью меньше скорости света. Или, если эта точка лежит в прошлом, двигаясь из нее, со скоростью меньшей скорости света, можно попасть в начало координат.

А если сумма этих величин отрицательна

то, величина Т равна мнимому числу. И это означает, что переместиться из начала координат в точку можно только двигаясь со скоростью больше скорости света, или двигаясь во времени из будущего в прошлое.

Вектор х можно рассматривать как сумму двух векторов действительного и мнимого

Или, как сочетание двух составляющих временной (действительной),

и пространственной (мнимой)

Эти термины иногда используются в тексте.

В T пространстве на можно определить как подпространство, пространство релятивистских скоростей. А в отображении T пространства на четырехмерное евклидово пространство E₄ можно определить, как подпространство, пространство классических скоростей. Оба этих подпространства являются трехмерными пространствами.

Пространство классических скоростей U_E является трехмерным евклидовым пространством в пространстве E₄, множеством всех точек, для которых t = 1. Обозначим точку пересечения оси координат t в пространстве E₄ с пространством U_E как U₀. Вектор x, определяющий перемещение из начала координат в некоторую точку, определен и в T пространстве и в пространстве E₄. И в том и в другом случае, вектор x лежит на некоторой прямой линии a. Обозначим как U_A точку пересечения вектора x с пространством U_E, или пересечения прямой линии a, которой принадлежит вектор x, с пространством U_E. Тогда, вектор

будет соответствовать классической скорости движения объекта по прямой a, в направлении вектора x. Часто вектор классической скорости параллельным переносом помещается в начало вектора x.

Пространство релятивистских скоростей трехмерное и неэвклидово, это пространство с отрицательной кривизной. В четырехмерном евклидовом пространстве оно может быть с искажениями размеров отображено на множество точек G_E. Это множество состоит из трех отдельных не связанных между собой частей. Множество точек, принадлежащих двум из этих частей можно найти по формуле

Это множество в пространстве E₄ является двухполуосным гиперболоидом вращения. Так же, нужно рассматривать гиперболоид вращения

Это третья часть множества G_E.

По аналогии с тем, как мы делали при определении вектора скорости в пространстве классических скоростей, можно найти пересечение прямой a или вектора x с пространством G_E, точку G_A.

Теперь, рассмотрим обратное отображение

При этом отображении множество G_E отображается на множество S_T. В Т пространстве множество S_T это множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от начала координат O. Это некий аналог сферы в евклидовом пространстве, множество точек расположенных на единичном действительном расстоянии от точки O и множество точек расположенных на единичном мнимом расстоянии от точки O.

При этом отображении точка G_A отображается на точку S_A. Точка G_O, она же точка V_O, точка пересечения множества G_E с осью координат t, отображается на точку S_O. Проложим геодезическую линию по поверхности множества S_T от точки S_O до точки S_A. Теперь, поставим в соответствие отрезку геодезической линии S_OS_A вектор

проходящий вдоль геодезической линии из точки S_O в точку S_A. Вектор v и есть релятивистская скорость в векторной форме, а пространство S_T - пространство релятивистских скоростей.

Топология T пространства была отчасти описана выше, как геометрия пространственно-временных сечений. А топология S_T пространства, это трехмерное пространство с отрицательной кривизной, выше она была описана как топология пространства релятивистских скоростей. Естественно, раз S_T пространство трехмерно, то и векторы, описывающие релятивистскую скорость, это 3-вектора.

Т пространство, это математическая модель реального физического пространства-времени. Его отличие от геометрии Минковского только в том, что для обозначения расстояния между точками не придумывается специальный термин временной интервал, и что топология этого пространства не сводится к топологии евклидовой геометрии, а рассматривается как есть. Это не означает, что физическое пространство именно таково, как его описывает модель Т пространства, физическое пространство значительно сложнее.

При рассмотрении векторов Т пространства, мы для наглядности отображаем их на привычное нам евклидово пространство, только нужно помнить что свойства у этих векторов несколько отличаются от свойств векторов в евклидовом пространстве.

В Т пространстве скорости складываются как вектора на поверхности сферы в евклидовом пространстве. Разница только в том, что сфера в евклидовом пространстве, это подпространство с положительной кривизной, а в Т пространстве величины скоростей складываются на поверхности сферы S_T, которая имеет отрицательную кривизну.

В отличие от пространства классических скоростей, в котором закон сложения скоростей достаточно сложен, в релятивистском пространстве сложение скоростей происходит просто как сложение векторов, не более того. Помним только, что это трехмерное пространство Лобачевского с радиусом кривизны, равным скорости света, поэтому и операции с векторами производятся по правилам неевклидовой геометрии.

Учитываем, что величина c - величина скорости света, это, прежде всего, коэффициент пропорциональности между единицами измерения пространства и единицами измерения времени. Если мы начнем измерять скорость время в секундах, а расстояние в световых секундах, эта величина будет равна единице.

Удобно приводить все расстояния в релятивистском пространстве к скорости света, а радиус кривизны к единице. Тогда можно использовать угловые величины, например, так:

А затем, использовать угловые величины для расчетов при помощи гиперболических функций:

sh |φ|, ch |φ|, th |φ|.

если величина φ мнимая, или гармонические функции, если величина φ действительная:

sin φ, cos φ, tg φ.

Сложение векторов Т пространстве достаточно подробно описано выше, как геометрия пространственно-временных сечений. И еще, не забываем о явлении инверсии свойств прямой линии в пространственно-временных сечениях Т пространства: на множестве последовательных путей, прямая линия это самый длинный путь.

Вот только не нужно думать, что для евклидовой геометрии мы используем одни формулы, а для Т пространства совершенно другие. Формулы те же самые, только используются иначе. В плоских пространственных сечениях, таких, которые образуют трехмерные евклидовы пространства, величины угла φ равны действительному числу. И радиус и длина окружности, которыми мы измеряем величину угла в радианах, в этом случае мнимые величины, а их отношение - величина действительная. Для нахождения величины угла φ между векторами a и b в пространственном сечении, можно использовать следующую формулу векторной алгебры:

В записи, приятой в тензорном исчислении, эта же формула будет выглядеть так:

В левой части этих формул находится значение cos φ, при помощи которого можно определить значение величины φ. Рассмотрим правую часть.

В числителе расположено скалярное произведение векторов a и b. По величине, скалярное произведение векторов a и b равно площади параллелограмма, образованного этими векторами. Эту же величину можно найти при помощи тензорного исчисления, перемножив билинейную форму T_ij на вектора a и b.

Считаем, что разложение a и b векторов по осям координат задано:

и

Для людей, не имевших раньше дело с тензорным исчислением, поясняю, что значки i и j при векторах a и b означают не степень, а верхние индексы.

В ортогональном базисе, то есть в системе координат, в которой все координатные оси попарно перпендикулярны, билинейная форма T_ij является диагональной матрицей

Откуда легко найти величину скалярного произведения векторов зная их компоненты, разложенные по осям координат:

Учитывая, что элементы билинейной формы T_ij, у которых i ≠ j, равны 0, упрощаем выведенное выше уравнение, оставляя только элементы, расположенные по диагонали:

Следовательно, как в обычной евклидовой геометрии, скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений проекций векторов на одну и ту же ось координат. То есть, проекцию вектора a на ось x умножаем на проекцию вектора b на ось x, затем, проекцию вектора a на ось y умножаем на проекцию вектора b на ось y, и так далее. Не забываем только, что пространственную составляющую нужно разделить на квадрат скорости света и взять со знаком минус.

И возвращаясь к формуле:

рассмотрим знаменатель. В знаменателе расположено произведение модулей векторов a и b. Каждый из этих модулей в векторной алгебре можно найти при помощи скалярного произведения вектора на себя:

и

Исходя из этого, можно вывести содержимое знаменателя формулы в тензорном исчислении в приведенной выше формуле.

Когда мы рассматриваем пространственно-временные плоскости между векторами a и b, мы используем ту же самую формулу:

Но теперь, величина угла φ имеет мнимое значение. Здесь могут быть два варианта, когда радиус R действительное число, а длина окружности L мнимое, либо, когда радиус мнимое число, а длина окружности действительное, в любом случае, величина угла φ = L/R является мнимым числом.

Я уже отмечал, что большинство вычислительных средств не поддерживают нахождение функций из мнимых чисел, поэтому мнимое число φ приходится заменять на равное ему по значению действительное число |φ|, а гармоническую функцию cos φ заменяеть на гиперболическую функцию ch |φ|.

Вот в такой форме мы ее и используем для пространственно-временных сечений:

Соответственно, подобным образом при переходе от пространственных сечений к пространственно-временным меняются и другие формулы. Например, при сложении векторов

их соответствующие элементы складываются:

Тогда модуль полученного вектора c можно найти, используя формулы тензорного исчисления и зная величины компонентов векторов a и b:

А еще можно его найти, используя векторную алгебру:

для пространственных сечений, или формулу

для пространственно-временных сечений.

Определив угол между векторами a и b, теперь можно рассчитать релятивистскую и классическую скорость, с которой движутся относительно друг друга два объекта. Один, который движется в направлении заданном вектором a, и другой, который движется в направлении, заданном вектором b.

Нахождение релятивистской скорости сводится просто к выражению величины угла в единицах скорости света:

V = cφ.

По сути, различие между релятивистской скоростью и углом φ, такое, как между углом, выраженным в градусах и углом, выраженным в радианах. И еще, релятивистская и классическая скорости определены только для мнимых значений угла φ, то есть, для пространственно-временных сечений.

Классическая скорость пропорциональна гиперболическому тангенсу угла φ:

Во многих случаях, скорость, классическая и релятивистская, измеряется относительно выбранной системы отсчета. Тогда угол измеряется относительно оси времени выбранной системы отсчета, относительно оси времени выбранной системы координат. Тогда угол между осью времени t и вектором a может быть найден следующим образом.

Имеем два вектора, один из них параллелен оси времени:

Другой вектор расположен под углом к этой оси:

Угол между ними можно определить по формуле:

Рассмотрим ее по частям.

Остальные члены этой суммы равны нулю.

Угол φ, в данном случае, определенно мнимое число, поэтому используем форму ch |φ|, и в результате получаем:

То есть, гиперболический косинус угла φ равен отношению величины прилежащего катета к гипотенузе. Вот только гипотенуза, в соответствии с инверсией свойств прямой, в этом случае оказывается короче этого катета.

Когда мы переходим к рассмотрению зависимости между массой, энергией и импульсом, то просто следует напомнить, все происходит так, как будто масса частицы пропорциональна ее длине во времени. В собственном времени. И направление этой длины тоже совпадает с собственным временем. Поэтому, почти ничего принципиально нового, по отношению к уже сказанному выше, здесь нет. Просто масса частицы рассматривается как вектор, с определенными компонентами:

У вектора m_i есть действительная и мнимая составляющие. Из действительной составляющей можно найти энергию частицы:

Из мнимой составляющей можно найти импульс частицы как вектор:

или как модуль:

В математике модуль вектора обычно считается действительным числом, поскольку в евклидовой математике длина отрезка это всегда действительное число. Модули вектора p и его компонентов - равны положительным мнимым числам или нулю.

При скоростях значительно меньших, чем скорость света, можно использовать приближенные формулы классической физики. Для этого достаточно вспомнить формулы для приближеных вычислений:

Тогда при малых скоростях можно использовать классическую скорость вместо релятивистской скорости:

При малых скоростях можно использовать классическую скорость для вычисления величины импульса движущегося объекта:

Также, при малых скоростях можно использовать классическую формулу для вычисления энергии движущегося объекта:

Учитывая, что величина φ = V/c мнимая, получаем:

В классической формуле для вычисления энергии движущегося тела два члена, mc² - который связывается в классической физике с энергией самого вещества, и mv²/2 - в классической физике кинетическая энергия движущегося объекта.