Митасов Андрей Павлович : другие произведения.

Металоция неведомого. Модуль Д. Долбежка

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками Юридические услуги. Круглосуточно
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Безнадежные попытки найти основания для математики временных процессов.
    Исключительно для экстремалов.
    Крайнее изменение 25.12.2024
  
  "Репортер обращается к известному преподавателю математики:
  - А Вы знаете, что Ваш ученик NNN стал писателем-фантастом?
  - Ну, это-то понятно. Для занятий математикой у него было слишком мало
  ... фантазии."
  Из математического фольклора.
  
  Оглавление:
   Вместо введения.
   Долбежка "фундаментального вращения".
   Долбежка "метафизики бесконечности".
   Повторение мать учения.
   Долбежка "порядковых образов".
   Долбежка "теории двойственности".
   Долбежка "метафизики инвариантности".
   Долбежка "бардака". Часть 1.
   Долбежка "бардака". Часть 2.
   Долбежка "бардака". Часть 3.
   "Звонок другу" по поводу "бардака".
   Долбежка "псевдосферы".
   Немножко "iмагической" истории.
   Размышлизмы об "iмагическом".
   Правильное изобретение чисел.
  
  Иллюстрации:
   Тральщики"Наставник" от "Модели Kandinsky 3.1".
   "Конформное отображение законов" от Bing.
   "Голографический принцип во фрактальной размерности" от Bing.
   "Пространство с дробно-отрицательной размерностью" от Copilot.
  
  
  =========
  
  09.10.2023 17:12
  
  Вместо введения.
  В оглавление.
  
  Так уж сложилось, что несмотря на отличные оценки в школе и вузе,
  все успехи в математических/физических олимпиадах
  и большие усилия по самостоятельному освоению этих предметов,
  мои знания в этих направлениях по "классической шкале" практически нулевые.
  Причин для этого, наверняка, далеко не одна,
  и самая главная, что мне хотелось получить
  какое-то особое интуитивное ПОНИМАНИЕ
  тех математических конструкций, которые пытался изучать.
  В итоге так ничего толком, кроме логарифмической линейки, и не освоил.
  
  Я долго не понимал главную свою проблему в изучении математики,
  пока в одной из дискуссий с ИИ-моделью Bing,
  не осознал, что "классическая математика" требует умения мыслить
  в строгих рамках заранее заданных правил,
  а я пытаюсь подойти к ней с инженерным подходом "на понимание",
  ориентируясь на какие-то ассоциации/интуиции/здравый смысл. Подробнее см.:
  Математический "Рубикон".
  
  После этого я достаточно надолго забросил дальнейшие попытки освоения математики,
  осознавая и что себя, наверно, уже "не переломишь",
  да и времени пройти "академически правильным" путем к той цели,
  ради которой собственно и занимался "долбежкой" математической твердыни,
  наверно, уже не хватит.
  Так осталась книга Роджера Пенроуза
  "ПУТЬ К РЕАЛЬНОСТИ, или ЗАКОНЫ, УПРАВЛЯЮЩИЕ ВСЕЛЕННОЙ.
  Полный путеводитель".
  проработанной только до 421 страницы.
  И желания прорабатывать оставшиеся еще примерно столько же страниц
  как-то уже не возникало.
  "Не мое".
  Как-нибудь в другой жизни.
  
  Но цель то осталась.
  Найти подходящую "математику" для описания временнЫх процессов.
  Значит надо искать другой путь.
  Говорят, что "в математике нет царских путей",
  но может быть есть "инженерный"?
  Или вообще какой-то принципиально иной,
  если речь идет о существенно ИНОЙ математике?
  Как говорила одна героиня моей любимой писательницы Лоис МакМастер Буджолд
  "Целься выше, даже если и промажешь, то не отстрелишь себе что-то ценное".
  
  10.10.2024 8:39
  
  Что я понимаю под ИНОЙ математикой?
  Математику ориентированную на реальные процессы,
  а не идеализированные модели.
  Самый главный момент, который хотелось бы донести в этом параграфе,
  что все здание современной математики построено
  на идее/законе/аксиоме ТОЖДЕСТВА.
  А реальный мир, как я представляю, реализован по принципу УНИКАЛЬНОСТИ.
  И сила современной математики, и одновременно ее слабость,
  в умении как-то преодолевать/игнорировать эту уникальность.
  Собственно, сама суть математики заключается в представлении
  уникальных процессов/элементов "типовыми"/"унифицированными"/"единаковыми" объектами,
  и оперирования ими стандартизированными методами.
  Причем, сами эти методы разработаны/доказаны/испытаны именно
  для в чем-то тождественных объектов.
  
  Сама концепция математики как универсального средства познания Мироздания
  сформировалась под влиянием представления о "горнем" мире неизменных Идей
  Платона или даже еще Пифагора. И оказалась очень продуктивной
  в том смысле, что выявляя общие свойства у объектов/процессов,
  можно до определенного предела считать другие различные их свойства несущественными
  и оперировать этими объектами/процессами как однородными/подобными,
  используя различные аналогии/методы/теоремы/формулы и т.д.
  Да и сами эти методы/теоремы/формулы выстроены опираясь на логику,
  в которой главный и основной базовый закон это закон тождества:
  А = А.
  
  Хотя еще Гераклит говорил, что "нельзя дважды войти в одну и ту же реку".
  Но это считалось верным только для нашего "подлунного мира",
  а вот для "горнего" мира, в котором есть только идеальные объекты,
  все во веки веков неизменно.
  И задача математики привести "грубую реальность"
  под "стандарты" идеальных конструкций.
  И такое "приведение" основано именно на "законе тождества".
  А успешное использование такой парадигмы на протяжении последних
  нескольких тысяч лет только увековечило
  НЕЗЫБЛЕМОСТЬ такого подхода,
  и, попутно, создало иллюзию априорной истинности
  и ЕДИНСТВЕННОСТИ выбранного пути.
  
  Но Мироздание БеЗконечно, и, в моем представлении,
  "единственность" возможна только как УНИКАЛЬНОСТЬ,
  а не как "единаковость".
  Почему бы и в отношении "математики" это представление
  не может иметь какие-то основания/следствия?
  
  Тем более, что в последнее время при решении все более и более сложных задач
  по оценке/предсказанию поведения реальных систем,
  например, тех же больших языковых моделей, существующая математика
  достаточно часто оказывает малоэффективна, а то и просто бессильна.
  Мне представляется, что это во многом из-за подхода,
  при котором сначала описываются какие-то общие свойства,
  а затем к ним пытаются добавить какие-то уникальные поправки.
  Но, может быть, стоит попытаться попробовать сделать НАОБОРОТ.
  Идти от уникальности, а "общие свойства" учитывать как "поправки".
  
  Понятно, что это какой-то ИНОЙ подход к использованию
  уже наработанного математического аппарата.
  И, будем честными, шансов хоть на какое-то результативное продвижение
  в таком направлении даже не нулевые, а строго "отрицательные".
  И надежда только именно на эту "отрицательную вероятность",
  для которой тоже в нынешней математике нет места.
  Впрочем, как и многим другим "фантазиям"
  типа "дробно-отрицательной размерности пространства".
  
  Но тема уж больно интересная.
  И если самому мне вряд ли что-то такое удастся "измыслить",
  то даже поискать на бескрайних просторах Инета материалы,
  в которых авторы что-то подобное ищут, но куда более квалифицировано,
  реально очень захватывающее действо.
  //// Тут на днях, придя предельно уставший с работы, попробовал почитать
  //// рекомендованные кем-то последние фантастические бестселлеры.
  //// Но как-то после первого десятка страниц ни один читать не смог
  //// - скучно и тривиально.
  //// В итоге решил закончить проработку очередного номера журнала "Метафизика",
  //// и там наткнувшись как раз на статью по новым основаниям математики,
  //// реально увлекся, и даже, как-бы, "отдохнул душой и телом".
  //// И больше того, появилась уверенность в том,
  //// что все предыдущие безуспешные "долбежки" математических текстов,
  //// в том числе и этого же автора, были далеко не напрасны.
  /////// Эта статья будет уже в следующем фрагменте данного модуля.
  
  Замысел, направленность и концепция этого модуля сформировалась не сразу.
  Первоначально я пытался собрать такие материалы в "Модуле Л.Ликбез",
  но туда по формату попадали только простые для чтения и понимания фрагменты
  о проблемах современной математики:
  Контринтуитивные следствия "Закона больших чисел" на примерах.
  О реальной "хрупкости" Центральной Предельной Теоремы.
  Об оценке корреляции временных рядов простыми словами.
  К вопросу о корреляции разнородных нестационарных процессов.
  А вот о поиске решений, обычно на порядок, а то и два,
  более сложные для восприятия материалы,
  оставались "неприкаянными".
  
  Собственно для таких материалов и организуется этот модуль,
  с четким осознанием того, что читателями его могут быть только
  полные "отморозки"/"экстремалы",
  так как никакой практической ценности извлечь из этой "долбежки твердыни науки"
  в ближайшее время точно не удастся.
  
  Но как показал опыт работы на всем проектом,
  организация материалов в специализированный модуль
  хорошо дисциплинирует и, в каком-то смысле, организует всю работу.
  А то, что идеи, которые возможно удастся уловить в процессе такой "долбежки",
  пусть и не в этой жизни, но точно когда-то пригодятся.
  
  Так что "пристегните ремни" или "переключайтесь на другой канал".
  "Долбежка" начинается.
  
  "Конформное отображение законов с использованием углов"
  Создано с помощью искусственного интеллекта Bing на платформе DALL" E 3.
  Конформное отображение законов с использованием углов: OIG.clcPj3QQhLy2ZnE8EDOX.jpg
  
  
  ========
  
  07.09.2024 23:18
  
  Долбежка "фундаментального вращения".
  В оглавление.
  
  Вообще-то "фундаментальное вращение" было введено автором этого материала
  в круг математических идей уже несколько лет назад в целом ряде статей.
  Но вот уточнить, под какие "священные догматы" подкапывается эта идея
  автор не спешил, и только из этого материала стало понятно "куда он клонит".
  И в какой-то мере это послужило толчком к попытке оформления таких материалов
  в рамках данного модуля.
  
  Поэтому я с явным удовольствием начинаю работу в этом модуле
  именно с него:
  
  "<НЕСТАНДАРТНЫЙ> ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ II:
  ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВРАЩЕНИЯ, ПОРЯДКОВАЯ ПАРАДИГМА"
  Автор: С.А. Векшенов
  Метафизика, 2024, No 2 (52). ISSN 2224-7580 стр.35
  https://mega.rudn.ru/file/Метафизика%20%202-6.pdf
  
  DOI: 10.22363/2224-7580-2024-2-35-51
  EDN: ZELMZW
  
  Российская академия образования
  Российская Федерация, 119121, Москва, ул. Погодинская, д. 8
  
  //// Начало цитирования.
  
  Аннотация.
  Данная статья является второй
  из серии <нестандартного> формализма квантовой теории.
  В ней развивается теоретико-множественная парадигма,
  обосновывается понятие фундаментального вращения,
  которое на интуитивном уровне было введено в первой статье серии.
  Показывается, что фундаментальное вращение является
  носителем порядковой бесконечности.
  Доказывается ряд теорем о соотношении носителей порядковой
  и количественной бесконечностей.
  В частности, формулируются условия,
  при которых носитель бесконечности является множеством.
  Показывается, что для теоретико-множественного континуума S(N)
  это условие не выполняется,
  и, следовательно, S(N), вопреки желанию Г. Кантора,
  не является множеством.
  
  Данная статья является продолжением (второй частью) статьи,
  первая часть которой опубликована в журнале <Метафизика> (2023, No 2)
  и включает положения теоретико-множественной парадигмы.
  В третьей части, планируемой к опубликованию,
  формулируется и развивается порядковая парадигма.
  
  Введение
  
  Ключевым понятием нестандартного формализма квантовой теории
  является понятие фундаментального вращения.
  Вернемся еще раз к контексту возникновения этого понятия.
  
  Основой классического формализма квантовой механики, как известно,
  является постулат де Бройля, который, по выражению А. Эйнштейна,
  <поднял полог великого занавеса>.
  Классическая формулировка этого постулата о дуализме волны и частицы известна.
  Однако мало кто обращал внимание,
  что в формулировке этого постулата присутствует понятие <фиктивной волны>
  (onde fictive),
  которое представляет собой совершенно особую абстракцию.
  Сравнительно недавно на это обратил внимание А.П. Ефремов,
  который отметил, что <фиктивная> волна, с точки зрения де Бройля,
  не переносит энергию,
  но представляет собой определенное проявление
  периодического процесса,
  происходящего <внутри> рассматриваемой частицы.
  //// Не пытаясь как либо комментировать положения квантовой теории
  //// в любой интерпретации, хочется отметить,
  //// что "проявление периодического процесса, происходящего <внутри>..."
  //// может также означать, что вообще сам объект с таким свойством,
  //// возможно, стоит с самого начала рассматривать как ПРОЦЕСС.
  
  Этот периодический процесс может быть реализован по-разному:
   в рамках непрерывной среды,
  что приводит собственно к <фиктивной волне>,
  которая не переносит энергию,
  но для неё выполняется принцип суперпозиции,
  который, строго говоря, является постулатом;
   в виде столь же <фиктивного>, не физического, вращения,
  которое осуществляется вне какой-либо среды;
  единственными характеристиками такого вращения являются направление и период.
  //// Тут интересно, сама концепция "не физического, вращения",
  //// со связанными характеристиками "направления и периода".
  Дальнейшее развитие квантовой теории, как известно,
  пошло по первому пути.
  
  Фиктивная волна ?(t) заменялась вектором состояния ?(t)?,
  принадлежащим гильбертову пространству Н.
  Это позволяет развить операторный формализм с переходом
  к более абстрактной С*-алгебре.
  Логика развития квантовой механики при таком подходе
  вела к уравнениям и группам Ли, преимущественно группам вращений.
  Естественным методологическим ходом явился переход от групп Ли к алгебрам Ли.
  
  Операторный формализм позволил извлечь из основополагающей идеи де Бройля
  очень много практически значимой информации,
  но мало приблизил к пониманию сути квантовой теории.
  Это создало почву для поиска более глубоких онтологических основ этой теории
  и соответствующих им формализмов.
  Список авторов, предложивших различные онтологические концепции,
  достаточно велик: В. Гейзенберг, В. Паули, К. Вайцзеккер, Р. Пенроуз,
  Ю.С. Владимиров, В.В. Варламов, А.П. Ефремов и др. [5].
  В их построениях были реализованы самые различные подходы,
  но при этом обнаружилось и устойчивое пересечение:
  все эти подходы, так или иначе, опирались на понятие спинора.
  Посмотрим на него более внимательно.
  
  Простейшим контекстом возникновения спинора является многозначность,
  свойственная функциям комплексного переменного,
  в частности, функции z = w.
  Риманова поверхность этой функции дает трактовку спинорного объекта
  как объекта с периодом 4pi.
  
  Проявление <спинорности> возникает и в более содержательных ситуациях.
  Как известно, трехмерное пространство Лобачевского L3 можно рассматривать
  как абсолют (множество бесконечно удаленных точек)
  четырехмерного пространства Минковского М4.
  При этом электромагнитному вектору в М4 соответствует винт
  (фактически спинор) в пространстве L3.
  На этот факт обратил внимание А.П. Котельников еще в 1926 г. [10].
  Эта работа прошла совершенно не замеченной,
  хотя из нее можно было сделать далеко идущие выводы
  (абсолют пространства Лобачевского L3 гомеоморфен сфере Римана,
  все вместе взятое ведет к конструкции, близкой к конструкции Р. Пенроуза).
  
  Строгое определение спинора можно дать, например, в рамках алгебры Клиффорда
  как элемента ее минимального левого идеала.
  Понятие спинора прямо или косвенно опирается на понятие комплексного числа.
  Для развития операторного формализма этот факт является чисто техническим.
  //// Но необходимым.
  Однако использование комплексных чисел
  как онтологической основы квантовой теории
  порождает существенные коллизии.
  
  Поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел,
  которые, в свою очередь, являются абстракцией от макроскопических измерений.
  Фиктивная волна де Бройля, которая представляется комплексным вектором,
  распространяется в непрерывной среде,
  которая также описывается действительными числами.
  Следовательно, квантовая теория, основанная на операторном формализме,
  на самом фундаментальном уровне явно опирается на идею непрерывного.
  Погружение с этом балластом в глубины микромира,
  где a'priori нет ни геометрии, ни множеств
  неизбежно приведет к трансформации логических коллизий в содержательные.
  Проблемы Стандартной модели являются одной из иллюстраций такой трансформации.
  
  Очевидно, что онтологические основы теории должны быть
  в максимальной степени свободны от любых априорных утверждений.
  Идеальный пример - теория множеств,
  где на основе совершенно общего понятия множества и отношения принадлежности
  была построена практически вся математика.
  
  Разумеется, противоречия и коллизии будут в любом построении:
  <Как уст румяных без улыбки, без грамматической ошибки
  я русской речи не люблю...>.
  Преодолевая одни коллизии, мы неизбежно создаем новые,
  в тот момент еще не осознанные.
  Промежуток между <преодолением> и <осознанием> и создает эффект продвижения.
  //// Красивое определение Стоит запомнить.
  //// А может еще и переосмыслить.
  //// Интересная цепочка "преодоление" - "продвижение" - "осознание".
  //// Интересно, может быть она положена основу варианта разрешения
  //// тех же "апорий Зенона"?
  
  Всё сказанное выше делает осмысленным обращения
  ко второй из названных выше возможностей реализации
  основополагающей идеи де Бройля:
  через не физическое, <фиктивное> вращение,
  которое названо <фундаментальным> вращением (ФВ).
  
  Фундаментальное вращение - это вращение в отсутствии среды,
  но в нем сконцентрировано представление обо всех периодических процессах,
  протекающих в любых средах.
  //// Основное отличие ФВ от просто периодического процесса,
  //// это наличие "направления"/"оси вращения".
  //// И это самое трудный момент в обосновании данной концепции.
  Можно сказать, что это некий аналог ручных часов,
  по которым можно следить за течением времени по всему пространству
  (релятивистские эффекты в данном контексте не обсуждаются).
  Характеристикой ФВ является его направление и период.
  Более того, можно сказать, что само фундаментальное вращение
  и есть период как таковой
  (здесь можно увидеть применение известного в математике <принципа отчуждения>,
  когда свойство становится объектом).
  Принципиально важной характеристикой ФВ является направление по часовой стрелке
  или против часовой стрелки.
  //// Таким определением, сложность понимания "направления",
  //// вроде как уменьшается, но на самом деле возводится в максимальную степень,
  //// так как требует какого фундаментального объяснения,
  //// ПРИЧИНЫ той или иной ориентации.
  //// И эта причина, на мой взгляд, лежит куда глубже
  //// "уровня квантов".
  Таким образом, фундаментальное вращение является простейшим бинарным объектом.
  Выявление онтологической сущности таких объектов можно проследить
  в работах и дискуссиях В. Гейзенберга, В. Паули и К. Вайцзеккера.
  В конечном итоге это вылилось в концепцию Uralternativen
  сформулированную К. Вайцзеккером,
  преимущественно, на философском уровне [12].
  
  Понятие фундаментального вращения можно отнести к конкретной реализации Uralternativen.
  В этом качестве ФВ крайне многопланово.
  В частности: ? фундаментальное вращение ? можно рассматривать
  как прообраз экспоненциальной формы комплексного числа re**i*fi при r=1;
  ? из двух ФВ ? и ? можно <склеить> фундаментальное вращение ??,
  которое можно рассматривать как прообраз спинора
  (аналогично как пара волновых векторов определяет двухкомпонентный спинор);
  ? из фундаментальных вращений противоположной направленности
  ? и ? может быть построена модель действительных чисел Конвея,
  любая последовательность фундаментальных вращений
  определяет действительное число, в частности ?? ~ 1/2;
  ? используя соотношение Бора - Зомерфельда pdq ? , ? ? ?
  можно соотнести ? с постоянной Планка ?.
  
  ФВ является простым и полезным инструментом построения мультиплетов
  в контексте представления групп вращения.
  Более подробно об этом было сказано в 1-й части <Нестандартного формализма>.
  Следует отметить, что для концепции Uralternativen
  можно найти и другие реализации.
  Например, в работе Д.Д. Иваненко, Г.А. Сарданашвили 1981 г. [7]
  было определено понятие <преспинора>
  как бинарного объекта, инвариантного
  относительно простейшей группы отражений Z2 = (1, s: s2 = 1).
  Поскольку преспиноры можно было рассматривать
  как генераторы группы Коксетера,
  это позволяло реализовать традиционную для данной области логику:
  к мультиплетам через представление группы.
  В нашем подходе ключевую роль играет понятие фундаментального вращения,
  которое является носителем бинарности.
  Кроме того, оно обладает рядом принципиально важных свойств,
  позволяющих, в частности, строить мультиплеты наиболее прямым способом
  - как комбинации фундаментальных вращений.
  
  Осталось ответить на главный вопрос:
  что представляет собой фундаментальное вращение как математическое понятие?
  //// Странно, но мне почему-то, кажется более "фундаментальным"
  //// вопрос о "физическом представлении" ФВ.
  //// Кажется, что опять "математическая телега" ставится впереди
  //// "физической лошади". Если будет физическая интерпретация,
  //// то наверняка найдется подходящее математическое представление,
  //// а вот наоборот, как свидетельствую история квантовой физики,
  //// совсем не обязательно. Но такова уж нынешняя традиция матфизики.
  //// "Математика всему голова".
  Разумеется, можно оставаться в рамках интуитивных представлений о ФВ
  и двигаться дальше.
  Однако при этом есть опасность подмены ФВ одним из понятий
  теоретико-множественного пантеона,
  что сведёт на нет всё построение.
  Такой разворот более чем реален.
  
  Согласно сложившейся в ХХ в. методологии,
  любую возникшую абстракцию необходимо подвести
  под какую-либо теоретико-множественную структуру
  или обрисовать связи с этой структурой.
  Эту особенность теоретико-множественной математики
  очень ярко описал выдающийся чешский математик П. Вопенка:
  <Все математические объекты: могут быть построены
  как структуры в теории множеств.
  Точнее, эти объекты можно задать в теории множеств их каноническими моделями
  так, что изучение оригинальных объектов
  заменялось изучением соответствующих моделей.
  Теория множеств открыла путь к изучению необъятного количества
  различных структур
  и беспрецедентному росту знаний относительно них:
  Все структуры, изученные в математике, априори жестко заданы,
  и роль математика есть просто роль наблюдателя их описывающего...> [6].
  
  Фундаментальное вращение представляет собой абстракцию,
  //// А если все-таки не только "абстракцию"?
  в которой заключено внутреннее движение.
  Очевидно, что подобрать или создать
  статическую теоретико-множественную структуру,
  адекватно представляющую эту абстракцию,
  принципиально невозможно.
  В этой связи создание адекватной математической модели
  названной абстракции требует самого радикального,
  со времен создания теории множеств Г. Кантором,
  осмысления оснований математики.
  //// Вот только за эту одну фразу, помимо всего прочего,
  //// я благодарен автору.
  //// Так как именно она меня подтолкнула к мысли,
  //// что стоит задуматься о том, чтобы "целиться выше".
  //// И попытаться как-то оформить/преобразовать свои мысли/претензии
  //// к "закону тождества" в какой-то осмысленный и управляемый процесс.
  
  Разумеется, речь идет не только об этой - в целом - частной проблеме.
  //// А отсюда начинается просто "невысказанная песня исстрадавшейся души".
  Теоретико-множественная парадигма сформировала
  специфический взгляд на реальность.
  Её главной особенностью является отсутствие идеи длительности,
  которая заменяется теоретико-множественными конструкциями.
  Простейший пример - упорядоченное множество,
  которое является простейшей моделью времени.
  Пространство-время Минковского также является
  теоретико-множественной структурой,
  в которой время <подверстано> под пространство,
  что имеет очевидные технические достоинства,
  однако его физическое содержание весьма проблемно.
  //// И в конечном виде сводит само понятие "время"/"длительность"
  //// к еще одной теоретико-множественной конструкции,
  //// например, в виде "энтропии".
  
  Список подобных структур можно множить и множить.
  Вопрос о том, насколько эти структуры соответствуют <порядку вещей>,
  не корректен,
  так как он относится к самой теоретико-множественной парадигме
  и ее взаимоотношению с реальностью в любом ее понимании.
  //// А если покопаться дальше в глубине "теоретико-множественной парадигмы"
  //// основным фундаментом окажется "закон тождества",
  //// как единственно признанный на сегодня вариант сопоставления объектов/структур.
  
  На данный момент эта парадигма, несомненно, доминирует
  и видится практически абсолютной.
  Однако смена парадигмы, как справедливо утверждает Т. Кун,
  заложена в ее природе.
  Очертив круг задач, оно одновременно высвечивает границу своих возможностей.
  Рано или поздно эта граница будет преодолена
  и начнет формироваться альтернативная концепция.
  Оформление этой концепции в полноценную парадигму может затянуться на годы,
  что не меняет положение дел.
  
  Одновременно можно констатировать,
  что, несмотря на исключительное положение в математике,
  теоретико-множественный аппарат достиг своего <потолка>.
  Теоретико-множественные конструкции, прежде всего теоретико-групповые,
  становятся все более изощренными и все менее эффективными,
  их возможности практически исчерпаны.
  Таким образом, вопрос об альтернативной парадигме
  и, соответственно, альтернативном математическом аппарате
  становится все более острым.
  Разумеется, эта парадигма не может быть создана искусственно
  - <в пику> сложившимся теоретико-множественным представлениям.
  Ее оформление обусловлено внутренней логикой самой математики,
  и к этой логике стоит прислушаться.
  
  Таким образом, осмысление постулата де Бройля,
  а следовательно, всего операторного формализма квантовой теории
  с неизбежностью ведет к осмыслению теоретико-множественной концепции в целом
  и выработке более общей теории,
  включающей теорию множеств Кантора.
  
  Начала этой теории представлены в настоящей работе.
  Тезисно сформулируем изложенные далее положения.
  
  1. Фундаментальным фактом математики является двойственная природа числа:
  оно является единством количественной и порядковой составляющих.
  Например, число <семь> - это обозначение семи предметов
  или <седьмого> предмета в некотором пересчете.
  //// Уже вот в этом определении "седьмой", можно попытаться увидеть отход
  //// от "постулата тождественности",
  //// так как определение "седьмой" категория "относительная",
  //// в отличии от "абсолютной" характеристики "семь".
  //// И чтобы "преодолеть"/"использовать" эту "относительность",
  //// требуется использовать некую уникальную характеристику
  //// не только самого объекта, но и "системы отсчета"
  //// в рамках которой рассматривается характеристика "седьмой".
  //// Во всяком случае, где-то тут у меня уже не только на интуитивном уровне,
  //// прорезался интерес к "порядковой составляющей".
  Парадоксальный факт состоит в том,
  что современная математика, идейно оформившаяся в конце ХIХ в.,
  берет за основу исключительно количественную составляющую числа.
  Прямым следствием этого выбора стало оформление теории множеств,
  которая, в свою очередь, стала базой
  для создания теоретико-множественных моделей
  - разнообразных структур множеств, важнейшей из которых является группа.
  Таким образом, ключевое для современной физики понятие группы
  <завязано> на теоретико-множественную парадигму.
  
  Ключевым фактором действенности теоретико-множественной парадигмы
  является актуальная (завершенная) бесконечность,
  которая в рамках названной парадигмы неизбежно носит количественный характер.
  Соответственно, множество выступает носителем этой бесконечности.
  
  2. Альтернативой названной парадигме является порядковая парадигма,
  которая отдает предпочтение порядковой составляющей числа.
  При этом в полной мере реализовывается принцип дополнительности:
  названные альтернативы не противоречат,
  а дополняют друг друга.
  Ключевым моментом данной парадигмы
  является введение порядковой бесконечности ?
  и установление принципиально важного неравенства:
  для любого ? ? ? ??, где ?? - кардинальное число,
  реализующее количественную бесконечность.
  Данное соотношение говорит о том, что порядковых чисел больше,
  чем количественных.
  
  В метафизическом плане это означает, что сосчитываемых объектов меньше,
  чем объектов нумеруемых.
  //// Или, с обратной стороны, и тоже "в метафизическом плане",
  //// "объекты" могут ОДНОВРЕМЕННО участвовать
  //// в значительно большем количестве ПРОЦЕССОВ,
  //// представляемых уникальными "последовательностями".
  //// Наверно, получилось не очень понятно,
  //// но не знаю как еще выразить по другому
  //// возможность участия физических объектов в процессах
  //// многомерного и многоуровневого Мироздания.
  //// Ведь "математика" это ведь способ описания/понимания Мироздания,
  //// а не "шаблон" по которому "построено Мироздание".
  Таким образом, существует объект, про который можно сказать,
  что он в некотором пересчете,
  но про который нельзя сказать, что он имеет n элементов
  (это все равно, что можно сказать <второй>, но нельзя сказать <два>).
  Принимая также во внимание известные философские традиции
  связывать количество с пространством,
  а бесконечность со временем,
  можно заключить, что бесконечность пространства меньше,
  чем бесконечность времени.
  
  Принципиальный факт:
  носителем порядковой бесконечности ?
  является фундаментальное вращение!
  //// А если допустить, что ФВ имеет какое-то "материальное воплощение",
  //// можно ли тогда перейти от "количественной беСконечности"
  //// к "порядковой беЗконечности" Мироздания?
  
  3. Порядковая бесконечность ? (фундаментальное вращение ?)
  по отношению к теоретико-множественному универсуму занимает то же место,
  что и бесконечно удаленная точка по отношению к евклидовому пространству.
  Совокупность бесконечно удаленных точек образует абсолют,
  который является вполне конкретным объектом.
  Абсолютом теоретико-множественного универсума U является континуум,
  построенный из простейших фундаментальных вращений.
  Поскольку каждое ФВ можно соотнести с постоянной Планка
  (см. статью I данной серии),
  можно утверждать, что абсолютом U является континуум,
  в котором единицей измерения выступает постоянная Планка ?.
  Этот удивительный факт заслуживает самого серьезного анализа.
  
  4 Введение бесконечности ? позволяет развить единую теорию бесконечности
  как теорию о свойствах бесконечных объектов
  как результатов стабилизации процесса ? относительно предикатов Тi
  и о свойствах носителей этих бесконечностей.
  Принципиальное значение имеют следующие теоремы:
  
   теорема 1.
  Для того чтобы из процесса ? можно было бы выделить множество,
  необходимо, чтобы его шаги различались,
  по крайней мере, двумя предикатами,
  TZ (порядка) и TR (количества);
  
   теорема 2.
  Если шаги процесса ? различимы предикатом TR
  и если из условия, что шаги х и у различимы предикатом TR ,
  следует, что они различимы и предикатом TZ,
  и, наоборот, если они различимы TZ,
  то они различимы и TR,
  то есть TR ~ TZ.
  В этом случае процесс ? эквивалентен натуральному ряду.
  
  5. Из теоремы 1 вытекает,
  что элементы теоретико-множественного континуума S(N)
  различимы только одним предикатом (следствие аксиомы выбора),
  и, следовательно, континуум не является множеством.
  Это дает окончательное решение континуум-проблемы Кантора.
  Прямая конструкция такого континуума будет представлена
  в 3-й части <Нестандартного формализма>.
  
  //// Ну, тут у меня, безусловно, не хватит математической "подготовки"
  //// чтобы связать "теорему 1" с "постулатом уникальности",
  //// но есть интуитивное ощущение,
  //// что "различие, по крайней мере, двумя предикатами",
  //// как-то можно "спроецировать" на критерии "уникальности"/"общности".
  
  1. От теории множеств к единой теории бесконечного
  
  Теория множеств - общепринятый язык
  или общепринятая онтология современной математики.
  Эти качества столь просты и естественны,
  что сама математика видится воплощением носителя этих качеств - теории множеств.
  Однако это далеко не так.
  Теория множеств - это мощная, влиятельная,
  но все же только парадигма математики.
  Не единственно возможная.
  Если в современной физике можно выделить
  геометрическую, полевую и реляционную парадигмы,
  то в математике также можно констатировать по крайней мере две парадигмы.
  Одной из них как раз и является теоретико-множественная парадигма.
  
  1.1. Теоретико-множественная парадигма
  Теория множеств была создана Г. Кантором в промежутке между 1874 и 1896 гг.
  Активным, но не всегда обозначенным соавтором этой теории
  (Кантор называл ее Mengenlehre - <Учение о множествах>) был Р. Дедекинд.
  Немного раньше и совершенно самостоятельно основные идеи этой теории
  были сформулированы Б. Больцано.
  
  Свехзадачей Г. Кантора была расширение натурального ряда 1,2,3, :, n
  в область трансфинитного.
  Теоретико-множественная идеология возникла и оформилась
  в процессе решения именно этой задачи.
  Проследим, как это произошло.
  
  Рассмотрим для начала оригинальную схему Г. Кантора,
  представленную в его классическом труде
  Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehe. Leipzig. 1883.
  
  Воспроизведем фрагмент этой работы по русскому переводу.
  <Ряд положительных натуральных чисел 1, 2, ..., n
  имеет источником своего возникновения повторное введение и объединение единиц,
  положенных в основу и рассматриваемых как равные.
  //// Т.е. "тождественные".
  Число n есть выражение как определенного количества,
  так и соединения рассматриваемых единиц в одно целое.
  Таким образом, образование конечных целых чисел
  основывается на принципе присоединения единицы к некоторому имеющемуся,
  уже образованному числу...
  Назовем это первым принципом порождения.
  С другой стороны, нет ничего нелепого в том,
  чтобы вообразить себе некоторое новое число, обозначим его ?,
  которое должно быть выражением того,
  что нам дана согласно своему закону в своей естественной последовательности
  вся совокупность 1, 2, 3, ..., n, ...
  (подобно тому, как n служит выражением того,
  что известное конечное число единиц соединено в одно целое).
  Можно даже вообразить число ? пределом (выделено нами. - С.В.),
  к которому стремятся числа n,
  если понимать под этим лишь то, что ? должно быть первым целым числом,
  которое следует за всеми числами n, ... .
  Это второй принцип порождения.
  Допуская за введением числа ? следование дальнейших присоединений единицы,
  мы получим с помощью первого принципа порождения числа:
  ? +1, ? +2, ..., ? + n, ...
  Так как мы при этом снова не приходим к наибольшему числу,
  то воображаем себе новое число, которое можно обозначить 2?.
  Если снова применить к числу 2? первый принцип порождения,
  то мы приходим к продолжению: 2? +1, 2? + 2, ... , 2? + n, ... и т.д.>
  [8. С. 92].
  
  Анализ этого фрагмента показывает,
  что Кантор изначально мыслил натуральное число,
  состоящее из конечного числа различимых частей.
  Это позволяет ему естественно перейти к числу ?,
  состоящему из бесконечного числа частей.
  Такая точка зрения вполне оправданна, но она не является обязательной.
  Дело в том, что число изначально мыслилось как нечто неделимое,
  а возможность его разбиения на части
  //// Причем тождественные.
  есть не более чем необходимая для Кантора гипотеза.
  
  На целостное понимание числа (со ссылкой на неоплатоников) указывал,
  в частности, А.Ф. Лосев:
  <...необходимо отграничить число от количества.
  В чем разница между тем и другим?
  Наиболее ясным является здесь то,
  что количество является вторичным качеством по сравнению с числом...
  Когда говорят о пяти копейках,
  то <пять> в данном случае является количеством...
  Выражаясь точнее, количество предполагает переход числа в инобытие
  и применение числа для осязания (пересчета) этого количества.
  Число дано само по себе и является самостоятельным предметом мысли.
  Когда же речь идет о количестве,
  мы уже покинули число как таковое и перестаем созерцать его
  в его полной самостоятельности>
  [11. С. 94].
  
  Замечание А.Ф. Лосева очень существенно
  - число не исчерпывается количеством,
  однако для Кантора принципиальным было именно количественное понимание числа,
  то есть каждое число (конечное или бесконечное)
  состоит из конечного или бесконечного числа частей.
  Это принципиальный момент всей теоретико-множественной парадигмы,
  позволяющий осуществить прорыв в бесконечное.
  Само же понятие множества возникает как носитель
  конечного или бесконечного количества:
    wohlunterschiedenen Objekten in unserer Anschauung oder unseres Denkens
  (welche die Elemente von M genannt werden)
  zu einem ganzen>
  - <Под множеством мы понимаем любое соединение M
  определенных различных (различимых) объектов нашего умозрения
  или нашей мысли (которые будут называться элементами M) в единое целое> [8].
  
  Тонкость этого определения прячется в слове wohlunterschiedenen,
  которое Кантор никак не поясняет ни в данном месте, ни в дальнейшем.
  Мы не будем акцентировать на этом внимание и будем понимать его прямолинейно,
  а именно как <различные> объекты нашего умозрения.
  В свете вышесказанного представим схему Кантора
  с учетом всех скрытых в ней понятий и логических ходов.
  
  Первый шаг заключается в фиксации в натуральном числе
  порядковой и количественной составляющих,
  например <семь> и <седьмой>.
  <Семь> - это обозначение семи предметов,
  <седьмой> - это седьмой шаг в некотором пересчете.
  Как уже говорилось выше, Кантор переводит эти <семь предметов>
  во внутренний план (мыслит абстрактными элементами)
  и делает их количественной составляющей числа <семь>.
  Что касается порядковой составляющей числа,
  то она представляется <семью> упорядоченными элементами.
  Таким образом, конечное натуральное число,
  как единство <количества> и <порядка>,
  может быть представлено множеством с определенными характеристиками.
  
  Следующий шаг состоит в точном определении этих характеристик,
  которые позволили бы распространить понятие <количества> и <порядка>
  на бесконечные множества.
  Для этого Кантор вводит характеристики M?glichkeit и Аbzahl
  Соответствующие определения выглядят следующим образом.
  M?glichkeit oder Cardinalzahl von M nennen wir den Allgemeinbegriff,
  weleher mit Ноlfe unseres action Dennkvermogens dadurch aus der Menge M
  hervorgeht, dass von der abstrahirt wird>.
  (<Мощностью или кардинальным числом множества М мы называем общее понятие,
  которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М,
  когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m
  и от порядка их задания>) [9].
  
  Если же с помощью <активной мыслительной способности>
  мы абстрагируется только от качеств элементов,
  но не от порядка их задания,
  то приходим к понятию порядкового типа или ординального числа (Аbzahl)
  Как сравнивать между собой кардинальные и ординальные числа?
  С ординальными числами все более-менее понятно.
  Добавление к упорядоченному множеству М нового элемента меняет множество.
  Поскольку этот элемент следует за всеми элементами М,
  можно перестроить порядок нового множества таким образом,
  что оно окажется упорядоченным.
  Таким образом, добавляя к упорядоченному множеству новый элемент,
  мы увеличиваем на единицу его ординальное число.
  С кардинальным числом сложнее.
  Добавление к бесконечному множеству нового элемента
  не меняет его кардинального числа
  и нужно искать иной инструмент сравнения.
  В теории множеств таким инструментом является 1-1-соответствие.
  Если оно есть - кардинальные числа совпадают,
  например, множества натуральных и счетных чисел.
  В действительности, речь идет о процедуре измерения
  (образно говоря, <прикладывания линейки> к множеству,
  что и подразумевает 1-1 соответствие).
  Разумеется, в этом случае кардинальное число определяется неоднозначно,
  в зависимости от присутствия или отсутствия такой <линейки> - 1-1-соответствия.
  С точки зрения теории множеств 1-1-соответствие также является множеством.
  Таким образом, кардинальное число, которое приписывается множеству,
  зависит от совокупности рассматриваемых множеств.
  Если в игру вступает аксиоматика, которая регулирует эту совокупность,
  при сохранении интуитивно приемлемых операций с множествами,
  то кардинальное число множества определяется как самой аксиоматикой,
  так и конструкциями в ее рамках.
  
  Ситуация, когда инвариантным образом определяется некоторая сущность,
  величина которой зависит от способа измерения, вполне ординарна
  (например, длина непрерывной кривой как сущность, и как величина,
  определяемая некоторым интегралом).
  Определяя кардинальное число множества вышеназванным образом,
  как результат абстрагирования от качества составляющих его элементов,
  мы однозначным образом закрепляем за множеством определенное кардинальное число.
  Каким образом найти это число, <измерив> множество - это отдельная задача.
  Парадоксальным образом в современной теории множеств
  утвердилось определение кардинального числа именно как результата измерения.
  Конкретно кардинальное число - это как класс множеств,
  между которых установлено 1-1-соответствие.
  Например, можно считать кардинальным числом <семь>,
  то общее, что содержится в семи днях недели, семи холмах, семи цветах радуги,
  семи смертных грехах и т.д.
  В этой ситуации понятие равномощных множеств,
  предшествует понятию мощности (кардинального числа).
  
  Фактически речь идет о двух возможностях.
  
  1) Однозначно закрепить за данным множеством определенное количество,
  как объективную в рамках теории множеств реальность
  и анализировать возможные способы его измерения
  (которые в принципе можно и не найти).
  
  В отношении континуума эту точку зрения высказал в 20-х гг. ХХ в. Н.Н. Лузин:
  <Мощность continuum'a, если только мыслить его как множество точек,
  есть некая единая реальность
  и она должна находиться на алефической шкале, где она есть;
  нужды нет, если определение этого места затруднительно
  или как прибавил бы J. Нadamard,
  <даже невозможно для нас, людей> [2].
  
  2) Дать простор аксиоматике и ее различным моделям,
  в которых имеются <свои> кардинальные числа для данного множества.
  С позиций аксиоматики позиция Лузина воспринималась и воспринимается
  как некая <инерция воображения>,
  не признающая, что <отрезок [0,1] не Богом создан, а придуман человеком,
  причем стоит на некоторых посылках> [2].
  Разумеется, это очень слабый аргумент, поскольку при любых посылах,
  сама идея множества остается неизменной.
  
  Выбор одной из возможностей определяется общим философским
  и методологическим контекстом.
  Первый случай - классический вариант <жесткой> онтологии,
  во втором случае - мир определялся границами языка:
  
  (Мир - совокупность фактов, а не предметов) [4].
  //// А может быть это композиция процессов?
  Именно эта точка зрения доминировала в ХХ в.
  Вернемся к основной линии и посмотрим более внимательно
  на оригинальную конструкцию Кантора.
  
  В случае конечных множеств кардинальные и ординальные числа совпадают,
  что отражает интуицию совпадения в натуральном числе
  количественной и порядковой составляющих.
  Соберем все натуральные числа в одно целое.
  С точки зрения множеств эта операция ничем не отличается
  от образования конечного числа n из n элементов.
  Обозначим это число через ?,
  разумеется, ? - упорядоченное множество.
  Число ? в количественном и порядковом смысле больше любого натурального числа n.
  Пойдем дальше и образуем число ?+1
  - добавление к множеству ? еще одного элемента,
  который следует за всеми элементами ?.
  Это новое упорядоченное множество,
  значит, в смысле порядка ?+1 ? ?.
  Есть тонкость: 1+ ? = ? - мы добавили один элемент
  до того, как объединили все элементы в одно целое,
  и этот элемент <растворился> в бесконечном множестве.
  Разумеется, почти каждый шаг в этом построении
  можно подвергнуть сомнению и критике,
  но гениальность Кантора в том и состояла,
  что он двигался вперед вопреки привычному страху бесконечного
  (horror infinity).
  
  Из неравенства ?+1 ? ? следует, что число ? можно рассматривать
  как <новый ноль> и развернуть ряд ?+1, ?+2, ?+3:,
  собрать полученные числа в множество 2?,
  которое снова можно рассматривать как <новый ноль> и т.д.
  
  Процесс построения порядковых чисел можно продолжать неограниченно:
  прибавляя 1 и объединяя в бесконечные множества.
  Однако образовать множество, которое бы включало в себя все ординалы,
  невозможно
  - возникает парадокс Бурали-Форти.
  
  \\\ Парадокс Бурали-Форти демонстрирует,
  \\\ что предположение о существовании множества всех порядковых чисел
  \\\ ведёт к противоречиям
  \\\ и, следовательно, противоречивой является теория множеств,
  \\\ в которой построение такого множества возможно.
  
  Если в случае конечных натуральных чисел
  их количественная и порядковая составляющие совпадают,
  в трансфинитной сфере это не так.
  Действительно, ?+1 ? ? - это различные множества,
  которые имеют различные ординалы.
  Вместе с тем между элементами множеств ? и ?+1
  можно установить 1-1-соответствие.
  Это означает, что числа ? и ?+1 равны в смысле количества,
  то есть ? и ?+1 имеет одно и то же кардинальное число.
  Таким образом, в сфере трансфинитного зафиксировано
  расхождение между <количеством> и <порядком>,
  а приведенная последовательность ординалов расширяет в область трансфинитного
  только порядковую составляющую натурального числа.
  
  Чтобы продвинуться в решении сверхзадачи Кантора
  о расширении натурального ряда в область трансфинитного,
  необходимо найти способ конструирования множества
  с более высоким кардинальным числом,
  чем кардинальное число исходного множества.
  Тем самым будем <запущен> процесс наращивания количеств,
  без которого решение поставленной сверхзадачи невозможно.
  
  Кантор нашел такой способ,
  но одновременно с ним возник целый <букет> проблем,
  которые трудно замести <под ковер>.
  Конструкция Кантора хорошо известна под именем <диагональный метод>.
  Его законность, с точки зрения, логика
  была и остается предметом обсуждений (О. Веkker [1]).
  Тем не менее в рамках теоретико-множественной парадигмы
  этот метод принято считать корректным.
  В общем виде он приводит к утверждению,
  что множество всех подмножеств Р(Х) данного множества Х
  имеет кардинальное число строго больше,
  чем кардинальное число Х.
  
  Решает ли эта конструкция поставленную Кантором проблему?
  Ответ далеко не очевиден.
  В случае конечных чисел каждый шаг одновременно увеличивает
  и количество, и порядок.
  Однако, как было показано выше,
  конструкция, увеличивающая ординал,
  в общем случае не приводит к увеличению кардинала.
  Возникает вопрос:
  может ли вообще рассмотренная конструкция увеличения ординалов <дотянуться>,
  например, до множества Р(?)?
  Если нет, то решение сверхзадачи Кантора становится как минимум проблемным.
  
  Тем не менее выход был найден. Суть его состояла в следующем.
  Если множество Р(?) упорядоченно (более точно - вполне упорядоченно),
  то оно получает определенное место на шкале ординалов.
  Для Кантора этот факт был очевидным,
  Кёниг в 1904 г. подверг его сомнению,
  но Цермело в 1905 г. специальной аксиомой выбора
  возвел интуицию Кантора в ранг основополагающего утверждения.
  При этом упорядоченность Р(?) носила абсолютно умозрительный
  и искусственный характер
  - множество просто предполагалось упорядоченным,
  без указания конкретного порядка (аксиома выбора).
  Подобное <раскрепощение> в конечном итоге и дало решение сверхзадачи Кантора.
  Что касается самой аксиомы выбора,
  то ее целесообразность
  (слово <законность> здесь не вполне корректно)
  стала предметом отдельного анализа.
  
  Итоговая конструкция выглядит следующим образом.
  Обобщая сказанное выше, можно утверждать,
  что множества имеют различные кардинальные числа,
  если между ними нельзя установить 1-1-соответствие.
  Первый бесконечный ординал ? имеет кардинал,
  который отличается от кардиналов всех конечных чисел.
  Обозначим его ?0, далее возьмем ординал ?1,
  у которого нет 1-1-соответствия с ?0,
  ординал ?2, у которого нет 1-1-соответствия с ?1 и т.д
  Получается шкала алефов (кардинальная шкала),
  которая и является искомым расширением:
  0, 1, 2: n, ... ?0, ?1, ?2 ... ?? ... .
  
  Естественный вопрос, который возникает немедленно
  после конструирования шкалы алефов заключается в том,
  каким образом соотносятся Р(?) и ???
  После всего вышесказанного ответ предсказуем
  - это две существенно различные конструкции,
  без внутренней логической связи.
  Тем не менее сам Кантор полагал, что Р(?) = ?1
  (континуум-гипотеза, 1877 г.).
  Если бы эта гипотеза оказалась ложной,
  то возник бы следующий вопрос:
  каково ?, такое, что Р(?) = ???
  Осмысление проблемы континуума заняло весь ХХ в.
  (К. Гёдель, 1940 г.; П.Дж. Коэн, 1963).
  Конечный результат, по сути, ничего не добавил к интуитивно ясной ситуации:
  теория множеств ничего не может сказать о мощности континуума!
  О тонкостях проблемы континуума и ее <решения> в рамках теории множеств см. [3].
  
  Для математики в целом континуум-проблема была идейно важной
  и исключительно сложной задачей.
  Однако основным результатом построений Кантора
  стал теоретико-множественный язык,
  своеобразная латынь современной математики,
  позволяющая предельно <раскрепостить> математическую мысль.
  <Сущность математики состоит в ее свободе>
  ()
  - так выразил это стремление сам Кантор.
  
  Количество трудов о теории множеств неисчислимо,
  и добавлять еще один обзор ее достижений и проблем вряд ли стоит.
  Однако имеет смысл дать представление о ней как о математической парадигме,
  что предполагает рассмотрение более широкого контекста
  в плане формирования альтернативной парадигмы.
  
  Следует отметить, что теория множеств - это, прежде всего,
  теория актуально бесконечного,
  а множество выступает носителем этой бесконечности.
  Рассмотрение только конечных (и даже счетных) множеств
  резко сокращает возможности математики как теории,
  способной <заглянуть за горизонт> и делать предсказания.
  
  Теория множеств демонстративно <отодвигается> от потенциальной бесконечности
  (неограниченного процесса),
  заменяя его множественными конструкциями.
  В частности, важнейшее для математики понятие предела
  в теории множеств заменяется понятием <фильтра>
  (А. Картан, В.И. Гливенко).
  Соответствующая конструкция выглядит следующим образом.
  
  Будем называть фильтром любую систему непустых подмножеств F = {M} множества V,
  обладающую тем свойством,
  что из того, что M1 ? F и M2 ? F следует, что существует M0,
  такое, что M0 ? M1? M2.
  Если функция f(x) определена на V и принимает значения
  из топологического пространства Т,
  то пределом lim f(x) по фильтру F называется такой элемент y? Т,
  что F для любой окрестности U(y) найдется множество M? F,
  на котором все значения f(x) принадлежат U(y).
  Если V совпадает с множеством действительных чисел,
  то через х??? обозначим фильтр F, состоящий из множеств Mh,
  соответствующий всем положительным h, таким, что |х| > h,
  тогда запись lim f(x) приобретает общепринятый в теории пределов смысл х???.
  
  Эта ординарная на данный момент конструкция тем не менее
  высвечивает все основные методологические ходы,
  характерные для теории множеств,
  а именно:
  - замена потенциальной бесконечности (неограниченного процесса)
  актуальной бесконечностью, представленной множеством,
  собранным из отдельных шагов процесса.
  Это именно количественная бесконечность;
  - процессуальность моделируется конструкцией,
  допускающей запись в логике предикатов
  (как правило, исключающей кванторы по предикатам),
  в данном случае: M1 ? F & M2 ? F? ? M0, M0 ? M1? M2.
  - понятие фильтра универсально:
  в качестве множеств M могут выступать самые различные объекты,
  представленные множествами: числа, функции и пр.,
  на все эти объекты распространяется семантика предельного перехода,
  в этом смысле понятие и свойства предела можно перенести,
  например, в область логики.
  
  В целом же роль теории множеств в математике примерно такова.
  На момент создания теории множеств в математике сформировался
  широкий спектр конкретных различных понятий и представлений.
  Универсальность теоретико-множественного языка
  позволила построить для них разноплановые множественные модели.
  Фактически вся математика была переведена на теоретико-множественный язык,
  что позволило сформировать более-менее единый методологический аппарат
  (традиционно его связывают с гёттингенской школой Э. Нётер,
  в которой центральными были понятия <группы> и <кольца>).
  С точки зрения Бурбаки, математика вообще есть совокупность этих структур,
  а ее целью является их изучение, обобщение и применение.
  Разумеется, это всего лишь точка зрения.
  Роль подобных структур в математике все же скромнее,
  хотя и очень значительная Теоретико-множественные модели (структуры)
  позволили проложить <мосты> между отдельными, мало похожими областями,
  например теорией пределов и логикой.
  
  Через эти мосты осуществляется семантический обмен,
  позволяющий, например, рассматривать формулы,
  которые являются <пределами> совокупности других формул
  с распространением на них всех свойств предельного перехода.
  Это позволяет не только очертить единый угол зрения на различные области,
  но и получать конкретные нетривиальные результаты.
  Подобные структуры - <мосты> хорошо управляются аксиоматикой.
  Варьируя аксиомами, можно получить целый спектр моделей,
  отражающих различные оттенки данного понятия.
  Впечатляющий пример - теория групп,
  в которой исследованы, кажется, все мыслимые аспекты симметрии.
  При этом обнаружилась интересная закономерность.
  Многие - абстрактные - конструкции при определенных естественных условиях
  оказываются изоморфными конкретным математическим объектам.
  Приведем только начало достаточно длинного списка.
  
  Теорема Кэли:
  <Всякая конечная группа изоморфна группе подстановок>.
  
  Теорема:
  <Любая замкнутая ориентируемая поверхность гомеоморфна
  сфере с g ручками для некоторого целого числа g>.
  
  Тезис Чёрча:
  <Всякое уточнение интуитивного понятия алгоритма
  изоморфно Машине Тьюринга
  (или рекурсивным функциям, или нормальным алгорифмам Маркова и т.д.)>.
  
  Теорема Гельфанда Наймарка:
  <Любая C*-алгебра изоморфна некоторой подалгебре
  в алгебре ограниченных линейных операторов
  в некотором гильбертовом пространстве>.
  
  Теорема Уитни:
  произвольное гладкое n-мерное многообразие со счетной базой
  допускает вложение в 2n-мерное евклидово пространство и т.д.
  
  Все эти примеры говорят о том что,
  несмотря на тяготение к универсальным структурам,
  идейное ядро математики вполне конкретно.
  Тем не менее именно универсальные структуры
  определяют основную методологию математики
  и ее связи с реальным миром.
  
  Важен следующий момент.
  Теоретико-множественные модели, которые в периоде активного развития
  (приблизительно 20-50-е гг. ХХ в.)
  воспринимались как инструмент познания,
  постепенно стали превращаться в универсальные паттерны,
  под которые необходимо было подвести всякое явление
  природного или интеллектуального мира.
  Эта идея выплеснулась далеко за пределы теории множеств
  и стала основой в так называемом <информационном обществе>.
  Методология этого периода становится предельно <заземленной>:
  создание структур на теоретико-множественной основе
  и подверстывание под них очередного феномена.
  На сегодняшний день можно констатировать,
  что эта идеология идейно и психологически себя исчерпала,
  а ее техническая составляющая все больше напоминает
  <игру в бисер>.
  
  Эту особенность теоретико-множественной математики
  очень ярко описал выдающийся чешский математик П. Вопенка,
  который сам внес существенный вклад в теорию множеств:
  <Современная математика изучает конструкцию,
  отношение которой к реальному миру,
  по меньшей мере, проблематично.
  Более того, эта конструкция не единственно возможная,
  да и на самом деле не самая подходящая
  с точки зрения самой математики.
  Это ставит под вопрос роль математики
  как научного и полезного метода.
  Математика может быть низведена к простой игре,
  происходящей в некотором специфическом искусственном мире.
  Это не опасность для математики в будущем,
  а непосредственный кризис современной математики> [6].
  
  Главная проблема состоит в том, что теоретико-множественная парадигма
  не в состоянии описать реальную ткань времени.
  //// "Реальная ткань времени" - это "речевой оборот" или "модель Мироздания"?
  Теория множеств предлагает лишь простейшую,
  крайне прямолинейную модель
  - упорядоченное множество,
  которая очень далека как от собственно идеи длительности,
  так и от всего корпуса концепций,
  связанных с интуицией времени,
  который сформировался начиная с бл. Августина.
  Теория множеств не видит принципиального различия
  между <шагом> процесса и <элементом> множества,
  хотя такое различие очевидно.
  Более того, желание <упрятать> время
  в теоретико-множественные модели
  оборачивается появлением парадоксов
  и структур с патологическими свойствами
  (например, неизмеримого множества),
  которые стали неотъемлемой частью теоретико-множественной математики.
  //// Могу только согласиться с автором.
  //// У меня таких слов найти, наверняка, не получится,
  //// в силу большей "заземленности" и "зацикленности" на временнЫх процессах.
  
  Необходимость развития математики на основе интуиции времени
  была осознана давно.
  Наиболее последовательно эту линию, начиная с 1904 г.,
  отстаивал Я.Э. Брауэр и его последователи.
  Объекты математики Брауэра всегда конструктивны и <осязаемы>,
  что, несомненно, придает уверенности при работе с этими объектами.
  Вместе с тем именно благодаря возможности оперировать объектами,
  не предъявляя их,
  были получения многие выдающиеся результаты.
  В этом плане борьба за наглядность и интуитивную ясность
  была переведена в чисто идейную плоскость.
  
  Поле приложений, в частности, в физике микромира осталось за теорией множеств.
  Несомненно, сила концепций, основанных на теории множеств,
  заключается в актуальной бесконечности,
  которая составляет, как уже неоднократно подчеркивалось,
  стержень теоретико-множественного мира.
  Очевидно, что потенциальная бесконечность Брауэра неконкурентоспособна
  по отношению к актуальной бесконечности Кантора.
  Однако роль времени явно не сводится к фону,
  который сопровождает теоретико-множественные построения.
  Чтобы изменить ситуацию
  и сделать время активным <игроком> на математическом поле,
  необходимо выйти в трансфинитную сферу,
  осмыслить и определить <бесконечность времени>
  как полноценного дополнения <бесконечности пространства>,
  реализованной в теории множеств.
  
  Здесь, разумеется, нужна конкретика.
  Понятие времени слишком подвижно и загадочно,
  чтобы положить его в основу строгой теории.
  По аналогии с теоретико-множественной концепции необходимо выделить понятие,
  генетически связанное с понятием времени,
  но имеющее точный математический смысл.
  Таким понятием является понятие <порядка>.
  Развитием порядковой парадигмы мы и займемся в оставшейся части данной работы.
  
  Литература.
  
  ..........
  
  //// 12 наименований.
  
  ......
  
  //// Конец цитирования.
  
  Ну и как Вам это "подкоп" под "святую теорию множеств"?
  Мне так очень понравился и стиль и содержание
  - есть еще в Русской Земле свои математические Дон-Кихоты.
  
  К сожалению, продолжение этой замечательной статьи ждать еще,
  как минимум полгода - такова уж редакционная политика.
  Но ничего, есть чем заняться в это время.
  Можно пока проработать предыдущие материалы этого же автора,
  в которых он "зачем-то" пытался обосновать/описать это самое
  "фундаментальное вращение", правда, не сильно распространяясь
  на что собственно он "замахивается".
  Теперь зная эту цель, интересно повторно проработать эти материалы.
  Наверняка, что-то новое для себя можно заметить/сообразить.
  
  
  ========
  
  11.11.2019 8:00 - 22.10.2024 13:35
  
  Долбежка "метафизики бесконечности".
  В оглавление.
  
  Как видно из дат "вахтенного журнала", "долбежка" данного текста
  проводилась уже пять лет назад, но те крупицы "понимания",
  которые удалось тогда "отколоть" из этого монументального труда,
  до сих пор наполняют смыслом, казалось бы, достаточно хаотические поиски
  оснований для метафизики, в основе которй лежит ВРЕМЯ:
  
  "МЕТАФИЗИКА БЕСКОНЕЧНОСТИ"
  "ГРАНИ БЕСКОНЕЧНОГО".
  Автор С.А. Векшенов
  Метафизика, 2015, ? 3 (17) стр.9
  https://mega.rudn.ru/file/Метафизика%20?3%2030.09.15%20завес%20(1).pdf
  
  Российская академия образования
  
  //// Начало цитирования.
  
  ........
  
  Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу,
  как проблема бесконечного,
  ни одна идея не оказала столь сильного и плодотворного влиянии на разум
  как проблема бесконечного,
  но, с другой стороны, ни одно понятие
  не нуждалось так в выяснении,
  как понятие бесконечного.
  Д. Гильберт
  
  Введение
  
  Математическая деятельность состоит преимущественно в решении задач,
  что, собственно, и делает математику ни с чем не сравнимым
  инструментом познания.
  Однако сами задачи и их метафизический контекст
  имеет не меньшую, а в иных случаях и большую значимость,
  чем само решение.
  
  .......
  
  Классика бесконечного
  
  Зенон Элейский (ок. 490 до Р.Х. - ок. 430 до Р.Х.)
  
  Непрерывность - дверь в бесконечное.
  Однажды открыв ее, мы уже навсегда становимся заложниками двух миров:
  реального и трансцендентного.
  Само же понятие непрерывного возникло из необходимости
  отобразить в мышлении феномен движения.
  Возникшие при этом проблемы оставили след
  на всем дальнейшем развитии науки.
  Обычно их связывают с именем Зенона Элейского.
  В четырех дошедших до нас <апориях> он доказывает,
  что движение в непрерывной среде, континууме,
  не может быть мыслимо без внутреннего противоречия.
  
  С точки зрения бесконечности
  (понимаемой исключительно в негативном смысле
  - как нечто противоположное конечному)
  этот факт может быть интерпретирован
  как невозможность непротиворечивым образом мыслить континуум
  как завершенную бесконечность.
  
  Рассмотрим более подробно наиболее известную апорию <Ахиллес>.
  
  .........
  
  Данная апория опирается на понятие непрерывного
  в смысле возможности бесконечного деления
  (что, строго говоря, является только необходимым условием непрерывности),
  а также возможности выделить в нем отдельные <элементы>,
  соотнесенные с моментами времени.
  Не вдаваясь в детальную реконструкцию рассуждений Зенона,
  попытаемся, тем не менее, выявить формальную сторону этой апории.
  
  Рассмотрим конечный отрезок [A,B].
  Представим его в виде счетной суммы отрезков
  (иначе можно сказать, что мы осуществили вложение бесконечности ?
  в отрезок [A,B] конечной длины l: ?? l):
  
  ........
  
  Очевидно, что l[ak, ak+1]  0, при k ?.
  
  Если считать ak - шагами Ахиллеса, а ak+1 - шагами черепахи,
  то, очевидно, что в точке B черепаха догонит Ахиллеса.
  //// Наверно все-таки наоборот.
  С другой стороны, точки этой последовательности занумерованы
  натуральными числами (точнее, порядковыми натуральными числами),
  которые вовсе не оканчиваются на ?,
  поскольку всегда можно сделать еще один шаг и образовать числа: ?+1, ?+2
  (рис. 1).
  
  .........
  
  Таким образом, последовательность {ak},
  с одной стороны, сходится к B,
   с другой, - с точки зрения номеров, - неограниченна.
  
  Эта двойственность в понимании сходимости последовательности {ak}
  отразилась в двойственной оценке этой апории.
  Значительная часть авторов считали,
  что проблема исчерпывается введением актуальной бесконечности,
  которую Зенон (как, впрочем, и вся античная наука) предпочитал избегать.
  Однако после всестороннего исследования теоретико-множественной бесконечности
  такое решение стало рассматриваться как не вполне убедительное.
  
  Примером этому является следующее замечание Д. Гильберта и П. Бернайса,
  высказанное ими в знаменитой монографии <Основания математики>.
  <Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждениями о том,
  что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится
  и дает конечный промежуток времени.
  Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает
  один существенный парадоксальный момент,
  а именно парадокс, заключающийся в том,
  что некая последовательность следующих друг за другом событий,
  последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже и представить
  (не только фактически, но хотя бы даже и в принципе),
  на самом деле все-таки должна завершиться.
  
  В действительности, конечно, существует более радикальное решение
  этого парадокса.
  Ведь на самом деле мы вовсе не обязаны считать,
  что математические пространственно-временные представления движении
  являются также физически осмысленными
  также в случае произвольно малых пространственных и временных интервалов.
  Более того, у нас имеются все основания предполагать,
  что, стремясь иметь дело с достаточно простыми понятиями,
  эта математическая модель экстраполирует факты,
  взятые из определенной области опыта,
  а именно из области в пределах того порядка величин,
  которые еще доступны нашему наблюдению,
  подобно тому, как совершает определенную экстраполяцию механика сплошной среды,
  которая кладет в основу своих рассмотрений представление
  о непрерывном заполнении пространства материей.
  Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении
  вода перестает быть водой,
  при неограниченном дроблении движения
  также возникает нечто такое,
  что едва ли может быть охарактеризовано как движение.
  Если мы встанем на эту точку зрения,
  то этот парадокс исчезает> [1].
  //// Но тогда давно должна была быть открыта/оконтурена граница такого дробления.
  //// И кроме того, само "движение", за такой границей,
  //// уже будет не "движением", а чем-то иным, например "телепортированием",
  //// или "интерферированием".
  
  Подобное, <качественное> разрешение парадокса отражает
  крайне интересный поворот мысли,
  который с удивительной настойчивостью повторяется у различных авторов.
  В данном случае он особенно важен,
  поскольку в нем содержится вполне определенный намек на квантовую механику.
  Из этого следует, что апории Зенона содержат в себе
  не только идею актуальной бесконечности,
  развернутую впоследствии Г. Кантором в теорию множеств,
  но и квантовую теорию.
  Воистину эти апории можно считать началом <Большого интеллектуального взрыва>,
  который привел к современному естествознанию.
  
  Апории Зенона показывают, что понятие бесконечности
  возникает в самых принципиальных и ответственных моментах
  наших интеллектуальных построений,
  направленных на осмысление внешнего мира.
  Более того, последовательное построение
  непротиворечивой картины этого мира невозможно
  без привлечения понятия бесконечного.
  И от того, какой смысл мы предадим этой бесконечности,
  во многом, если не в главном,
  зависит суть этой картины и вытекающие из нее следствия.
  
  Убедительность аргументов Зенона была столь велика,
  что у последующих философов и математиков возник своеобразный
  horror infiniti (страх бесконечного).
  Преодоление этого <страха> растянулось на несколько веков
  и не завершено по сей день.
  Например, традиционно считается, что появление бесконечностей
  - это своеобразный сигнал о дефектах в теоретических построениях.
  
  Аристотель (384-322 до Р.Х.)
  
  Согласно Аристотелю о бытии можно говорить в двух смыслах:
  в возможном и в действительном.
  В соответствии с этим имеются два понятия бесконечности:
  бесконечность потенциальная и бесконечность актуальная.
  Аристотель подробно разбирает принципиальный
  для всего последующего понимания бесконечного вопрос о том,
  каким образом существует бесконечное:
  как сущность или как свойство, присущее некой природе.
  Вопрос о том,
  <может ли находиться бесконечное в предметах математических и в мыслимых
  и не имеющих величины>, в <Физике> не разбирается,
  так как этот вопрос <относится скорее к общему исследованию проблемы> [2].
  В <Физике> Аристотель рассматривает проблему
  бесконечного чувственного воспринимаемого тела
  и доказывает, что оно не может существовать.
  
  Основной тезис Аристотеля:
  бесконечное существует потенциально, но не существует актуально;
  бесконечное не есть что-то действительное, а только возможное.
  При этом опять же акцент делается на логическое,
  в данном случае уже модальное определение бесконечного.
  О потенциально бесконечном он говорит:
  <...бесконечное может существовать так, как существует день или как состязание
  - в том смысле, что оно становится всегда иным>.
  И дальше: <Вообще говоря, бесконечное существует таким образом,
  что всегда берется иное и иное,
  а взятое всегда бывает конечным,
  но всегда разным и разным.
  Так что бесконечное не следует брать как определенный предмет,
  например, как человека или дом,
  а в том смысле как говорится о дне или состязании,
  бытие, которые не есть какая-либо сущность,
  а всегда находится в возникновении и уничтожении,
  и хотя оно конечно, но всегда разное и разное...
  Бесконечное существует в возможности,
  так как вне его всегда можно что-нибудь взять <...>
  Выходит, что бесконечное противоположно тому,
  что о нем обычно говорят:
  не то, вне чего ничего нет,
  а то, вне чего всегда есть что-нибудь,
  то и есть бесконечное>.
  //// Интересная трактовка и связи конечного и бесконечного,
  //// и свойств бесконечного.
  //// В прошлый раз не обратил на это особого внимания.
  //// А вот сейчас почувствовала какое-то "созвучие"
  //// с собственными мыслями/представлениями.
  
  Что касается непрерывного, то Аристотель понимал его,
  как <то, что делится на части, всегда в свою очередь делимые>.
  Это означает, что в непрерывном нет неделимых частей.
  Следовательно, его нельзя сложить из этих, неделимых частей.
  С этой точки зрения, окружность, например,
  нельзя мыслить состоящую из точек,
  поскольку точка есть <то, что не имеет частей>.
  Существенным является то,
  что вместе с понятием непрерывного Аристотель рассматривает понятие неделимого
  и утверждает, что только с помощью неделимого непрерывное обретает форму
  и может быть познано как нечто определенное.
  Аристотель исходил из предположения, что пространство и время
  непрерывно именно в этом смысле.
  Это позволило ему сформулировать аргументы против апории Зенона
  и в конечном итоге непротиворечиво мыслить реальное движение.
  Отметим, что в этом контексте понятие бесконечности
  имеет вполне определенное естественнонаучное содержание
  и ограничивается рамками потенциальной бесконечности.
  
  Деление бесконечности на потенциальную и актуальную
  оказалось самой существенной идеей,
  определившей лицо этой проблемы.
  Последующие двадцать с лишним веков интеллектуальной работы в этом направлении
  в значительной мере прошли в круге этой идеи.
  
  Бесконечность в контексте теологии:
  диалектика абсолютного и трансфинитного
  
  Христианская мысль возродила идею актуальной бесконечности.
  При этом движение к ней осуществлялось с двух сторон:
  со стороны неоплатоников, совершавших восхождение от Мiра к Единому,
  и со стороны христианских богословов,
  для которых не-конечность являлась имманентным качеством Бога
  (<Ты есть Бог неведомый, невидимый, неизъяснимый, непостижимый>).
  Соприкосновение этих идей в конечном итоге породило идею <трансфинитного>
  - актуальной бесконечности,
  которая, тем не менее, не растворяется в Абсолютном.
  При этом само трансфинитное могло обладать разнообразными качествами.
  Это открывало возможности для детального исследования
  феномена актуальной бесконечности.
  
  Прокл (412-485 Р.Х.)
  
  По концепции неоплатоников: Плотина, Порфирия, Прокла и др. (III-V вв. Р.Х.)
  - существенны четыре основные стадии бытия:
  
   Единое
   Ум
   Душа
   Космос
  
  Эти ступени связаны иерархией подчинения.
  Общая схема этого подчинения выглядит примерно так.
  
  Зададим вопрос, откуда происходит движение в Мiре физических тел.
  Очевидно, от воздействия других тел,
  а те, в свою очередь, от воздействия третьих и т.д.
  
  Перебрав все тела, можно задать тот же вопрос о всех телах в целом,
  то есть о Космосе.
  Ясно, что причиной движения Космоса является он сам,
  то есть Космос обладает свойством самодвижения.
  Это свойство и есть Душа -
  более высокая ступень, чем Космос.
  //// Надо будет "помозговать" на счет свойства "самодвижения".
  
  Далее, можно применить тот же ход рассуждения к Душе.
  Тела движутся Душой,
  но по каким законам движется Душа?
  Каков смысл этого движения?
  Неоплатоники отвечают - Ум.
  Ум - это принцип универсального осмысления, устройства и закономерностей.
  Снова можно сформулировать вопрос о происхождении Ума.
  Поскольку Ум предполагает раздельное мышление,
  его высшим принципом будет Единое.
  
  В эту общую для неоплатоников конструкцию Прокл ввел
  дополнительную область Чисел.
  Каждое такое число, с одной стороны, не отражает никакого конкретного качества
  и, следовательно, подобно Единому.
  С другой стороны, всякое число есть некоторое различие,
  то есть нечто аналогичное неоплатоническому Уму.
  
  При таком подходе одной из центральных проблем философии неопла-
  тоников становится взаимоотношение <единого> и <многого>.
  
  Воспроизведём фрагменты разработки этой проблемы из трактата Прокла
  <Первоосновы теологии> (??????????? ?????????) [3].
  
  1. Всякое множество тем или иным образом причастно Единому.
  2. Всё причастное Единому едино и не едино.
  3. Всякое становится Единым в силу причастности Единому.
  4. Всё объединённое отлично от того, что Едино в себе.
  5. Всякое множество вторично по сравнению с Единым.
  6. Всякое множество состоит или из объединённостей или из единичностей.
  7. Всё потенциально сущее происходит от актуально сущего.
  8. Всякое множество беспредельных потенций зависит
  от одной первичной беспредельности,
  которые существуют не как потенция,
  допускающая причастность себе и не обладающая потенцией,
  а сама по себе,
  будучи не потенцией чего-то причастного, а причиной всего сущего.
  //// Н-да, такие словесные формулировки без специального образования
  //// воспринимаются очень тяжело/коряво.
  
  Даже приведенный беглый абрис основных идей неоплатонизма в трактовке Прокла
  не оставляет сомнения в исключительной близости к ним
  исходных идей теории множеств.
  
  Например, построение ординальной шкалы в теории множеств Г. Кантора
  имеет несомненную идейную основу с приведенной выше схемой
  подъема от Космоса к Единому.
  
  Числа же, промежуточные между Единым и Умом,
  могут быть интерпретированы как неограниченная шкала мощностей.
  Приведенный же фрагмент трактата Прокла,
  вообще, производит впечатление пособия по теории множеств,
  включая парадокс Рассела.
  
  Св. Максим Исповедник (580-668 Р.Х.)
  
  Согласно учению св. Максима Исповедника,
  сотворение Мiра есть динамический процесс,
  который происходит в согласии с Божественной волей.
  Этот процесс состоит из трёх стадий:
  во-первых <пуска в ход>, генезиса - начала осуществления видимого мира;
  затем развёртывания - свободной реализации всех божественных идей, кинесиса
  и, наконец, стабильного состояния, статиса, <успокоение> в Боге.
  
  <Начало всего естественного движения состоит в "пуске в ход"
  сотворения существ и начало этого "пуска в ход" положено Богом-Творцом
  (генесиургос).
  Целью естественного движения сотворённых существ является неподвижное состояние.
  Это состояние происходит от Бесконечного
  и достигается путём выхода из всего конечного;
  вследствие отсутствия пространства в нём
  по естественным причинам прекращается движение существ:
  Бог есть начало (архи) и конец (телос) всякого возникновения и движения:
  они исходят из Него, стремиться к Нему и в Нём обретают свою неподвижность> [4].
  
  В этой концепции уже нет места неоплатонической идее
  вечного предсуществования Мiра,
  согласно которой не только идеальные образы Мiра, но и сам Мiр
  предвечно существуют в божественном сознании, в Едином.
  Для св. Максима такое представление об устройстве Мiра невозможно:
  Бог сотворил как видимый, так и невидимый Мiр из ничего.
  В отличие от неоплатоников у Максима идея Мiра от века коренится в бытии Бога,
  но не является его сущностью.
  
  Напротив, введение времени, как это сделано у св. Максима,
  означает, что всё существующее в этом (историческом) Мiре
  важно в глазах Бога и поэтому касается также и нас.
  
  Основные рассуждения Исповедника вокруг диалектики:
  <времени> и <вечности>, <движения> и его <завершения>.
  Эта диалектика воплощается у него в понятии <эона> (????).
  <Эон - это время, когда оно прекращает свое движение,
  и время - это эон, когда он увлекается движением.
  Движение происходит во времени - от эона к эону>.
  
  Эта диалектика существенно отличается от диалектики <части> и <целого>,
  развиваемой неоплатонизмом и воспринятой ведущими богословами Запада:
  бл. Августином, Н. Кузанским и др.
  Именно диалектика <части> и <целого> была полностью воспринята Г. Кантором
  и синтезирована им в понятии множества.
  
  Р. Гроссетест (ок. 1175 - 1253 Р.Х.)
  
  В осмыслении бесконечного особый интерес представляют взгляды
  христианского теолога Роберта Гроссетеста епископа Линкольнского
  и учителя Роджера Бэкона.
  
  По Гроссетесту, актуально-бесконечное
  есть определенное число (certus numerus),
  которое, хотя и непознаваемо для нас,
  тем не менее, существует актуально.
  Причем актуально-бесконечные числа можно сравнивать между собой,
  так, что одно из них может быть больше или меньше другого.
  Человек в силу несовершенства своего интеллекта
  не в состоянии постигнуть бесконечное in actu,
  но для Бога дано сразу, в одном акте,
  то, что человек осуществляет шагами.
  Потенциально бесконечному у Гроссетеста противостоит не единое, как у греков,
  но актуально сущее бесконечное множество единиц.
  Человеческому познанию доступно только потенциально бесконечное
  - низший тип бесконечного.
  Истинно бесконечным, с точки зрения Гроссетеста,
  является актуально бесконечное,
  постигаемое Богом.
  
  Здесь мы видим пример того, что взгляд на схоластику
  как на бесплодное умствование
  совершенно не соответствует ее роли в становлении многих математических идей,
  теории бесконечного, в частности.
  В своем историческом обзоре математики XIX в. Феликс Клейн пишет:
  <Глубоко несправедливым является общепринятый взгляд на схоластику
  как на теряющеюся в бесплодных мудрствованиях направлении ума.
  Именно наша эпоха должна была бы отказаться от такого поверхностного суждения,
  основанием к которому послужил чуждый нам мистический и метафизический фон,
  присущий всем творениям эпохи схоластов.
  Однако если снять со схоластических спекуляций это покрывало,
  из-за которого они кажутся поверхностному взору
  чисто теологическими мудрствованиями,
  то оказывается, что они в сущности являются безупречными подходами к проблемам,
  составляющим в настоящее время содержание того,
  что мы называем теорией множеств.
  Недаром Георг Кантор, творец теории множеств, учился у схоластов> [5].
  
  Бесконечность в естественнонаучных моделях
  
  <Апории> Зенона традиционно принято считать отправной точкой
  современного естествознания и математики,
  что, по-видимому, соответствует действительности.
  Именно при разрешении этих апорий Аристотелем было
  введено фундаментальное понятие непрерывности.
  Это, свою очередь, повлекло за собой введение не менее фундаментального понятия
  - бесконечности.
  Аристотель не разрешил проблемы до конца,
  предпочитая оставаться в рамках потенциальной бесконечности.
  Однако без разрешения апорий Зенона феномен движения
  не получал необходимой абстрактной модели и,
  следовательно, дальнейшее развитие физики было невозможно.
  С другой стороны, трудности, возникающие при решении этих апорий,
  значительно превосходили возможности
  даже самых выдающихся последователей Аристотеля.
  Основные проблемы группировались вокруг понятия бесконечного.
  Требовалось принять не только актуальную бесконечность,
  что само по себе вылилось в исключительно сложную проблему.
  Но и этого оказалось недостаточным.
  Надо было принять существование
  качественно различных бесконечностей.
  В этом случае можно было бы завершить временной и пространственной ряды,
  возникающие в апории Зенона
  и тем самым строго определить среду непрерывности, континуум.
  Именно по отношению к этой среде можно корректно говорить
  и о самом понятии движения.
  
  Исключительная сложность этой задачи находилась в явном противоречии
  с очевидностью самого феномена движения.
  После безуспешных попыток соединить его свойства со свойствами континуума,
  которые растянулись на весь период Античности и Средневековья,
  пришло новое понимание проблемы.
  
  Со времен Галилея отправной точкой развития физической теории
  становится движение как таковое.
  Свойства среды, континуума, отошли на второй план,
  и основная задача в понимании движения свелась
  к выяснению его характера или, говоря языком математики,
  - определению его уравнения.
  В свою очередь, характер движения, его уравнение,
  зависит от вполне определенных причин.
  В физике Галилея эти причины должны были иметь материальную природу,
  что символизировало принципиальный разрыв с физикой Аристотеля,
  в которой причина движения лежала, как известно,
  в метафизической плоскости.
  Эта традиция в известной мере была нарушена
  в общей теории относительности А. Эйнштейна.
  В ней характер движения частицы в гравитационном поле
  определялся метрикой пространства-времени,
  то есть свойствами среды непрерывности
  (точнее, само поле было объявлено метрикой пространственно-временного континуума).
  
  Г. Галилей (1564-1642)
  
  Во многом благодаря Галилею бесконечность сошла с теологической орбиты
  и стала восприниматься как интеллектуальный феномен,
  обладающий теми или иными качествами.
  На одно из таких качеств, а именно то,
  что для бесконечного нарушается древний философский принцип
  <целое больше части>,
  //// Интересно, где еще кроме "бесконечности" нарушается этот принцип.
  //// И еще вопрос, если "принцип" где-то все-таки нарушается,
  //// то как тогда правильно стоит называть такой "принцип"?
  //// "Статистикой", "эвристикой" или еще как?
  указал сам Галилей в <Беседах и математических доказательствах двух новых наук>
  (в духе тогдашнего времени изложение ведется в виде беседы):
  
  ........
  
  Сальвиати. Но если я спрошу, далее, каково число корней,
  то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще,
  потому что нет ни одного числа,
  которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата;
  установив это, приходится сказать,
  что число квадратов равняется общему количеству всех чисел,
  так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа.
  А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел
  превышает число квадратов,
  так как большая часть их не является квадратами> [6].
  
  ........
  
  И. Ньютон (1642-1727) - Г.В. Лейбниц (1646-1617)
  
  Концентрация внимания на исследовании феномена движения
  потребовала создания нового математического аппарата,
  который окончательно оформляется благодаря И. Ньютону и Г.В. Лейбницу.
  
  Tрадиционно считается, что эти два величайших гения
  разными путями пришли к одним и тем же конструкциям анализа
  (что, в частности, зафиксировано в общеизвестной формуле Ньютона-Лейбница).
  Однако при ближайшем рассмотрении можно увидеть
  две существенно разные концепции, подведенные под общий знаменатель,
  преимущественно в педагогических целях.
  
  Подход Ньютона в целом выдержан в <процессуальной логике>.
  Он вводит два процесса (две переменные величины):
  флюэнту (от лат. fluo - теку), соотнесенную с абсолютным временем
  и флюксию - скорость изменения флюэнты.
  
  В <Методе флюксий...> (1670-1671) Ньютон формулирует
  две основные взаимно обратные задачи анализа:
  а) определение соотношения между флюксиями
  по данному соотношению между флюентами
  (дифференцирование неявно заданной функции);
  б) определение соотношения между флюентами
  по данному соотношению между флюксиями
  (интегрирование дифференциального уравнения).
  
  По всей видимости, Ньютон сознательно избегал
  детального обсуждения проблемы прямого вычисления флюксии по данной флюэнте
  - это немедленно привело бы к обсуждению проблем в духе апорий Зенона
  (хотя он с неизбежностью и вводил понятие <момента> движения).
  Задача нахождения названных выше соотношений
  определенным образом <снимала> эту проблему
  и давала необходимый инструмент расчетов.
  
  Ньютон нашел решение обеих поставленных проблем,
  предложив при этом весьма тонкие аналитические методы,
  смысл которых, во многом оставался скрытым для последующих поколений
  (об этом много говорил И.В. Арнольд).
  
  Примечательным является то, что идея Ньютона
  об <элиминации> среды непрерывности
  путем анализа отношений (соотношений) между физически ясными сущностями
  на новом уровне была реализована
  в Бинарной системе комплексных отношений Ю.С. Владимирова.
  
  Подход Г.В. Лейбница к исследованию движения был существенно иным
  
  С одной стороны, он ясно понимал всеобщность
  причинно-следственных связей
  и ввел фундаментальное понятие функции
  как математическое выражение этой связи.
  С другой стороны, его подход к анализу
  реализовывал общую концепцию Mathesis Universalis (универсальной характеристики),
  что подразумевало выстраивание четкой системы правил и удобной символики.
  В такой алгебраизованной системе, строго говоря,
  нет места переменным величинам.
  Однако именно переменные величины и являются в анализе
  основным предметом исследования.
  По-видимому, единственным выходом из положения
  является введение наряду с точками континуума новых сущностей
  - бесконечно малых и бесконечно больших чисел,
  которые, с одной стороны, являются переменными,
  с другой - обыкновенными числами,
  на которые распространяются все алгебраические операции.
  В этом решении можно усмотреть применение стандартной методологии
  <превращения проблемы в постулат>
  (Э. Кассирер приписывает авторство этой методологии И.В. Гёте).
  //// Любопытная "метода". Сколько раз уже наталкивался
  //// на фактическом применении этой "методы" в материалах по нейросетям.
  //// Правда, конкретных авторов в таких случаях очень трудно проследить.
  С другой стороны, сформулированный Лейбницем же принцип
  достаточного основания
  \\\ Закон достаточного основа?ния
  \\\ (лат. principium sive lex rationis sufficientis)
  \\\ - принцип, согласно которому каждое осмысленное выражение (суждение)
  \\\ может считаться достоверным только в том случае,
  \\\ если оно было доказано, то есть были приведены достаточные основания,
  \\\ в силу которых его можно считать истинным.
  заставляет отвечать на вопрос,
  <почему дело обстоит ровно так, а не иначе>.
  Вероятно, ответом Лейбница стала <Монадология>,
  к которой бесконечно малые и бесконечно большие числа
  получили статус философских <монад>.
  //// Ну, это мы вряд ли узнаем точно.
  //// <Монадология> так и осталась только в черновом варианте,
  //// и без всякого "достаточного основания" и даже без обсуждения,
  //// уж больно для своего времени она была "запредельной".
  
  В 60-х гг. ХХ в. А. Робинсон нашел математическое <оправдание>
  решения И.Г. Лейбница, которое также представляет методологический интерес
  (оно будет рассмотрено ниже).
  
  Теория множеств как универсум бесконечного
  
  Теория множеств, безусловно,
  является интеллектуальной собственностью всей математики.
  В то же время это во многом творение немецкой мысли и немецкого языка.
  Без учета этого обстоятельства многие существенные
  и далеко идущие повороты этой концепции
  оказываются неоправданно спрямленными.
  
  Начнем с того, что Г. Кантора
  это вовсе не <теория множеств>, а скорее <учение о множествах>
  (здесь можно вспомнить Wissenshaftslehre И.Г. Фихте,
  которое тоже не является <теорией науки>).
  По мысли ее создателя Mengenlehre - это, прежде всего, метафизическая область,
  которая, разумеется, не лишена математической конкретики.
  Именно метафизическая проекция позволяет понять
  логику возникновения самого понятия множества,
  в то время как <теория множеств> просто его постулирует.
  Как мы убедимся в дальнейшем,
  владение этой логикой является существенным приобретением
  в плане осмысления теоретико-множественных проблем.
  
  Попытаемся в общих чертах обрисовать эту логику.
  
  Идея отделения движения от среды,
  в которой этой движение осуществляется,
  оказалось исключительно плодотворной.
  Она позволила развить мощный аналитический аппарат
  исследования разнообразных процессов,
  не задумываясь об умозрительной проблеме их осуществления в следе непрерывности.
  Однако предоставленные самим себе процессы
  также генерируют парадоксы (связанные, например, с расходящимися рядами),
  и снова главным <виновником> оказывалась бесконечность.
  
  Все это показывало,
  что процессы необходимо определенным образом ограничивать.
  //// Вот еще одна интересная мысль об "ограничении процессов".
  //// А что в Мироздании отвечает за "ограничение процессов",
  //// чтобы они, даже если и "расходятся", но не шли бы "в разнос".
  Теория точечных множеств как раз и выросла из таких ограничений.
  Действительно со времен Зенона движение в континууме
  мыслилось как движение от точки к точке.
  Следовательно, и сам континуум как среда, в которой осуществляется процесс,
  можно мыслить собранием, совокупностью (Sammlung) точек.
  С другой стороны, объять неограниченный процесс
  можно только с помощью замкнутого в себе бесконечного набора точек.
  Следующий шаг от <точки> из совокупности к <элементу> множества (Menge)
  уже вполне естественен.
  //// К сожалению это "шаг" уловить не могу.
  
  Можно проследить и другой ход мыслей,
  который приводит к понятию Menge
  (сам этот термин возник в процессе долгих поисков Кантора нужного ему слова).
  
  Зададимся проблемой:
  каким образом можно <расширить> натуральный ряд 1, 2, 3...n
  в область бесконечного?
  Яркую картину этого расширения нарисовал Д. Гильберт в очерке
  .
  Попробуем представить ее в несколько иной логике.
  
  Ecли ? - это <число>, большее чем любое натуральное число,
  то ?+1 должно быть равно ?, поскольку ? <не конечно>
  и никаких иных чисел у нас нет.
  Для продолжения процесса необходимо осмыслить,
  что может представлять собой <число> ?+1.
  Как известно, каждое натуральное число может рассматриваться
  как количественное и порядковое.
  Выйти за пределы натурального ряда можно
  либо в количественном, либо в порядковом смысле,
  то есть ? является либо числом бесконечным в смысле количества,
  но конечным в смысле порядка,
  либо бесконечным в смысле порядка,
  что влечет его бесконечность в смысле количества.
  Если считать, что ? это <количественная бесконечность>, то ?+1 != ?
  и можно двигаться дальше.
  Получив ряд: ?+1, ?+2, ?+3:, можно, казалось бы, образовать число 2?
  в том же, количественном, смысле.
  Однако, в отличие от натурального ряда,
  члены этого ряда различимы только в порядковом смысле,
  в количественном же смысле все они совпадают с ?.
  
  Для решения проблемы необходимо изобрести
  способ различать члены ряда: ?+1, ?+2, ?+3:,
  который в идейном смысле можно было бы отнести к количественному.
  Суть решения состояла в том,
  чтобы представить <количество>
  как набора объективно различаемых и субъективно различимых элементов
  (wohlunterschiedenen Еlementen).
  Это прямо ведет к понятию множества:
    von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten in unserer Anschauung oder
  unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem ganzen>.
  Числа ?+1, ?+2, ?+3:, совпадающие в количественном смысле,
  различаются как множества.
  
  Теория множеств, в ее традиционном понимании,
  возникла как синтез обоих из названных подходов.
  <Кантор желает - как он сам мне говорил на съезде естествоиспытателей в Касселе,
  - писал Ф. Клейн,
  - достигнуть "истинного слияния арифметики и геометрии" в учении о множествах,
  другими словами, он желает представить учение о целых числах, с одной стороны,
  и теорию различных образов, с другой стороны,
  а также многое другое как равноправные и объединенные главы
  общего учения о множествах или совокупностях> [5].
  
  Б. Больцано (1781-1848) - Г. Кантор (1845-1918) - Р. Дедекинд (1831-1916)
  
  Мысль о том, что теория множеств является теорией количественной бесконечности
  и <множество> является носителем этой бесконечности
  явно присутствует в трудах ее создателей.
  
  <Под актуально бесконечным (a'?????????)
  следует понимать такое количество,
  которое, с одной стороны, не изменчиво,
  но определено и неизменно во всех своих частях
  и представляет собой истинную постоянную величину,
  а с другой, в то же время превосходит по своей величине
  всякую конечную величину того же вида>
  (Б. Больцано) [7].
  
  <...Для нас является важным только то,
  сможем ли мы при посредстве определения одного только количества
  определить бесконечность вообще.
  Это было бы не так, если бы оказалось,
  что понятие бесконечного в настоящем значении этого слова
  может быть применено только к количествам,
  то есть бесконечность есть свойство одних только количеств,
  иначе говоря, что мы называем нечто бесконечным,
  поскольку мы в нем находим свойство,
  которое можно рассматривать как бесконечное количество.
  А это, по моему мнению, действительно справедливо.
  Математик, очевидно, никогда не употребляет этого слова в другом смысле,
  так как он вообще занимается почти исключительно определением величин,
  принимая одну из них того же рода за единицу
  и пользуясь понятием о числе>
  (Г. Кантор) [8].
  
  Что касается Р. Дедекинада, то в книге
  он говорит следующее:
  <Множество S полностью определено только тогда,
  когда относительно всякой вещи известно,
  является ли она элементом множества S или нет>.
  В этом случае понятие множества сводится к понятию разрешимого множества,
  что радикальным образом сужает его онтологические возможности.
  
  <Бегство> от актуальной бесконечности
  
  Mengenlehre, которую оставил после себя Кантор,
  была <наивной> в том смысле,
  что ее основные постулаты не были явно сформулированы,
  что приводило к массе недоразумений и даже явных противоречий,
  наиболее известным из которых стал парадокс Рассела,
  хотя подобные парадоксы были известны и Кантору, и Гильберту.
  
  Разумеется, ничего специфически <множественного> эти парадоксы не содержали
  - в той или иной форме они были хорошо известны еще со времени неоплатоников.
  Большее беспокойство вызывало иное.
  Учению Кантора не хватало Ordnung'a, который бы расставил все по своим местам.
  Деятельность по его созданию, начатая Э. Цермело, явила очень многое,
  что заставило усомниться в достижении желаемого результата.
  
  Предвидя такой поворот,
  а также имея существенно иные методологические установки,
  Л.Э.Я. Брауэр предпринял масштабную попытку повернуть течение мысли в ином,
  не теоретико-множественном направлении.
  Независимо от успеха (или неуспеха) созданной им концепции <интуиционизма>,
  желание избежать обращения к актуальной бесконечности
  и остаться только в рамках бесконечности потенциальной,
  было сочувственно воспринято очень многими математиками:
  от Г. Вейля до А.А. Маркова и А.С. Есенина-Вольпина.
  У каждого из них были свои аргументы занять именно эту позицию.
  
  В целом идеи интуиционизма оказались очень привлекательными,
  что бросало тень на концепцию актуальной бесконечности.
  Именно тогда сформировалось и в определенной мере закрепилось представление
  о том, что актуальная бесконечность,
  хотя и является исключительно эффективным инструментом математики,
  проблемна в плане внутренней логики.
  //// Эффективность VS проблематичность?
  //// Какая знакомая в программировании/инженерии дилемма.
  
  Как представляется автору данной работы,
  проблема актуальной бесконечности заключается в ее уникальности.
  Канторовская бесконечность - это бесконечность количественная
  (внутри которой существует градация бесконечных количеств).
  Если предположить, что существуют иные типы актуальной бесконечности,
  то многие из имеющихся проблем распределяются
  между различными типами бесконечности
  и противоречия исчезают.
  //// "Разделяй и властвуй".
  //// Интересно, что и эту мысль тоже в первый раз не заметил.
  //// Точнее, не попытался приложить ее к тому видению/вопросу,
  //// который на тот момент интерресовал. Хотя что-то такое почувствовал.
  //// И прошло почти 5 лет, прежде чем "различные типы бесконечностей",
  //// заинтересовали как инструмент для проработки определенных метафизических гипотез.
  
  Б. Рассел (1872-1970) - Э. Цермело (1871-1953) - Д. Гильберт (1862-1943)
  
  Парадокс Рассела можно отнести к еще одному проявлению <закона Арнольда>:
  имя утверждения не совпадает с именем его первооткрывателя.
  Так или иначе, именно этот <парадокс>
  ускорил деятельность по наведению порядка в учении о множествах,
  которая осуществлялась в русле аксиоматических идей Д. Гильберта.
  Одним из результатов этой деятельности стала
  аксиоматическая теория Цермело - Френкеля (ZF), которая стала рассматриваться
  как чрезвычайный и полномочный представитель канторовского учения.
  Как и положено, через некоторое время этот представитель
  сам занял место оригинала.
  Сейчас, говоря о <теории множеств>, подразумевают, как правило, именно ZF
  (хотя это далеко не единственная аксиоматика).
  
  Исходная аксиоматика Э. Цермело появилась в 1908 г. в журнале
   и состояла из семи аксиом:
  1) Axiom der Bestimmtheit (аксиомы объемности);
  2) Axiom der Elementarmengen (аксиомы элементарных множеств);
  3) Axiom der Aussonderung (аксиомы выделения);
  4) Axiom der Potenzmenge (аксиомы множества подмножеств);
  5) Axiom der Vereinigung (аксиомы объединения);
  6) Axiom der Auswahl (аксиомы выбора);
  7) Axiom der Unendlichkeit (аксиомы бесконечности).
  
  Структура аксиоматики была традиционной:
  вводилось определение равенства множеств (аксиома 1),
  определялся набор простейших множеств (аксиома 2)
  и определялись допустимые правила генерации новых множеств (3-7).
  Наибольший интерес (а также проблему)
  представляет аксиома выбора.
  Строго говоря, именно эта аксиома <проталкивает> в теорию множеств
  идею времени
  и <подвертывает> ее под идею пространства.
  
  Л.Э.Я. Брауэр (1881-1966)
  
  Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр был выдающимся <игроком>
  на теоретико-множественном поле
  (прежде всего, как один из создателей топологии).
  При этом он одним из первых ясно осознавал
  всю проблемность <канторовского рая>,
  которую невозможно исправить никакими законодательными актами.
  
  Альтернативой множеству в концепции Брауэра
  выступала свободно становящаяся последовательность
  или последовательность выбора (Wahlfolge).
  В противовес Menge Wahlfolge мыслилась процессом,
  причем процессом принципиально не трансформируемым в множество
  (как, например, последовательность натуральных чисел),
  поскольку каждый член этой последовательности
  возникал в результате свободного выбора.
  Концепция Брауэра не получила всестороннего развития, как концепция Г. Кантора,
  однако в ее контексте появилось много блестящих идей,
  круги от которых расходились в течение десятилетий
  (одна из таких идей была высказана А.Н. Колмогоровым в [9]).
  
  Брауэр ясно осознавал необходимость учета длительностного,
  процессуального компонента математики,
  однако потенциальная бесконечность
  была не в состоянии конкурировать с актуальной бесконечностью
  и его глубокая концепция постепенно свернулась в <конструктивную математику>.
  
  Бесконечность как символ всеединства: новая феноменология
  
  Теория множеств Кантора <раздробила> математический мир
  на отдельные элементы,
  а программа Гильберта и построенные в ее рамках аксиоматики
  юридически закрепили эту раздробленность.
  Следующим, естественным шагом явилась
  <сборка> из этих элементов всех фундаментальных <узлов> математики и естествознания.
  Технология такой <сборки> на основе определенных структур
  была зафиксирована в <Программе Бурбаки>.
  
  Деятельность по созданию этих структур растянулась приблизительно на пятьдесят лет
  и привела к созданию теоретико-множественной модели математики.
  В этой модели математика предстает гигантским автономным универсумом
  взаимосвязанных теоретико-множественных структур,
  которые проецируются на самые различные области естествознания.
  Такая модель, обладая несомненными техническими достоинствами,
  дает не столько единство математического универсума,
  сколько его унификацию,
  что, разумеется, не одно и то же.
  Более того, эта модель существенно искажает содержание понятий,
  благополучно существовавших в <до-множественной> математике.
  К таким понятиям, в частности, относится и понятие бесконечного
  (развернутое обоснование этого тезиса принадлежит, в частности, П. Вопенке)
  
  Между тем единство математического универсума
  - это сверхидея теории множеств
  (хотя, как всегда,
  все началось с конкретной задачи из теории тригонометрических рядов)
  и континуум гипотеза - ключевой момент этой сверхидеи.
  Бесконечные кардинальные числа ?0, ?1, ?2 ... ?? ,
  за исключением начального сегмента,
  не имеют под собой ясного математического содержания
  и являются плодом чистой абстракции.
  Если с помощью этих кардинальных чисел нельзя <поймать> непрерывное,
  то они превращаются в некоторое подобие сюрреалистического ландшафта с фигурами
  (выражение современного математика А. Матиаса).
  
  Точкой <бифуркации> в понимании сути теории множеств
  является понятие <символа>,
  в частности <символа бесконечного>.
  Стоит ли за символом некая абстрактная реальность
  или возникший символ - это только <идентификатор>,
  возникший в ходе деятельности в некотором <игровом пространстве>?
  Или более тонкий вопрос:
  могут ли существующие в теоретико-множественном смысле объекты
  не иметь обозначения?
  
  Как известно, исторически развитие теории множеств от данной точки
  пошло по линии <идентификатора>,
  что в конечном итоге вылилось в программу Гильберта
  и <лингвистическую философию> Л. Витгенштейна.
  В математическом плане это привело к созданию <теории моделей>
  (А. Тарский, А. Мальцев, А. Робинсон и др.),
  в которой отношение <символ> - <реальность>
  (или в более точной форме: <синтаксис> - <семантика>)
  становится предметом строгой математической теории.
  
  В настоящее время эта линия развития достигла своих естественных границ,
  обнажив свойственные ей фундаментальные проблемы.
  Обсуждение этих проблем естественно начать с точки,
  от которой начала свой отсчет данная линия развития,
  и более внимательно приглядеться к её альтернативе.
  
  П. Флоренский (1882-1937)
  
  Как известно, П.А. Флоренский выражал иное понимание <символов бесконечного>
  и символов вообще.
  <Бытие, которое больше самого себя, -
  таково основное определение символа.
  Символ - это нечто, являющее собою то, что не есть он сам,
  бoльшее его, и однако существенно чрез него объявляющееся.
  Раскрываем это формальное определение:
  символ есть такая сущность, энергия которой,
  сращенная или, точнее, срастворенная с энергией некоторой другой,
  более ценной в данном отношении сущности,
  несет таким образом в себе эту последнюю.
  Но, неся сущность в занимающем нас отношении более ценную,
  символ, хотя и имеет свое собственное наименование,
  однако, с правом может именоваться также наименованием той, высшей ценности,
  а в занимающем отношении и должен именоваться этим последним> [10].
  //// Проблема многих философских текстов часто заключается в том,
  //// что их авторы стараются изложить свою мысль наиболее общими словами,
  //// да еще и так, чтобы включить в них все возможные ситуации/интерпретации,
  //// причем с ориентацией на читателей, мыслящих "конгруэнтно" с ними/авторами.
  //// Вот и в данной формулировке хорошую мысль/формулировку приходится
  //// мучительно додумывать/выдалбливать из "куска мрамора".
  
  Проводя параллель между качеством бесконечного, отмеченного Г. Галилеем:
  <часть равна целому>
  (которое получило грандиозную разработку в теории множеств)
  и качеством символа, данного Флоренским:
  <Часть, равная целому, причём целое не равно части>,
  //// Очень интересная формулировка.
  //// Очередной камешек "в огород" закона тождества.
  можно сказать, что символ, по Флоренскому,
  безусловно, указывает на бесконечность,
  и эта бесконечность иного рода,
  чем теоретико-множественная бесконечность.
  //// О, а вот это уже стоит запомнить, и попробовать применить
  //// в размышлениях о системы эмбеддингов/латентов нейросетей.
  
  Новые лики бесконечного
  
  Канторовская теория множеств заняла доминирующее положение в математике ХХ века,
  превратившись со временем в догму,
  что противоречило основной идее самого Кантора
  .
  Следуя этой безусловной идее, мы сосредоточим внимание на проблемах,
  которые принесла с собой великая концепция Кантора.
  
  Как нам представляется,
  корень фундаментальных проблем теоретико-множественной математики
  (и, следовательно, всего точного естествознания)
  лежит в плоскости диалектики
  <пространства> (<множества>) и <времени> (<длительности>),
  //// Точка VS интервал? Или, вообще, для "длительности" нужно что-то ИНОЕ,
  //// например, "период"?
  сконцентрированной в понятии континуума.
  Фактически мы в очередной раз вступаем в круг проблем,
  обрисованных еще Зеноном.
  
  Созданная Кантором точечная модель континуума
  при внимательном и беспристрастном анализе
  оказалась весьма проблемной
  как в идейном, так и техническом плане,
  хотя ее влияние на математику ХХ в. трудно переоценить.
  Тем не менее на сегодняшний день существуют,
  по крайней мере, три грозовые тучи на горизонте теории множеств,
  способные поразить точечную модель
  и пролиться дождем новой концепции континуума.
  
  К этим <тучам> можно отнести:
  - континуум-проблему;
  - нестандартный анализ;
  - квантовую теорию.
  
  Все эти теории по-разному высвечивают один и тот же эффект:
  ограниченность канторовского <пространственного подхода>
  и необходимость учета <длительности>.
  
  Для обретения конкретики погрузимся в эти <тучи>.
  
  К. Гёдель (1906-1978) - П. Коэн (1934-2004) - Д. Скотт (р. 1932) - Р. Соловей (р. 1938)
  
  Континуум-проблема воплотила в себе сверхзадачу теории множеств -
  <очислить> непрерывное.
  В случае ее положительного решения Г. Кантор оказался бы в роли царя Соломона,
  который <все расположил мерою, числом и весом> (Прем. Сол. ХI, 21).
  
  Кантор не сумел найти решение сформулированной им проблемы,
  но ее принципиальный характер был вполне осознан его современниками,
  в частности Д. Гильбертом.
  
  Последующие поколения математиков уже более смутно представляли себе
  метафизические корни континуум-проблемы.
  Для них это была, прежде всего, исключительно трудная задача,
  сочетавшая простоту формулировки с крайне изощренной техникой.
  Попытаемся понять, что стоит за этой техникой
  
  Основные этапы восхождения к решению этой проблемы состояли в следующем.
  
  1. С точки зрения теории множеств, все континуумы равномощны.
  Это позволяет свести общую континуум-проблему
  к выяснению мощности конкретного континуума,
  например множества действительных чисел
  (подчеркнем, что в данный момент мы находимся
  внутри теоретико-множественного универсума,
  в котором не существует иных объектов, кроме множеств).
  Вместе с тем это множество, очевидно, равномощно множеству P (N)
  всех подмножеств натурального ряда N
  
  После всех этих уточнений,
  континуум-проблема приобрела характер математической задачи.
  При этом следует отметить один, далеко не формальный момент.
  В исследованиях по теории множеств основной упор был сделан
  не столько на континуум-проблему,
  сколько на континуум-гипотезу
  - предположение Кантора о том, что мощность континуума с
  равна первому несчетному кардинальному числу: с = ?1.
  Это позволило подойти к проблеме в духе идей <логического позитивизма>,
  при котором выяснение сущности объекта
  заменяется изучением логической структуры утверждений
  о его теоретико-множественной модели.
  Применительно к данной проблеме речь идет
  об установлении зависимости континуум-гипотезы
  и аксиом теории множеств - конкретно аксиом ZF.
  Возможны следующие варианты решения:
  
   континуум-гипотеза не совместима с аксиомами ZF;
   континуум-гипотеза выводится из аксиом ZF;
   континуум-гипотеза не зависима от аксиом ZF.
  
  Из этих вариантов очевидно только первые два являются собственно решениями.
  Третий вариант показывает лишь то,
  что данное утверждение является <слишком сильным> для выбранной системы аксиом
  и <запаса мощностей>, допустимых в ZF, не хватает для описания мощности континуума.
  
  При осуществлении третьего варианта возможен следующий выход.
  Нужно волевым усилием пополнять ZF новыми аксиомами,
  например, аксиомами о существовании так называемых <больших кардиналов>
  и попытаться доказать или опровергнуть континуум-гипотезу в расширенной теории.
  Эта деятельность в принципе может продолжаться неограниченно долго.
  Однако при этом может возникнуть вопрос о корректности
  самого метода сведения <сущности> к <высказываниям>,
  и в принципе должен возникнуть вопрос о новой методологии.
  
  2. Все эти варианты были осознаны еще в 30-х гг. ХХ в.
  Уже тогда можно было предвидеть, что осуществится именно третий вариант.
  Однако вера в эффективность формализма не угасала вплоть до 1960-х гг.,
  а континуум продолжал оставаться для него самой притягательной проблемой.
  Необходимо было, чтобы сам формализм <расписался>
  в несостоятельности решить проблему континуума.
  Для этого нужны были конкретные результаты.
  Одни были получены К. Геделем в 1938 г. и П. Дж. Коэном в 1963 г.
  
  Суть их состояла в следующем.
  
  Главную трудность в определении мощности континуума
  вносят так называемые непредикативные определения,
  при которых, элемент множества определяется через само множество,
  то есть часть определяется через целое.
  Например, если мы перечислим все элементы множества S,
  диагональный метод позволяет указать в S еще один элемент.
  Иными словами, в теоретико-множественных конструкциях
  (точнее, в аксиоме множества подмножеств)
  заложен механизм самопорождения элементов.
  
  Возможны следующие подходы к <нейтрализации> этого механизма.
  
  Во-первых, можно просто <запретить> непредикативные определения
  путем жесткой регламентации процесса образования множеств.
  Множества, полученные путем таких регламентированных правил,
  называются конструктивными множествами.
  Возникает вопрос: могут ли в универсуме конструктивных множеств L
  выполняться все аксиомы ZF,
  то есть является ли он моделью ZF?
  В 1938 г. К. Гедель показал, что это действительно так,
  при этом мощность континуума P (N) в этой модели равна ?1.
  
  3. Второй путь является принципиально иным.
  Формализация наивной теории множеств
  помимо очевидных технических моментов
  несет в себе и общую идею:
  теория множеств - это, прежде всего, совокупность утверждений о множествах.
  В этой трактовке множество - это то, что делает утверждение истинным или ложным.
  Можно сказать, что утверждение - это функция из универсума множеств
  в двухэлементное множество {<истина>, <ложь>} = {1,0}.
  Механизм самопорождения <размывает> множество.
  Обрисованная связь множеств и утверждений о множествах подсказывает мысль,
  что этот механизм можно имитировать размыванием, релятивизацией, <истины>.
  Точнее, будем рассматривать утверждение как функцию из универсума множеств,
  но не в множество {0,1}, а в некоторое другое множество В, такое, что {0,1}?В.
  Для того чтобы такое отображение сохраняло все основные свойства,
  присущие отображению в множество {1,0},
  необходимо, чтобы В являлось булевой алгеброй.
  Таким образом, каждому утверждению сопоставляется элемент булевой алгебры
  (иногда говорят, что данное утверждение оценено элементом В).
  
  В условиях действия механизма самопорождения,
  утверждение, истинное на некотором шаге,
  за счет появления нового элемента может перестать быть таковым.
  Добавление нового элемента к уже имеющимся элементам и множествам
  образует некий <возможный мир>, в котором утверждение оценивается элементом В.
  Таким образом, механизм самопорождения моделируется
  некоторой совокупностью неограниченных цепочек элементов В.
  Нас интересуют цепочки, которые в каком-то смысле <стремятся> к <истине>,
  то есть к <1> - максимальному элементу булевой алгебры В.
  Множество G, которое содержит в себе все такие цепочки
  (и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям)
  называется ультрафильтром.
  Именно принадлежность ультрафильтру обеспечивает,
  с одной стороны, <размывание> (<расширение>) множества P (N),
  с другой - обеспечивает выполнение всех аксиом ZF
  (П. Коэн, 1963, Д. Скотт - Р. Соловей, 1967).
  Переход от <"1" - истины> к
  означает переход от <универсальной истины> к <истине в возможных мирах>.
  
  //// Вообще, пока читал этот абзац, в голове представлял аналогичный механизм
  //// "порождения миров" в "гипотезе отражений/теней".
  //// Практически все формулировки остаются без изменения,
  //// но смысл похоже все-таки иной.
  
  Этот переход можно также трактовать
  как переход от <истинности> к <истинности почти всюду>.
  Например, множества А и В будут равны, если они совпадают почти всюду.
  Как известно, такой тип отношений характерен для теории вероятностей.
  
  Вообще говоря, ослабление аксиом (понятий)
  с целью включения в орбиту исследования новых объектов
  является стандартным приемом аксиоматики бурбакистского толка.
  Своеобразие метода форсинга состоит в том,
  что такому <ослаблению> подвергается само понятие <истины>.
  
  //// Вот проскочила и куда-то "укатилась мысль", что если как-то "обратить"
  //// условие "почти всюду", то можно и на "континуум" взглянуть как-то иначе.
  
  //// И, вообще, это "почти всюду" может ли быть "точкой опоры"
  //// для перехода от "точных" методов к "статистическо-вероятностным"?
  //// Если уж можно "ослаблять истину", то почему такое же,
  //// или даже более сильное "ослабление" нельзя накладывать на что-то иное,
  //// например, "правила"/"аксиомы"/"тождества" и т.д.
  //// И таким образом попытаться перебросить "мостик" от "формул" к "эвристикам".
  //// Что-то такое сегодня очень напрашивается в плане попыток
  //// описания/понимания механизмов работы нейросетей.
  
  Насколько приведенные конструкции приближают нас
  к ответу на вопрос о мощности континуума?
  
  Послушаем самого Коэна.
  
  <...Нет разумного основания ожидать, что какое-либо описание большого кардинала,
  которое пытается построить этот кардинал с помощью идей,
  происходящих от аксиомы подставки,
  окажется когда-либо достаточным для получения с .
  Таким образом, с больше, чем ?n, ?? ... ?? , где ? = ?? и т.д.
  С этой точки зрения с рассматривается как невероятно большое множество,
  которое дано нам какой-либо смелой аксиомой
  и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было
  постепенного процесса построения.
  Быть может, последующее поколение научится видеть эту проблему яснее
  и выражаться о ней более красноречиво> [11, с. 282].
  
  А.И. Мальцев (1909-1967) - А. Робинсон (1918-1974)
  
  Теория континуума, построенная Лейбницем, двойственна.
  В ней на равных правах участвовали <точки> и <не-точки>
  - бесконечно малые величины.
  Долгое время считалось, что эта модель континуума является нестрогой
  и порождает множество проблем,
  хотя именно такая модель в значительной мере отражала физическую реальность.
  В конечном итоге она была заменена точечной, теоретико-множественной моделью,
  которая в настоящее время является общепринятой.
  
  Следует сказать, что с развитием в ХХ в. математической логики
  произошла неожиданная реинкарнация идей Лейбница.
  
  В 1936 г. А.И. Мальцевым была доказана <теорема компактности>,
  утверждающая, что множество формул первого порядка
  имеет модель тогда и только тогда,
  когда модель имеет каждое его конечное подмножество.
  Из этой теоремы, в частности, следовало существование
  бесконечно больших натуральных чисел.
  
  В 1961 г. А. Робинсон, развивая идеи А.И. Мальцева,
  с помощью теории ультрафильтров обосновал существование неких объектов,
  свойства которых давали основания отождествить их с монадами Лейбница.
  В дальнейшем эта теория стала известна под названием <нестандартного>
  или не архимедова анализа
  (анализа, в котором не выполняется аксиома Архимеда).
  \\\ Если имеются две величины, a и b, и a меньше b,
  \\\ то, взяв a слагаемым достаточное количество раз,
  \\\ можно превзойти b
  Принципиальным моментом конструкции Робинсона был
  так называемый <принцип переноса>,
  позволяющий перенести свойства <стандартных> объектов
  на <нестандартные> объекты - монады.
  
  При этом необходимо отметить, что нестандартный анализ
  - это теоретико-множественная теория,
  которой свойственны все онтологические проблемы теории множеств.
  
  Д.Х. Конвей (р. 1937)
  
  Сюрреальные числа (surreal numbers - название принадлежит Д. Кнудту)
  возникли в работах Дж. Конвея (John Horton Conway)
  для описания ряда аспектов теории игр.
  С традиционной, теоретико-множественной точки зрения,
  сюрреальные числа - это еще одна, правда очень интересная,
  модель нестандартных вещественных чисел,
  в которую кроме обычных вещественных чисел
  входят инфинитные и инфинитоземальные величины.
  До настоящего времени (с 1974 г.) сюрреальные числа
  практически не нашли себе адекватного применения
  и, по большей части, рассматриваются как изящная математическая экзотика
  (и как персонаж художественного эссе Д. Кнута).
  
  Стрелочная запись сюрреальных чисел
  (найденная, по-видимому,А.А. Кирилловым [12]),
  когда число представляется конечной или неограниченной последовательностью
  знаков и ,
  высветила существенную особенность этой модели
  - чисто порядковое представление действительного числа
  в виде комбинации противоположных по направлению шагов.
  
  Операции сложения чисел - последовательностей в этой модели,
  согласно Конвею, должны удовлетворять принципу очередности и простоты.
  Суть этого принципа состоит в том,
  что правила действия определяются не сразу для всех последовательностей,
  а постепенно:
  сначала для более <ранних>, а потом для более <поздних>;
  при этом в качестве результата выбирается самая ранняя последовательность.
  В этом нельзя не усмотреть аналога с принципом Гюйгенса.
  //// Мне "углядеть" этого не удается.
  
  П. Вопенка (1935-2015)
  
  Замечательный чешский математик П. Вопенка,
  получивший одновременно с П. Коэном
  доказательство независимости континуум-гипотезы от остальных аксиом ZF,
  тем не менее, редко упоминался как один из авторов этого выдающегося результата.
  
  Созданная им позднее <Альтернативная теория множеств>
  часто трактовалась как некоторый вариант нестандартного анализа А. Робинсона,
  хотя, несомненно, это одна из самых глубоких и детально разработанных
  альтернатив канторовскому Mengenlehre.
  Более того, с позиций этой теории П. Вопенка дал оригинальную трактовку
  теории множеств Б. Больцано,
  которая, по-видимому, ближе к исходным идеям её автора
  и явно не идет в русле традиций её толкования
  как первоначальной схемы теории множеств Кантора.
  
  Ключевым понятием Альтернативной теории множеств является понятие
  <полумножества> ().
  Автор глубоко осмысливает важнейшее понятие канторовского определения множества:
  wohlunterschiedenen Еlementen,
  то есть понятие различных элементов,
  которые субъект имеет возможность различить.
  С его точки зрения, феномен бесконечности возникает
  при наблюдении больших, необозримых множеств,
  часть элементов которых могут быть субъективно неразличимыми [13].
  //// Надо пометить этот момент - "субъективная неразличимость".
  
  Концепция автора
  
  Теория множеств, скрепленная структурами Бурбаки,
  на весьма продолжительное время создала ощущение внутреннего порядка математики.
  Предполагалось, что всякая возникшая мысль
  найдет в ее конструкциях свое адекватное воплощение.
  Одновременно сформировался теоретико-множественный язык,
  который превратил теорию множеств в своего рода <операционную систему>,
  где каждый <пользователь> мог найти удобную для себя конструкцию и инструменты.
  
  Вместе с тем в границах этой грандиозной системы
  стала формироваться не укладывающаяся в нее эмпирика
  (те самые <грозовые облака>, о которых упоминалось выше).
  Примечательные феномены можно увидеть как внутри теории множеств,
  так и во внешних по отношению к ней областях.
  
  Рассмотрим некоторые из таких феноменов.
  
  Как нам видится, фундаментальным фактом современной теории множеств
  является решeнная (или не решенная?) и уже не раз упомянутая континуум-проблема.
  
  Вглядимся в нее более внимательно
  
  В работе
  Кантор формулирует классическое определение множества
  и вводит его фундаментальную характеристику или .
  Соответствующее определение выглядит так:
    weleher mit Нulfe unseres action Dennkvermogens dadurch aus der
  Menge M hervorgeht, dass von der Bashaffenheit ihrer vershhiedenen Elementem
  und von der Ordnung ihres Gegebenseins abstrahirt wird>.
  
  С точки зрения этого естественного определения,
  каждое множество обязано иметь вполне определенную мощность,
  независимо от того, какими постулатами регламентируется
  образование данного множества.
  В этой ситуации естественно задать вопрос:
  каков Cardinalzahl континуума как некоторого множества?
  Именно этот вопрос и задал Кантор и одновременно предположил,
  что Cardinalzal континуума равно ?1.
  
  С другой стороны, само Cardinalzahl может быть определено
  как класс равномощных множеств
  (то общее, что содержится во всех равномощных множествах).
  Мощность (Cardinalzahl) данного множества
  определяется через принадлежность множества данному классу.
  
  Разумеется, речь идет не о тонкостях формулировок,
  а о разных методологиях выхода в абстрактную сферу.
  В первом случае предлагается сфокусировать зрение
  только нa тех свойствах данного объекта,
  которые в данный момент являются важными (типично модельный подход).
  Во втором случае абстракция является
  как знаменатель всех мыслимых возможностей
  (подобную методологию с блеском применял Р. Фейнман в <интегралах по траекториям>).
  
  Различие двух подходов очевидно.
  
  В первом случае речь идет о сущностной, индивидуальной,
  количественной характеристике множества,
  обобщающей количественную характеристику числа
  (можно даже сказать, что множество выступает носителем этой характеристики,
  что и соответствует оригинальной концепции Кантора).
  
  Второе определение говорит о способе <измерения> данной характеристики,
  то есть присваивания ей некоторого числа,
  в общем случае - трансфинитного.
  Результат такого <измерения>, естественно, зависит
  от наличия или отсутствия отображений между множествами.
  
  Рассмотренные выше результаты К. Гёделя и П. Коэна
  относятся именно к таким <измерительным> процедурам,
  которые часто выдаются за сущностные свойства самого континуума.
  Однако именно названные результаты говорят о том,
  что континууму можно без противоречия приписать любую мощность: ?0, ?1 ... ?? ...,
  то есть в сущностном плане континуум является
  переменной величиной.
  Это значит, что в, казалось бы, полностью статичном мире множеств
  существуют не умозрительные, а реальные абстрактные процессы.
  
  Как и в случае теории множеств, возникают богословские параллели,
  но теперь уже с трудами Св. Максима Исповедника
  и его концепцией <неподвижного времени>.
  
  Подобное наращивание абстракции можно расценить
  как чистое умозрение,
  если бы не одно существенное обстоятельство.
  
  Как известно, в ходе создания физики микромира
  было введено понятие волновой функции ?,
  которая, подобно платоновской идее,
  определяла динамику физических объектов.
  Однако, в отличие от статического ?????'a(эйдоса),
  волновая функция выражает абстрактную динамику.
  //// А может все-таки не "абстрактную"? Как-то она все-таки работает.
  Этот принципиальной важности факт,
  по идущей от Бурбаки традиции,
  прячется за структурные моменты,
  в данном случае гильбертово пространство.
  Для вычислительной деятельности этого оказывается вполне достаточно,
  однако сам феномен абстрактной динамики
  (как и в случае континуума)
  не получил должного осмысления
  
  ///// О, вот интересная мысль - абстрактная динамика. Стоит обдумать.
  
  В квантовой теории появляются внутренние степени свободы,
  которые также являются сигналом о наличии абстрактной динамики.
  
  ///// Появляются внутренние степени свободы - это не те самые "ненужные"
  ///// пространственные координаты. Даже если это и не они,
  ///// сам факт отличия координат/степеней свободы от привычных в макромире,
  ///// о чем-то точно должно свидетельствовать. Вот только о чем?
  
  Реакцию на эти феномены можно выстроить в духе естественно-научных традиций:
  (А) сформулировать гипотезу, объясняющую данные феномены,
  (В) предложить некую альтернативу и
  (С) проанализировать следствия.
  
  А. Осмысление феномена внутренней динамики теории множеств
  ведет к осмыслению основ самой теории множеств.
  Как нам представляется, дело обстоит следующим образом.
  
  Как известно, натуральное число n является единством количества и порядка
  n = (nR, nZ).
  Современная математика явно или неявно отдает предпочтение
  количественному аспекту,
  считая, что n = nR.
  Пройдя все ступени логики, это равенство оборачивается теорией множеств,
  причем само понятие <множество> возникает
  как <носитель> количественной бесконечности
  (в несколько усеченном виде эта логика была приведена выше).
  Количественный аспект числа традиционно ассоциируется с пространством,
  в то время как порядковый аспект считается проявлением времени.
  В этом плане теорию <множеств> можно рассматривать
  как <пространственную> теорию,
  в которой время <подверстывается> под пространство,
  но отнюдь им не подавляется
  (это хорошо понимал еще Л. Брауэр).
  
  В. Альтернативой равенству n = nR
  является арифметический постулат двойственности,
  утверждающий, что число есть единство двух различных
  не сводимых друг к другу сущностей:
  количества и порядка
  (времени и пространства),
  что в сути отражает status quo дотеоретико-множественного понимания числа.
  
  Для закрепления этой идеи формулируется
  общий принцип двойственности,
  который заключается в том,
  что каждый <количественный> объект A
  имеет свой <порядковый> образ A?
  (но не обратно).
  Иными словами, каждый пространственный объект имеет свой временной образ.
  //// А что "имеют" все возможные "временные образы"?
  
  Принцип двойственности очень естествен и практически очевиден.
  Вопрос заключается в том,
  является ли оно математически содержательным,
  //// А как насчет физической или "метафизической" содержательности?
  то есть можем ли мы извлечь из него
  некоторые нетривиальные математические утверждения?
  //// А метафизические?
  
  
  Ответ на этот вопрос оказался утвердительным,
  что было продемонстрировано в серии работ [14; 15] и др.
  
  С. Несколькими штрихами обозначим открывающиеся возможности.
  
  Наиболее радикальным следствием принципа двойственности
  является появление нового типа бесконечности,
  порядковой бесконечности ?-числа,
  большего любого натурального числа в смысле порядка.
  Разумеется, выход к такой бесконечности
  не может быть осуществлен с помощью теоретико-множественных операций.
  Для этого используются иные подходы,
  в частности, идеи неразличимости ? в смысле порядка, то есть ? +1= ?,
  где предикат равенства понимается уже в чисто порядковом смысле.
  
  ? - исключительно <сильная> бесконечность:
  для любого кардинала ?? ? ? ?? .
  В свободном толковании это означает,
  что порядковых чисел больше, чем количественных.
  Принимая во внимание уже упомянутые философские традиции
  связывать количество с пространством,
  а бесконечность со временем,
  можно заключить,
  что бесконечность пространства меньше, чем бесконечность времени.
  
  Само же множество выступает носителем количественной бесконечности.
  Что касается носителя порядковой бесконечности,
  то его носителем выступает абстрактный динамический объект
  - фундаментальное вращение.
  
  ///// Абстрактное движение - фундаментальное вращение? Может и так.
  
  Введение в оборот двух типов актуальных бесконечностей
  и, соответственно, двух типов носителей
  вносит определенное понимание причин появления абстрактной динамики,
  что позволяет, в частности, по-новому оценить ряд результатов
  о независимости теоретико-множественных утверждений.
  Дальнейшее развитие этого подхода дает,
  по выражению В.И. Арнольда,
  <освежающе непохожий> мир порядковых образов.
  Более того, <мир количества> и <мир порядка>
  оказываются несимметричными (!),
  что дает повод развивать крайне привлекательные
  и, надеемся, полезные методы и конструкции.
  
  ///// Бесконечностей становится уже не две, а три.
  ///// И, наверно, это еще не последнее слово в мире бесконечностей.
  
  В заключение хотелось бы сказать несколько слов об одном неожиданном эффекте,
  возникшем в процессе работы над статьей.
  Идеи, высказанные разными людьми, в разное время,
  и собранные на немногих станицах удивительным образом
  начинают <интерферировать>,
  проникать друг в друга,
  образуя новое, неизвестное автору качество.
  Возможно, ради такой интерференции и стоит предпринять подобную работу.
  
  .........
  
  Литература.
  
  //// 15 наименований.
  
  .......
  
  ///// Покурил, подумал, что наверно мысль о том,
  ///// что "пространственный континуум" и "временной континуум"
  ///// могут представлять разные ТИПЫ бесконечностей, наверно, стоит запомнить.
  ///// Хотя как это использовать мыслей пока нет.
  
  //// Конец цитирования.
  
  Вот так пять лет назад и начался поиск математических методов,
  более подходящих для описания "временного континуума".
  Но главное, чем мне памятна эта статья,
  это тем, что, наверно, с начиная с нее "пространственно-подобное"
  представление о времени, в виде координатных точек,
  "почему-то" перестало удовлетворять.
  И началось "свободное плавание" куда-то
  в сторону ОТ канонических представлений о "пространстве-времени".
  
  
  ========
  
  03.01.2023 8:32 - 10.10.24 22:13
  
  Повторение мать учения.
  В оглавление.
  
  Как Вы можете судит по дате "долбежка" этой части материалов
  о "фундаментальном вращении" первоначально происходило
  еще до того как зародился и оформился сам проект "Металоция".
  Тогда я просто интересовался любым нестандартным подходом к математике,
  надеясь что-то уловить/понять сравнивая различные формулировки.
  Но без претензий на какую-то "иную математику".
  
  И мне стало интересно, что же изменилось в моей оценке этого материала
  спустя почти два года,
  с учетом и того, что автор немного приоткрыл свои планы,
  и того, что изменилось в моих взглядах за время работы над проектом.
  
  В общем, это, так сказать, повторная "долбежка",
  вроде как уже однажды проработанного материала:
  
  "<НЕСТАНДАРТНЫЙ> ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ I:
  СПЕКТР МАСС".
  Автор: С.А. Векшенов
  Метафизика, 2022, ? 4 (46). ISSN 2224-7580 стр.22
  https://mega.rudn.ru/file/22_1241_Метафизика%204%2046-666.pdf
  
  DOI: 10.22363/2224-7580-2022-4-22-50
  
  Российская академия образования
  
  //// Начало цитирования.
  
  Аннотация.
  В квантовой теории присутствуют как точечные, так и целостные объекты.
  При этом техника вычислений основана исключительно
  на теоретико-множественных структурах,
  сопряженных с точечной моделью континуума.
  Переход к целостным динамическим структурам
  дает возможность развить новые методы,
  которые позволяют получить полезные результаты,
  в частности, вывести формулу спектра определенного класса частиц:
  m=me (l+k/2m)(l +s/2t).
  Данная формула является обобщением формулы,
  полученной В.В. Варламовым в 2017 г.
  В целом подобный подход созвучен с концепцией
  так называемого <нестандартного анализа>,
  в котором ключевую роль играют <числа-монады>.
  
  Введение
  
  Хорошо известно,
  что основной абстракцией классической физики является материальная точка.
  Согласно аксиоме Кантора,
  <недоказуемой по самой своей природе>,
  имеется взаимно однозначное соответствие
  между точками прямой и действительными числами,
  //// Не знал, что это аксиома. Как-то не обращал на это внимание,
  //// считал очевидным. Любопытно,
  //// "о сколько нам открытий чудных откроет просвещенья дух".
  //// Сколько еще таких неявных аксиом
  //// лежат себе под ногами, как минное поле, и ждут своего часа.
  //// Так что, может быть, в данном случае нужно рассматривать
  //// не действительные, а комплексные числа.
  которые образуют непрерывный континуум.
  Процесс измерения в этом случае сводится
  к <взаимодействию> физической величины А
  с точкой t на шкале измерительного прибора,
  результатом которого будет действительное (фактически рациональное) число ?,
  теоретически принадлежащее всей области действительных чисел D.
  Можно сказать,
  что физическая величина потенциально может иметь значения из всей области D,
  но в момент измерения (<взаимодействия> с точкой - стрелкой прибора)
  она принимает конкретное значение из D.
  
  В квантовой теории ситуация сложнее.
  
  Основой формализма квантовой теории является некая,
  не сводимая к точке, абстрактная целостность (<состояние>),
  которая присутствует во всех версиях теории.
  В качестве такой абстракции выбирается волна де Бройля
  Ф = e**i*u*f
  Поскольку для любых волн (в том числе и абстрактных)
  справедлив принцип суперпозиции,
  //// Еще одна аксиома.
  //// Точнее само "определение волны" жестко связано
  //// с этим "принципом суперпозиции".
  естественно, представить многообразие этих волн
  как линейное (конкретно гильбертово) пространство
  над полем комплексных чисел.
  
  <Взаимодействие> физической величины А с абстракцией Ф,
  как известно,
  сводится к поиску собственных значений линейного самосопряженного оператора А,
  который отождествляется с этой физической величиной: Аф =lф.
  Набор li определяет спектр возможных значений величины А,
  он может быть как дискретным, так и непрерывным.
  С другой стороны, как известно,
  ф можно представить в виде: ф = S li фi где фi - собственные вектора
  (состояния), отвечающие собственным значениям li .
  Таким образом, можно сказать,
  что абстрактному объекту ф соответствует спектр действительных чисел li,
  определяемых величиной А.
  Чтобы осуществить процесс измерения физической величины А,
  необходимо, как и в классическом случае,
  определить одно из значений li из возможных значений А,
  в данном случае, из спектра оператора А.
  Проблема заключается в том,
  что процесс измерения - это взаимодействие величины А и некоторой точки,
  которой в данной модели нет в принципе.
  Единственно возможное решение состоит в том,
  //// Единственно известное.
  что в момент измерения целостность ф <превращается> в точку
  и, значит, величина А принимает одно из возможных значений из спектра.
  Подобная ситуация, как известно,
  является источником многочисленных гипотез о том,
  что представляет собой этот процесс <редукции>
  и какова его физическая или информационная суть.
  Разумеется, за обрисованной логической неизбежностью
  может стоять конкретный физический или информационный процесс,
  однако в данный момент важна именно логическая сторона проблемы.
  
  Сопоставление этих двух общих схем формализмов
  позволяет очертить суть проблемы.
  С одной стороны, ф это некоторая целостность,
  не разложимая на отдельные составляющие.
  С другой стороны,
  это обычная комплекснозначная функция переменных r и t,
  области определения которых - множества.
  Эта функция может, например, зависеть или не зависеть от времени t,
  что дает две существенно различные
  с точки зрения физики
  модели квантового мира:
  картины Шредингера и Гейзенберга соответственно.
  В целом же названные выше математические концепции
  вполне уживаются на одном квантовом поле,
  но одновременно являются источником разнообразных артефактов,
  которые бывает трудно отделить от собственно <природы вещей>.
  
  Эта ситуация во многом напоминает ситуацию с математическим анализом
  после работ О. Коши, К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора,
  когда был окончательно сформирован его теоретико-множественный фундамент.
  Однако в аппарате анализа со времени его возникновения
  существенную роль играло <исчисление бесконечно малых>,
  которое, в свою очередь, возникло
  в рамках <монадологии> Г.В. Лейбница.
  //// По времени не совпадает. Так что это утверждение на совести автора.
  Монада, по Лейбницу, это динамическая целостность <без окон>,
  то есть без доступа к внутренней структуре.
  Лейбниц оперировал с монадами, как с числами,
  что позволило разработать мощный,
  хотя математически далеко не строгий аппарат.
  В классическом анализе <монадный> и e-s-аппарат
  достаточно спокойно взаимодействуют,
  хотя коллизии возникают.
  Тем не менее основной аппарат анализа оставался теоретико-множественным
  (включающим e-s-технику).
  Однако в 1961 году ситуация изменилась.
  Опираясь на теорему компактности А.И. Мальцева,
  А. Робинсон разработал технику ультрапроизведений,
  позволяющую дать строгую трактовку идеи Лейбница
  - представить бесконечно малые не как переменные,
  а как особый вид чисел.
  Дальнейшее развитие этого подхода показало следующее:
  в концептуальном плане анализ принципиально не изменился
  (утрата аксиомы Архимеда не в счет),
  но опора на числа - монады позволила развить методы,
  с помощью которых удалось решить ряд задач,
  которые не поддавались решению стандартными методами анализа.
  
  В квантовой теории роль монады играет волна де Бройля.
  Однако эта <монада>,
  вопреки концепции Лейбница,
  имеет <окна>,
  позволяющие оперировать с ее структурой.
  Возникает вопрос,
  нельзя ли развить квантовую теорию,
  в которой идея целостности волны де Бройля
  была бы поднята до уровня настоящей монады
  с корректными алгебраическими операциями,
  то есть фактически до уровня <нестандартной> квантовой теории?
  Как и в случае анализа, речь идет не о новой теории или новой интерпретации,
  а исключительно о новом техническом аппарате,
  который позволяет перевести аналитические методы в алгебраические.
  Круг решаемых задач при этом увеличивается.
  
  Основная идея состоит в том, чтобы <упаковать> волну де Бройля
  в целостное абстрактное вращение
  (образно говоря, <закрыть окна>)
  //// Интересное само по себе направление "закрывать окна", через какое-то
  //// "абстрактное вращение". Обычно наоборот стремятся "пошире открыть",
  //// а здесь, наоборот, "закрыть".
  //// Наверно, так тоже можно, типа модели "черного ящика", или "нейросетей".
  и сделать ее полноценной монадой.
  В дальнейшем будем называть такое вращение фундаментальным.
  Единственной характеристикой фундаментального вращения
  является его направление:
  <по> и <против> часовой стрелки.
  //// А как же "период"?
  //// Или в данном случае "время" как обычно "выносится за скобки",
  //// т.е. отказаться от "реальности" и сразу, прыжком, перейти к "идеальности".
  Этого свойства, как оказывается,
  достаточно чтобы образовать последовательность монад
  с различными направлениями,
  которую можно отожествить с действительным числом.
  //// "Последовательность отождествить с числом"? Это как? Через сумму?
  //// Или через выборку?
  
  Таким образом, обозначился подход,
  который позволяет перейти от ключевой для квантовой теории идеи
  целостности
  непосредственно к действительным числам,
  минуя аппарат гильбертовых пространств.
  Этот подход ближе к соответствию,
  зафиксированному в аксиоме Кантора.
  
  В данной работе мы покажем,
  что обрисованный подход не только математически корректен,
  но и содержателен с точки зрения физики.
  
  В данной работе реализуется следующая логика.
  
  1. Обосновывается гипотеза,
  что переход на микроуровень логично связать с переходом
  к <структуре> точки,
  //// А вот это при первом прочтении не заметил.
  //// Но если у "точки" может быть "структура", то может быть и "поведение",
  //// тот самый "процесс", а не "состояние",
  //// и "фундаментальное вращение" как "строительный кирпичик" этого процесса.
  которая является основной абстракцией классической механики.
  Это означает переход к действительному числу,
  то есть некоторому процессу.
  //// Если к "процессу", то скорее всего не к "действительному",
  //// а к "комплексному" числу, как более общему и распространеному типу "процесса".
  Важным моментом, является то,
  что этот процесс должен определяться
  исключительно на основе идеи <направления>,
  без использования каких-либо метрических характеристик.
  //// Интересно будет попытаться понять, как это реализуется.
  //// Задача с одной стороны, чисто абстрактная, читай математическая,
  //// но с другой стороны, вполне может иметь связь с "реальностью",
  //// т.е. какими-то физическими, или даже метафизическими представлениями.
  
  2. Определяется область W структурированных <монад>,
  которая формально изоморфна множеству действительных чисел,
  но арифметические операции в ней определены особым образом,
  на основе отношения <раньше - позже>,
  что позволяет мыслить действительные числа
  исключительно как процессуальные конструкции.
  
  3. Обосновывается возможность использования W
  как модельной среды неприводимых унитарных представлений
  групп вращений
  и строится спектр неприводимых унитарных представлений группы Лоренца.
  //// Не, похоже мне тут "ничего не светит", этих "унитарных представлений"
  //// я уже почти сорок лет осилить не могу.
  
  4. Рассматривается возможность интерпретации элементов W как действий
  (путем <открытия окон> и обращения к внутренней структуре).
  //// Не понял. Сначала "закрываем", а потом "открываем"?
  При этом дискретная структура W существенно упрощает изучение симметрии,
  как отдельных элементов W, так и их совокупностей.
  Симметрия структуры действия соотносится с его экстремальным значением.
  Используя технику, основанную на методологии А.П. Ефремова,
  из симметричной двухкомпонентной структуры из W
  <извлекается> уравнение Шредингера.
  Из более сложной, но также симметричной структуры
  можно извлечь уравнение Дирака.
  Таким образом,
  в рамках W возможна реализация общей методологии физической теории:
  от действия к уравнению, причем в алгебраической форме.
  
  //// Покурил, подумал. Интересное может получиться развитие "аксиомы Кантора",
  //// да и не только ее, если предположить что между двумя любыми
  //// действительными числами, на непрерывном промежутке, всегда можно
  //// "воткнуть комплексную плоскость", т.е. чтобы "перейти" от одного
  //// действительного числа к другому нужно "пробежать"
  //// по всем "iмагическим" числам, то бишь комплексным.
  //// причем возможно даже не в одном,
  //// а в двух сразу противоположных направлениях.
  //// Т.е. возможно действительные числа разделяет не плоскость,
  //// а замкнутая, причем, ориентированная поверхность, с "нулевым объемом,
  //// и бесконечной площадью поверхности.
  //// Сразу же на ум приходят и "вычеты", и "комплексные корни", и спины,
  //// и много всего разного. Нужно это хорошо обдумать, и может быть
  //// в следующий "библиотечный день" попробовать проработать эту мысль.
  //// Тут, похоже, и для Мультиверса найдется, что-то полезное.
  
  5. В области W можно реализовать идею Ю. Вигнера,
  что элементарная частица отождествляется
  с неприводимым унитарным представлением группы Лоренца
  (у Вигнера идет речь о группе Пуанкаре,
  но в данном случае достаточно именно группы Лоренца).
  Это позволяет получить следующую общую формулу спектра масс:
  m = me (l+k/2m)(l +s/2t),
  где числа: l и l - целые или полуцелые числа,
  k, m, s, t - целые числа.
  Основными являются переменные l и l,
  числа k, l, s, t выступают параметрами <тонкой настройки>.
  Если эти параметры положить равными 1,
  то возникает формула: m = me (l+1/2)( l+1/2),
  которая была получена В.В. Варламовым (2017) на основе иных соображений.
  
  Перейдем к реализации вышеозначенной логики.
  
  1.
  
  Прежде всего,
  необходимо более внимательно посмотреть на конструкции,
  связанные с понятием числа.
  Как известно, одним из идейных центров современной математики
  является расширяющаяся цепочка чисел: N > Z > Q > R > C.
  Натуральные числа вкладываются в целые,
  отношение двух целых чисел образует рациональное число,
  фундаментальные последовательности рациональных чисел
  мыслятся как новые, действительные числа,
  наконец, упорядоченная пара действительных чисел
  (или иная форма представления)
  //// Вот похоже на другую форму представления и стоит обратить внимание.
  мыслится как комплексное число.
  Важным моментом этой цепочки является её строго редукционный характер:
  каждый новый вид чисел
  строится только на основе чисел из предыдущего звена цепочки.
  //// И каких-то новых идей/гипотез/аксиом.
  
  Отношение этих чисел к миру вещей также хорошо известно:
  натуральные числа - это количество предметов и порядок при счете,
  рациональное число - результат измерения некоторой величины,
  действительные числа - модель неограниченной точности измерения,
  комплексные числа в экспоненциальной форме -
  это амплитуда вероятности нахождения квантового объекта в данной точке.
  //// Интересная трактовка. А как это соотнести с "аксиомой Кантора"?
  
  На общепринятую концепцию числа решающее влияние оказали работы
  Р. Дедекинда: (1872)
  и (1893) [6].
  В них он, в частности, сформулировал
  и довел до логического завершения утверждение,
  что имеется взаимно однозначное соответствие
  между точками прямой и действительными числами.
  Разумеется, это утверждение является аксиомой,
  <недоказуемой по самой ее природе>
  (выражение принадлежит Г. Кантору, которому часто приписывают эту аксиому).
  Тем не менее эта аксиома столь прочно вошла
  в контекст теории действительных чисел,
  что воспринимается как нечто само собой разумеющееся.
  //// Стоит запомнить и эту аксиому. Ан нет, уже выше "запоминал",
  //// но, видимо, "узелок не крепко завязал", что через пяток страниц уже забыл.
  //// Ладно, "повторение мать учения".
  
  Действительная прямая (плоскость, пространство, многообразие)
  становится неотъемлемым инструментом описания реальности
  и фактически сливается с ней.
  Континуум действительных чисел, равно как и точечный континуум,
  наряду с хорошо известными, исключительно важными качествами,
  имеет ряд проблемных свойств.
  
  1. Многообразие всех действительных чисел
  (мы избегаем употреблять в данном случае термин <множество>,
  причины этого будут прояснены ниже)
  невозможно эффективно вполне упорядочить.
  Это значит, что нельзя установить, например, что больше: 0 > 1 или 1 > 0,
  поскольку не существует процедуры,
  позволяющей по любым двум элементам континуума установить,
  какой из них больший.
  Этот факт остается в тени,
  поскольку в реальности мы имеем дело
  с некоторым обозримым множеством действительных
  (а чаще рациональных) чисел.
  Как следствие, точки,
  соотнесенные с действительными числами,
  становятся различимыми только умозрительно
  - на основе аксиомы выбора.
  //// Вот этого не совсем понял.
  //// Хотя, наверно, да, без какой-то третьей "точки отсчета" или "направления",
  //// сравнивать "что-то с чем-то" может оказаться "неконструктивным",
  //// типа "теплого с мягким".
  
  2. Попытка умозрительного описания движения в точечном континууме
  как перехода от точки к точке
  приводит к парадоксам Зенона,
  //// О, как это приятно увидеть "воспоминание о Зеноне"
  //// в математико-академическом тексте,
  //// да еще с акцентом на то, что за последние две тысячи лет
  //// их актуальность так никуда и не ушла.
  осмысление которых требует привлечения бесконечности,
  которая в определенном смысле
  <сильнее> привычной теоретико-множественной бесконечности.
  //// А вот этого в прошлый раз не заметил.
  //// Хотя автор и уточняет свою мысль, но само направление поиска
  //// решения апорий Зенона через сопоставление различных "классов" бесконечностей,
  //// наверно, стоит "где-то записать". Ладно, запомним и подумаем.
  Несмотря на названные проблемы,
  данная концепция обладает очень большими внутренними возможностями
  для описания физических процессов в макромире,
  поскольку основной абстракцией такого описания
  является именно точечный материальный объект.
  //// А вот тут не понял.
  //// Как раз сама концепция "точечного материального объекта",
  //// на мой взгляд,
  //// как раз и приводит к этим парадоксам.
  //// Хорошо, может быть, дальше этот тезис автор как-то раскроет,
  //// или как-то по-иному сформулирует.
  
  Высказанная Дедекиндом идея автономии действительного числа
  от процедуры измерения
  и, следовательно,
  от точечной интерпретации
  видится принципиальным шагом,
  позволяющим развить концепцию действительного числа,
  которая позволяет интерпретировать его
  как неточечный объект,
  обладающий внутренним движением
  //// Число, обладающее движением? Или тут какое-то особое движение?
  
  ////// Интересно, будет обдумать "идею Дедекинда" в комплексе
  ////// с концепцией "сопоставления различных "классов" бесконечностей",
  ////// и, вообще, обратить на эту "автономию" внимание,
  ////// как возможный пример использования такого "сопоставления".
  
  1.1.
  
  Сформулируем подход, который позволяет построить
  искомую конструкцию действительного числа.
  
  Начнем с классической схемы аксиом натуральных чисел:
  - единица является натуральным числом;
  - единица не следует ни за каким натуральным числом;
  - число, следующее за натуральным числом, является натуральным;
  - если натуральные числа совпадают,
  то следующие за ними числа также совпадают;
  - (аксиома индукции):
  если какое-либо предположение доказано для единицы (база индукции)
  и если из допущения, что оно верно для натурального числа,
  вытекает, что оно верно для следующего за ним натурального числа
  (индукционное предположение),
  то это предположение верно для всех натуральных чисел.
  
  Как видно из аксиом,
  натуральный ряд строится на основе только операции следования,
  само же натуральное число можно мыслить исключительно в порядковом смысле
  - как число шагов от начала отсчета.
  В этом случае модель натурального ряда может быть изображена
  как последовательность однонаправленных шагов - <стрелок>:
  ->-> -> ...-> ->...
  //// А направление "стрелок", т.е. "операции следования", как-то определено?
  
  Каждый такой шаг будем соотносить с единицей.
  Из соображения удобства будем изображать эти шаги
  вертикальными стрелками: ??...?...
  
  Отметим два важных момента.
  Шаг, изображаемый стрелкой,
  существует исключительно в сознании,
  что делает число сущностью, автономной от геометрической интерпретации
  (этот момент неоднократно подчеркивал Р. Дедекинд).
  Аксиома индукции подчеркивает тот факт,
  что в понятие числа
  имманентно входит потенциальная бесконечность.
  
  Если к названным однонаправленным стрелкам
  добавить стрелки противоположного направления,
  то конечные и неограниченные совокупности
  различных комбинаций таких стрелок,
  как показал Дж. Конвей,
  можно превратить в многообразие действительных чисел.
  В оригинальной конструкции Конвея [10]
  присутствуют не стрелки, а <сечения>,
  стрелки появляются в книге А.А. Кириллова [9],
  но именно стрелки позволяют увидеть искомую интерпретацию.
  
  Названная структура будет представлять для нас особый интерес,
  поэтому рассмотрим ее более внимательно.
  
  Структуру последовательностей можно представить
  в виде следующего дерева (рис. 1).
  
  Рис. 1 ......
  
  Попытаемся вначале посмотреть на нее в динамике.
  Все числа-последовательности - начинаются в нуле.
  Можно сказать,
  что <источником> чисел последовательностей является ноль.
  При этом каждую вершину, до которой <дошла> последовательность,
  тоже можно считать <источником> последующих чисел-последовательностей.
  Таким образом, всё приведенное выше дерево,
  если посмотреть на него в динамике,
  можно считать своеобразным <фронтом волны>,
  распространение которого, как и полагается,
  подчиняется некому <принципу Гюйгенса>.
  Разумеется, это только образ,
  но он оказывается очень полезным
  при определении арифметических операций.
  
  Введем два отношения: <больше - меньше>, <раньше - позже>
  
  Возьмем два числа - последовательности ? и ?
  и запишем их одно под другим, например, ? под ?.
  Будем последовательно сравнивать знаки,
  входящие в их запись.
  Если первым из неодинаковых знаков будет ?,
  то будем считать, что ? ? ?, если же знак ?, то ? ? ?.
  Возможен случай, когда ? короче ? и является его началом.
  Тогда, если первым после ? является знак ?, то ? ? ?,
  если ?, то ? ? ?.
  //// Тут есть интересная неявная аксиома "приравнивания".
  //// Т.е. представление одного относительно другого.
  
  Будем говорить, что число ? возникло позже числа ?
  (обозначаем как ? ? ?), если путь от 0 к ? проходит через число ?.
  Используя аналогию с волновым фронтом,
  можно сказать,
  что числа ? и ? принадлежат одному лучу и ? предшествует ?.
  
  04.01.2023 8:46 - 14.10.23 10:45
  
  Сложения двух чисел осуществляются на основе двух принципов:
   - очередности;
   - простоты.
  
  Это означает, что сложение двух чисел ? + ? определяется сначала
  для всех более ранних чисел по каждому из слагаемых,
  причем в качестве результата рассматривается самое раннее число.
  Эти принципы однозначно определяют правило сложения.
  Соответствующим образом можно определить и другие арифметические операции.
  
  Опираясь на отношение <раньше - позже>,
  можно определить отношение <больше - меньше>
  и проверить выполнение для него всех аксиом действительных чисел.
  Это было сделано Дж. Конвеем еще в 1974 г.
  //// Не понял, откуда взялись действительные числа. Или тут очепятка?
  /////// Скорее, мое непонимание того, что такое "действительные числа".
  /////// Все-таки текст не рассчитан на таких дилетантов, как я.
  
  Можно установить следующее соответствие
  между последовательностями стрелок
  и привычной записью действительных чисел:
  ? ~ 1;
  ? ~ - 1;
  ??~ 1/2 ;
  ??????????... ~ 1/3.
  
  Таким образом,
  в данной модели действительные числа возникают
  не как результат макроскопического измерения,
  а как структура некоторого абстрактного процесса
  (строго говоря, этот процесс можно интерпретировать привычным образом
  - как последовательное приближение к точке,
  определяемой числом, причем с двух сторон).
  Примечательно,
  что этот абстрактный процесс
  можно мыслить как <смесь>
  из противоположно направленных движений.
  Переходя в плоскость абстракции,
  можно сказать,
  что мы имеем дело с двумя противоположно направленными
  потоками времени,
  которые, взаимодействуя, образуют структуру,
  соотносимую с действительным числом.
  //// Непонятно, но интригующе. Вроде как что-то нужное, но непонятное.
  
  Интерес к этой модели в контексте данной работы
  вызван следующими обстоятельствами.
  
  Понятие точки является основной абстракцией классической механики.
  Соответственно, на основе этой абстракции строится классическая,
  теоретико-множественная модель пространства и времени.
  Переход на микроуровень логично связать с переходом к <структуре> точки.
  Опираясь на аксиому Кантора,
  это означает переход к действительному числу,
  то есть некоторому процессу.
  Важным моментом является то,
  что этот процесс должен определяться исключительно на основе
  идеи <направления>,
  без использования каких-либо метрических характеристик.
  Приведенная выше конструкция Конвея полностью удовлетворяет этому требованию.
  В ней действительные числа представляют собой
  дискретную структуру,
  образованную на основе <квантов> движений
  в двух противоположных направлениях,
  что можно понимать как генерацию действительных чисел
  из бинарных структур.
  Учитывая, что действительные числа образуют
  классическую модель континуума,
  которая, в свою очередь,
  отождествляется с пространством,
  вырисовывается механизм генерации пространства
  из дискретных динамических бинарных структур.
  О такой возможности говорил еще К. Вайцзеккер [1],
  позднее она стала предметом пристального анализа Ю.С. Владимирова [4] и др.
  //// Опять что-то упустил и, в итоге, ничего не понял.
  
  ////// Сильно погодя. Вроде как смог себе представить, что число
  ////// действительно можно представить как процесс его достижения.
  ////// Где бы только найти подходящее применение этой концепции.
  ////// Интересно, а "смысл жизни" это тоже может быть похожим
  ////// "число-процессом"?
  
  Разумеется, эти общие соображения должны быть осмыслены и конкретизированы.
  
  Попробуем, следуя названному подходу,
  обрисовать возможную структуру теории описания процессов микромира.
  
  Начнем с общего замечания.
  
  Действительные числа являются неотъемлемой компонентой
  любой физической теории.
  При этом наблюдается двойственность,
  свойственная и другим числам, в частности натуральным:
  действительные числа могут быть количественными,
  для этих чисел справедлива аксиома Кантора;
  могут быть порядковыми - отражающими структуру потока времени,
  для этих чисел аксиома Кантора не имеет места.
  Данная двойственность носит фундаментальный характер
  и отражает двойственность природы наших представлений о реальности,
  вложенной в пространство и время.
  
  Естественно предположить,
  что описание процессов на микроуровне
  должно исключать любые метрические факторы.
  Иными словами,
  на микроуровне допустимыми являются только порядковые числа.
  
  Количественные и порядковые действительные числа,
  вместе с адекватными их природе алгебраическими операциями,
  образуют, соответственно,
  две модели D и W,
  которые формально изоморфны.
  С точки зрения ортодоксальной теоретико-множественной методологии
  это один объект.
  Однако имеются и существенные отличия,
  которые в контексте рассматриваемой проблемы
  носят принципиальный характер.
  
  Прежде всего, это касается проблемы измерения.
  Физический прибор, с помощью которого проводятся измерения,
  реализует геометрическую модель действительного числа,
  в частности, отметка (<точка>) на шкале измерительного прибора
  соответствует действительному
  (строго говоря, рациональному) числу.
  Иными словами,
  измерение возможно только в рамках модели D.
  В модели W такой возможности нет,
  и проблема измерения в W решается редукцией к модели D.
  
  Рассмотрим более внимательно модель W
  как предполагаемый инструмент описания процессов микромира.
  
  Как уже подчеркивалось,
  действительное число в этой модели
  - это структура, образованная знаками двух видов,
  имеющих смысл противоположных направлений.
  
  В этой конструкции есть ряд тонких моментов, которые надо обсудить.
  
  1. Прежде всего, необходимо отметить,
  что сама идея <направления> приводит к двузначности.
  Направление может относиться:
  
  - к прямолинейному движению, тогда <направления>
  - это шаг <вправо> или <влево>;
  
  - к вращательному движению, тогда <направление>
  - это вращение <по> или <против> часовой стрелки.
  
  Ортодоксальная точка зрения относится к природе направлений индифферентно,
  для нее важна только структура.
  Наш подход подчеркивает принципиальную важность этой двузначности.
  Будем фиксировать ее синтаксически
  - направления, относящиеся к прямолинейному движению,
  будем обозначать стрелками ?(?),
  к вращательному движению - знаками ? (?).
  
  При этом необходимо отметить важнейший момент.
  И прямолинейное движение, и вращение в модели W
  носят абстрактный, ментальный характер
  и целиком принадлежат нашей интуиции.
  //// Для начала "подкопа" под "ортодоксов" можно, наверно, так и "озвучивать".
  //// Но рано или поздно "абстракция" будет наполняться чем-то "конкретным".
  Только в этом случае будет реализована
  основополагающая концепция автономии числа
  от геометрических конструкций и физической реальности.
  Разумеется, это не исключает соответствующую интерпретацию этих абстракций.
  
  2. Попробуем понять,
  как названную двузначность отобразить на уровне D.
  Для этого необходимо соотнести со знаками ?(?) и ? (?)
  определенные числа k1 и k2.
  Число ? из W определяется исключительно структурой
  взаимно-противоположных направлений,
  что исключает позиционность знаков ?(?) и ?(?) в числе.
  Это значит, что числа k1 и k2 можно соотнести с самим числом ?.
  Таким образом, одна и та же структура ? определяет в D
  числа +k1 ? ?-1 для знака ?(?) и +k2 ? ?-1 для знака ?(?),
  где ?-1 - прообраз ? в D
  
  Задача состоит в том,
  чтобы определить числа k1 и k2,
  что предполагает прояснения семантики знаков ?(?) и ? (?).
  
  В отношении знаков ?(?) все достаточно просто.
  Это <кванты> единичной длины линейного процесса.
  Таким образом, k1 =1(-1).
  Число k2 определяется сложнее.
  Этим мы займемся в следующем разделе.
  
  3. Физическая величина, соотнесенная с порядковым числом,
  то есть структурой, образованной из знаков
  двух взаимно противоположных направлений,
  автоматически становится квантованной.
  В случае знаков?(?), величина этого <кванта> в D равна k1=1(-1).
  
  Однако в случае <квантов> ?(?) число k2
  уже может быть не равным 1.
  В этом случае появляется реальное квантование.
  
  Разумеется, дело здесь не в обозначении.
  Ключевым моментом является выяснение сущности объекта ?(?) и величины k2.
  Это, как уже говорилось, будет осуществлено в следующем разделе.
  
  4. Важным свойством модели W является то,
  что действительные числа - последовательности
  появляются не одновременно, а в порядке очередности
  - от более простых последовательностей к более сложным.
  Это отражает два процесса:
  
  - классическое квантование - дополнение выбранного объекта Х
  <квантами>?(?) и ?(?),
  что в D соответствует увеличению в D
  его прообраза Х-1 на k1 = 1 или k2.
  Этот процесс описывает базовую подструктуру D
  - натуральный ряд;
  
  - движение в глубь структуры действительных чисел.
  Если речь идет о прямолинейном движении,
  которое описывается <квантами> ?(?),
  то фактически, речь идет о процессе измерения с увеличивающейся точностью.
  Этот факт виден в D, но не в W,
  где все сгенерированные числа равноправны.
  
  5. Переход от W к D (редукция), в случае ?(?),
  осуществляется естественным путём введения позиционности,
  то есть зависимости длины стрелки от ее места в числе.
  Этот способ не приемлем для ?(?).
  
  Подведем некоторые итоги.
  
  Приведенная умозрительная конструкция представляет собой
  схему погружения <внутрь> точки
  c выходом на порядковые действительные числа.
  В случае ?(?) все сводится к процессу
  приближения к выбранной точке на прямой,
  причем с обеих сторон от этой точки.
  Случай ?(?) видится гораздо более содержательным,
  однако здесь нужна обоснованная интерпретация.
  Этой интерпретации и вытекающим из нее следствиям
  посвящены последующие разделы данной работы.
  Приведем лишь общее направление мыслей.
  
  Знак вращения ? из W указывает на некое абстрактное вращение,
  которое не имеет никаких параметров
  и отражает только идею вращения как таковую.
  
  Для описания структуры ? фундаментальных вращений ? в D
  в традициях <Монадологии> Г.В. Лейбница [12] имеются две возможности:
  
  1) <закрытых окон>,
  в этом случае речь идет о числе k2?.
  
  2) <открытых окон>:
  <заглянув внутрь> ? можно увидеть фазу ?,
  то есть речь идет о линейной функции k2? ?.
  
  Далее будет показано,
  что число k2 - это постоянная Планка ?.
  Значит, прообразом в D числа ? являются число ? (при <закрытых окнах)
  и действие ?? (при <открытых окнах>).
  
  Важно подчеркнуть, что знаки ?(?) и ?(?) указывают
  на существенно различные объекты.
  В первом случае - это статический объект,
  во втором - объект, наделенный внутренним движением, вращением.
  
  Как будет показано ниже, при определенных условиях
  структуру ? можно понимать как модель элементарной частицы спина (?)
  (здесь проявилась особенность W,
  где действительное число полностью определяется структурой
  двух взаимно противоположных направлений.
  
  Если ? из W понимать как некую динамичную монаду в смысле Г. Лейбница,
  то возникает соответствие:
  действие - спин,
  при этом спин является более фундаментальным понятием.
  Это соображение, высказанное Ю.И. Маниным,
  представляется крайне важным.
  
  Опираясь на образы из уже упомянутой <Монадологии> Г. Лейбница,
  можно сказать,
  что спин - это полноценная монада,
  у которой <закрыты все окна>,
  и он представляет собой замкнутый в себе динамический объект.
  Напротив, действие
  - это монада, у которой <открыто окно>,
  и мы видим ее движение в непрерывной среде D.
  
  Из всего перечисленного, в рамках данного подхода,
  вырисовывается следующая методология описания процессов микромира.
  
  Независимо от природы процесса,
  с ним можно соотнести некоторое действие в D,
  которое, в свою очередь,
  соотносится с некоторым <спином> из W.
  Этот спин может быть как реальным, так и гипотетическим.
  Изучение структуры многообразия спинов
  может дать представление о структуре многообразия действий
  и, следовательно,
  о самих процессах.
  
  Многообразие спинов W формально изоморфно
  многообразию действительных чисел
  (строго говоря, W - более широкое многообразие,
  кроме действительных чисел включает в себя инфинитоземальные элементы),
  и, казалось бы, имеет вполне понятную структуру.
  Однако этот изоморфизм (гомоморфизм) чисто формальный
  и ряд возникающих задач,
  например, выявление многообразия спинов (действий),
  относящихся к одному процессу,
  требует введения на W специальной топологии.
  Другим понятием, необходимым для оценки действия,
  является понятие сложности его двоичного описания,
  то есть понятие сложности по Колмогорову.
  
  Полнота и точность описания объектов микромира
  целиком зависит от используемого формализма.
  Имеющиеся на сегодняшний день формализмы,
  как гильбертовы пространства, так и фейнмановские интегралы,
  идейно основаны на теории множеств
  и, следовательно, воспроизводят ее идеологию.
  В рамках физической теории это приводит к появлению артефактов,
  которые бывает трудно отследить и исправить.
  
  Ключевая идея данного подхода состоит в том,
  чтобы спуститься на самый нижний,
  базовый уровень абстракции,
  свободный от последующих идеологических и технических наслоений
  и рассмотреть проблему в ее <наивной> постановке.
  
  В этом контексте целесообразно вспомнить мысль
  замечательного физика и философа В.Д. Захарова
  о том, что в основе физической теории лежат некие структуры,
  <которые не события (как в геометрической парадигме)
  и не состояния (как в полевой парадигме),
  а процессы, то есть динамические структуры (монады).
  //// Структуры в форме "процессов". И процессы в виде "структуры".
  //// Ну да, есть такой "тренд" в современном мире.
  //// Вот нейросеть - "процесс" или "структура"?
  Это отражает интуицию иного типа времени,
  отличного от геометрического> [8].
  //// Вот о "типах времени" хотелось бы узнать подробнее.
  
  Именно такие монады и составляют основу
  нестандартного формализма,
  о котором идет речь в данной работе.
  
  2.
  
  Начнем с замечания,
  что первый <настоящий> формализм квантовой теории
  сложился достаточно поздно,
  когда после работ де Бройля стало очевидным,
  что для описания квантовых феноменов нужна новая абстракция
  - комплексная амплитуда ?.
  
  Принцип суперпозиции амплитуд
  практически однозначно определял для них
  теоретико-множественную структуру
  - гильбертово пространство Н?.
  Однако возможен иной ход мысли.
  
  Посмотрим еще раз на до де Бройлевскую квантовую механику
  и попытаемся найти там нужную абстракцию.
  
  Как известно, в 10-х годах ХХ века
  процедура квантования опиралась на утверждение,
  что существует величина ? ячейки фазового пространства
  и для каждой степени свободы
  периодических одномерных движений
  возможны лишь состояния,
  удовлетворяющие условию (правило Бора-Зомерфельда):
  
  pdq ? . ? ? ?
  
  Данное утверждение традиционно истолковывалось
  как квантование действия.
  Однако, как нам представляется,
  эта формула содержит нечто большее,
  которое заключается в следующем.
  
  Величина интеграла не зависит от выбора контура,
  важна только сама идея периодического движения.
  Эта идея представляется некоторым абстрактным вращением ?,
  которое существует только в сознании.
  Константа ? возникает
  как следствие существования такого абстрактного вращения.
  
  Выяснение статуса абстрактного вращения
  - отдельная и крайне нетривиальная задача [3].
  Абстрактный характер вращения,
  в котором отсутствуют все физические и геометрические характеристики,
  кроме направления и самого факта вращения,
  //// А сам факт "вращения" это "мыслимая форма" "периодического движения".
  //// А "направление вращения" это что? Может быть "направление вращения"
  //// равно -3.14? Или просто 3? Или только +/-?
  позволяет использовать его
  при построении порядковых действительных чисел.
  Таким образом, мы снова приходим к многообразию W,
  но теперь уже со стороны семантики.
  
  Подобный разворот,
  безусловно, является определенным вызовом для интуиции.
  Вращение всегда мыслится в некоторой непрерывной среде,
  <освободить> его от этой среды
  и перейти к абстрактному понятию представляется невозможным.
  Однако анализ фундаментальных математических понятий
  позволяет увидеть в них следы
  именно такого <освобождения>.
  Даже в простейшем математическом объекте
  - натуральном числе,
  которое имеет очевидное содержание в окружающем мире,
  заложены две фундаментальные абстракции:
  ментальный переход к следующему элементу
  //// Т.е. определенная периодичность и направление перехода.
  и потенциальная бесконечность,
  определяемая аксиомой индукции.
  В этом плане переход
  от ментального <линейного> перехода
  к ментальному вращению
  видится логически оправданным ходом.
  //// Если дополнить ее абстракцией "спирали".
  
  В действительности освобождение абстракции
  от конкретного носителя
  является фундаментальной методологией
  образования математических объектов.
  Когда эти объекты впоследствии возвращаются в физику
  в виде осязаемых объектов пространства и времени,
  об их абстрактной основе, как правило, забывают.
  
  Приведем простейший пример.
  
  Пусть нам необходимо сложить 5 башмаков и 7 яблок.
  Во времена оные эта задача представляла значительные трудности
  именно благодаря тому,
  что количество предметов было жестко связано с носителем
  (это можно увидеть и сейчас в языках некоторых малых народов).
  Что может быть результатом такого сложения:
  12 <башмакояблок> или 12 объектов,
  представляющих пары (башмаки, яблоки)?
  Понятно, что усложнение арифметических операций,
  в таком контексте,
  приводит к появлению сущностей <сверх меры>
  (очень схожие проблемы возникают, например,
  в теории расслоенных пространств).
  
  Решение проблемы,
  как известно,
  состоит в отрыве количества от его носителя,
  образовании абстрактных объектов - чисел
  и в установлении арифметических операций над числами.
  Определенную завершенность - понятие натурального числа
  получило в аксиоматике Пеано.
  
  В данном примере во всех существенных чертах
  воспроизводится ситуация с вращением.
  Вращение <привязано> к континууму,
  и для разрыва этой связки существует только одно препятствие
  - сложность представления вращения,
  которое нигде не существует кроме сознания.
  В действительности ничего экстраординарного в этом нет,
  поскольку, как уже говорилось,
  даже в натуральном числе заложен <линейный> процесс,
  состоящий из отдельных шагов,
  которые существуют только в сознании.
  Можно пойти и дальше,
  каждое действительное число,
  как было показано выше,
  можно представить в виде цепочек шагов <вперед> ?, <назад> ?.
  Таким образом, континуум ? (действительные числа)
  строится на чисто ментальной и процессуальной основе.
  
  Вернемся еще раз к схеме обсуждаемого нестандартного формализма
  квантовой теории.
  Его особенностью является построение структур,
  изоморфных многообразию действительных чисел,
  но имеющих существенно различную семантику.
  
  Основой формализма являются порядковые действительные числа.
  <Строительным материалом> в данном случае выступают объекты,
  имеющие противоположные направления (точнее, знаки этих объектов).
  Эти объекты выступают <квантами> некоторых процессов.
  При этом сами объекты могут быть как статическими: ?(?),
  так и включать в себя внутреннее вращение: ?(?).
  
  Визуальная квантованность порядковых чисел из W
  следующим образом отражается в количественных числах из D,
  которые не имеют аналогичной визуализации:
  
  r = +k1 ? ?-1 для знака ?(?);
  r = +k2 ? ?-1 для знака ?(?),
  
  где ?-1 - прообраз ? структуры из W в D,
  а k1 и k2 - абсолютные величины соответствующих <квантов>.
  В прообразе ?-1 можно учитывать или не учитывать внутреннее вращение ?(?)
  (<закрытые> и <открытые окна>).
  В первом случае - это число, во втором - линейная функция ?-1?
  
  Случай ?(?) тривиален, k1 =1.
  
  В случае ?(?), k2 = ? и мы имеем в D многообразие чисел ??-1
  или линейных функций действия S = ??-1?.
  В соответствии с идеей Ю.И. Манина,
  числа из W будем называть <спинами>.
  В D в этом случае,
  величина спина представляется в единицах постоянной Планка ?.
  
  Будем записывать эти числа в привычной десятичной записи,
  но, чтобы отделить их от чисел из D
  будем заключать их в круглые скобки.
  Например, число ?? из W - это (1/2).
  
  Общая схема нестандартного формализма квантовой теории
  изображена на рис. 2 (D, W).
  
  Рис. 2 ......
  
  В данной схеме формализма существуют две существенные проблемы,
  которые требуют отдельной аналитики
  (она будет осуществлена в других статьях автора
  из серии <Нестандартный формализм квантовой теории>).
  
  Первая из этих проблем касается строгого статуса
  абстрактного вращения ?(?).
  Эта фундаментальная проблема,
  которая непосредственно связана с ключевыми концептами математики:
  множеством, непрерывностью, бесконечностью.
  Однако в рамках развиваемого формализма
  достаточно интуитивного представления об абстрактном вращении ?(?)
  как вращении <нигде>.
  
  Вторая проблема - это соотношение двух структурно изоморфных,
  но существенно различных по семантике многообразий D и W.
  В рамках нестандартного формализма
  эти структуры используются как отдельно, так и совместно.
  В формальном плане соотношение этих структур
  можно описать системой отображений,
  что будет сделано ниже,
  однако это описание не будет полным.
  Для соотношения D и W важен модельный аспект:
  одно из многообразий выступает моделью другого.
  
  Важна философская составляющая факта <двух реальностей>,
  отраженных в D и W.
  В плане прояснения сущности этих реальностей
  интерес представляют мысли В. Гейзенберга,
  высказанные им в работе <Оrdnung der Wirklichkeit> [5].
  
  Введение нового формализма оправдано только в том случае,
  если он приносит существенные идейные и технические <дивиденды>.
  Попробуем в общих чертах обрисовать их.
  
  Методология применения данного формализма
  основана на структурном анализе фундаментальных понятий,
  описывающих физические взаимодействия и процессы:
  действия и спина.
  Физические объекты и процессы появляются как носители свойств,
  полученных на основе такого анализа.
  
  Названные понятия представлены в виде многообразия W
  процессуальных бинарных структур,
  изоморфного многообразию действительных чисел.
  Это позволяет применить для анализа этих структур
  достаточно мощный аппарат,
  который в настоящий момент,
  по большей части,
  находится вне поля зрения физики:
  колмогоровская сложность, сюрреальные числа и т.д.
  
  Насколько применение этих методов оправдано с точки зрения физики,
  на данный момент ответить, разумеется, невозможно.
  Однако в одном аспекте,
  как представляется,
  эффект <приращения> заведомо будет.
  Тот факт, что структура состояний квантового объекта
  вкладывается в многообразие действительных чисел,
  говорит о том,
  что для них реализуется какая-то форма принципа вложенных отрезков.
  В частности, можно предположить,
  что появляются некие новые квантовые числа,
  с помощью которых описывается квантование на более глубоких уровнях.
  
  Полученное в данной работе уточнение формулы В.В. Варламова
  спектра масс определенного класса частиц
  является непосредственным следствием названного принципа.
  
  05.01.2022 11:50 - 14.10.2024
  
  2.1.
  
  Перейдем к конкретной реализации сформулированной программы.
  Новую абстракцию ?,
  которая будет играть ключевую роль во всем нестандартном формализме,
  будем называть фундаментальным вращением.
  Определим вначале структуру фундаментальных вращений,
  которую можно было бы соотнести с двухкомпонентным спинором.
  
  Как известно,
  спинорная структура содержит в себе прообразы всех основных характеристик
  классического пространства-времени:
  размерность, сигнатуру, метрику и т. д.
  Более того, эта структура содержит прообразы всех основных свойств
  элементарных частиц: спин, массу, заряд.
  Вместе с тем, спиноры тесно связаны с линейным представлением
  группы вращений n-мерного комплексного аффинного пространства.
  
  \\\ https://ru.wikipedia.org/wiki/Спинор
  
  \\\ Спинор
  \\\ Материал из Википедии - свободной энциклопедии
  
  \\\ Спино?р (англ. spin - вращаться)
  \\\ - специальное обобщение понятия вектора,
  \\\ применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова
  \\\ или псевдоевклидова пространства.
  
  \\\ Суть спинорного описания пространства V
  \\\ - построение вспомогательного комплексного линейного пространства S,
  \\\ так чтобы V вкладывалось в S х S* {\displaystyle S\otimes S^{*}} S\otimes S^{*}
  \\\ (в тензорное произведение пространства S на комплексно-сопряжённое к себе).
  
  \\\ Элементы пространства S и называются <спинорами>;
  \\\ зачастую (хотя и не обязательно)
  \\\ у них отсутствует какой-либо прямой геометрический смысл.
  
  \\\ Однако на спинорах можно <почти>
  \\\ определить действие группы вращений,
  \\\ а именно: вращение действует на спинор
  \\\ с точностью до неопределённого комплексного множителя,
  \\\ равного по модулю 1
  \\\ (в простых случаях, с точностью до +1/-1).
  \\\ Спиноры можно представить в виде обыкновенных комплексных векторов,
  \\\ но в пространстве с антисимметричной метрикой, например:
  
  \\\ guv = | 0 1 |
  \\\ | -1 0 | {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.
  
  \\\ Индексы спиноров бывают пунктирные и непунктирные,
  \\\ так как по некоторым индексам спинор преобразуется
  \\\ как комплексно сопряжённый.
  
  \\\ Если исходное пространство V рассматривалось
  \\\ над полем вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} ,
  \\\ то вектора из V будут описаны в S эрмитовыми матрицами.
  
  \\\ Математически строгое обоснование такого построения
  \\\ делается с помощью алгебры Клиффорда,
  \\\ построенной по изучаемому пространству V.
  
  \\\ Спиноры впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913 году.
  \\\ Они были вновь открыты в 1929 году Б. ван дер Варденом
  \\\ в связи с исследованиями по квантовой механике.
  
  .......
  
  //// Комплексно-сопряженное пространство.
  //// Понятно, что это какая-то абстракция,
  //// но какой-то образ этой абстракции все-таки лучше иметь.
  
  Можно перевести понятие спинора в чисто алгебраическую плоскость
  и трактовать его как элемент минимального левого идеала
  комплексной алгебры Клиффорда.
  Это придает ему понятный алгебраический смысл,
  //// Смотря для кого.
  но еще дальше уводит от интуитивного содержания.
  
  Попытаемся отразить это содержание с помощью фундаментального вращения.
  
  Для этого обратимся к свойствам топологического пространства вращений в R3.
  Как известно,
  каждое такое вращение можно задать осью r с правовинтовой ориентацией
  и углом fi = [0, pi].
  Если направить fi вдоль r,
  //// Это как?
  то такое вращение можно задать точкой на замкнутом шаре радиуса pi.
  Это соответствие неоднозначно:
  вращения на угол pi относительно r и -r совпадают.
  Отождествив противоположные точки шара,
  получим взаимно однозначное соответствие.
  Обозначим такой шар через V.
  В топологическом пространстве существуют
  два класса гомотопически неэквивалентных контуров,
  то есть пространство V не односвязно.
  Основной интерес представляют контуры,
  которые стягиваются в точку.
  В R3 им соответствуют поворот на 4pi,
  который эквивалентен тривиальному движению.
  Как известно, поворот на 2pi таким свойством не обладает.
  //// Этого мне пока не дано понять.
  
  Наглядно (хотя и не вполне строго)
  эту ситуацию можно представить следующим образом.
  
  Если вообразить,
  что произошел некий <коллапс>,
  и от пространства V осталось только два контура,
  их можно изобразить на плоскости в виде
  двух касающихся друг друга окружностей
  (один конур вложен в другой).
  Переход с одной окружности на другую
  происходит в точке касания,
  дает период 4pi (рис. 3).
  
  Рис. 3 ....
  
  Следующим шагом естественно перейти к записи
  через фундаментальные вращения - ??.
  C точки зрения W - это число (1/2).
  В D, при <закрытых окнах>, - это число h/2,
  что, как известно, соответствует спину электрона.
  При <открытых окнах> - это функция h/2fi.
  Все это можно воспринять как указание на то,
  что ?? - спинорный объект
  (прообраз спинора по замечанию Ю.С. Владимирова).
  
  Дальнейшее изложение требует определенных уточнений.
  Сделаем эти уточнения.
  
  Формально структуру W можно описать так.
  
  Базовые элементы W - фундаментальные вращения ?,?.
  Обозначим через ? k (?)k - повторение k раз базового элемента ?(?).
  
  Структура W - это конечные или неограниченные последовательности вида:
  ?p?q?g?t...
  
  На элементах W определены отношения <раньше - позже> и <больше - меньше>,
  а также операция сложения,
  реализующая принципы <последовательности> и <простоты>
  (а следовательно, и остальные арифметические операции).
  
  Структура W формально изоморфна множеству действительных чисел D
  (даже многообразию нестандартных действительных чисел *D)
  и представляет его процессуальную модель.
  
  Определим отображения из W в D:
  
  f1 : ?p?q?g?t... -> (l);
  f2 : ?p?q?g?t... -> lh;.
  f3 : ?p?q?g?t... -> lhfi?,
  
  а также из D в W;
  
  f4: lfi -> ?p?q?g?t...;
  
  Прокомментируем смысл этих отображений.
  
  Отображение f1 - это представление структуры ?p?q?g?t...
  (действительного числа) в рамках уровня W
  в привычной форме
  (по вышеназванной договоренности числа заключаются в круглые скобки).
  При этом необходимо четко осознавать,
  что на уровне W есть только структура фундаментальных вращений
  и ничего больше.
  
  Отображение f2 представляет структуру ?p?q?g?t...
  в виде действительного числа,
  но уже с точки зрения уровня D.
  Выше мы называли такое отображение <с закрытыми окнами>,
  отмечая тот факт,
  что при отображении не было обращения к внутренней динамике структуры ?p?q?g?t...
  Важна физическая интерпретация этого отображения.
  Отображение f2 присваивает структуре из W число,
  которое имеет смысл спина.
  Таким образом, можно предположить,
  что эти структуры можно отождествить с физическими объектами (частицами),
  реальными и гипотетическими.
  Об этом пойдет речь ниже.
  
  Отображение f3 <открывает окно> и дает полную информацию о структуре ?p?q?g?t...,
  включая внутреннюю динамику.
  Фундаментальное вращение ? на этом уровне
  - это линейная функция фазы fi с коэффициентом h,
  который дает информацию, о том,
  что абстрактный процесс замкнут на себя,
  ? - структура этого процесса.
  В простейшем случае одного фундаментального вращения ?
  эта функция имеет вид hfi,
  котороe естественно отождествить с действием S.
  //// Принцип расшифровки не уловил, впрочем, как и смысл различий.
  //// Но кажется уловил, что "открытие окон" представляет собой
  //// какую-то конкретизацию фазы fi.
  
  Отображение f4, вместе с отображением f3
  описывают механизм квантования.
  Представление фазы в виде фундаментального вращения (отображение f4)
  автоматически ведет к ее квантованию
  (дело здесь, разумеется, не в обозначениях
  - именно фундаментальное, абстрактное вращение является,
  как было выяснено выше,
  причиной появления кванта действия h.
  С другой стороны, именно абстрактный характер вращения
  позволяет использовать его при конструировании числа).
  
  Замечание.
  В дальнейшем мы будем активно использовать выражения
  <с открытыми окнами> и с <закрытыми окнами>,
  которые понимаются в означенном выше смысле.
  Эта термины, навеянные <Монадологией> Г.В. Лейбница,
  позволяют достаточно точно и образно
  разделить интерпретации фундаментальных вращений в D.
  
  Перед тем как перейти к более детальному анализу структуры W,
  имеет смысл сравнить ее с алгеброй Клиффорда.
  
  Существует несколько определений этой алгебры,
  пригодных для различных целей.
  В данном контексте важна ее содержательная сторона,
  которую можно найти у Р. Пенроуза [14].
  
  Алгебра Клиффорда строится на основе базисных отражений: ?1, ?2,..., ?n,
  где отражение ?r означает отражение r-ой координатной оси,
  которая не затрагивает остальные координаты.
  Для спинорного объекта выполняется соотношение
  y1**2 = -1, y2**2 = -1, ,,,, yn**2 = -1.
  Вращение пространства на pi есть комбинация двух отражений yiyj.
  При этом yiyj = -yjyi.
  Элементы алгебры Клиффорда - это повороты и отражения,
  то есть линейные комбинация произведений базисных элементов:
  y1, y2, ..., yn, yp, yq (p < q),
  yp, yq, yr (p < q < r), ..., y1, y2, ..., yn.
  Размерность этой алгебры равна 2n.
  
  Если встать на чисто алгебраическую точку зрения,
  то никаких <спинорных объектов> нет
  - есть алгебра и ее минимальный левый идеал размерностью 2**n/2,
  элементы которого и считаются спинорами.
  
  Фундаментальной идеей алгебры Клиффорда является
  <введение в оборот>
  развернутой идеи направления (через некоммутативность).
  
  Сравнивая эти две структуры, можно сказать следующее.
  
  Алгебра Клиффорда и структура W построены на различных абстракциях:
  отражениях пространства Rn в первом случае
  и фундаментальных вращениях, во-втором.
  С формальной точки зрения алгебра Клиффорда
  - это ассоциативная алгебра с единицей,
  а W - действительные числа.
  При этом идея направления оказывается <зашитой>
  в саму структуру действительного числа.
  Этот факт идейно сближает названные структуры,
  хотя они существенно отличаются по используемому формализму.
  Существенно то, что алгебра Клиффорда построена
  на теоретико-множественной основе,
  в то время как структура W строится на основе фундаментальных вращений,
  которые выходят за теоретико-множественные рамки.
  
  Тем не менее, между этими структурами можно увидеть определенные аналогии.
  Вращения в пространстве Rn представляются
  четным числом отражений,
  но, разумеется, их нельзя рассматривать
  как абстрактное фундаментальное вращение.
  
  Вместе с тем, мысленную проекцию структуры ?? на пространство Rn
  можно понимать как указание на существование оси симметрии r: ? | ?.
  Определим отражение yr следующим образом yr: ? | ? -> ? | ?,
  тогда yr**2: ? | ? -> ? | ? = -1.
  Таким образом, структура ?? является <спинорным объектом>
  и в смысле алгебры Клиффорда.
  
  //// Любопытно, что "iмагическая" единица представляет собой "отражение"
  //// или "смену направления". Может быть как-то можно это "отражение"
  //// представить в концепции Мультиверса, или чего-то аналогичного.
  //// Может быть, это как-то надо связать с "топологией Зазеркалья".
  
  06.01.2023 8:58 - 14.10.2024 17:13
  
  2.2.
  
  Продолжим анализ структуры W.
  
  Рассмотрим амплитуду , e**i*l*fi
  это вращение в комплексной плоскости против часовой стрелки
  единичного радиуса-вектора.
  Теоретико-множественный носитель не привносит никаких данных
  о характере вращения,
  и оно полностью определяется параметром l.
  Согласно приведенным выше соотношениям, фазу l*fi
  можно собрать из фундаментальных вращений.
  Формально это означает отображение f4 из f4: R -> W,
  f4 (l*fi) = ?p?q?g?t....
  При этом очевидно следующее.
  В отсутствии теоретико-множественного носителя
  различия между фазой fi и амплитудой e**i*fi стираются
  - оба этих концепта выражают одну и ту же идею вращения.
  Формально это выглядит так:
  f4 (e**i*l*fi) = ?p?q?g?t... .
  Иными словами, прообразом функции e**i*l*fi
  становится последовательность фундаментальных вращений,
  структура которой определяется параметром l: e**i*l*fi ~ ?p?q?g?t... .
  Таким образом, отображение f4 превращает непрерывную функцию e**i*l*fi
  в дискретную структуру без потери информации.
  //// Так интересное замечание - превращение чего-то непрерывного в дискретное
  //// через процесс "уточнения" посредством абстрактных "вращений".
  ////// И еще "непонятка" насчет "без потери информации".
  ////// При любом таком существенном преобразовании какая-то "информация",
  ////// наверняка, как-то изменяется таким образом, что что-то теряется,
  ////// иначе это было бы просто эквивалентное, и, по-видимому,
  ////// обратимое преобразование.
  ////// А вот насчет обратимости в данном случае у меня есть сомнение.
  
  Очевидно, что при l = m/2n , где m - целое, а n - натуральное число,
  последовательность фундаментальных вращений конечна.
  Можно показать,
  что если l рациональное число,
  то неограниченная последовательность фундаментальных вращений
  с некоторого шага становится периодической.
  
  Факт представления амплитуды e**i*l*fi дискретной структурой ?p?q?g?t...,
  которая, в свою очередь, содержит в себе константу h,
  имеет далеко идущие следствия как технического, так и идейного плана.
  Кратко обрисуем эти следствия.
  
  Как известно, квантовая теория возродила идею дискретности,
  которая традиционно ассоциируется с конечными или счетными множествами.
  В этом смысле дискретные структуры можно рассматривать
  как предшествующие непрерывным структурам.
  Вместе с тем, структуры непрерывности
  являются основной абстракцией классической механики.
  Переходя к дискретным структурам квантовой теории,
  осуществляется как бы упрощение абстракции,
  некий <шаг назад>.
  Так ли это?
  
  Представление непрерывной функции e**i*l*fi последовательностью ?p?q?g?t... в W
  позволяет сформулировать два принципиальных тезиса.
  Дискретные структуры квантовой теории
  образуются путем трансформации структур непрерывности
  (механизмы такой трансформации являются предметом отдельного разговора).
  Образно говоря,
  дискретность квантовой теории имеет характер не пред-,
  а постнепрерывности.
  
  Последовательность ?p?q?g?t... можно рассматривать как образ в W
  комплексного числа e**i*l*fi
  (этот факт также требует специального обсуждения).
  Также, названная структура содержит в себе идею квантования действия (фазы)
  и саму постоянную Планка h.
  Можно сделать вывод, что идея квантования действия
  содержится в самой экспоненциальной форме комплексного числа,
  с единичным модулем.
  //// А вот это представляется крайне интересным.
  //// "Экспоненциальная форма" "содержит" идею квантования,
  //// т.е. запись в экспоненциальной форме комплексного числа,
  //// обеспечивает "мостик"/переход/отображение дискретным образом
  //// "непрерывное" т.е. бесконечное содержание.
  //// Вот как бы осмыслить эту идею.
  Это парадоксальная связь совершенно не просматривается на уровне D,
  но становится очевидной на уровне W.
  
  2.3.
  
  Опираясь на интерпретацию в D фундаментального вращения ?
  как кванта действия h (при <закрытых окнах>),
  можно строить различные структуры
  - конечные или неограниченные последовательности фундаментальных вращений.
  Эти последовательности являются действительными числами,
  которым можно придать смысл величины характеристики квантового объекта
  в единицах действия.
  Сам же квантовый объект может быть как реальным, так и виртуальным.
  Структура фундаментальных вращений задает определенные свойства этого объекта.
  Если ограничиться конечными структурами фундаментальных вращений,
  то им будут соответствовать двоично-рациональные числа m/2n.
  Это позволяет соотнести WFin ? W c многообразием спинов
  (опять-таки, реальных или виртуальных).
  
  Попытаемся дать возможную интерпретацию
  конечным структурам фундаментальных вращений.
  Руководящим принципом здесь будет принцип <двуделения>,
  сформулированный В. Паули и активно обсуждаемый В. Гейзенбергом.
  Его идея состояла в том,
  что на глубинном уровне имеют смысл только две сущности:
  энергия и симметрии.
  Не менее, а возможно и более глубокую сущность квантового мира
  отражают понятия спина и связанного с ним действия.
  При этом принцип симметрии, несомненно, применим и в этом случае.
  
  Принцип двуделения состоит в том, чтобы представить имеющиеся симметрии
  в виде групповой редукции, суть которой состоит в следующем.
  Если имеется цепочка вложенных подгрупп группы ??0: ??0???1???2?...?????,
  где подгруппа ??i+1 является нормальным делителем группы ??i
  и неприводимое унитарное представление Т группы ??0, т
  о редукция ??0/??1 представления Т группы ??0 по подгруппе ??1
  приводит к разложению Т на неприводимые представления ??1 и т. д.
  В этой конструкции легко узнается композиционный ряд Э. Галуа,
  впервые примененный для описания симметрий алгебраических уравнений.
  //// Тут я ничего не понимаю.
  
  Реализация идеи симметрии,
  зафиксированной в принципе двуделения в отношении объектов,
  построенных из фундаментальных вращений,
  оказывается более простой, чем в случае непрерывных групп Ли.
  //// Опять не понимаю.
  
  В этом плане наибольший интерес представляет структура ??
  как простейшая из симметричных структур.
  Ассоциированное с этой структурой число 1/2h имеет размерность действия.
  Однако, симметрия, как известно, может быть обратной стороной экстремума.
  //// Оп. Это что-то для меня новенькое. Может быть, а может и не быть.
  //// Требуется уточнение. Тут скорее не "экстремум", а вроде как "стационарность"
  //// если я еще правильно помню из прочитанного вчера
  //// о лагранжианах и гамильтонианах.
  В этой связи можно предположить,
  что именно симметрия выделяет среди структур фундаментальных вращений
  ту, которую можно наделить статусом реальноcти.
  Проверкой этой гипотезы может явиться факт вывода уравнения движения в R
  из структуры фундаментальных вращений в WFin.
  В этом случае реализуется каноническая методология:
  от экстремума действия к уравнению.
  
  Такое уравнение действительно можно найти.
  
  Воспользуемся для этого конструкцией А.П. Ефремова [7],
  возникшей в совершенно ином контексте,
  но содержащей общую идею, которая применима и в данной ситуации.
  В самых общих чертах конструкция А.П. Ефремова выглядит так.
  
  Рассмотрим вращение в плоскости q1 , q2 вокруг q3,
  где направление, определяемое вектором q3,
  совпадает с направлением оси вращения.
  //// Не получается представить.
  Представляя ?+?+ - ?-?-),
  где ?+ и ?- базис некой предгеометрической поверхности,
  ?+ ?- дуальный базис.
  Очевидно, в этом случае 1 = ?+?+ + ?-?-.
  Следуя А.П. Ефремову, запишем комплексное число z в виде
  х ? 1 + y ? q3 = х ( ?+?+ + ?-?-)+iy (?+?+ - ?-?-).
  Путем несложных преобразований получим:
  z = ? ? ei?С+ + ? ? e? i?С? ,
  где С+ и С? - проекторы на две взаимноперпендикулярные комплексные плоскости.
  //// Вот даже представить "две взаимноперпендикулярные комплексные плоскости"
  //// не получается. "...Безумно далеки они от народа".
  //// Что есть в этом случае комплексная плоскость?
  
  Данную конструкцию можно наглядно представить в виде <конической передачи>
  (рис. 4).
  
  Рис. 4 ....
  
  Вращение этой <передачи> на угол fi
  дает вращение плоскости q1, q2 на угол 2fi вокруг q3,
  то есть мы имеем дело со спинорным объектом.
  
  //// Во смотрю на рис. 4 и не вижу ни комплексных плоскостей ни угла 2fi.
  //// Совсем плохо у меня с пространственным воображением.
  /////// И за полтора года ничего не изменилось, только зрение еще больше ухудшилось.
  
  Рассмотрим конформное преобразование предгеометрического базиса:
  + + ? ??i e? ? ? ? , + ? f i f e ? ? ? ? ? ,
  которое сводится к повороту <конической передачи> на угол ?
  и ее растяжение в ? раз.
  Если поворот является допустимым преобразованием,
  то растяжение приводит к дефекту умножения
  в ассоциативной алгебре кватернионов.
  С другой стороны, такая возможность априори существует
  и ее необходимо нивелировать.
  Предложенный А.П. Ефремовым способ такого нивелирования
  приводит к математической форме уравнения Шредингера:
  
  ........
  
  где W - произвольная функция в D.
  //// Здесь я полный ноль.
  /////// Аналогичным образом.
  
  Если посмотреть на структуру ??, то можно увидеть,
  что она обладает тем же свойством, что и названные <шестерни>,
  - оно вращается, но не растягивается
  (вращение в отсутствии среды в принципе не может быть <растянуто>).
  Это значит, что структура ??, помещенная в некую среду,
  в частности D,
  без всяких дополнительных условий позволяет сгенерировать уравнение Шредингера.
  
  В оригинальной работе А.П. Ефремова появление уравнения Шредингера
  (и других уравнений)
  связано с идеей <спасения> умножения ассоциативных алгебр,
  когда элементы этих алгебр выражаются через геометрические структуры,
  которые, в свою очередь, могут преобразовываться,
  нарушая алгебраические операции в этих алгебрах.
  При этом появление уравнений выглядит достаточно загадочным.
  Прояснение связи конструкции А.П. Ефремова со структурой ??
  проясняет одновременно и всю ситуацию.
  С одной стороны,
  структура последовательностей фундаментальных вращений в WFin ? W
  отражает структуру действия
  (на уровне D такая структура не видна - это просто действительное число).
  С другой стороны,
  структура ?? минимальная симметричная структура,
  что в D проявляется как экстремум
  (разумеется, это надо доказать,
  но доказательство достаточное естественное и простое).
  В этой ситуации логично,
  что экстремум действия ведет к появлению уравнения.
  Таким образом, оригинальная конструкция А.П. Ефремова
  ложится в хорошо понятный физический контекст.
  
  Структура ?? является простейшей структурой,
  обладающей внутренней симметрией
  (в данном контексте будем понимать эту симметрию на интуитивном уровне).
  Из этой структуры можно строить более сложные структуры,
  также обладающие внутренней симметрией.
  Генерацию этих структур можно представить
  в виде простейшей системы аксиом,
  которая может выглядеть так:
  1. ? = (1/2) ? ?.
  2. ?-1 = ? (имеется в виду отображение D ? W).
  3. (??) -1 ? Е? ?, ? H
  ? где функция ? соответствует фундаментальному вращению ?.
  
  Первая аксиома отражает в смешанной форме
  числовые соотношения в WFin ? W ,
  вытекающие из правил Конвея.
  Как было оговорено выше,
  если структуры в W представляются в привычной десятичной записи,
  то они берутся в круглые скобки.
  Аксиому 1 можно записать в следующей форме:
  ?**1/2 = ??.
  Здесь возможна интересная интерпретация.
  Как было показано выше, ? разрешает вращение в комплексной плоскости,
  определяемое комплексным числом в экспоненциальной форме.
  Извлечение квадратного корня из комплексного числа
  ведет к появлению римановой поверхности с двумя листами и вращениями,
  переходящими с листа на лист.
  Именно это и показывает приведенная выше формула.
  
  Вторая и третья аксиомы фиксируют инварианты,
  которые возникают при <погружении> структуры фундаментальных вращений в D
  (третья аксиома опирается на идеи А.П. Ефремова
  генерации уравнения Шредингера из ??)
  
  Снова рассмотрим структуру ??.
  Можно предположить, что эта структура соответствует фермиону,
  а ? - это его спин.
  Заменяя в аксиоме 1 и 3 ? на ??,
  можно видеть, что структура ???? определяет уравнение Шредингера,
  в свою очередь определяющее динамику ??,
  которое является <квадратным корнем> из уравнения Шредингера,
  определяющим динамику ?: ???? = ??.
  Поскольку в обоих этих случаях речь идет об уравнениях,
  имеющих первую производную по времени,
  то структура ???? определяет уравнение Дирака, а не Клейна-Гордона.
  Структуру ?? в данном контексте можно отождествить с электроном,
  при этом речь идет, безусловно, о свободном электроне.
  В данном формализме поле подсоединяется путем введения следующей топологии:
  базис открытых множеств образуют продолжения всех множеств, принадлежащих WFin.
  Можно ввести функцию, непрерывную в смысле описанной топологии,
  которую можно интерпретировать как характеристику поля.
  Важным моментом является тот факт,
  что данная топология укладывается в процессуальную идеологию,
  реализуемую в W.
  Подобную топологию и ее приложение
  к построению модели квантового эффекта Холла
  планируется подробно обсудить в дальнейшем.
  
  В данной конструкции, несмотря на ее необычную форму,
  отражена понятная для физики логика:
  спин - действие - уравнение.
  Формализм, основанный на фундаментальных вращениях,
  предельно лаконичен и явление синонимии,
  когда разные вещи выражаются одними и теми же конструкциями,
  неизбежно (структура ?? тому пример).
  Однако подобная лаконичность позволяет увидеть общность вещей,
  которые разделены теоретико-множественным формализмом.
  В целом лаконичность языка компенсируется
  исключительно сильной абстракцией фундаментального вращения ?
  (которая требует отдельного обсуждения).
  
  Вернемся к фундаментальному вращению ???? = ??.
  
  Теоретически приведенного соотношения достаточно,
  чтобы в пространстве-времени записать уравнение Дирака,
  например, в виде 4-х сцепленных уравнений.
  Попробуем, однако, получить информацию
  о динамике свободного электрона ??,
  оставаясь в рамках W.
  
  Рассмотрим структуру ????.
  Для удобства пронумеруем входящие в него фундаментальные вращения: ?1?2?3?4.
  Идея заключается в том,
  чтобы, чтобы <открывать> и <закрывать окна> не во всей этой структуре,
  а только ее части.
  Это дает следующий эффект.
  
  Согласно аксиоме 3, фундаментальные вращения 1 и 2
  определяют два уравнения Шредингера для ? и ?* соответственно,
  то есть с Е > 0 и Е < 0.
  
  определяемую фундаментальными вращениями 3 и 4,
  будем интерпретировать как структуру с <закрытыми окнами>,
  то есть как спин 1/2.
  Аналогичные рассуждения можно применить к вращениям 3 и 4.
  В целом ситуация выглядит так:
  Е > 0, спин = -1/2;
  Е < 0, спин = -1/2;
  Е > 0, спин = 1/2;
  Е > 0, спин = 1/2.
  
  Для того чтобы осуществить вычисления,
  необходимо перейти на уровень D,
  однако уровень W также оказывается достаточно информативным.
  
  Попробуем применить накопленные представления о многообразии W
  к осмыслению одной из ключевых проблем теоретической физики
  - описанию спектра материи.
  Поскольку подход к решению этой задачи будет чисто математическим,
  его следует рассматривать не более, чем <протокол о намерениях>.
  Тем не менее, имеет смысл зафиксировать ряд идей,
  которые при дальнейшей обработке могут привести к желаемому результату.
  
  Будем придерживаться точки зрения В. Гейзенберга,
  что имеет место спектр материи
  и элементарная частица представляет собой
  тот или иной энергетический уровень этого спектра.
  Все уровни этого спектра равноправны,
  и может идти речь о некоторой универсальной константе - <кванте масс>.
  Таким образом, массу <частицы> можно представить в виде
  m = km ? N (n, n, :),
  где km - <квант масс>,
  N - функция с целочисленными аргументами, которая характеризует <частицу>.
  Займемся выяснением числовых значений величины km и вида функции N.
  
  Структура ?? имеет спин ?, и ее динамика определяется уравнением Дирака.
  Как уже говорилось,
  эту структуру в данном контексте можно отождествить с электроном,
  следовательно, одной из характеристик ?? будет масса электрона mе
  
  Как уже отмечалось, структуру ?? можно рассматривать как прообраз спинора.
  Как утверждают многие авторы (Р. Пенроуз, Ю.С. Владимиров, В.В. Варламов и др.),
  именно двухкомпонентный спинор является <строительным кирпичом>,
  из которого строятся более сложные структуры.
  В частности, В.В. Варламовым была развита модель двухуровневой реальности,
  //// А если рассматривать много- и даже бесконечно-уровневую реальность
  //// то какие "строительные кирпичи" для этого подойдут?
  //// Или стоит рассматривать именно "попарное" построение реальности?
  //// Т.е. каждый уровень представляет собой композит двух "подуровней",
  //// причем наверняка "комплексно-сопряженных" - куда ж без этого.
  /////// Покурил, подумал. Может быть эти два подуровня так и отнести
  /////// к "форме" и к "энергии/ресурсу"?
  в которой ключевую роль играли спинорные структуры,
  построенные путем тензорного произведения бикватернионных алгебр C2 и C2*.
  В целом его модель выглядит следующим образом.
  
  Первый уровень реальности
  - это сепарабельное гильбертово пространство Н?
  (картина Шредингера),
  в рамках которой определены наблюдаемые - С* - алгебры и симметрии.
  Основной наблюдаемой является оператор энергия Н,
  основные симметрии задаются группой Лоренца SO0(1,3),
  что, естественно, подразумевает наличие пространства-времени.
  
  Второй уровень
  - несепарабельное гильбертово пространство состояний HS ? HQ ? H?
  (картина Гейзенберга),
  сконструированное из неприводимых конечномерных представлений
  спинорной группы SL(2, C).
  Эти представления определены в собственных подпространствах HE ? H?
  оператора энергии H.
  Векторы состояния в HS ? HQ? H? задают спиновые
  и зарядовые степени свободы элементарной частицы.
  
  В рамках этого подхода возникает формула спектра масс:
  m = me (l+1/2) (l+1/2), где l и l - целые или полуцелые числа,
  | l - l | = s, спин частицы.
  
  2.4.
  
  Определим основные линии развития подхода,
  при котором спинорные структуры строятся на основе
  парного фундаментального вращения ??.
  Это позволит определить число km и функцию N.
  
  Согласно постулату Ю. Вигнера элементарная <частица>
  ассоциируется с неприводимым конечномерным унитарным представлением
  группы Пуанкаре
  (в данном случае достаточно рассмотреть представление
  связного компонента группы Лоренца SO0 (1,3)).
  
  Дальнейшие рассуждения таковы.
  
  Как известно,
  существует гомоморфизм из SL(2, C) в SO0 (1,3).
  С другой стороны,
  SL(2, C) локально изоморфна SU(2) ? SU(2)
  и SU(2) дважды накрывает SO(3).
  Таким образом, конечномерные представления группы Лоренца
  можно сконструировать
  из конечномерных неприводимых представлений SO(3),
  которые, как известно,
  определяют спектр целых и полуцелых чисел
  (речь, разумеется, идет об уровне D).
  
  Как будет показано ниже,
  этот спектр можно построить на основе фундаментальных вращений.
  При этом спектр из WFin ? W оказывается более широким.
  Это связано с тем,
  что W изоморфно множеству действительных чисел,
  в котором действует принцип вложенных отрезков,
  позволяющих перейти к более глубоким слоям микромира.
  
  Перейдем к конкретным выкладкам.
  
  Рассмотрим неприводимые представления группы вращения SO(3)
  и попытаемся реализовать их в новых абстракциях.
  
  Обозначим через g вращение в R3.
  Пусть ?1, ?2, ?3 - координаты вектора, направленного вдоль оси вращения,
  длина которого равна углу поворота,
  //// Любопытная связка "длина равная углу". Это как?
  //// Точнее как это можно использовать?
  //// И как быть с периодичностью угла 2pi?
  тогда g = g (?1, ?2, ?3).
  Обозначим через Тg элемент конечномерного непереводимого представления SO(3),
  соответствующий элементу g? SO(3),
  таким образом, будет определена функция Т(?1, ?2, ?3 ).
  Можно показать, что функцию Т можно представить унитарной матрицей.
  Пусть I1, I2, I3 - инфинитоземальные операторы
  в линейной части разложения Т (?1, ?2, ?3) по формуле Тейлора.
  Справедливы соотношения [I1, I2] = I3, [I2, I3] = I1, [I3, I1] = I2.
  Данные операторы можно рассматривать как генераторы алгебры Ли SO(3).
  Функция Т(?1, ?2, ?3) определяется через I1, I2, I3 следующим образом:
  Т(?1, ?2, ?3) = . 1? 1 2? 2 3? 3 I I Ie ? ?
  Далее, введем генераторы Ji = iIi, которые являются эрмитовыми матрицами,
  а функция Т(?1, ?2, ?3) = ( ) 1?1 2? 2 3? 3 i J J Je ? ?
  - унитарным преобразованием.
  Следующим шагом определяются матрицы
  H+ = J1 + iJ2 и H- = J1 - iJ2, H3 = J3, для которых справедливы соотношения:
  [H3, H+] = H+, [H3, H-] = - H-, при этом H+= H- .
  Матрицы H+, H-, H3 записываются в ортогональном базисе,
  состоящем из нормированных собственных векторов H3 формулами:
  H+ fm = ?m+1 fm+1;
  H- fm= ?m-1 fm-1;
  H3 fm = m fm
  где m = - l, l+1, l+2, :, l-1, l, а l - целое или полуцелое число и
  ?m = (l ? m)(l ? m ?1).
  //// Все это да не за гранью, а за горизонтом моего понимания.
  
  Таким образом, число l полностью определяет
  конечномерное неприводимое представление группы SO(3).
  
  Как известно, оператор энергии коммутирует с генераторами J1, J2, J3.
  Если опустить все промежуточные этапы,
  идея представления группы (то есть некоторых симметрий)
  состоит в присваивании этой группе конечного или бесконечного набора
  целых или полуцелых чисел,
  которые интерпретируются как спектр состояний квантового объекта.
  
  Посмотрим, как можно подойти к решению этой задачи
  в рамках структуры W.
  
  Выше подчеркивалось, что амплитуда i?? e в структуре W
  представляется последовательностью фундаментальных вращений ?p?q?g?t... .
  Сравним это представление с унитарным преобразованием
  ( ) 1 1 2 2 3 3 i J ? J ? J ? e ? ? ,
  которые определяются матрицами Ji = iIi,
  где Ii, - инфинитоземальные вращения в R3.
  
  Таким образом, фундаментальное вращение можно рассматривать
  как абстрактный аналог инфинитоземальных вращений в R3,
  которые определяют представления группы SO(3).
  
  \\\ В теории групп важнейшую роль играют инфинитезимальные вращения
  \\\ - бесконечно мало отличающиеся от единичного ( тождественного ) вращения.
  //// Ага, для таких малых вращений угол действительно "пропорционален длине".
  
  Заметим, что число ? в амплитуде i?? e ,
  определяемое последовательностью ?p?q?g?t... фундаментальных вращений
  является собственным значением оператора J3.
  
  Иными словами, спектр - l, l+1, l+2, :, l-1, l
  строится из собственных значений оператора H3,
  который является комплексной оболочкой инфинитоземального вращения I3.
  Таким образом, с помощью описанной выше конструкции
  инфинитоземальные вращения трансформируются в спектр состояний,
  получение которого и является главной целью всего построения.
  В рамках WFin ? W аналогичный спектр строится из самих фундаментальных вращений,
  без каких-либо промежуточных агентов.
  Приведем схему построения этого спектра.
  
  Построение спектра в WFin ? W осуществляется по следующей схеме.
  
  В группе SO(3) существует два класса гомотопически не эквивалентных контуров,
  с периодом 2pi и 4pi,
  которые полностью характеризуют топологические свойства SO(3).
  Сопоставим контуру с периодом 2pi фундаментальное вращение ?,
  а контуру с периодом 4pi - фундаментальное вращение ??.
  
  Выше было отмечено, что число l,
  которое определяет конечномерное неприводимое представление группы SO(3),
  может быть целым и полуцелым.
  Это совпадет с числами (1) и (1/2), характеризующими контуры ? и ??.
  Такое совпадение, разумеется, не является случайным.
  
  Основным для нас будет фундаментальное вращение ??,
  поскольку именно оно определяет группу SU(2),
  участвующую в представлении группы Лоренца.
  
  При построении спинорного объекта из парных фундаментальных вращений ??
  будем придерживаться принципа двуделения
  - максимально сохранять его симметрию.
  
  Построение осуществляется по шагам.
  
  На четном шаге к фундаментальному вращению ??
  слева добавляется такое же парное фундаментальное вращение.
  
  На нечетном шаге к фундаментальному вращению ??
  справа добавляется противоположное парное фундаментальное вращение,
  после чего может добавляться парное фундаментальное вращение любого направления
  (рис 5).
  
  Рис. 5 ....
  
  Смысл данной схемы заключается в том,
  чтобы выделить некую базовую структуру Х
  (соответственно, действительное число в данном случае это ?? и 1/2)
  и, далее, описать процессы:
  
  - увеличения/уменьшения числа Х на <1>/<-1>
  (в данном случае единица равна 1/2).
  
  - добавления к Х чисел вида (m/2n),
  где m и n - целые числа.
  
  В первом случае мы имеем традиционную схему квантования,
  то есть увеличение на (1),
  которое в В становится увеличением на ? (при <закрытых окнах>).
  Во втором случае происходит <тонкая настройка> традиционной схемы
  с помощью двоично-рациональных чисел.
  Именно этот, второй случай и представляет наибольший интерес,
  поскольку расширяет традиционную схему квантования
  
  Построенные структуры интерпретируются в W как спины,
  а в D - как кванты действия (при <закрытых окнах>)
  или как линейные функции действий (при <открытых окнах).
  
  Полученные структуры в W строятся на основе парных фундаментальных вращений
  и представляют собой спинорные структуры.
  Среди них выделяются структуры, обладающие внутренней симметрией,
  которую можно связать с экстремумом действия.
  Используя конструкцию А.П. Ефремова, можно получить соответствующее уравнение.
  Принцип симметрии может быть заменен более тонкими критериями,
  также позволяющими прийти к экстремуму действия.
  Одним из таких критериев является выделение простейших подструктур,
  на основе которых можно по алгоритму восстановить всю структуру.
  Это, по существу, совпадает с понятием сложности по Колмогорову.
  Связь данных понятий отмечал Ю.И. Манин [13],
  который высказал много глубоких идей, относящихся к фундаментальной физике.
  
  Схема, представленная на рис. 5
  позволяет определить число km и функцию N.
  Очевидно, что km можно соотнести с массой электрона me.
  Относительно функции N,
  то из приведенной выше конструкции следует,
  для фундаментального вращения ??
  число сгенерированных структур определяется формулой (l+k/2m),
  где l - целое или полуцелое число, k и m - целые.
  Это число, как было подчеркнуто выше,
  можно соотнести с числом неприводимых представлений группы SU(2).
  Учитывая, что SL(2, C) локально изоморфна SU(2) ? SU(2),
  число N определяется формулой N = (l+k/2m)(l +s/2t),
  где l и l - целые или полуцелые числа, k, m, s, t - целые числа.
  Соответственно, формула спектра масс выглядит следующим образом:
  m = me (l+k/2m)( l +s/2t).
  
  Если положить k, m, s, t равными 1,
  то данная формула совпадает с формулой Варламова.
  Появление чисел k, m, s, t, как уже говорилось,
  обусловлено изоморфизмом многообразия фундаментальных вращений
  многообразию действительных чисел,
  в которых действует принцип вложенных отрезков,
  позволяющий рассмотреть более мелкие шаги квантования.
  
  Приведенные выше рассуждения, касающиеся спектра масс,
  нужно рассматривать как некоторую математическую <разминку>
  (в ряде моментов не вполне строгую),
  которая может оказаться полезной при решении
  этой фундаментальной проблемы физики.
  Основная цель названной <разминки> -
  продемонстрировать возможности нестандартного формализма,
  который может быть использован при решении и других задач.
  
  Заключение
  
  Нестандартный формализм,
  начала которого были рассмотрены в настоящей статье,
  с первого взгляда <ортогонален>
  всей сложившейся традиции описания явлений микромира.
  Посмотрим, однако, на всю ситуацию более внимательно.
  
  Начнем с самого термина <нестандартный>.
  Основная абстракция,
  которая явилась основой этого формализма двойственная
  - это и объект - число,
  и в определенной мере алгебраический объект,
  поскольку имеет конкретную структуру.
  Одновременно этот объект наделен внутренними процессами,
  которые активно участвуют в алгебраической <жизни> этого объекта.
  Подобными качествами (но далеко не в такой степени)
  наделены бесконечно малые числа
  в <нестандартном (инфинитоземальном) анализе.
  При этом речь идет только об аналогии,
  а не о применении идеологии
  в технике инфинитоземального анализа в квантовой теории.
  
  Целесообразность <введения в оборот> этого формализма
  обусловлена тем обстоятельством,
  что теоретико-множественный формализм,
  который служит идейным и техническим базисом квантовой теории,
  в настоящее время достиг в этой области очевидного потолка.
  Многие предлагаемые им конструкции чрезвычайно сложны
  и вряд ли имеют отношение к физической реальности.
  В этом случае начинает работать <бритва Оккама>
  и переход к новым абстракциям становится неизбежным.
  Работа этой <бритвы>, как представляется, состоит в следующем.
  
  Фундаментальными концептами в корпусе квантовой теории являются:
  <состояние>, выраженное волновой функцией>,
  <некоммутативность> (операторов и вообще переменных),
  различные симметрии
  и ряд других понятий.
  При этом необходимо учитывать тот факт,
  что эти концепты - суть модели в теоретико-множественных структурах
  и что за этими моделями могут стоять более фундаментальные представления [11].
  
  Так, за волновой функцией
  можно увидеть идею некоторого абстрактного вращения,
  //// Причем с некоторым периодом.
  за некоммутативностью - идею направления.
  //// Задание направления через "ось вращения",
  //// недостаточно конкретна, т.к. трудно представить какой-то аналог вращения,
  //// задающий сразу НЕСКОЛЬКО осей вращения, причем не обязательно,
  //// с совпадающими направлениями вращения.
  //// Автор уходит от этой проблемы за счет утверждения,
  //// что "фундаментальное вращение" это некий "умозрительный конструкт",
  //// чисто "математико-идеалистическая" парадигма.
  //// Но если попытаться решить эту проблему,
  //// то, представляется, может получиться что-то еще более интересное.
  Концепция нестандартного формализма состоит в том,
  чтобы уйти от теоретико-множественных абстракций
  и сопутствующих им артефактов,
  найдя способ корректно ввести интуитивно ясные объекты,
  выражающие эти идеи.
  Строго говоря, эта же мысль была заложена
  в упоминавшуюся концепцию нестандартного анализа.
  
  В целом же представленный нестандартный формализм
  допускает развитие в различных направлениях.
  //// Например, в сторону поиска превращения идеального "фундаментального вращения"
  //// в нечто более "реальное".
  
  Литература
  
  ......
  
  2. Варламов В. В. Спектр материи Гейзенберга
  в абстрактно-алгебраическом подходе
  // Математические структуры и моделирование. 2016. ? 3 (39). C. 5-23.
  
  3. Векшенов С. А. От теории множеств к теории двойственности
  // Метафизика. 2019. ? 4 (34). С. 35-43.
  
  ......
  
  //// Конец цитирования.
  
  Ладно. Этот уж очень большой текст, хоть и не дал
  какого-то более "реального" представления для "фундаментального вращения",
  но и отторжения не вызвал. Видно, что можно его
  и как-то увязать с существующими "квантовыми представлениями",
  и/или, наоборот, пойти далеко в сторону от них.
  Особенно стоит обратить внимание подход,
  в котором каждая отдельная "точка"
  имеет "право" на свою собственную "структуру" и "внутреннее движение".
  Придется продолжать "долбить" в этом направлении.
  
  
  =========
  
  12.01.2023 11:40
  
  Долбежка "порядковых образов".
  В оглавление.
  
  Это было год назад, когда я продолжал пытаться
  "осаждать математическую крепость",
  зацепившись за конкретную идею,
  То бишь, пытаться разобраться, как можно использовать и объяснить
  концепцию порядковой бесконечности.
  
  //// Можно рассматривать это, и как иллюстрация к необходимости
  //// как-то по иному, обучать математике тех кто хочет,
  //// но уже не может забыть все,
  //// и снова сесть за школярскую парту в нужном институте.
  //// Так как обучение в другом институте, ничего не гарантирует
  //// в плане понимания конкретного автора.
  
  "ПОРЯДКОВЫЕ ОБРАЗЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И КВАТЕРНИОНОВ
  В ОСНОВАНИЯХ ФИЗИКИ"
  Авторы: С.А. Векшенов, А.С. Бешенков
  Метафизика, 2013, ? 3 (9). ISSN 2224-7580, стр.70
  https://mega.rudn.ru/file/Метафизика?3(9)%202013.pdf.
  
  Российская академия образования
  
  //// Начало цитирования.
  
  В статье рассматривается порядковый образ фундаментальной цепочки чисел
  N -> Z -> R -> C -> H.
  Показывается, что порядковый образ кватернионов лежит в основе этой цепочки,
  а натуральные числа, напротив, являются структурой,
  построенной на порядковых образах кватернионов.
  //// Т.е. развернуть представление/обоснование не от простого к сложному,
  //// а, наоборот, от более сложного к простому.
  //// Интересно, где еще такой метод/подход применяется/применялся?
  //// Может быть действительно, понимание комплексных чисел,
  //// нужно строить не как комбинацию действительных чисел,
  //// а как "свертку" кватернионов.
  //// И представлять комплексное число не плоскостью,
  //// которая непонятно где и как располагается, а как-то еще.
  //////// Перечитывая этот комментарий спустя полтора года,
  //////// наерно, стоит отметить и возможное развитие жтого подхода,
  //////// уже применительно к Мирозданию.
  //////// Если можно представить "комплесную плоскость",
  //////// как "свертку" "пространства кватернионов",
  //////// то можно и наше привычное трехмерие попытаться представить
  //////// тоже как "свертку" значительно более многомерного
  //////// и многоуровневого какого-то сущности/предствления,
  //////// но не "пространства", а скорее "процесса"/"процессов".
  //////// Причем, свойства получающегося пространства
  //////// не нечто "априорно заданное",
  //////// а результат каких-то "самосинхронизирующихся"/"коррелирующих"
  //////// свойств этих "процессов".
  Это, в частности, открывает возможность построения континуума,
  определяемого физическими процессами.
  
  ......
  
  Введение
  
  Как известно,
  традиционная задача физической науки со времен Галилея
  состояла в описании реальности на языке математики,
  причем такое описание должно было обладать
  свойством предсказания новых, экспериментально проверяемых эффектов.
  //// А свойством более понятного "объяснения", а не "описания",
  //// обладать не обязательно?
  
  В физике ХХ в. появляются новые мотивы
  - возникает потребность синтеза ранее созданных теорий.
  Началом этого процесса можно считать специальную теорию относительности,
  которая объединила механику Ньютона и электродинамику Максвелла.
  В работах основоположников этой теории,
  прежде всего А. Пуанкаре,
  была определена методология такого объединения
  на основе абстрактных математических структур,
  в которые <вписываются> объединяемые теории.
  В случае теории относительности такой структурой явилась группа Лоренца,
  которая согласно идеологии Эрлангенской программы
  должна определять некоторую геометрию.
  Заметим, что и в классической работе Эйнштейна 1905 г.
  реализована фактически та же методология:
  в ней обрисована математическая структура,
  в которой одновременно выполняются
  два ключевых факта объединяемых теорий:
  принцип относительности и постоянство скорости света.
  //// Мало просто что-то объединять/синтезировать,
  //// нужно решить за счет какого "ресурса" это будет реализовано.
  //// В данном случае таким ресурсом было выбрано "структура"/"кривизна"
  //// пространства и "относительность" то ли скорости времени,
  //// то ли времени вообще.
  
  При таком подходе, однако, возникает следующий пласт методологических проблем:
  
  - существует ли возникшая структура как математический объект?
  
  - имеется ли за этой структурой физическая реальность?
  
  //// И какие "ресурсы" при этом задействованы? Причем этот вопрос,
  //// возможно, куда важнее выше обозначенных, так как ответ на него,
  //// сам по себе, создает "ресурс" для следующего этапа "познания",
  //// даже если первых два вопроса имеют явный отрицательный ответ.
  //// Или предложенная структура "не приживется". И такое бывает.
  //// В любом случае, это "задел на будущее", та самая "изюминка",
  //// которую иногда обнаруживается в сочинения классиков спустя много лет.
  
  От первой из названных проблем нас освободил
  //// "Я освобождаю вас от химеры совести", так заявлял один бесноватый канцлер
  //// - и как дорого это обошлось вообще всем.
  //// Здесь не может быть такой ситуации?
  еще создатель теории множеств Г. Кантор,
  заявивший, что всякая
  внутренне непротиворечивая
  //// А если противоречивая, или противоречивая при нынешнем уровне знаний,
  //// или, наоборот, непротиворечивая только при нынешнем уровне знаний,
  //// или, что еще чаще, непротиворечивая только потому, что ее еще
  //// серьезно "не копали", не применяли, не отследили всех возможных следствий,
  //// ну и т.д.
  //// Ну и до кучи: есть "внутренняя непротиворечивость" , а "внешняя" есть?
  //// Ну конфликт с другими "структурами"/представлениями может быть?
  //// И как в таком случае оценивать "освобождение от проблемы"?
  математическая структура
  //// А почему только "математическая структура",
  //// почему не любая "умозрительная конструкция"?
  //// Что ограничивает "область применения"?
  имеет статус существующего
  (<существовать - значит быть свободным от противоречия>).
  //////// Т.е. всю диалектику Гегеля "по-боку".
  //////// И И-Цзин тоже. Только Аристотель - "наше все".
  //// А если есть противоречия, даже непринципиальные,
  //// то это причина "не существовать"?
  //// В общем, наверно все-таки, "критерий/индульгенция Кантора",
  //// не "освобождает" от серьезного САМОСТОЯТЕЛЬНОГО анализа этой проблемы.
  //// А, может быть, вообще переформулировки этого вопроса,
  //// в другой, например, "что мешает считать данную структуру/конструкцию
  //// или, даже вообще, "умозаключение" РЕАЛИЗУЕМОЙ?"
  //////// Даже, если в доступной нам части Мироздания
  //////// таких структур не наблюдается?
  
  Что касается второй проблемы,
  то ситуация здесь более тонкая.
  Как показывает практика,
  синтез можно осуществить на основе различных математических структур.
  Какая из них соответствует реальности?
  П. Дирак утверждал, что <самая изящная>
  ().
  //// "Но на вкус и цвет товарищей нет" - критерий "изящности" у одного
  //// это краткость/способ записи, у другого ширина охвата,
  //// у третьего используемый метод/прием/техника, см. диагональный метод,
  //// у кого-то дальнейшие перспективы/резервы - см. "баталии"
  //// по поводу "космологического члена" в уравнениях Эйнштейна.
  Но может быть, имеется и другой критерий?
  //// Критерии в течение веков, неоднократно менялись, см. историю Эллады,
  //// и будут еще неоднократно меняться, так что "другие критерии" точно есть.
  //// Как минимум, пока существует разные представления, о реальности,
  //// говорить о каком-то одном, тем более "математическом" критерии,
  //// как-то "немного" самонадеянно.
  
  <Поставщиком> структур для осуществления синтеза,
  естественно, является математика,
  //// А почему не программирование? Или логика? Или метафизика?
  в которой процесс синтеза различных областей начался несколько раньше
  (приблизительно с момента появления уже упомянутой Эрлангенской программы).
  С развитием теории множеств, аксиоматики и появлением Программы Бурбаки
  этот процесс принял небывалый размах.
  Именно теоретико-множественная
  (а в менее абстрактной форме - геометрическая) методология
  стала восприниматься как основной инструмент осуществления
  синтеза разнообразных физических концепций.
  Решающим фактором развития именно этого направления
  был успех теории относительности
  и убежденность ее создателя в том,
  что именно геометрия только и способна обеспечить необходимый синтез.
  //// Можно ли рассматривать пространство как "множество",
  //// или "множество" в данном контексте это "структура"?
  //// Но тогда вопрос есть ли где-то хотя бы примерный перечень
  //// "работоспособных" структур пространства, или под этим
  //// уже понимаются тензоры/расслоения/топологии?
  //////// А если "геометрия" не является "изначальным элементом",
  //////// а просто более привычной и удобной для манипулирования
  //////// конструкцией/системой/парадигмой?
  //////// И сама является "производной" от какого-то иного "процесса"?
  
  Разумеется, физика ХХ в. помимо синтеза теорий занималась и своим <прямым делом>
  - описанием новых областей реальности.
  Случалось так,
  что эти вновь созданные теории немедленно вовлекались в процесс синтеза.
  Самый показательный тому пример - квантовая теория
  и попытки её синтеза с общей теорией относительности.
  При этом, разумеется, попытки осуществления такого синтеза
  предпринимались в рамках теоретико-множественной (геометрической) методологии.
  Как известно, приемлемого решения получить так и не удалось.
  //// А есть ли где-то разбор причин таких неудач?
  Как нам представляется,
  корень проблемы лежит в принципиальном различии
  теории относительности и квантовой теории.
  //// А разве "принцип относительности" и "постоянство скорости света"
  //// не принципиально различны? Но для них "что-то" обеспечивающее синтез
  //// все-таки нашлось, и мне кажется, что это "обеспечение"
  //// следует искать в области "задействованных ресурсов",
  //// а не собственно "математических структур".
  //// Так что, само по себе "принципиальное различие"
  //// не обязательно главная причина "неудачных попыток",
  //// впрочем,. как и "внутренняя противоречивость".
  
  Теорию относительности можно считать
  вполне математической теорией в том плане,
  что у нее нет <темных углов>,
  не охваченных формализаций,
  поскольку она изначально строилась как синтетическая структура.
  //// Ну, многие альтернативщики так не считают и баталии вокруг
  //// парадоксов не стихают, а признаком <темных углов>,
  //// вполне может быть все те же "темные материи" и "темные энергии",
  //// не считая "черных дыр" и Большого БадаБума.
  Иначе выглядит квантовая теория.
  Сам феномен квантования,
  несмотря на его внешнюю очевидность,
  не получил в её рамках адекватного истолкования,
  а известные на сегодняшний день формализмы квантовой теории явно неполны.
  Иными словами, квантовая теория во многом остается <живой>,
  не до конца формализованной теорией.
  //// А теория относительности уже "мертва" или "окончательно закончена"?
  При таком положении дел всякая попытка синтеза
  в принципе обречена на неудачу,
  поскольку всякому синтезу предшествует полная формализация
  (в естественных границах, разумеется).
  //// Это больше похоже на отговорку. В истории науки, а тем более техники,
  //// синтез, в большинстве случаев, никак не был связан с "полной формализацией".
  //// А только с потребностями, и ресурсами.
  //// И мне представляется, что такой ресурс есть,
  //// и связан с "квантованием" того же пространства и времени,
  //// но не формально (математически), а принципиально (метафизически).
  
  Осознание этого факта привело к возникновению направления,
  условно названного <основания физики>,
  важнейшей задачей которого стал поиск математических структур,
  которые в принципе могли бы обеспечить желаемый синтез.
  
  К теориям из области оснований физики можно отнести
  Твистерную программу Р. Пенроуза
  и Бинарную систему комплексных отношений (БСКО) Ю.С. Владимирова.
  Каждая из этих теорий использует свою методологию
  построения синтезирующих структур.
  
  Теория Пенроуза явно тяготеет к упомянутой выше геометрической методологии.
  Достаточно сказать,
  что фундаментальные конструкции этой теории
  опираются на чисто геометрическое понятие
  - сферу Римана [1].
  
  В теории Владимирова намечена тенденция отхода
  от априорных геометрических представлений
  и развитие концепции динамических структур,
  на основе которых можно осуществить переход
  от первичных структур квантовой теории
  к четырехмерному пространству-времени [2].
  //// А может все-таки попытаться сделать "шаг назад",
  //// и снова разделить пространство и время по "отдельным полочкам"?
  //// Ресурс ведь появляется не только при "объединении", но и при "расщеплении".
  //// Или "пространство-время" стало уже "неприкасаемой категорией"?
  //// Ведь в реальности время и пространство явно чем-то отличаются,
  //// и только в формулах Минковского-Эйнштейна они связаны между собой,
  //// следовательно, "обработав" время и пространство по отдельности,
  //// всегда можно с помощью какой-то пусть очень завернутой и хитрой формулы,
  //// если необходимо, вернуться к "пространству-времени".
  //// Чем не похожа эта ситуация на возможность расчета движения планет,
  //// что по Копернику, что по Птолемею,
  //// на основе "принципа относительности"?
  
  //// Понятно, что на это замечание есть универсальный ответ:
  //// "Предлагаешь - Реализуй". Мне просто хотелось заметить,
  //// что ставка на получение "четырехмерного пространства-времени"
  //// в чистом виде, а не "по частям", как-то очень странно выглядит
  //// в глазах инженера-программиста, программы которого только и делают,
  //// что синтезируют структуры, обрабатывают их, расщепляют их на составляющие,
  //// снова обрабатывают, опять синтезируют, возможно, в иную структуру,
  //// и так снова и снова.
  //// Но при этом, вот что интересно, что из разных соображений, в том числе
  //// и надежности и безопасности, все данные этих элементов структур
  //// имеют актуальную синхронизированную отметку времени,
  //// которая используется и для вычисления интервалов времени,
  //// и для проверки актуальности, и для обнаружения наличия/отсутствия.
  //// Ничего не утверждаю, но, возможно, такая или подобная детализация
  //// "координаты времени" тоже может оказаться полезным в требуемой
  //// физико-математической структуре, которая явно будет отличаться
  //// от структуры описания "координаты пространства".
  
  Несмотря на значительные различия теорий Р. Пенроуза и Ю.С. Владимирова,
  они сходятся в одном принципиальном моменте
  - опоре на комплексные числа.
  //// Ну на комплексных числах сейчас многое в физике "завязано".
  Можно предположить, что именно комплексные числа
  и, в более общем случае,
  кватернионы отражают существенные особенности квантовой теории.
  На ряд таких особенностей указывает БСКО.
  Достаточно определенно о роли математики кватернионов
  в основании квантовой теории говорит А.П. Ефремов [3].
  
  Как нам представляется,
  именно кватернионные структуры
  (которые в ряде случаев сводятся к комплексным структурам)
  //// Интересно, что это за случаи. И можно ли "свернуть" кватернион
  //// просто в комплексное число, т.е. что нужно "удалить" или "прибавить"
  //// к кватерниону, чтобы получить комплексное число или вообще
  //// "комплексную ось/переменную". И можно ли таким образом перейти
  //// от комплексных к действительных и, далее, рациональным/натуральным числам,
  //// или бесконечному множеству этих чисел.
  <ответственны> за появление самого феномена квантования,
  и, напротив, квантование приводит к появлению структур,
  которые можно соотнести с комплексными числами и кватернионами.
  Однако увидеть это соотношение в рамках их традиционного,
  количественного понимания
  не представляется возможным.
  Для этого необходимо осуществить переход
  к порядковым образам названных чисел,
  что требует привлечения основных понятий и положений
  концепции двойственности,
  развиваемой в работах авторов.
  
  Ниже, в тезисной форме,
  представлены основные положения этой концепции,
  необходимые для обсуждения сформулированных выше проблем.
  
  1. Принцип двойственности
  
  В основе принципа двойственности лежит известный еще со школы факт,
  что всякое натуральное число n является единством
  <количества> и <порядка>.
  Например, число семь подразумевает наличие семи каких-либо предметов
  и седьмого по счету предмета в каком-либо пересчете.
  
  Сразу бросается в глаза отсутствие симметрии
  количественного и порядкового компонентов числа.
  Количественная составляющая, то есть семь предметов,
  вполне определяются самим числом 7,
  в то время как <седьмой предмет> подразумевает фиксацию
  некоторого начала отсчета, информация о котором в числе 7 не содержится.
  //// А количественной компоненте тоже ведь есть, что-то
  //// условно говоря "граница множества", т.е. какая-то фиксация чего-то,
  //// в данном случае "принадлежности". И чего нет в порядковом компоненте.
  //// Точнее, есть но какая-то другая.
  
  Такое отсутствие симметрии в конечном итоге
  привело к доминированию количественной точки зрения на природу числа,
  которая получила всеобщий характер после создания Г. Кантором теории множеств.
  
  Теория множеств сформировала <количественно-ориентированный> стиль мышления,
  который в настоящее время доминирует в математике.
  //// Неужели до Кантора преобладал другой стиль.
  //// Да та же самая энергия, в виде числа, вообще никаким "порядком"
  //// не обладала. Или я чего-то не понимаю?
  Не вдаваясь во все аспекты этого доминирования
  (это частично сделано в работах [4], [6]),
  можно сказать, что на сегодняшний день существуют веские причины
  вернуться к пониманию важности двойственного характера натурального числа
  и, опираясь на это понимание,
  сформулировать универсальный принцип двойственности.
  Суть этого принципа двойственности состоит в том,
  что для каждого <количественного> объекта A
  всегда найдется его <порядковый> образ.
  Понятия <количества> и <порядка>, разумеется,
  не имеют четко очерченных границ,
  однако,
  учитывая связь идей
  количества и порядка пространства и времени,
  можно сказать,
  что принцип двойственности утверждает,
  что каждому пространственному объекту
  соответствует временной объект.
  //// Стоп-стоп. Перестаю понимать, где здесь количество, а где порядок.
  //// И проявляется ли такая двойственность всегда
  //// или только в отношении "пространства-времени"?
  //// Совсем запутался. Или это потому что уже конец дня, слегка подустал
  //// и пора домой?
  
  Наиболее радикальным следствием принципа двойственности является
  утверждение о существовании бесконечности ?,
  двойственной к количественной бесконечности w
  (в данном случае w в большей мере является символом этой бесконечности,
  чем обозначение первого бесконечного ординала).
  //// Хорошо, допустим, есть порядковая и количественная бесконечность,
  //// и они как-то между собой связаны.
  //// Но возникает вопрос: зачем сразу браться за "бесконечность",
  //// почему сначала не откатать логику/аргументацию
  //// на каких то конкретных "кошечках".
  
  Единый подход к определению этих двух бесконечностей
  в общих чертах состоит в следующем
  (более подробно вся конструкция приведена, например, в [4]).
  
  Рассмотрим некоторый неограниченный процесс W
  (при этом мы хорошо понимаем,
  что этим символом обозначается именно процесс,
  duree в смысле А. Бергсона).
  Шаги этого процесса мы можем различать или не различать
  в зависимости от набора имеющихся у нас предикатов.
  
  Предположим, что шаги процесса W различаются некоторым предикатом T(x,y),
  в результате чего мы видим некоторый дискретный неограниченный процесс
  (если шаги этого процесса не различимы никаким предикатом,
  то мы видим некоторую целостность,
  но не видим движения,
  а только a'priori знаем, что оно есть).
  Будем обозначать такой видимый процесс как WT.
  
  Предположим далее,
  что с некоторого конкретного шага процесса WT
  все остальные шаги будут неотличимы друг от друга в смысле предиката Т.
  В этом случае этот стабилизированный фрагмент процесса WT
  определяет бесконечный в смысле предиката Т
  по отношению к остальным фрагментам данного процесса
  объект.
  
  Существенную роль в этом подходе играют два предиката:
  
  - ТR (x,y): равенство x и y в смысле <количества>;
  - ТZ (x,y): равенство x и y в смысле <порядка>.
  
  При этом <количество> и <порядок> понимаются интуитивно
  в рамках интуиции <натурального числа>.
  Бесконечный объект процесса TR N будем отождествлять с w,
  а бесконечный объект процесса TZ N - с ?,
  где N - процесс порождения натуральных чисел.
  
  Очевидно, что w по своему смыслу
  является количественной бесконечностью
  и может быть представлена в виде бесконечного множества
  (точнее, бесконечное множество является носителем количественной бесконечности).
  Порядковая бесконечность ? имеет иную природу,
  и ее носитель не может быть представлен множеством [4], [5], [6].
  
  Принцип двойственности позволяет расширить понятие актуальной бесконечности
  путем включения <в оборот> порядковой бесконечности.
  Это наводит на мысль о целесообразности развития
  общей теории бесконечности,
  которая пришла бы на смену теории множеств.
  //// А почему "на смену"? Почему не в "развитие"?
  //// Почему не в "дополнение" по тому же принципу двойственности?
  
  Основываясь на приведенной выше схеме
  <свертывания> неограниченного процесса в бесконечный объект,
  общую теорию бесконечности можно определить так.
  
  Общая теория бесконечности
  - это теория о свертывании неограниченных процессов
  в бесконечные объекты (бесконечности)
  и о свойствах носителей этих бесконечностей.
  Данный взгляд на бесконечность является очень существенным
  для всех дальнейших построений.
  //// Ну мысль сама по себе интересная - "свертывание неограниченных процессов"
  //// в "бесконечные объекты".
  //// При любом раскладе это можно как-то включить
  //// в "теорию практических алгоритмов" как представление алгоритма,
  //// объектом, отличным от "машины Тьюринга", хотя бы по методу реализации.
  
  
  2. Основные конструкции и теоремы
  
  Имея в распоряжении два бесконечных объекта ? и ?,
  естественно возникает вопрос об их соотношении.
  Бесконечный объект ? является таковым
  только в смысле предиката ?R.
  В смысле предиката ?Z - это конечный объект.
  //// Интересно почему, для тех кто "прогуливал семинарию"?
  Из этого простого соображения вытекает принципиальной важности неравенство:
  ? > ???, где ??? - какой-либо кардинал.
  
  Суть этого неравенства состоит в том,
  что математический универсум в количественно-порядковом
  (или пространственно-временном) ракурсе
  не симметричен.
  Это видится весьма нетривиальным фактом и,
  строго говоря,
  оправдывает развитие всей изложенной выше концепции двойственности.
  
  Как известно, фундаментом всей математики являются натуральные числа,
  которые, по известным словам Л. Кронекера, были <сотворены Господом Богом>.
  Однако трудно предположить,
  что Господь Бог одновременно сотворил и аксиоматику,
  которая описывает процесс возникновения этих чисел и их свойства.
  Скорее всего, Д. Пеано просто следовал сложившейся научной традиции,
  видя в аксиоматике некую идеальную форму представления Божьего творения.
  //// Хорошая фраза. Аксиоматика - форма идеального представления.
  //// Причем, скорее всего, "традиционная", считающаяся "классической".
  //// А чем тогда представляется "рациональное представление"?
  /////// Или "реальное"?
  В этом случае имеется принципиальная возможность найти
  иную форму проявления в нашем умственном взоре
  идеи натурального ряда.
  
  В рамках концепции двойственности эта возможность получает
  конкретную реализацию.
  Названная реализация основывается на следующих теоремах [7].
  
  Теорема 1.
  Если шаги процесса W различимы одним предикатом В,
  то он совпадает с - TZ,.
  
  Теорема 2.
  Если шаги процесса W различимы только двумя предикатами В1, В2 ,
  то один из них есть TR, а другой - ?Z.
  
  Теорема 3.
  Если, кроме того, предикаты TR и TZ эквивалентны
  (в том смысле, что каждый шаг можно количественно <очислить>),
  то процесс ?
  изоморфен последовательности натуральных чисел.
  
  //// Ясности "неграмотному" эти теоремы не добавили.
  //// Наверно, без примеров и пояснений никак.
  
  Картину, которую описывают эти теоремы,
  наглядно можно представить следующим образом.
  
  а) Введение предиката ?Z позволяет представить процесс W (duree)
  в виде процесса WTZ с различимыми шагами  (рис. 1)
  
  Рис. 1
  
  б) Введение предиката ?R в дополнение к предикату ?Z
  позволяет фиксировать число шагов процесса TZ от его начала.
  При этом существует неограниченное число шагов,
  для которых такая фиксация невозможна
  (следствие неравенства ? > ?).
  Наглядно этот процесс можно представить так
  (рис. 2):
  
  Рис. 2
  
  Будем записывать этот процесс как ; WT T R Z .
  
  На рис. 2 хорошо видно, что процесс WTZ <длиннее> процесса ; WT T R Z ,
  поскольку у WTZ имеется <хвост>:   ...,
  который принципиально не <очисливается> (в количественном смысле).
  
  в) Тем не менее, если предположить, что TR ~ TZ,
  этот <хвост> каким-то образом распределяется
  внутри <очисленных> шагов и, согласно теореме 3,
  процесс ; WT T R Z и TR ~ TZ
  будет изоморфен последовательности натуральных чисел.
  
  Таким образом,
  в данном подходе натуральный ряд <высекается>
  из некоторой целостности (процесса W)
  с помощью предикатов <количества> и <порядка>
  (говоря словами Микеланджело, <убирается все лишнее>) [9].
  
  Расширяя семантическое поле теорем 1-3,
  мы приходим к следующей фундаментальной теореме
  о характере носителя бесконечности
  в зависимости от свойств определяющих ее предикатов [4].
  
  Теорема 4.
  Для того чтобы шаги  процесса WTZ сделать элементами
  и образовать из этих элементов множество,
  необходимо, чтобы они различались,
  по крайней мере, еще одним предикатом
  (если это только один предикат, то по теореме 2 он совпадает с TR).
  
  Следствие. Если совокупность некоторых объектов
  различима только одним предикатом, то он совпадает с TZ.
  Это означает, что из этой совокупности объектов
  нельзя образовать множество.
  //// Это уже совсем не понимаю.
  //// Понятно, что у объектов какие-то совпадающие "сигнатуры",
  //// но почему при этом нельзя образовать множество - непонятно.
  
  Следствием этого <следствия> является утверждение о том,
  что континуум, понимаемый в канторовском смысле,
  не является множеством.
  //// О как.
  Действительно, поскольку элементы континуума различаются
  только одним предикатом
  (что вытекает из не вполне эффективной упорядоченности континуума),
  этот предикат совпадает с предикатом TZ,
  который, в свою очередь,
  указывает на порядковую бесконечность.
  Носителем этой бесконечности является сверхмножество.
  
  Отсюда, в частности, следует,
  что континуум является переменной величиной,
  то есть для любого ? мощность континуума с больше кардинала ???.
  Таким образом, континуум - проблема,
  состоящая в указании места континуума
  (вернее, его теоретико-множественной модели)
  на кардинальной шкале,
  оказывается принципиально некорректной.
  //// О-па-на. Переменная бесконечность, это точно что-то новенькое.
  //// Хотя, не понимаю вывода, но следствия точно захватывающие.
  
  Из всех предыдущих пунктов вытекает следующее.
  
  А. Из теоремы 3 вытекает принципиальная возможность перехода
  обсуждений возникающих проблем
  с количественного на порядковый (структурный уровень).
  //// Так. Тоже фиксируем. Порядок это структура, а структура это порядок.
  Можно ожидать, в частности,
  что с помощью <стрелочных> структур можно построить
  замкнутую в себе теорию действительных чисел.
  Оказывается, еще в 1973 г. Дж. Конвей
  построил <стрелочную> модель действительной прямой
  (даже нестандартной прямой).
  Однако он построил ее именно как модель,
  без всякой связи с теорией двойственности
  (которой в 1973 г. еще не было).
  Возможность такой модели является непосредственным следствием теоремы 3.
  
  Естественно, встает вопрос о расширении <стрелочных> моделей
  на комплексные числа и кватернионы.
  Ниже мы предложим решение этой проблемы.
  
  Б. Из следствия теоремы 4 вытекает,
  как уже подчеркивалось,
  что континуум в канторовском смысле,
  вопреки желанию его создателя,
  является переменной величиной.
  Это обстоятельство трансформирует изначальный канторовский вопрос
  о месте континуума на кардинальной шкале
  в вопросе о его характере как переменной величины.
  
  Разумеется,
  предположение о линейном характере этой величины,
  как движении от элемента к элементу,
  не выдерживает критики,
  поскольку в этом случае сразу же возникает
  неограниченный процесс <углубления>,
  ведущий к отдельному элементу континуума.
  За этим немедленно следует весь спектр апорий Зенона,
  которые, как известно,
  не поддаются полностью приемлемому решению.
  //// Ну хоть кто-то еще помнит Зенона.
  В рамках данной статьи мы попытаемся ответить
  на этот вопрос.
  
  3. Математические структуры и их интерпретации
  
  Поскольку понятие порядковой бесконечности,
  равно как и понятие ее носителя - сверхмножества,
  было введено формальным путем,
  их продвижение от оснований математики в ее верхние этажи
  требует для них содержательного толкования.
  
  В соответствии с основной задачей общей теории бесконечности
  - об <извлечении> из неограниченного процесса бесконечного объекта,
  приведем прямые конструкции извлечения - TR и - TZ бесконечных объектов,
  соответствующих их формальному определению [4], [5], [6].
  
  а) TR - бесконечный объект ? получается путем
  мысленного объединения в одно целое всех шагов процесса WTZ ,
  что соответствует теоретико-множественному подходу.
  
  б) TZ - бесконечный объект ? может быть получен путем
  простейшего замыкания процесса WTZ (рис. 3):
  
  Рис 3. ......
  
  Это значит, что порядковую бесконечность ? можно интерпретировать
  как некоторое абстрактное вращение,
  которое в дальнейшем мы будем называть
  фундаментальным вращением.
  
  Попытаемся более детально разобраться
  в структуре фундаментального вращения.
  
  1) Заметим, что различные структуры фундаментального вращения
  соответствуют различным порядковым бесконечностям,
  так же как различные кардиналы соответствуют
  различным количественным бесконечностям.
  
  Начнем с очевидного замечания,
  что добавление к простейшему фундаментальному вращению
  (которое мы будем обозначать как ?) шага 
  не меняет этого вращения.
  В свободной форме это можно записать: ? +  = ?.
  
  Это значит, что  можно понимать
  как некий аналог периода фундаментального вращения ?.
  Очевидно также, что наравне с вращением ?
  можно рассматривать обратное фундаментальное вращение ?.
  Наличие двух разнонаправленных фундаментальных вращений ? и ?
  позволяет составлять более сложные цепочки,
  например: ???????...
  Эти цепочки можно рассматривать как фундаментальное вращение
  с более сложной конфигурацией замыкания.
  //// А вот в этом месте желательно по-подробнее,
  //// так как примеров различных "конфигураций замыкания"
  //// как-то сразу в голову не приходит. Это автору понятно,
  //// а чукче-читателю "не очень", точнее "совсем не очень",
  //// то бишь, "никак".
  
  При этом важно понимать,
  что такая конфигурация представляет собой
  чистую <фигуру времени>,
  которая не может быть адекватно использована
  никакими пространственными или теоретико-множественными образами.
  //// Важнее все-таки представить, что есть "фигура времени",
  //// и почему для нее ограничены или вообще запрещены
  //// те же самые "геометрические представления".
  //// А с множествами совсем непонятно.
  Возможна ситуация,
  когда линейные шаги не являются однонаправленными.
  Например, количество шагов  совпадает с количеством шагов .
  //// "Шаг вперед и два назад".
  
  В этом случае замыкание такого линейного процесса
  приведет к иному типу фундаментального вращения ? (рис. 4):
  //// Так, сколько же типов "фундаментального вращения" предполагается,
  //// вроде как было заявлено два, а получается что много.
  //// И по рисунку ничего не понять.
  
  Рис 4. .......
  
  Для этого вращения также можно найти обратное вращение ?.
  Как и в предыдущем случае,
  можно составлять цепочки из фундаментальных вращений этого типа,
  например: ???????...
  
  Эти вращения, хотя и не имеют прямого физического аналога
  (одновременного вращения в двух противоположных направлениях),
  однако играют ключевую роль в описании именно физических процессов.
  Об этом пойдет речь ниже.
  //// Ага, кажется понял, если есть какое-то абстрактное вращение,
  //// то почему "умозрительно" не представить "сбалансированное" вращение
  //// одновременно в разные стороны, кто может запретить что-то такое
  //// "представлять". Соответственно, где два там и четыре, и сколько хочешь,
  //// если помимо "абстрактного направления вращения",
  //// ввести еще абстрактную частоту и фазу.
  //// Но нужен будет какой-то "времениподобный параметр".
  
  2) Из принципа двойственности вытекает
  факт
  //// "Из принципа ... факт"? Что-то тут не в порядке с "логикой",
  //// или как минимум с формулировкой. Это какой-то "неоплатонизм".
  //// "Принцип" это умозаключение/допущение и т.д., а "факт" это что реальное.
  //// Или это относится к математической реальности?
  наличия у каждого количественного числа его порядкового образа.
  //// Это не факт, а допущение/видение/процедура.
  В случае натурального ряда существование такого образа
  подкрепляется теоремой 3.
  //// Факт не может подкрепляться теоремой.
  Опираясь на абстрактные линейные шаги  и 
  и фундаментальные вращения ? (?) и ?(?),
  можно представить весь спектр порядковых образов
  фундаментальной цепочки:
  N ? Z ? Q ? R ? C ? H.
  
  Набор этих образов выглядит так [6]:
  N~ ? : {      ... } - образ N,
  Z~ ? : {      ...} - образ Z ,
  R~ ? : { ...  ... } - образ R ,
  C~ ? : { ...???...} - образ C ,
  H~ ? : {...???...???:} - образ H.
  //// Как-то рациональные числа выпали из списка.
  
  При этом совокупность порядковых чисел выбранного класса
  (?,? ?,? ?,? ?,? ? ?)
  можно рассматривать как модель соответствующего класса
  количественных чисел.
  
  В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений.
  
  Порядковые образы комплексных чисел будем обозначать как
  c ? ? = (?)? (?)?, где ? и ? - количественные числа,
  описывающие, согласно модели Конвея,
  структуру линейных шагов и фундаментальных вращений соответственно
  (из соображений удобства горизонтальные стрелки располагаются вертикально).
  
  Порядковые образы кватернионов будем обозначать как:
  ???? = (?)? (?)? (?)?,
  где ?, ?, ? - имеют тот же смысл
  //// Ага, вот где потребовались "сдвоенные"/"парные"/"сбалансированные"
  //// вращения - в кватернионах. Интересно.
  
  В дальнейшем большую роль будет играть сокращенная форма:
  ?? ? = (?)?(?)?
  
  3) Приведенное соответствие на первый взгляд обладает свойством
  взаимной однозначности.
  В этом случае принцип двойственности просто бы констатировал
  полную симметрию между количеством и порядком
  и выбор того или иного аспекта числа
  был бы вопросом индивидуальных предпочтений.
  Однако оказывается,
  что структура порядкового образа фундаментальной цепочки
  <освежающе несхожа> со структурой оригинала.
  Выясним суть этой <несхожести>.
  
  Прежде всего, отметим,
  что признание порядковых чисел самостоятельными математическими объектами
  с необходимостью влечет требование к их инвариантности
  в том же смысле, в каком являются инвариантными количественные числа.
  
  Заметим, что в рамках теоретико-множественной концепции
  подобная программа не возникает,
  поскольку порядковая составляющая числа определяется
  через его количественную составляющую.
  
  Как показано в [8],
  предположение об инвариантности порядкового числа nZ
  означает следующее.
  Все шаги процесса WTZ определяются некоторым началом отсчета.
  //// Так, это надо получше запомнить, а то похоже уже забыл.
  Чтобы сделать nZ инвариантным,
  необходимо включить это начало отсчета в само число,
  то есть рассмотреть все возможные сочетания маркеров,
  <прикрепленных> к шагам процесса WTZ .
  В качестве таких маркеров традиционно выступают
  количественные числа 1, 2, 3....
  Перестановка маркеров в положение n, n-1, ...1 означает,
  что начало отсчета переместилось в противоположную сторону.
  Таким образом, идея инвариантности nZ
  имманентно содержит в себе идею отрицательного числа
  (что, например, реализуется в модели Конвея).
  //// Ага. Направление, то бишь порядок маркеров, может бвть различным,
  //// что приводит к "реализации" отрицательных чисел.
  //// А что нужно для реализации рациональных чисел?
  //// И что есть нуль или точка отсчета в такой модели?
  
  Разумеется, все названные перестановки
  должны осуществляться одновременно
  (поскольку время едино) (рис. 5):
  //// А вот это "постулат" и требует какого-то "обоснования",
  //// не в смысле "доказательства", а в смысле "иллюстрации".
  
  Рис. 5 .....
  
  Очевидно,
  что требование инвариантности nZ приводит к тому,
  что цепочки отдельных шагов процесса WTZ замыкаются,
  образуя фундаментальные вращения,
  при этом возникают именно парные фундаментальные вращения.
  //// Ну, не очень это очевидно. Во всяком случае, из этого текста.
  //// Наверно, без разбора собственно "модели Конвея" ясно понимать этот текст
  //// несколько затруднительно.
  Чтобы подсчитать число образованных таким способом
  парных фундаментальных вращений,
   рассмотрим особый случай одного шага  процесса WTZ .
  В этом случае число IZ,
  разумеется,
  будет инвариантным в порядковом смысле.
  Однако из соображений общности к нему целесообразно добавить
  шаг с обратным направлением .
  Таким образом, конструкцию ??
  (снова из соображения удобства стрелки пишутся вертикально)
  можно рассматривать как линейный шаг,
  направления которого определяются соглашением
  (забегая вперед, можно сказать, что эту конструкцию
  можно отождествить с изотропным вектором).
  В случае натурального n,
  естественно,
  выбирается положительное направление.
  
  
  Подсчет перестановок основан на фиксации различного числа линейных шагов.
  Тогда число ?(n) парных фундаментальных вращений ?,
  определяемых по формуле:
  
  0, при n =0,
  ?(n) = 0, при n =1,
  ?(n+1) = ?(n)(n+1) + 1, n?2.
  
  Будем считать также, что ?(w) = w, где w - счетный ординал
  
  Это позволяет уточнить структуру чисел nZ,
  добавив к (?)? ?(n) парных фундаментальных вращений,
  то есть (?)? переходит в (?)? (?)?(n)
  
  Данный результат имеет интересное метафизическое следствие:
  всякое линейное движение,
  в котором можно выделить отдельные линейные шаги    ...,
  сопровождается появлением ?(n) парных фундаментальных вращений,
  <привязанных> к каждому шагу (рис. 6):
  //// Интересное следствие, особенно если этому найти какое-то "толкование".
  //// Это какая-то новая "историческая инерция",
  //// "чем дальше в лес, тем толще партизаны". Стоит подумать.
  
  Рис 6. ......
  
  4) Формула nZ = (?)? (?)?(n) имеет
  крайне нетривиальные и очень существенные следствия.
  
  Первое из них касается структуры порядкового двойника цепочки:
  N ? Z ? Q ? R ? C ? H.
  
  Из инвариантного определения числа nZ вытекает,
  что N~ непосредственно вложено в H~.
  Однако, очевидно, что не всякая структура (?)? (?)?,
  где ? и ? - количественные натуральные числа
  может быть отождествлена с каким-либо числом nZ.
  
  C другой стороны, очевидно, что C~ не вложено непосредственно в H~,
  поскольку порядковые образы комплексных чисел
  включают в себя простое фундаментальное вращение,
  в то время как порядковые образы кватернионов
  дополняются парными фундаментальными вращениями.
  Для осуществления этого вложения необходимо введение дополнительной
  (впрочем, очень простой) конструкции [6].
  
  Наиболее радикальное различие порядковых и количественных чисел
  проявляется в структуре R~.
  Согласно модели Конвея
  (которая, как уже подчеркивалось, идейно опирается на теорему 3),
  всякое действительное число
  (и даже нестандартное действительное число)
  можно представить различными цепочками (конечными и неограниченными)
  линейных шагов , .
  Опираясь на это представление, изобразим R~
  в виде последовательности следующих блоков (рис. 7).
  
  Рис 7. ......
  
  Если предположить, что R~ должна включать в себя инвариантно
  определенные натуральные (и целые) числа
  то, оказывается,
  что порядковая структура R~ полностью
  (с точностью до соглашения о направлении линейных шагов
  и фундаментальных вращений) совпадает со структурой (*)
  последовательности инвариантно определенных натуральных чисел.
  Иными словами,
  действительные числа с точки зрения порядка
  не вносят ничего принципиально нового
  в структуру порядкового образа натурального ряда
  (при естественном условии порядковой инвариантности натуральных чисел).
  
  Из этого утверждения вытекает ряд принципиальных следствий.
  
  а) Из предположения порядковой инвариантности
  вытекает дискретность R~ в том смысле,
  что вся непрерывная в теоретико-множественном понимании
  совокупность элементов R~ разбивается на линейную последовательность шагов
  и сопровождающую ее совокупность парных фундаментальных вращений.
  
  Фактически это означает,
  что фундаментальными элементами порядковых образов из цепочки:
  N ? Z ? Q ? R ? C ? H являются совокупности C~ и H~,
  определяемые двумя различными типами фундаментальных вращений.
  Более того, при определенных условиях
  эти совокупности могут быть сведены друг к другу [6].
  
  Таким образом, в порядковом смысле
  имеются только порядковые образы комплексных чисел и кватернионов,
  из которых могут быть построены порядковые образы всех остальных чисел.
  
  б) Полученная конструкция R~
  - порядкового образа континуума действительных чисел
  дает ответ на поставленный ранее вопрос
  о характере движения континуума.
  Это линейное движение в рамках натурального ряда,
  которое сопровождается увеличивающимся числом парных фундаментальных вращений,
  прикрепленных к каждому шагу.
  Такая модель континуума проясняет источник апорий Зенона
  - неправомерное отождествление R~ и R
  //// А как это проясняет "разрешение" апорий Зенона?
  //// "Стрела" летит или стоит на месте, не имея возможности сдвинуться?
  
  в) Структура порядкового образа континуума R~
  существенно меняет философию дискретности.
  //// "О, тепленькая пошла".
  Традиционно дискретное находится <ступенью ниже> непрерывного.
  В этом контексте теоретико-множественная, количественная бесконечность
  видится основным инструментом построения модели непрерывного
  (это, собственно говоря, и является основным мотивом ее введения).
  
  Порядковая бесконечность в определенном смысле
  является более сильной бесконечностью,
  чем бесконечность теоретико-множественная.
  Она позволяет <свернуть> теоретико-множественную модель непрерывного
  в приведенную выше структуру,
  состоящую из линейных шагов и парных фундаментальных вращений.
  //// А вот это пока не понимаю. Третью статью прорабатываю,
  //// а вот этот момент все никак "ухватить" не могу.
  
  В результате образуется некоторая новая дискретность,
  которая не предшествует теоретико-множественной непрерывности,
  а !следует за ней!.
  //// Опять не понятно. Новая модель дискретности? Хорошо принимаем.
  //// Но в чем ее сущностное отличие? Вроде как даже "формулу изобретения"
  //// уже можно написать "известно ... с целью ... вводим ... получаем...".
  //// "Но как, Холмс?"
  //// Или тут нужно ковырять в понятии порядка/структуры,
  //// типа дискретность структуры "помноженная" на бесконечные процессы,
  //// сами по себе элементарные, то бишь конечные/дискретные,
  //// в итоге получаем новый класс "непрерывности"/"бесконечности".
  //// И да, это очень близко к тому, какие приемы использовал Зенон.
  //// Но он их использовал, чтобы "поставить вопрос",
  //// а вот для решения этого "вопроса", возможно, нужен не только
  //// этот же метод, но и еще что-то.
  
  г) Обрисованная выше ситуация,
  с одной стороны,
  видится альтернативной:
  выбор типа инвариантности nZ (количественной или порядковой)
  определяется волевым фактором.
  Однако если вспомнить следствие теоремы 4 о том,
  что континуум представляет собой переменную величину,
  альтернативность исчезает:
  инвариантность nZ может быть только порядковой
  (что, разумеется, соответствует общему принципу двойственности).
  
  д) Понятия количественной и порядковой инвариантности числа nZ
  проецируются на различные модели времени:
  геометрическое время и время как параметр физических процессов
  (это время условно можно назвать бергсоновским).
  
  стр. 84
  
  16.01.2023 9:37 - 15.10.2024 21:41
  
  В рамках количественной инвариантности
  две различные цепочки линейных шагов дают два различных числа.
  Это приводит к понятию геометрического времени,
  то есть времени, моделируемого с помощью теоретико-множественного континуума.
  
  С точки зрения порядковой инвариантности
  линейные цепочки свертываются, образуя структуру (*),
  состоящую из линейных шагов и фундаментальных вращений.
  Это, в свою очередь, приводит к дискретизации континуума
  и появлению феномена квантования.
  
  е) Дополнительную <интригу> добавляют следующие свойства
  фундаментальных вращений:
  ? + ?? = ?
  ? + ? = ?
  
  Шаг ?? можно мыслить как период фундаментального вращения ?,
  а шаг ? как период фундаментального вращения ?
  (это следует из самого определения фундаментального вращения).
  Можно показать [7], что,
  добавив к фундаментальному вращению ? его полупериод ?,
  можно получить обратное фундаментальное вращение ?+? = ?.
  Это значит, что фундаментальное вращение ? представляет собой
  абстрактную модель спина.
  //// Интересный момент. Если поведение "объект", в данном случае,
  //// "структура периодов" имеет определенные свойства,
  //// то это позволяет считать его адекватной какой-то "модели".
  //// А интересен этот момент, что опираясь на такое "обоснование",
  //// можно построить достаточно "замысловатые объекты"
  //// и свести их к "простым объектам".
  
  Вспоминая структуру (*), можно уточнить,
  что натуральным числам соответствуют не просто некоторые структуры,
  состоящие из парных фундаментальных вращений,
  но абстрактные модели спина.
  Это позволяет предположить,
  что квантовая механика <спрятана>
  внутри порядковой составляющей натурального ряда.
  
  ж) Появление структур квантовой теории <из ничего>
  (из <стрелок> и <кругов>)
  может вызвать недоумение.
  Однако, как это ни парадоксально,
  дело именно в <стрелках> и <кругах>,
  а традиционная теоретико-множественная модель
  - это трудный путь их моделирования.
  В самом общем виде проиллюстрируем сказанное.
  
  В рамках геометрической (множественной) концепции
  вращение моделируется с помощью непрерывных групп преобразований.
  Отсюда вытекает необходимость непрерывной среды - континуума.
  С другой стороны,
  абстрактный характер вращения (<вращения точки>)
  потребовал введения новой конструкции
  - расслоенного пространства, <прикрепленного> к каждой точке континуума.
  Далее, по необходимости, вводится связность, соединяющая слои и т.д.
  
  Порядковая бесконечность позволяет ввести фундаментальное,
  абстрактное вращение сразу, без промежуточных конструкций,
  в частности, континуума.
  Более того, опираясь на расширенную модель Конвея,
  можно структурно (с помощью <стрелок> и <кругов>)
  представлять физические параметры вращения
  (например, ?? соотносится с числом 1/2).
  В этом случае всю перечисленную выше множественную технику
  можно рассматривать как <строительные леса>,
  необходимые для геометрического, множественного, представления
  фундаментального вращения.
  
  Некоторые выводы
  
  Как мы видим, переход к порядковой составляющей числа
  и введение порядковой инвариантности (инвариантности nZ.)
  приводит к появлению следующих нетривиальных утверждений:
  
  - порядковый образ цепочки ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? в определенном
  смысле оборачивается: ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?,
  то есть основополагающим понятием становится
  не порядковый образ натурального числа,
  а порядковый образ кватерниона.
  Порядковый образ натурального ряда является
  последовательностью порядковых образов кватернионов;
  
  - порядковый образ R оказывается дискретным,
  при этом дискретность, если так можно выразиться,
  является дискретностью <более высокого порядка>,
  чем теоретико-множественная непрерывность.
  Примечательным фактом является то,
  что дискретность R~ возникает вместе с возникновением
  порядкового образа кватернионов,
  что предопределяет роль кватернионов (и комплексных чисел) в квантовой теории;
  
  - порядковый образ R является дискретной структурой,
  которая с точностью до соглашения
  о направлении линейных шагов и фундаментальных вращений
  совпадает со структурой инвариантного порядкового образа натурального ряда;
  
  - если возникшие порядковые образы кватернионных структур
  наделить адекватным физическим содержанием,
  то приведенные выше утверждения позволяют предположить,
  что само существование континуума и его свойства
  определяются физическими процессами;
  //// Континуум как процесс. Как бы это осмыслить и применить.
  
  - принципиальное различие порядковой и количественной инвариантности,
  при условии, что за порядковой инвариантностью стоят
  реальные квантово-механические процессы,
  как нам представляется, делает принципиально невозможным
  строгую интеграцию квантовой теории и общей теории относительности
  и эта невозможность приобретает форму теоремы.
  //// Ну нельзя интегрировать - ну и что.
  //// Будет еще один аналог доказательства (опять забыл) Геделя/Тьюринга,
  //// О невозможности чего-то. И оно опять будет "опровергнуто",
  //// при переходе к другой "метафизике" или "расчетной модели".
  
  Стоит упомянуть об одном важном моменте, который остался
  за рамками данной статьи.
  
  Дискретные, <стрелочно-круговые> структуры
  допускают реализацию на классическом компьютере,
  что может внести некоторую ясность в перспективность
  собственно <квантовых вычислений>.
  Разумеется, эта тема требует отдельного развернутого обсуждения.
  
  Возвращаясь к началу статьи, можно отметить,
  что порядковые образы комплексных чисел
  позволяют понять некоторые особенности <комплексного Мира> Р. Пенроуза.
  
  Как показано в статье,
  комплексные числа, как и остальные числа,
  двойственны
  и представляют собой пару: <точка плоскости, фундаментальное вращение>.
  Более сложная конструкция выглядит так:
  <геометрическая конструкция, ??>,
  где предполагается, что парное фундаментальное вращение ?
  представлено через простые фундаментальные вращения ?.
  
  Посмотрим на связь фундаментальной конструкции Пенроуза
  со второй из названных пар.
  Как известно, комплексный Мир Пенроуза
  базируется на расслоенном пространстве ?,
  где базой является пространство Минковского,
  а слоями комплексные проективные прямые СР1.
  Комплексная проективная прямая СР1 мыслится Пенроузом
  как геометрическое описание спина,
  что позволяет встроить его и само пространство ?
  в более сложную геометрическую конструкцию
  - пространство твистеров.
  Разумеется, такое встраивание возможно,
  если представить физическую сущность спина
  адекватной абстрактной конструкцией.
  В подходе Пенроуза это сделано на основе проективной прямой СР,
  то есть первого компонента второй из приведенных выше пар.
  С другой стороны, это можно принципиально можно сделать
  и на основе второго компонента этой пары
  - абстрактной динамической конструкции ??.
  Вполне возможно, это позволит лучше понять идеи Пенроуза,
  заложенные в его твистерной программе.
  
  ЛИТЕРАТУРА
  
  1. Пенроуз Р. Путь к реальности, или Законы, управляющие Вселенной.
  - М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2007.
  
  2. Владимиров Ю.С. Основания физики.
  - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
  
  3. Ефремов А.П. Метафизика кватернионной математики.
  - М.: РУДН. URL:
  http://www.cosmology.su>file.php?id=260
  
  4. Векшенов С.А. Является ли <множество действительных чисел> множеством?
  // Вестник ТГУ. Сер. Естественные и технические науки. - 2000.
  - Т. 5. - Вып. 5. - С. 519-535.
  
  5. Векшенов С.А. Математика и физика пространственно-временного континуума
  / Основания физики и геометрии. -
  М.: Российский университет дружбы народов, 2008. - С. 89-118.
  
  6. Векшенов С.А. Метафизика двойственности
  / Метафизика век ХХI. - Вып. 4. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - С. 90-114.
  
  7. Бешенков А.С. Множество и процесс: <нераздельно и неслиянно>
  // Вопросы современной науки и практики. Вестник университета им.
  В. И. Вернадского. - 2011. - ? 4 (35). - С. 58-62.
  
  8. Векшенов С. А. Метафизика инвариантности
  // Метафизика. - 2012. - ? 2. - С. 50-59; ? 3. - С. 115-119.
  ///// Вот еще что надо посмотреть.
  
  9. Бешенков А.С. О новом подходе к определению множества действительных чисел
  и его применению к задаче измерения
  // Вопросы современной науки и практики. Вестник университета им. В.И. Вернадского.
  - 2012. - ? 3 (41). - С. 23-28.
  
  ........
  
  //// Конец цитирования.
  
  В общем, идея представлять "бесконечность" как "ПРОЦЕСС" мне очень понравилась.
  Потому, что любой "процесс" - это, как минимум, синоним "времени".
  А это согласуется с моими представлениями о том,
  что в основе мироздания лежит ВРЕМЯ.
  
  Но в целом, такой способ добычи "крупиц знаний" нельзя признать
  чересчур эффективным, скорее наоборот,
  и может быть рекомендован только в крайних случаях
  или при очень систематической работе.
  Нужно искать какую-то иную систему представлений или "методу".
  Но как замена чтения "бояр-аниме" или очередных "попаданцев"
  вполне можно рекомендовать.
  
  
  =========
  
  09.01.2023 9:40 - 17.10.2024 20:16
  
  Долбежка "теории двойственности".
  В оглавление.
  
  Это тоже было год назад, когда я снова и снова
  пытался "осаждать математическую крепость".
  То бишь, пытаться что-то извлечь полезное для себя
  из новой математической теории,
  зацепившись, точнее, "попав на крючок" такого красивого термина,
  как "фундаментальное вращение".
  И погружаясь все глубже и глубже в пучины "заумной математики":
  
  "ОТ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ К ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ".
  Автор: С.А. Векшенов
  Метафизика, 2019, ? 4 (34). ISSN 2224-7580, стр.35
  https://mega.rudn.ru/file/Метафизика%204%2034%202019итог.pdf.
  
  Российская академия образования
  
  //// Начало цитирования.
  
  В статье обрисованы основные следствия концепции двойственности,
  основанной на тезисе о равноправии количественного и порядкового аспекта числа.
  Ключевым понятием концепции является понятие порядковой бесконечности
  и утверждение о превышении порядковой бесконечности любого кардинального числа,
  то есть количественной бесконечности.
  Подобная не-симметрия влечет ряд нетривиальных утверждений,
  которые в совокупности образуют некоторый новый корпус
  понятий, конструкций и теорем,
  <освежающе непохожий> на уже привычные теоретико-множественные структуры.
  
  ......
  
  ...В том сне о множествах и числах,
  которым нет числа...
  
  Введение
  
  Стремление к систематизации - отличительная черта современной математики.
  Выстроить ее здание последовательно,
  начиная с простейших понятий,
  постепенно переходя к более сложным конструкциям
  - это основная <архитектурная> парадигма.
  //// Интересно, что собственно в архитектуре используется,
  //// прямо обратная парадигма - сначала выстраивается образ главного
  //// "доминирующего" акцента, или вообще архитектурного ансамбля,
  //// и только потом относительно "простые" и необходимые вещи,
  //// в виде "площадок для мусора", и "пешеходных дорожек".
  //// А еще иногда стоит задача "вписаться в ландшафт/застройку"
  //// Но может быть и другие варианты парадигм, хорошо бы освежить в памяти,
  //// и архитектуру и фортификацию.
  Инструментом реализации этой парадигмы является аксиоматика.
  //// Интересно, какое название имеют основные парадигмы в архитектуре
  //// и фортификации.
  
  Возможности этого инструмента,
  равно как и убежденность в его абсолютной надежности,
  хорошо известны,
  //// Это ирония или "искренняя убежденность"?
  однако остается один, очень существенный вопрос.
  
  Сила аксиоматического метода
  заключается в возможности вариации аксиомами
  и генерации тем самым разнообразных структур.
  Поставленная задача считается решенной,
  если будет подобрана или создана подходящая структура
  или, что то же самое,
  - определена подходящая аксиоматика.
  //// Н-да. Налицо, похоже, метод "научного тыка", т.е. попытка подобрать
  //// нужный набор аксиом для чего-то "далеко отстоящего" от собственно
  //// первоначального набора. Это как с задачей заранее определиться,
  //// с типоразмерами всех деталей, еще не спроектированной конструкции.
  //// Судя по опыту в технике, возможен обратный процесс,
  //// когда из "облика необходимого результата" вычисляются/определяются
  //// или даже достраиваются/изобретаются необходимые компоненты.
  
  //// Возможно, что "круговое доказательство Платона" имело как раз
  //// похожую тенденцию, судя по тексту, который нашелся у Викентьва,
  //// но развития он не получил. И приходится только догадываться,
  //// каким могло быть развитие естествознания, если бы помимо
  //// прямого лучевого, то бишь, аксиоматического подхода, был бы разработан
  //// и реверсный, т.е. подход от результата к основаниям.
  //// Хотя... Кажется, что все-таки что-то от этого подхода
  //// в естествознании/математике осталось - это "доказательство от противного",
  //// но оно тоже в известной форме завязан на логику "исключенного третьего".
  //// Представляется, что если его обогатить, как минимум, "логикой ТРИЗ",
  //// то возможно что-то может получиться и нетривиальное.
  //// Придется к этому возвращаться.
  
  Эта схема будет безотказно работать,
  при условии полной унификации области интерпретации аксиом.
  Для этого необходимо определить некую нейтральную и универсальную среду,
  единственное назначение которой - быть носителем структур,
  определяемых аксиомами.
  //// Интересно, что такой средой Платон определял именно "горний" мир,
  //// но вот являлось ли для него требования "унификации области интерпретации"
  //// можно только догадываться.
  Принципиальным моментом является то,
  что эта среда должна быть носителем бесконечности,
  поскольку бесконечность является характерным атрибутом
  именно математических конструкций.
  //// Не только, в области "дольнего" мира уже Зенон обнаружил
  //// какие-то проблемы "бесконечного". С тех пор мало что поменялось.
  //// БеЗконечность это "атрибут" Мироздания в целом,
  //// просто на нашем уровне знания, достаточно простительно, об этом
  //// вспоминать не так уж часто, и пользоваться "конечными моделями",
  //// как в практической деятельности, так и в умозрительных построениях.
  
  Как известно, роль такой среды играет теоретико-множественный универсум.
  //// А это что за "зверь" такой? В моем "зоопарке" о таком и не слыхивали.
  //// А оказывается что это уже все "как известно", и подробностей не требуется.
  
  ......
  
  Формально всякую аксиоматическую теорию Т
  можно описать в виде следующей схемы:
  Т = < Х - система аксиом в языке, L - набор правил вывода,
  I - интерпретация аксиом (и теорем) на некотором множестве M >.
  
  Варьируя названными параметрами:
  аксиомами, логикой, интерпретациями,
  мы получаем впечатляющее <игровое пространство> (Spielraum)
  современной математики.
  При этом остается одна константа
  - область интерпретации, носитель аксиом, носитель бесконечности -
  множество.
  
  Содержательный анализ понятия множества был начат создателями теории
  Г. Кантором, Р. Дедекиндом и растянулся на весь ХХ век.
  Однако главный вопрос остался открытым:
  насколько наполненный разнообразными сущностями математический универсум
  можно <подверстать> под теоретико-множественные конструкции?
  Или иначе: насколько природа наших мыслей является <множественной>?
  //// Ну, последний вопрос представляется несколько "самонадеянным".
  //// Похоже, математики, всерьез считают, что их "игровые пространства",
  //// покрывают весь мыслимый Универсум. А писать музыку или стихи,
  //// да и просто сконструировать хотя бы рабочую документацию
  //// по производству пылесосов, они в своих "игровых пространствах" хоть раз
  //// пробовали? И что - получилось?
  
  Данный вопрос имеет принципиальное значение для физики,
  поскольку <архетип> множества
  (как правило, мощности континуума)
  продолжает доминировать в физических концепциях.
  Причину этого доминирования можно усмотреть в следующем.
  
  А. Множество является <материалом>,
  позволяющим реализовать разнообразные симметрии.
  Наиболее яркий пример - пространство - время Минковского,
  реализующего группу Лоренца.
  Понятие множества позволяет <уравнять в правах> пространство и время
  и тем самым <увидеть> в элементах это вращение.
  
  Б. Множество неявно присутствует в универсальном принципе,
  определяющем динамику физической системы:
  развитие во времени этой системы
  определяется ее равновесием в пространстве-времени.
  Для реализации этого принципа принципиально важным является
  описание всех виртуальных историй системы,
  что, собственно, и означает обращение к понятию множества.
  
  Следует сказать, что замкнутость названных физических концепций
  на понятие множества
  не является обязательной.
  
  Как показали Ю.И. Кулаков, Г.Г. Михайличенко
  идею симметрии можно развернуть на дискретных структурах,
  которые при определенных условиях эквивалентны непрерывным группам.
  Это открывает возможность представления физических законов в дискретной форме,
  без опоры на пространство-время как носителя непрерывного
  (БСКО Ю.С. Владимирова).
  //// А разве "носителями непрерывного" является только пространство и время?
  //// Или атомарная парадигма закрывает вопрос о непрерывности материи?
  //// Наверно в какой-то мере да, но четкой дифференциации "по цвету штанов",
  //// точнее отношения к непрерывности, пока вроде нигде не звучало.
  
  Что касается действия,
  то совпадение его размерности с размерностью спина
  позволяет предположить,
  что именно спин является фундаментальной величиной,
  а действие - это его проявление в пространстве
  (об этом, в частности, говорил Ю.И. Манин).
  При таком развороте необходимость в описании
  виртуальной истории физической системы
  отпадает.
  Следовательно, теряет свою принципиальную роль и понятие множества.
  //// Совершенно непонятна логическая связь - "посторонним вход запрещен" -
  //// только для посвященных.
  
  ......
  
  Все вышесказанное говорит о том,
  что теория множеств не может рассматриваться
  как неизменный фундамент физических теорий.
  Более того,
  реляционная парадигма в ряде своих принципиальных тезисов
  (например, независимости от <фона>)
  вступает в противоречие с теоретико-множественной доктриной
  (которая как раз и конструирует такой фон).
  В этой ситуации целесообразной является попытка осмысления
  <учения о множествах> ()
  с целью выработки нового подхода к основаниям физики и математики.
  
  Как нам представляется, дело обстоит следующим образом.
  
  Как известно, натуральное число n является единством количества и порядка
  n = (nR, nZ).
  Современная математика явно или неявно
  отдает предпочтение количественному аспекту,
  считая, что n = nR.
  Пройдя все ступени логики,
  это равенство оборачивается теорией множеств,
  причем само понятие множество возникает
  как <носитель> количественной бесконечности
  (в несколько усеченном виде эта логика была приведена выше).
  Количественный аспект числа традиционно ассоциируется с пространством,
  в то время как порядковый аспект считается проявлением времени.
  В этом плане теорию множеств можно рассматривать как <пространственную> теорию,
  в которой время <подверстывается> под пространство,
  но отнюдь им не подавляется (это хорошо понимал еще Л. Брауэр).
  
  Альтернативой равенству n=nR является арифметический постулат двойственности,
  утверждающий,
  что число есть единство двух различных
  не сводимых друг к другу
  сущностей:
  количества и порядка (времени и пространства),
  что по сути отражает status quo
  до теоретико-множественного понимания числа.
  //// Ой, как трудно понимать "птичий язык" математиков,
  //// особенно когда они пишут для себя.
  //// Так что приходится выдергивать из контекста, или просто "лепить на коленке"
  //// какую-то осмысленную выжимку/выдергу. Вот как сейчас.
  //// Фиксируем какую-то связку "количество-порядок" и "пространство-время",
  //// и предлагаем термин "порядок" "слегка расширить" до "структуры"
  //// или даже "процесса".
  
  Для закрепления этой идеи формулируется общий принцип двойственности,
  который заключается в том,
  что каждый <количественный> объект A
  имеет свой <порядковый> образ A~ (но не обратно).
  Иными словами,
  каждый пространственный объект имеет свой временной образ.
  //// Интересно.
  /////// А еще более интересно, что "имеют" другие "временные образы"?
  
  Принцип двойственности очень естествен и практически очевиден.
  Вопрос заключается в том,
  является ли оно математически содержательным,
  //// А "физическая содержательность" не имеет значения?
  //// Если имеет, то, соответственно, то и математическая должна "найтись",
  //// то ли в уже известной форме, то ли в специально-изобретенной.
  //// Поэтому, представляется, что лучше сразу искать
  //// "физическую содержательность", пусть и "спекулятивно-гипотетической" форме.
  //// Все равно это придется такое делать, если даже найдется
  //// "математическая содержательность" сама по себе.
  //// Но автор - математик, и идет удобным/привычным ДЛЯ НЕГО путем. Его право.
  то есть можем ли мы извлечь из него
  некоторые нетривиальные математические утверждения?
  Приведенные ниже тезисы являются ответом на этот вопрос.
  
  1. Ключевым понятием концепции двойственности
  является понятие порядковой бесконечности ? и соотношение ? ? ? .
  //// Вот так сразу "в атаку на бесконечность". Это что?
  //// Математическая "тактика"/"стратегия" или конкретно для данного случая
  //// "комбинация приемов".
  Это, в частности, означает, что существуют объекты,
  которым нельзя приписать никакого <количества> - кардинального числа,
  но которые в строгом смысле являются порядковыми.
  Образно говоря, можно говорить о седьмом по счету элементе,
  но нельзя говорить о множестве,
  состоящем из семи элементов.
  В общем плане это означает,
  что разъединение <количества> и <порядка>
  содержательно
  и приводит к нетривиальным следствиям.
  
  Наличие, по крайней мере,
  двух не сводимых друг к другу бесконечностей
  радикальным образом преобразует теорию множеств:
  она становится теорией о свертывании неограниченных процессов
  в бесконечные объекты (бесконечности)
  и о свойствах носителей этих бесконечностей.
  //// Вот этот момент "наличие по крайней мере, двух
  //// не сводимых друг к другу бесконечностей",
  //// только спустя значительного времени начинаешь осознавать,
  //// как некий совершенно новый подход к структуре Мироздания.
  В контексте этой теории
  множество перестает быть уникальном математическим объектом,
  а становится носителем одного из видов бесконечностей (количественной).
  В этом случае можно поставить вопрос:
  при каких условиях носитель будет являться множеством?
  Ответ содержится в следующей теореме:
  
  <Для того, чтобы из процесса W можно было бы выделить множество,
  необходимо,
  чтобы его шаги различались,
  по крайней мере, двумя предикатами:
  <количества> (TR) и <порядка> (TZ).
  //// Отсутствует определение и процесса и множества, так что
  //// для непосвященного смысл теоремы ускользает в "бесконечность".
  
  Из этой теоремы вытекает необходимое условие образования множества:
  <Если шаги процесса W не различимы никаким иным предикатом,
  кроме предиката TZ,
  их невозможно объединить в множество>.
  
  10.01.2023 9:10 - 18.10.2024 20:51
  
  Теоретико-множественная модель континуума
  в силу аксиомы выбора
  не удовлетворяет названному условию.
  Следовательно, сам теоретико-множественный континуум не является множеством.
  Последнее утверждение, хотя и парадоксально,
  но полностью снимает вопросы,
  связанные с континуум-проблемой,
  поставленной Г. Кантором еще в 1877 году.
  Поскольку континуум не является множеством,
  то есть представляет собой объект с внутренним движением,
  //// А почему именно с "внутренним движением"?
  //// Если считать что "внутреннее движение" не совместимо
  //// с самой концепцией множества, то ведь могут быть и другие
  //// критерии несовместимости. Поэтому связка "то есть представляет",
  //// представляется логически не корректной - должно быть что-то,
  //// прямо указывающее на "внутреннее движение".
  //// Но вообще интересна эта несовместимость "множества"
  //// и "внутреннего движения". Стоит взять на заметку.
  вопрос о его мощности является некорректным,
  что объясняет, в частности,
  классические результаты К. Гёделя и П. Коэна.
  //// Опять же непосвященному ао такой формулировке трудно не только понять,
  //// но даже найти в Инете ни объяснение "некорректности",
  //// ни даже сами "классические результаты".
  
  2. В рамках данного подхода принципиально важным является
  размежевание процесса как такового и предикатов,
  различающих этот процесс.
  В этой связи возникает понятие беспредикатного процесса W,
  в котором фиксируется только идея длительности, движения.
  При этом мы не в состоянии каким-либо образом различить шаги W
  и наше утверждение, что мы имеем дело с процессом, а не объектом
  целиком основано на интуиции.
  Понятию беспредикатного процесса близко понятие <эона>
  - <неподвижного времени>,
  //// Разве термин "эон" используется только в таком контексте?
  рассмотренное ещё св. Максимом Исповедником.
  Данный подход, в частности, позволяет по-иному взглянуть на натуральный ряд.
  
  Как известно,
  в основу традиционной аксиоматики натуральных чисел
  положена функция следования, которая подчинена аксиомам Пеано.
  Вместе с тем натуральные числа интуитивно различимы
  в количественном и порядковом смыслах,
  то есть предикатами TR и TZ (а также другими предикатами).
  При этом числа, различимые предикатом TR,
  различимы также и предикатам Tz,
  и наоборот.
  Иными словами, на натуральных числах предикаты TR и TZ эквивалентны.
  Спрашивается, существует ли набор предикатов,
  который <высекает> из беспредикатного процесса W объекты,
  которые можно отождествить с натуральными числами?
  Если это возможно, то каков минимальный набор таких предикатов?
  Ответ содержится в следующей теореме:
  <Если шаги процесса W различимы предикатом TR
  и если из условия, что шаги х и у различимы предикатом TR,
  следует, что они различимы и предикатом TZ,
  и наоборот,
  если они различимы TZ, то они различимы TR, то есть TR ~ Tz,
  и процесс W эквивалентен натуральному ряду>.
  При таком подходе возникает, однако, нетривиальная ситуация.
  Учитывая неравенство ? > ?,
  мы попадаем в ситуацию <принципа Дирихле>,
  когда большее (бесконечность ?) надо разместить в меньшем (бесконечность ?).
  Это значит, что в натуральном ряду
  должны присутствовать закономерности,
  обусловленные этим вложением.
  Заметим, что о возможности таких, неиндуктивных закономерностей
  говорил еще Н.Н. Лузин.
  //// Вроде как все слова понятны, а смысл остается совершенно непрозрачным.
  
  3. Для порядковой бесконечности справедливо соотношение:
  ? + 1 =Z ? , ? + 2 =Z ? , ... ,
  которое можно рассматривать как своеобразное проявление <периодичности>
  относительно <кванта времени> <1> = <->>,
  //// Так это стоит тоже запомнить - "квант перемещения", в каком-то
  //// смысле, эквивалентен "кванту времени". Может пригодиться.
  то есть ?("омега") можно интерпретировать как <фундаментальное вращение> ?.
  //// Не понял. По обозначениям "омега" это вроде как "порядковая бесконечность",
  //// а что же тогда есть "фундаментальное вращение"?
  //// Или, наоборот, каким образом "фундаментальное вращение" "превращается"
  //// в "порядковую бесконечность". И что это за "звери" такие?
  Принципиальная важность этого понятия заключается в том,
  что оно является абстрактным, <ментальным> вращением,
  автономным от идеи среды, в котором это вращение осуществляется.
  Можно усмотреть в этом аналогию с отказом от понятия эфира,
  который играл роль носителя электромагнитных волн.
  Как известно, такой отказ дал самостоятельную жизнь понятию поля.
  Отказ от пространственного носителя вращения
  уравнивает его <в правах>
  с интуитивно ясным понятным линейным движением,
  которое лежит в основе фундаментальных структур математики,
  в частности действительных чисел
  //// В "правах" может и уравнивает, но "интуитивной ясности" точно не добавляет.
  
  Интерпретация порядковой бесконечности как фундаментального вращения,
  то есть вращения в отсутствии среды,
  позволяет преобразовать экспоненциальную форму комплексного числа
  в самодостаточную порядковую структуру,
  содержащую абстрактные шаги и фундаментальные вращения.
  //// Вот это ключевое в данной работе, но в такой форме
  //// это практически "неразрешимая шарада" для человека "со стороны".
  При этом оказывается,
  где комплексное число (точнее его порядковый образ)
  <меняется местами> не только с действительными,
  но и с натуральными числами,
  то есть становится для них образующим элементом.
  В количественной области такая роль отводится, как известно,
  натуральным числам.
  Вышесказанное означает, что цепочка N -> Z -> R -> C -> H
  имеет место только в количественной области.
  В порядковой области дело обстоит иначе: C~ -> N~ - > R~,
  где знаком <~> обозначаются порядковые образы соответствующих чисел.
  Причиной такого обращения является необходимость
  устранения произвола в выборе начала процесса.
  Традиционный способ такого устранения
  - предъявление всех возможных начал процесса
  (или всех процессов со всеми возможными началами).
  Иными словами, для любых n первых шагов процесса,
  занумерованных натуральными числами,
  необходимо рассмотреть все возможные процессы,
  соответствующие перестановкам n чисел.
  Существенным моментом данной конструкции является тот факт,
  что все такие процессы осуществляются одновременно,
  поскольку время едино.
  //// А вот это не понятно. Почему "время", и какое именно,
  //// оказывается "единым", и почему тут тоже не может быть
  //// какой-то "относительности"?
  Это свойство мы будем называть порядковой инвариантностью.
  Примечательно, что идея порядковой инвариантности
  присутствует в космологическом принципе,
  откуда вытекают нетривиальные предположения
  о структуре пространственно-временного континуума.
  Инвариантный в порядковом смысле образ процесса W
  (процесса вида   ...)
  выглядит следующим образом:
  
  .......
  
  Структура инвариантного образа процесса W,
  кроме собственно математического интереса,
  отражает, как нам представляется,
  некий архетип генерации универсума.
  Как показывают работы выдающегося лингвиста и философа В.Н. Топорова,
  общая для многих народов структура космогонического мифа
  в точности совпадает с приведенной структурой.
  //// Хотелось бы иллюстрации, тогда и процесс W, и фундаментальное вращение,
  //// может быть, станут чуть-чуть более понятными.
  
  11.01.2023 9:35 - 18.10.2024 21:12
  
  Важность полученного обращения цепочки чисел заключается,
  в частности, в следующем.
  Ключевым моментом реляционной парадигмы,
  как известно,
  является генерация классического пространства-времени
  из более элементарных структур,
  //// А можно ли, наоборот, генерить пространство-время, из каких-то
  //// еще более сложных структур, например, как "равнодействующую",
  //// или "обобщающую"? Стоит подумать, обязательно ли здесь
  //// применение редукционного подхода.
  ассоциированных с фундаментальными физическими процессами.
  //// А процессы это что? Элементарные структуры
  //// или, наоборот, "высшие реальности".
  В математическом плане речь идет о переходе
  от компактифицированных величин
  к величинам некомпактифицированным.
  //// Опять нужно лезть в справочник, хотя точно помню, что уже не раз это делал.
  \\\ Компактификация - операция,
  \\\ которая преобразует топологические пространства в компактные
  Это исключительно важное положение
  при ближайшем рассмотрении представляет собой
  крайне нетривиальную задачу.
  В математическом плане решению названной задачи
  препятствует редукционная цепочка:
  N -> Z -> R -> C -> H,
  которая, в частности, означает,
  что действительные числа предшествуют комплексным.
  На основе действительных чисел строится общепринятая модель
  пространственно-временного континуума,
  который ассоциируется с физическим пространством-временем.
  Вместе с тем фундаментальные физические процессы
  описываются комплексными числами (точнее амплитудами).
  //// Не-не, именно комплексными, в том числе и комплексно-сопряженными,
  //// и заменить их просто на "амплитуды" пока не удается.
  Таким образом,
  попытка сгенерировать пространственно-временной континуум
  из структур, построенных на основе комплексных чисел,
  неизбежно ведет к появлению порочного круга,
  поскольку сама амплитуда re**i*fi <живет> в среде непрерывности.
  Можно попытаться упростить задачу
  и говорить только о генерации пространственных и временных структур,
  например, метрике.
  Однако для этих структур необходим носитель,
  который будет либо введен a'priori,
  как это имеет место в концепции Бурбаки,
  либо опять-таки сгенерирован.
  При этом в работах Р. Пенроуза, Ю.С. Владимирова, А.П. Ефремова и др.
  вполне отчетливо оформилась мысль,
  что комплексные числа (кватернионы)
  являются первоосновой,
  на которой может быть построен пространственно-временной континуум.
  В этом случае необходимо математически корректно
  <обернуть> приведенную выше цепочку,
  сделав амплитуды логически не зависимыми от действительных чисел.
  
  4. Идея использования фундаментального вращения в квантовой теории
  основана на следующих соображениях.
  Как известно,
  первоначально идея квантования сводилась к тому,
  что существует некая величина h ячейки фазового объема
  для каждой степени свободы
  и для периодических одномерных движений
  возможны состояния, удовлетворяющие условию S?рdq = h.
  В этом случае h можно понимать
  как инвариант по отношению к реальным, физическим вращениям.
  Можно предположить, что это обстоятельство указывает
  на наличие некого абстрактного вращения ?,
  которое в физическом мире проявляется как постоянная Планка h.
  Более того,
  естественно предположить, что действие S
  состоит из этих абстрактных (фундаментальных) вращений.
  Таким образом, именно фундаментальное вращение
  <ответственно> за квантование действия
  и появление формулы S = h*fi.
  При этом идея квантования на абстрактном уровне
  связывается с идеей комплексного числа (его порядковым образом).
  Такая связь, как известно,
  представляет собой головоломку в количественной области,
  в области порядка она становится очевидной.
  Более того,
  структура фундаментальных вращений
  дает структурную характеристику действия
  - то, как оно составлено из фундаментальных вращений,
  при этом для таких структур выполняются арифметические операции.
  Сами эти структуры в совокупности изоморфны множеству действительных чисел.
  Простейшей симметричной структурой действия является
  парное фундаментальное вращение ??.
  С физической точки зрения она соответствует спину.
  Из фундаментальных вращений можно конструировать квантовые объекты,
  придерживаясь при этом следующей аксиоматики:
  
  ......
  
  Последняя аксиома говорит о том,
  что парное фундаментальное вращение ??,
  погружённое в пространство-время,
  генерирует уравнение Шредингера.
  Опираясь на эту аксиоматику,
  можно строить более сложные структуры и уравнения.
  В частности, структура ???? генерирует уравнение Дирака.
  //// В общем-то, мысль рассматривать не одно абстрактное
  //// "фундаментальное вращение" а именно пару "противоположных вращений",
  //// возможно, или, скорее всего, "комплексно-сопряженную",
  //// как раз и позволяет "абстрагироваться от среды вращения",
  //// и таким образом рассматривать "фундаментальное вращение"
  //// как один из полюсов магнитного диполя, который в отдельности
  //// от другого полюса не существует.
  //// Но если так рассматривать, то большую часть из приведенных выше формул,
  //// придется переделывать, так как применение отдельного/непарного
  //// "фундаментального вращения" будет существенного ограничено, необходимостью
  //// наличием "сопряженной пары".
  //// Но это наверно уже будет в следующей итерации этого подхода.
  
  5. Опора на неравенство O > w позволяет построить новую,
  <волновую> модель континуума.
  При этом диагональный метод,
  с помощью которого в рамках теории множеств
  доказывается несчетность множества действительных чисел,
  трансформируется в диагональный процесс, порождающий континуум.
  В общих чертах эта конструкция такова.
  Названное неравенство означает,
  что, извлекая из процесса W количественную бесконечность,
  мы, тем не менее, не <останавливаем> процесс,
  а только ставим для него <препятствие> w,
  от которой он <отражается>
  //// Вот как бы понять и сам "процесс" и "процедуру отражения".
  (в этом можно усмотреть суть диагонального метода).
  Отражение> W от препятствия w оборачивается появлением процесса W.
  Этот процесс начинает взаимодействовать с процессом W
  способом, похожим на наложение прямой и обратной волн в конечном пространстве.
  Наложение друг на друга процессов W и W
  осуществляется предельно прямолинейно
  - как появление <взаимнопротивоположных шагов>
  и образование стрелочного процесса W:
     ... ... ... .
  Процесс W развертывается в строгий континуум,
  который можно мыслить как некий абстрактный аналог стоячей волны.
  Как и во всякой стоячей волне,
  в данной модели континуума должны присутствовать неподвижные точки - узлы.
  Процесс W как раз и описывает эти узлы - натуральные числа.
  //// Интересная трактовка и "стоячей волны" и "узлов" натуральных чисел.
  //// Надо бы сюда еще "подтянуть" рациональные числа.
  
  Заключение
  
  Итак, попытаемся в самых общих чертах
  осмыслить методологическую основу,
  которая привела к появлению сформулированных выше конструкций.
  
  Как известно,
  отличительной чертой математики ХХ века
  (как и всей науки Нового времени)
  стала ее технологичность.
  Создание математических объектов
  было <поставлено на поток>
  с высокой степенью автоматизации.
  Это потребовало решения двух задач:
  унификации предметной области математики,
  что повлекло за собой унификацию смыслов математических объектов,
  и унификации инструмента генерации названных объектов.
  Основой такой унификации стало,
  с одной стороны,
  понятие множества,
  с другой
  - аксиоматические системы.
  Результатом применения такой технологии
  оказался беспрецедентный рост разнообразных структур
  и нашего знания об этих структурах.
  Опора на эти знания позволила выявить
  (или сконструировать?)
  многие нетривиальные связи в мире реальных объектов,
  что свидетельствует о наличии <момента истины>
  //// О, интересно, литературный оборот "момент истины" объявляем
  //// физической величиной эквивалентной "моменту импульса", то бишь "спину",
  //// приравниваем "элементарный спин истины" к постоянной Планка,
  //// и дальше идем в сразу, как минимум, в двух направлениях.
  //// Один: к закону сохранения "момента истины" и соответствующей симметрией,
  //// в каких-то там умозаключениях/конструкциях/реальностях.
  //// Второй: "подкапываемся" под принцип неопределенности с точки
  //// зрения "элементарного момента истины", то бишь "спина истины".
  //// Дальше пока фантазии не хватает.
  //// Ан нет, вот и третий, начинаем "расковыривать" понятие "момент",
  //// от понятие "мгновение просветления", то бишь момента обмена
  //// квантом энергии/информации с какой-то высшей реальностью
  //// Шутка конечно, но в каждой шутке есть только ДОЛЯ шутки,
  //// точнее "момент истины".
  в теоретико-множественной концепции.
  //// Этого никто не отрицает, но, естественно, что познание на этом
  //// не заканчивается, и от множеств, возможно, надо переходить,
  //// к процессам или, наверно лучше, к алгоритмам - больше наработок,
  //// и аудиторию на это легче раскачать, процессное мышление/практика
  //// значительно сложнее алгоритмических.
  
  Вместе с тем совершенно очевидно и следующее.
  Подверстывание многообразия смыслов под какой-то один аспект
  имеет ограниченное время применения.
  С какого-то момента становится ясным,
  что создаваемые структуры создают ландшафт,
  который все меньше соотносится с реальностью в любом ее понимании.
  При этом прагматическая ценность таких конструкций устремляется к нулю.
  //// Но создают определенный потенциал на будущее, но в другом качестве.
  Эти моменты обозначили <тихий> кризис теории множеств,
  который, несмотря на свою <тишину>,
  не перестал быть кризисом.
  Этот кризис ощущается всеми активными математиками,
  которые время от времени предлагают то или иное решение.
  
  Как нам представляется,
  наиболее естественным путем выхода из названного кризиса
  является отход от компрессии (<архивации>) смыслов,
  неизбежной при реализации технологической парадигмы.
  <Разархивация> смыслов дает новое измерение
  и новые содержательные теории,
  что позволяет говорить о некой самостоятельной парадигме,
  в определенной мере противостоящей технологической парадигме.
  //// Технологическая парадигма просто "ставит на поток" производство
  //// каких-то "изделий" из конкретных материалов/запчастей.
  //// Будут другие "комплектующие" будут новые изделия.
  //// Так что технологическая парадигма здесь ни при чем.
  //// А вот создать условия, при которых большее внимание уделяется
  //// не технологии, а изобретательству, действительно имеет смысл.
  //// И первое что в таких случаях надо делать - подать пример.
  //// Что собственно автор и делает. И спасибо ему за это.
  
  Следы диалектики этих двух парадигм:
  <архивации> и <разархивации>
  - можно найти во всех пластах научной мысли.
  Например, традиционно считается,
  что И. Ньютон и Г.В. Лейбниц разными путями пришли
  к одним и тем же конструкциям анализа
  (что, в частности, зафиксировано в общеизвестной формуле Ньютона-Лейбница).
  Однако при ближайшем рассмотрении можно увидеть
  две существенно разные концепции,
  подведенные под общий знаменатель
  преимущественно в педагогических целях.
  Более близкий пример дают работы Г. Фреге,
  в которых разводятся два понятия:
  Bedeutung (значение) и Sinn (смысл).
  Как известно, это разделение стало принципиальным
  для развития философии языка и оснований математики.
  
  В контексте диалектики <архивации> - <разархивации> смыслов
  сформулированное выше разделение <количества> и <порядка>
  можно воспринимать как очередное движение маятника
  от технологической к нетехнологической, <содержательной> парадигме.
  Насколько это предположение оправданно,
  покажет будущее.
  
  ЛИТЕРАТУРА
  
  ........
  
  2. Векшенов С.А., Бешенков А.С.
  Порядковые образы комплексных чисел и кватернионов в основаниях физики
  // Метафизика. - 2013. - ? 3. - С. 70-85.
  
  ......
  
  //// Конец цитирования.
  
  В общем, парочку, интересных мыслей я для себя приобрел,
  и захотелось даже посмотреть более ранние работы этого же автора,
  чтобы понять из каких начальных идей он исходил.
  Но в целом, такой процесс долбежки совершенно непонятного текста,
  хотя и написанного на "великом и могучем",
  очень напоминает последние строки
  из "Человека-невидимки" Герберта Уэллса.
  //// И самое плохое в такой работе, что даже найденные интересные идеи,
  //// не попав сразу в какую-то систему, очень скоро забываются.
  //// Вот год прошел, а уже мало, что могу вспомнить.
  //// Только "вахтенный журнал" хранит все детали.
  
  
  ========
  
  18.01.2023 12:09 - 23.10.2024 12:41
  
  Долбежка "метафизики инвариантности".
  В оглавление.
  
  И куда только не занесет мою "утлую лодченку"
  в поисках крупиц "математического смысла"
  на пути к "метафизике времени":
  
  "МЕТАФИЗИКА ИНВАРИАНТНОСТИ"
  Автор: С.А. Векшенов
  Метафизика, 2011, ? 2 (17) стр.50
  https://mega.rudn.ru/file/Метафизика%20?%202%202011.pdf.pdf
  Российская Академия Образования
  
  //// Начало цитирования.
  
  Инвариантность - магическое слово современной физики.
  Лоренц-инвариантность, калибровочная инвариантность,
  масштабная инвариантность
  - все это <входные билеты> в высокое общество современных физических теорий.
  Причину этого особого положения <инвариантности> можно усмотреть в следующем.
  
  Наше познание мира всегда опосредовано языком.
  Можно придать этой опосредованности фундаментальный характер
  и, вместе с Л. Витгенштейном, считать, что
  <границы моего мира определяются границами языка>
  (Die Grenzen meiner Sprache bedeuten die Grenzen meiner Welt).
  Однако можно, следуя за Э. Гуссерлем,
  попытаться осуществить <взятие скобок> (ерoche)
  и сделать прорыв от языка к самому объекту.
  Идея инварианта
  - это математическое воплощение идеи гуссерлианского <ерoche>.
  
  Особенность этого воплощения состоит в следующем.
  
  Как известно,
  со времен Галилея естествознание говорит языком математики.
  //// И со времен Пифагора существует "мэйнстрим", что описание
  //// Мироздания можно представить как "математическую структуру".
  //// Возможно, что и так, но представляется, что стоит к "бурному потоку"
  //// добавить "пару капель" инженерного подхода.
  //// Представляется, что более продуктивной может быть концепция
  //// не "математической структуры", это "техника реализации",
  //// а концепция "технико-экономическо-социальной системы",
  //// имеющей в основе "гениально задуманный МНОГОуровневый проект",
  //// "творчески сбалансированную реализацию" и "виртуозно управляемую"
  //// в процессе реализации и развития, плюс "динамически подстраивающуюся"
  //// под "новые вызовы". Т.е. это не столько математический, а инженерный
  //// подход к пониманию структуры Мироздания.
  Однако внутренняя логика этого языка
  не прокладывает <царского пути> к инвариантным конструкциям.
  Источник идеи инвариантности
  - мир объектов существующих вне языка,
  но в языке определяемых.
  Более того,
  в идеале каждый <инвариантно определенный> математический объект
  должен соотноситься с объектом rerum natura (природы вещей).
  Известно, что это соотношение,
  возведенное в принцип,
  в явной форме было сформулировано П. Дираком
  и сыграло выдающуюся роль в физике ХХ в.
  //// Ну и с чем "соотносится" "волновая функция"? Так и не определились.
  
  Поскольку мы стоим на пороге физики ХХI в.,
  попытаемся осмыслить этот принцип и понять,
  какой математический объект мы считаем
  <инвариантно определенным>.
  Возможно, это позволит прийти к новым инвариантным структурам,
  созвучным тенденциям новой физики.
  
  Начнем с простейшей ситуации.
  
  Возьмем равносторонний треугольник.
  Наше интеллектуальное зрение позволяет видеть его как целостный объект,
  обладающий известными свойствами.
  Чтобы иметь возможность как-то использовать этот треугольник,
  его надо определенным образом обозначить,
  в данном случае - обозначить его вершины.
  Обозначим их цифрами 1, 2, 3,
  например, так, как показано на рис. 1.
  
  Введенное обозначение является нашим произволом,
  который мы, разумеется,
  хотим нивелировать.
  Это значит, что наряду с данным выше обозначением
  мы должны рассмотреть все возможные обозначения
  в рамках выбранного алфавита [1-3] (рис. 2).
  
  Рис 1. ...
  Рис 2. ...
  
  Таким образом, вместе с треугольником
  необходимо рассмотреть все его 3! = 6 возможных обозначений:
  
   1, 2, 3
   1, 3, 2
   ::
   3, 2, 1
  
  Подобная игра с обозначениями может показаться схоластикой,
  поскольку наша интуиция хорошо выделяет равносторонний треугольник
  среди других объектов,
  как идеальных, так и материальных.
  Однако проблема состоит в том,
  что большинство интересующих нас объектов
  не даются нам интуицией.
  //// Оп. А что дается интуицией? Ключевое отличие или новая идея?
  Составлять представление о них мы можем на основе
  некоторого числа описаний.
  Можем ли мы составить представление о Руанском соборе
  на основе серии картин Клода Моне?
  Вероятно, можем,
  хотя каждое полотно отражает видимый художником образ этого собора
  (рис. 3).
  
  Рис. 3 ...
  
  Вернемся к названным выше обозначениям.
  У нас имеется таблица чисел,
  каждую строку которой мы понимаем
  как обозначения некоторого объекта.
  Задача состоит в том,
  чтобы, опираясь на эти обозначения,
  найти стоящий за ними объект.
  Очевидно, что задача будет решена,
  если указанную таблицу чисел превратить в структуру,
  которая однозначно бы указала на равносторонний треугольник.
  
  С первого взгляда неясно,
  каким именно образом можно абстрагироваться от вводимых обозначений.
  Принципиальная идея состоит в том,
  чтобы рассматривать не сами обозначения,
  а преобразования одних обозначений в другие.
  Можно предположить, что эта идея навеяна физикой.
  Действительно, каждую тройку обозначений можно воспринимать
  как <координаты> некоторого объекта,
  находящегося в пространстве
  соответственно, подстановка: 1 2 3 / а b с
  становится преобразованием <координат>,
  приводящим к новому обозначению того же объекта.
  Далее, само преобразование координат
  указывает на более фундаментальную вещь
  - преобразование пространства (плоскости),
  при котором объект остается неизменным (<неподвижным>).
  //// Неподвижность = неизменность?
  //// Что-то в этом есть, а вот что-то явно отсутствует.
  //// Может быть, все дело в "пространственном представлении",
  //// в котором "время" "выносится за скобки"?
  Этим свойством, как известно,
  обладают преобразования симметрии.
  
  Для завершения картины необходимо фиксировать
  набор таких преобразований.
  Он возникает из следующих очевидных соображений:
  последовательная смена обозначений,
  очевидно, тоже является обозначением.
  Кроме того, очевидно,
  что мы всегда можем вернуться от нового к старому обозначению.
  Отсюда следует,
  что композиция преобразований и обратное преобразование
  также являются элементами искомой структуры.
  Чтобы <замкнуть> структуру,
  необходимо добавить единичное преобразование
  (мы ничего не переобозначаем).
  //// Т.е. "единичное преобразование" - единица
  //// - это своеобразное выражения закона тождества,
  //// или "камертона" преобразований.
  
  Таким путем мы приходим к понятию группы,
  в данном случае группы S3 перестановок трех элементов.
  Переход от обозначений к преобразованиям
  позволяет определить группу более привычным образом:
  как совокупность преобразований,
  оставляющих неподвижным некоторый объект,
  в данном случае равносторонний треугольник.
  Делая традиционный для современной математики <обратный ход>,
  равносторонний треугольник можно определить
  как инвариант группы, S3,
  то есть как объект,
  который не меняется при действии на него преобразований
  - элементов группы
  (и, следовательно, останется неизменным при обозначениях,
  взятых из данной таблицы).
  
  Мы привели эти детальные рассуждения,
  чтобы прояснить несколько важных моментов,
  которые остаются без внимания
  при традиционном изложении.
  
  1. Переход от <обозначений> к <преобразованиям>
  является крайне нетривиальным ходом,
  который формировался примерно в течение достаточно длительного времени.
  Создатель теории групп Э. Галуа (1811-1821)
  говорил на языке перестановок корней алгебраического уравнения,
  что ближе к обозначениям, чем к преобразованиям.
  Введенное им фундаментальное понятие нормальной подгруппы
  опирается именно на идею независимости от обозначений.
  Например, подгруппа группы S3 называется нормальной
  (нормальным делителем),
  если она инвариантна относительно переобозначения вершин треугольника
  (в случае Галуа переобозначения - это перестановки корней уравнения).
  //// А относительно других преобразований как она себя ведет?
  Такой подгруппой в данном случае является
  подгруппа циклических переобозначений
  (перестановок).
  //// Не хватает то ли воображения, то ли "короткой" памяти,
  //// чтобы удержать внимание и понять на примере сказанное.
  //// Даже в таком простом случае.
  //// И это уже не помню какая по счету попытка разобраться
  //// с группами и инвариантами. И возможно такая же безрезультатная.
  
  В соответствии с метафизикой инвариантности
  можно предположить,
  что если группа G указывает на некоторой объект А,
  то именно нормальная подгруппа Н,
  в силу ее инвариантности относительно переобозначений
  (независимости от <систем координат>),
  указывает на подобъект объекта А.
  //// Что есть в этом треугольнике "объект" и "подобъект"?
  Собственно говоря,
  вся теория Галуа является реализацией этой метафизики
  применительно к задаче разрешимости алгебраических уравнений.
  
  В современном изложении нормальная подгруппа
  понимается как подгруппа
  инвариантная относительно внутренних автоморфизмов группы.
  Определение приобрело общность,
  но утратило интуитивную ясность.
  //// Все пошла зубодробительная терминология.
  //// Опять что-то "прогулял".
  
  2. Интерпретация переобозначений как преобразования
  прочно закрепилась в математике,
  по-видимому, со времен Эрлангенской программы Ф. Клейна,
  в которой группа преобразований пространства определяла его геометрию.
  Именно эта идея была применена Пуанкаре,
  а позднее и Минковским для релятивистского синтеза пространства и времени.
  //// И опять ничего не понял. Как "группа преобразований"
  //// осуществляет "синтез времени и пространства" для меня абсолютная загадка.
  ////// А вот интересный вопрос: какие преобразования можно попробовать использовать
  ////// для ?обратной процедуры", т.е. "расщепления пространства-времени",
  ////// на самостоятельные компоненты, причем так,
  ////// чтобы имелась возможность их обратно пересобрать в другую,
  ////// но инвариантную исходной "конструкции" структуру.
  
  3. Понятие группы традиционно считается чисто алгебраическим
  и своего рода эталоном чистой абстракции.
  Однако, как было продемонстрировано выше,
  в групповых операциях можно увидеть следы пространственных отношений.
  В этом нет ничего неожиданного поскольку, например,
  арифметическая операция сложения начиналась с операции сложения отрезков прямой.
  Связь же инвариантности и преобразований
  является следствием пространственной сущности теоретико-групповых операций.
  //// Ну вот эту мысль вроде как понял.
  //// Есть группа - значит есть какое-то пространство.
  //// Теперь бы для полноты еще бы определение "пространства".
  /////// А что со "временем"? Какие операции можно связать с ним?
  
  Попробуем теперь перенести метафизику инвариантности в иную ситуацию
  и рассмотрим натуральный ряд.
  
  Мысль Кронекера о том, что натуральные числа есть создание Господа Бога
  (Die ganze Zahlen hat der Hebe Gott macht, alles anderes ist Menschenwerk),
  заведомо выводит их из рамок всякой метафизики
  и обеспечивает им Высшую инвариантность.
  В добавление к этому можно вспомнить слово - <дойти до сути>,
  которое одновременно означает <измерить>, то есть <дойти до числа>.
  
  С другой стороны, наш разум (Vernunft)
  также желает дойти до сути (в своем понимании ).
  Давним примером этому может служить книга В. Клиффорда
  <Тhe common sense of the exact science> (<Здравый смысл точных наук>) (1886),
  где кроме прозрений об искривлениях пространства под действием гравитации
  и <клиффордовых алгебрах>
  содержался ряд глубоких замечаний, касающихся инвариантности числа
  (заметим, что словосочетание
  сейчас было бы более точно перевести как <метафизический>,
  а не как <здравый> смысл).
  
  В трех первых параграфах главы :
  ,
  <А sum is independent of the order of Adding>,
  
  в явном виде проводится мысль,
  что из двух хорошо известных аспектов числа:
  порядкового и количественного -
  необходимо придерживаться его количественной трактовки
  именно в силу инвариантности понятия <количества>.
  Учитывая традиционную связь <количества> с пространством,
  а <порядка> со временем,
  можно сказать, что и в этом случае,
  как и с понятием группы,
  предпочтение было отдано <количеству> (пространству).
  //// Т.е. время и все, что с ним связано, плохо "поддается инвариантности".
  //// Любопытное замечание. Может, стоит подумать над этим.
  /////// Наверно, это еще связано с тем,
  /////// что с пространством мы можем что-то сделать,
  /////// а вот со временем очень даже "не очень".
  /////// Например "квадрат времени", или "площадь/объем времени"
  /////// так и остаются для меня загадками.
  
  Количественная трактовка числа приобрела фундаментальный характер
  в рамках теории множеств Кантора.
  Напротив, порядковый аспект стал восприниматься
  как нечто случайное,
  полностью зависящее от произвола исследователя [3].
  Тем не менее Кантор дал свою <количественную> трактовку порядка,
  которая, как ему представлялась,
  была свободна от этого произвола
  (то есть была инвариантной).
  Суть его подхода состояла в следующем.
  
  Числа 1, 2, 3... n появляются в определенном порядке.
  Если предполагать,
  что за этим порядком стоит некая сущность,
  а именно время,
  и в порядковом числе мы должны отразить именно эту сущность,
  то какой-либо фиксированный порядок появления упомянутых элементов
  не является существенным.
  //// Смутно, смутно, но вроде как понимаю сказанное.
  //// Если пытаться выражать "сущность", то это "выражение" должно быть
  //// не зависящим от "произвола собственно выражения",
  //// т.е. иметь инвариантную форму.
  //// Тогда интересно уже в другом смысле, сможет автор предложить
  //// какую-то инвариантную форму для "времени" в данном случае.
  Это значит,
  что необходимо рассмотреть
  все возможные порядки элементов 1, 2, 3 ... n, то есть:
  
   1, 2, 3 : n;
   2, 1, 3 : n;
   :::::
   n, n - 1 : 1
  
  Теория множеств извлекает из этого набора порядковое число следующим образом.
  Будем смотреть на эти порядки как на <упорядоченные множества>.
  Ординальное число,
  которое является теоретико-множественной моделью порядкового числа,
  определяется как множество <безликих> элементов,
  которые, тем не менее, связаны общей <идеей порядка>,
  //// ММММ. "Идея порядка" как выражается/записывается? Или в виде "бла-бла-бла"?
  присущего всем названным упорядоченным множествам,
  а именно порядка, который связывает числа 1, 2, 3 ... n.
  //// Опять ничего не понимаю.
  
  Подобная трактовка порядкового числа,
  хотя и является в настоящее время общепризнанной,
  тем не менее,
  не решает исходной задачи выявления стоящей за ним сущности
  - времени,
  поскольку теоретико-множественные конструкции
  воплощают в себе идею пространства.
  Таким образом, инвариантность порядковых чисел
  снова оказывается <пространственной>.
  //// Тоже весьма и весьма смутно.
  
  Попробуем, пользуясь предыдущей таблицей,
  инвариантно выразить идею времени (порядка),
  не прибегая к теоретико-множественным конструкциям.
  
  Если следовать интуиции времени
  (а именно этой интуиции мы придерживаемся),
  то приведенную выше таблицу можно рассматривать
  как <след> некоторого абстрактного процесса
  (по сути, <след> самого времени):
  //// Так уже лучше. "След процесса" принимается за "след времени". Допустимо.
  
  1 -> 2 -> 3 -> ... n
  ......
  
  n -> n-1 -> n-2 -> ... 1
  
  При таком понимании числа 1, 2, 3 ... n снова становятся безликими,
  но уже в другом смысле
  - как некоторые индикаторы, <бумажки>,
  которые брошены во временной поток.
  Очевидно,
  что все эти числа-индикаторы движутся одновременно,
  поскольку время едино.
  //// А вот этого не понимаю.
  /////// И кстати, в такой формулировке закладывается постулат "единого времени".
  /////// А вот насчет этого постулата у меня лично очень много "сомнений".
  Таким образом, все приведенные выше упорядочивания
  не являются альтернативами каноническому порядку 1 -> 2 -> 3 -> ... n,
  а являются частью единого процесса
  или, более точно,
  - способом обнаружения этого процесса.
  //// Стоп. В прошлый раз пропустил. А мысль интересная.
  //// Вместо "задания" сделать акцент на "обнаружение",
  //// а это раскрывает возможность появления всяких "явных"/"скрытых"/"полускрытых"
  //// градаций с соответствующими последствиями,
  //// вплоть до использования "интерференции".
  Мыслить все возможные упорядоченности раздельными
  - дань пространственной интуиции.
  //// А "временная интуиция" требует "мыслить их слитными"?
  //// Но, вообще, замечание интересное.
  //// Разделение - "пространственная операция", слияние - "временная операция".
  //// Наверно, стоит попробовать где-то применить,
  //// вроде как согласуется с "метафизикой времени".
  //// Спасибо автору за подсказку. В прошлый раз не заметил,
  //// хотя в тот раз и подходов к "метафизики времени" еще даже не нащупывалось.
  Иными словами,
  считать что все эти возможности реализуются
  как отдельные независимые процессы
  - значит приравнять интуицию времени к интуиции пространства
  //// Что-то в этом есть, конечно, но охватить все не получается.
  //// Может быть как раз из-за преобладания какого-то стиля/интуиции мышления.
  //// Является ли этот стиль "пространственным"? Вряд ли - как раз
  //// с пространственным воображением у меня давние проблемы.
  //// Скорее это "пошаговый" стиль, или метод с "короткой памятью".
  (что, собственно говоря, постоянно и происходит
  в теоретико-множественной математике).
  Все вышесказанное говорит о том,
  что в вышеназванной таблице представлен <след> одного процесса.
  //// Стоп-стоп-стоп. ОДИН процесс представлен ТАБЛИЦЕЙ,
  //// т.е. СОВОКУПНОСТЬЮ ВАРИАНТОВ реализаций.
  //// Интересный "процесс".
  //// А какая "волновая функция" подойдет для его "записи"/"представления"?
  
  Чтобы понять структуру этого процесса,
  необходимо ввести принципиально новый тип
  актуальной (завершенной) бесконечности
  - порядковую бесконечность.
  Несколькими словами описать эту бесконечность можно так.
  
  Если есть процесс ?, то существует,
  по крайней мере,
  два способа превратить его в объект, в <идею> процесса.
  Во-первых, собрать его шаги в одно целое.
  Это теоретико-множественное, количественное решение.
  Второй способ состоит в том, чтобы замкнуть процесс на себя.
  //// Тоже пропустил в прошлый раз этот момент.
  //// Закольцевать процесс, чтобы можно было представить его
  //// "законченным в себе" объектом. Стоит подумать.
  Результат такого замыкания можно также рассматривать
  как новую <идею> процесса (в платоновском смысле).
  //// Но тогда нужно и подходящую метафизику для таких процессов предложить.
  Если сам процесс неограничен,
  то эти <идеи> - объекты
  можно рассматривать как различные типы бесконечностей.
  В результате такого замыкания получаются некоторые новые,
  не теоретико-множественные структуры,
  которые естественно назвать фундаментальным вращением
  (формальная конструкция,
  приводящая к фундаментальному вращению,
  приведена в [4, с. 91-114]).
  
  Рассматривая внимательно <след времени>,
  представленный в рассматриваемой таблице,
  можно увидеть в нем <следы> фундаментальных вращений.
  Действительно, фрагмент
  
  1 -> 2 -> 3
  2 -> 1 -> 3
  
  естественно отождествить с фундаментальным вращением ?.
  Фрагмент:
  
  1 -> 2 -> 3
  3 -> 2 -> 1
  
  также можно отождествить с фундаментальным вращением ?
  //// Надо ли понимать "фундаментальнок вращение"
  //// как два противоположно "ориентированных" подпроцесса?
  
  Поскольку названные фрагменты различаются нашей интуицией
  (в первом случае метка 3 остается на месте),
  такое же различие можно применить
  и к соответствующим фундаментальным вращениям.
  В результате эти фрагменты вместе дают фундаментальное вращение ??.
  
  Попробуем подсчитать число фундаментальных вращений, которые
  можно извлечь из таблицы:
  
   1 -> 2 -> 3 -> ... n;
   2 -> 1 -> 3 -> ... n;
   ::::::::
   n -> n-1 -> n-2...1,
  
  стараясь в максимальной степени избежать произвола
  в определении их количества и направлений вращения.
  
  Основная идея состоит в том, что фундаментальные вращения,
  которые можно извлечь из этой таблицы,
  сгруппировать в пары,
  число таких пар будет зависеть только от n.
  
  Простой подсчет показывает,
  чтобы из таблицы, содержащей n! перестановок,
  можно извлечь ровно \lambda(n) пар фундаментальных вращений,
  где ?(n) определяется следующим образом:
  
   \lambda(n+1) = \lambda(n)( n+1)+1;
   \lambda(0)=0;
   \lambda(1)=0.
  
  В целом же из данной таблицы можно извлечь:
  - n линейных шагов,
  если абстрагироваться от конкретных перестановок n чисел-меток;
  
  - \lambda(n) пар фундаментальных вращений.
  
  Наглядно эту структуру можно представить следующим образом (рис. 4):
  
   ? ? ? ? ? ? ? ?:..
   ? ? ? ? ? ? ? ?
   1 2 3 n
  
  Рис. 4
  
  Если эту структуру <вытянуть в линию>, то получится следующее:
  
  (::)n(???? ::??)2?(n).
  
  Такое представление вполне естественно,
  поскольку с ростом n фундаментальные вращения появляются парами,
  хотя, разумеется, имеет место неизбежное в математике допущение.
  //// В общем, логику этих подсчетов, впрочем как и цель,
  //// мною уже "успешно" потеряна. И уже не в первый раз.
  //// По-моему, это четвертый текст по этой тематике
  //// за последние две-три недели.
  
  Главный смысл полученной структуры состоит в следующем.
  
  Реализация идеи инвариантности
  в отношении порядковой составляющей числа
  дает крайне неожиданный результат:
  каждый <линейный> шаг процесса порождения натурального числа n
  сопровождается появлением некоторого количества пар
  взаимно противоположных фундаментальных вращений,
  при этом количество этих пар растет с ростом n.
  
  Несколькими штрихами обозначим следствия данного утверждения.
  
  Наиболее существенные следствия связаны с моделями континуума.
  Как известно,
  общепринятой моделью континуума является
  теоретико-множественная точечная модель.
  При этом каждая точка согласно постулату Кантора
  отождествляется с действительным числом (или системой чисел).
  В свою очередь аксиомы действительных чисел
  допускают различные интерпретации.
  В частности, Д.Х. Конвеем (John Horton Conway) была предложена модель,
  в которой действительные числа отождествляются с последовательностями,
  построенными из двух знаков <> и <>.
  Например, число 1/3 в этой модели записывается как ...
  Очевидно, что к каждой такой записи числа
  можно применить сформулированное выше утверждение,
  с той лишь разницей,
  что линейные шаги могут осуществляться в противоположных направлениях.
  Это приводит к относительному изменению направления вращений
  в появляющихся парах,
  что, однако, не влияет на всю структуру в целом.
  Например:  ... ???? ???????? : .
  
  Данная конструкция допускает ряд интерпретаций.
  Наиболее интересны из них такие.
  
  1. Последовательность  ... в арифметике Конвея интерпретируется
  как действительное число
  (и, в общем случае, даже как нестандартное действительное число)
  и, согласно постулату Кантора, - как точка континуума.
  Связанная с ней последовательность фундаментальных вращений ??????????? ...
  может быть интерпретирована как действительное число
  - фаза fi кинематического образа e**i*fi фундаментального вращения.
  
  Таким образом, можно считать,
  что к каждой точке континуума
  <привязано> некоторое абстрактное вращение ,
  //// Оч. хорошо.
  причем фаза этого вращения связана с числовыми характеристиками точки.
  //// А это еще лучше. Т.е. "числовая ось" как суперпозиция связанных вращений,
  //// не "палка", а "цепочка турбин". Придумать бы термин подходящий,
  //// чтоб лучше запоминалось. Может БКЧ (буксирно-кабельная часть)?
  Эта привязка показывает,
  что каждая точка континуума приобретает внутреннюю динамику,
  обусловленную только ее статусом как элемента континуума.
  //// А это уже совсем не плохо. Т.е. объединение "точек" в "континуум"
  //// не чисто формальный акт "приема-передачи", а в включение их "в оборот",
  //// в общую "динамику" с "персональной фазой".
  
  2. Более радикальная интерпретация заключается в том,
  чтобы посмотреть на структуры вида:  ... ???? ????????...
  как на <токовые нити>,
  из которых <соткан> континуум [4].
  //// Ну тогда по отношению к "линейному континууму" больше подходит "скручен",
  //// и тогда это точно будет БКЧ. Если я правильно понял образ "континуума",
  //// предложенный автором.
  //// А если я правильно помню последующие статьи, то эти "токовые нити"
  //// можно рассматривать как "бегущие волны", которые от чего-то там отражаясь,
  //// или просто "распространяясь" в противоположные стороны,
  //// образуют "стоячие волны" с "узлами" и "пучностями".
  //// Так вот узлы и есть "натуральные числа". Про "пучности" не помню.
  //// И тогда становится немножко более ясен авторский метод,
  //// и "порядковая бесконечность". Ладно посмотрим что будет
  //// во "второй части Марлезонского балета".
  
  Приведенные структуры созвучны многим конструкциям
  из арсенала современных физических теорий:
  <струнам>, <петлям> и пр.
  При этом в основе перечисленных конструкций
  лежат те или иные физические или геометрические образы,
  которые, так или иначе,
  апеллируют к традиционным теоретико-множественным структурам
  (например, струнные теории реализуются
  на фоне классического точечного континуума).
  Рассмотренные выше структуры позволяют расширить этот континуум
  исключительно <внутренними>, алгебраическими средствами.
  
  В заключение стоит отметить крайне интересную
  <гуманитарную> интерпретацию структуры,
  представленной на рис. 4.
  
  Известный филолог, академик РАН В.Н. Топоров,
  занимаясь анализом космогонических мифов различных народов мира,
  заметил, что, несмотря на чрезвычайное разнообразие сюжетов и действующих лиц,
  космологический миф представляет становление мира
  как результат последовательного введения основных бинарных оппозиций:
  небо - земля и т. д.
  Например, подобная схема дана в начале кн. Бытия:
  <И сказал Бог: да будет свет...
  и отделил бог свет от тьмы.
  И назвал Бог свет днем, а тьму ночью...
  И сказал Бог: да будет твердь посреди воды...
  И создал Бог твердь, и отделил воду...
  И назвал Бог твердь небом...> и т. д.
  
  Приведенная на рис. 4 структура хорошо вписывается в общую схему.
  Таким образом,
  натуральный ряд вместе с парными фундаментальными вращениями
  имеет общий со всеми мифологическими картинами мироздания архетип,
  что неожиданно возвращает нас к парадоксальной мысли Л. Кронекера.
  //// А у меня появляется совершенно обратная мысль.
  //// Что "Божественное Число" только одно и это не единица,
  //// а "континуум", а вот уж натуральные числа "были дадены нам свыше",
  //// причем "специально сконструированы" чтобы легче их было понять,
  //// и тем самым начать путь дальнейшего самостоятельного познания
  //// "Божественного Числа", при самых минимальных "подталкиваниях".
  //// И да, такая модель процесса построения токовых нитей обеспечивает
  //// собственно по схеме булеана бесконечную мощность,
  //// т.е. "Божественное Число" обладает не только Абсолютной мощностью
  //// но и Абсолютной инвариантностью, т.к. обеспечивает построение
  //// всего Мироздания т.е. Абсолюта.
  
  //// И да, пока писал появился вопрос, а не может ли размерность
  //// пространства быть не просто "дробно-отрицательной",
  //// а представлять собой, условно говоря, "континуум" БКЧ, на котором
  //// "в нашей зоне ответственности" есть "три устойчивых узла".
  //// А че? Ну ведь круто?
  
  ........
  
  Литература
  
  //// 5 наименований.
  
  ......
  
  //// Конец цитирования.
  
  После повторной переработки этого текста в "сухом остатке", самое важное,
  осталась идея разнесения "принципов разделения" к "пространсвенной концепции",
  а "принципов слияния" к "концепции времени".
  Интуитивно ощущается, что такое разделение "галсов" может быть полезно,
  в хаосе собственных мыслей/гипотез.
  
  А вот с "фундаментальным вращением" по-прежнему проблема,
  ну не получается у меня понять автора, как оно работает.
  Ладно, продолжаем "следовать своим курсом".
  
  P.S.
  Посмотрел в Вики "арифметику Конвея".
  Похоже нужно все материалы с "фундаментальным вращением"
  с самого начала прорабатывать
  - первоначальное представление о том, что и как именно записывается
  в "цепочке Конвея" оказались принципиально неверными,
  соответственно ничего в аналогичной записи и понять не мог.
  Урок на будущее:
  даже при нелюбви к Вики, в справочники иногда стоит заглядывать,
  а не ориентироваться только на интуитивное понимание.
  Особенно когда не понимаешь.
  
  18.01.2023 12:09 - 24.10.2024 11:26
  
  Ну и чтобы "два раза не вставать", добавлю в этот фрагмент проработку
  второй части этого текста:
  
  "МЕТАФИЗИКА ИНВАРИАНТНОСТИ
  (Часть 2)".
  Автор: С.А. Векшенов
  Метафизика, 2012, ? 1 (3) стр.115
  https://mega.rudn.ru/file/Метафизика%20?%201%20(3)%202012.pdf
  Российская Академия Образования
  
  //// Начало цитирования
  
  В первой части статьи (Метафизика, ? 2, 2011)
  была предъявлена следующая схема рассуждений.
  
  1. Согласно основополагающему принципу двойственности натуральное число n
  есть единство количества и порядка,
  которое выражается числами nR и nZ соответственно,
  то есть n = < nR, nZ >.
  При этом nR и nZ существенно различные по природе числа.
  Наглядно эту двойственность можно представить так:
  n = < (?)n; (?)n >,
  где (?)n - совокупность n элементов,
  (?)n - последовательность, состоящая из n шагов.
  
  В устоявшихся представлениях шаг отождествляется с элементом ,
  что приводит к количественному пониманию числа в целом: n = nR.
  Дальнейшее развитие этой идеи привело к созданию теории множеств.
  
  2. Причину доминирования количественной точки зрения
  следует искать, прежде всего,
  в инвариантном характере самой идеи количества,
  что влечет за собой выполнение
  исключительно важного свойства коммутативности сложения чисел nR
  (и, соответственно, чисел при условии n = nR).
  Идея порядка в вышеприведенном <наивном смысле>
  свойством инвариантности не обладает,
  поскольку явным образом зависит от момента начала отсчета.
  Следствием не инвариантности порядка
  является не инвариантность
  основополагающей для математики и ее приложений конструкции
  - континуума.
  Поскольку идеи количества и порядка воплощены в числах nR и nZ соответственно,
  понятие инвариантности естественно перенести на эти числа.
  
  3. Попытка привести число nZ к инвариантному виду
  приводит к появлению на каждом шаге
  набора парных фундаментальных вращений ??.
  Число этих пар определяется числом ?(n),
  где n - номер шага,
  а сама функция определяется следующим образом:
  
  \lambda(n+1) = \lambda(n)(n+1)+1;
  \lambda(0)=0;
  \lambda(1)=0.
  
  В итоге число n = < (?)n; (?)n > заменяется числом n = < (?)n; (?)n(??)\lambda(n) >,
  которое уже является инвариантным
  как в количественном, так и в порядковом смысле.
  
  Попытаемся извлечь из этой конструкции наиболее значимые следствия.
  
  Прежде всего, осмыслим само понятие парного фундаментального вращения ??.
  
  Справедливо следующее утверждение:
  ?? + ?? = ??
  ?? + ? = ??.
  Первое равенство вытекает из самого определения ??.
  Второе равенство вытекает из следующих рассуждений.
  Очевидно, что ?? + ? ? ??, поскольку ?? - <период>.
  
  При этом число ?? остается стабильным в смысле порядка после прибавления ?.
  Единственная возможность состоит в обращении направлений вращения: ?? + ? = ??.
  
  Полученные соотношения можно понимать следующим образом.
  Фундаментальное вращение ?? остается неизменным
  при добавлении к нему шага ?? (и, соответственно, шага (??)n),
  что позволяет отождествить такой шаг с периодом.
  
  С другой стороны, половина этого шага или
  приводит к изменению направления фундаментального вращения.
  Это говорит о том, что фундаментальное вращение ??
  можно понимать как спинорный объект.
  
  Далее, очевидно,
  что, изменяя направление шага с <> на <>
  мы меняем направления всех фундаментальных вращений,
  возникающих на этом шаге,
  на противоположные.
  //// Тут уже я потерял нить рассуждений.
  /////// А вот после прочтения Вики, и переосмысления первой части,
  /////// какое-то смутное понимание все-таки пробивется.
  /////// Но очень смутное.
  /////// Свободно оперировать этими стрелочками четырех типов,
  /////// да еще их комбинациями, пока не получается. Наверно, нужно еще что-то.
  /////// Но хоть что-то.
  /////// Все-таки надо сделать скидку, что это не учебный, а "заявительный" текст.
  
  Например, если:
  ? ? ? , то ?.
  Эти два простых факта позволяют, тем не менее,
  сформулировать ряд принципиальных положений.
  
  Рассмотрим какую-либо структуру, например:
  ???(??)(??) (??) (??) (??).
  
  Число фундаментальных вращений равно ?(3) = 5,
  при этом четыре последние пары фундаментальных вращений
  имеют направление вращения,
  противоположное первой паре фундаментальных вращений,
  что соответствует разному направлению второго и третьего шага.
  Эту структуру можно рассматривать
  как некоторое инвариантное порядковое число rZ .
  Его неинвариантной частью будет число ???,
  которое, согласно теории сюрреальных чисел Конвея,
  можно понимать как действительное число,
  конкретно число: 1-1/2+1/4=7/4.
  При этом теория Конвея не делает различия
  между порядковыми и количественными числами
  и рассматривает число ??? как новую запись числа 7/4.
  В нашем подходе число ??? - это число rZ (в неинвариантном виде),
  в то время как 7/4 - это число rR .
  
  Обратно, всякое действительное число
  (и даже нестандартное действительное число)
  может быть представлено как совокупность стрелок и .
  В нашей трактовке речь идет о числе rZ ,
  которое в неинвариантном случае совпадает с числом rR .
  Инвариантность числа rZ означает,
  что к совокупности стрелок
  - линейных движений -
  добавляется совокупность пар фундаментальных вращений.
  Переходя к геометрической интерпретации, это означает,
  что к каждой точке континуума <прикреплен> спинорный объект.
  Иными словами,
  точка континуума как таковая не инвариантна
  (в смысле неинвариантности соответствующего ей действительного числа).
  
  Напротив, конструкция:
  <точка континуума, спинорный объект >
  такой инвариантностью обладает.
  //// Если вспомнить определение спинора как "корень квадратный из вектора",
  //// то чтобы это могло значить?
  /////// Но, вообще-то, тут похоже самая главная идея,
  /////// что добавляя что-то к чему-то, само по себе НЕ инвариантное,
  /////// на выходе получается что-то УЖЕ инвариантное.
  /////// И самое печальное, что "интуиция" в данном случае "глухо молчит",
  /////// и как-то "оценить" это подход ну ника не получается.
  /////// Придется, попытаться этот момент просто запомнить,
  /////// и как-то к нему "подобраться" с какой-то иной стороны.
  Этот факт имеет многочисленные следствия,
  которые условно можно разделить на три класса:
  математические, физические и метафизические.
  
  Рассмотрим наиболее очевидные из этих следствий.
  
  Математические следствия
  
  Первое же осмысление рассмотренной выше конструкции приводит к выводу,
  плохо согласующемуся с интуицией.
  В таком, предельно понятном объекте, как натуральное число,
  содержится некое внутренне абстрактное движение,
  причем с вполне определенной спинорной структурой.
  В более свободной форме можно сказать,
  что натуральное число содержит в себе кватернион!
  Разумеется, проблема лишь в том,
  что мы привыкли мыслить натуральное число
  исключительно в количественном ключе.
  Введение <в оборот> его порядковой составляющей,
  возможно, позволит по-иному подойти
  к решению ряда теоретико-числовых проблем,
  а также понять глубинную причину
  <пифагорейской мистики> квантовой механики.
  
  Не менее интересные развороты происходят с действительными числами.
  Как известно,
  эти числа могут быть разнообразным образом обобщены.
  Классическим способом такого обобщения является
  ослабление тех или иных аксиом:
  линейного порядка, аксиомы Архимеда и пр.
  Однако аксиоматика
  - это скорее общепринятая фиксация результата,
  тогда как реальное обобщение осуществляется
  путем предъявления некоторой конструкции:
  символов +/-oo, комплексного числа, нестандартного числа и пр.
  //// Обобщение через предъявление? Надо думать. Что-то в этом есть.
  //// Во всяком случае, как первый шаг "публикации" - то несомненно,
  //// см. "бритву презумпции".
  Важнейшей особенностью таких расширений
  является возможность переноса на них операций,
  свойственных <обычным> действительным числам.
  Например, нестандартный анализ возник ровно тогда,
  когда А. Робинсоном был сформулирован принцип переноса,
  позволяющий распространить утверждения анализа
  на нестандартные числа
  (хотя возможность непротиворечивого введения бесконечных чисел в арифметику
  была ясна со времен теоремы компактности А.И. Мальцева).
  
  Введение фундаментальных вращений представляет собой
  новый тип расширения действительных чисел
  <по инвариантности>
  (приблизительно в том же смысле,
  в каком электромагнитное поле можно рассматривать
  как <расширение> магнитного поля).
  При этом алгебраический статус этого расширения нуждается в осмыслении.
  
  Некоторому прояснению ситуации могут послужить следующие рассуждения.
  
  Рассмотрим кардинальную шкалу,
  расширяющую натуральный ряд в область бесконечных множеств:
  
  0, 1, 2: n, ... ?0, ?1, ?2 ... ?? ...(*)
  
  Легко видеть,
  что всякое кардинальное число ?? являясь бесконечным в смысле количества,
  является конечным в смысле порядка.
  В частности, в смысле порядка ?? +1 ? ??. .
  Это значит, что в порядковом смысле кардинал ?? <ведет себя>
  так же, как и любое конечное натуральное число.
  Иными словами, в порядковом смысле последовательность кардинальных чисел (*)
  и последовательность натуральных чисел: 0, 1, 2... n, ... эквивалентны.
  Чтобы получить, в соответствии с общим принципом двойственности,
  собственно порядковую бесконечность
  (и, собственно, порядковое расширение натурального ряда),
  необходимо <замкнуть> последовательность <на себя>
  и получить фундаментальное вращение ?,
  которое и является собственно порядковой бесконечностью (рис. 1):
  
  ...
  
  Рис. 1
  
  Ясно также,
  что изменение направления существенного числа шагов
  приводит к появлению парного вращение (рис. 2):
  
  Рис. 2
  
  Таким образом,
  вся последовательность распадается
  на линейные шаги и парное фундаментальное вращение,
  что совпадает с предыдущими выводами,
  полученными из соображений порядковой инвариантности.
  Если интерпретировать последовательность линейных шагов
  как действительное число (в смысле Конвея),
  то очевидно, что оно, с необходимостью,
  должно быть дополнено фундаментальным вращением.
  Это значит, что канторовская теория множеств,
  максимально широко реализующая идею количественной инвариантности,
  оказывается неполной.
  В этом плане <точка> объединяется с <фундаментальным вращением>
  по причинам, схожим с теми,
  которые объединили импульс и энергию в единый 4-вектор.
  //// Так и на это нужно будет обратить внимание.
  
  Физические следствия
  
  По сложившейся в последние десятилетия традиции,
  физика в своих математических изысканиях и приложениях
  оказывается значительно более интересной и продуктивной,
  чем математика,
  развивающаяся в русле теоретико-множественной доктрины.
  //// Не только. Причины аксиоматический подход, необходимость
  //// строгих доказательств, забвение метафизики, и "защитный барьер Геделя".
  В частности,
  в физике уже давно возникло настороженное отношение
  к концепции точечного континуума,
  которое постепенно выросло в конструктивные программы.
  Наиболее значимые из этих программ связаны
  с развитием теории твисторов Р. Пенроуза
  и бинарной системы комплексных отношений (БСКО) Ю.С. Владимирова.
  При всем различии исходных установок и аргументаций в этих теориях,
  в той или иной форме,
  обсуждался факт двойственности:
  <точка континуума, спинорный объект>.
  Эту двойственность можно понимать как далеко идущее
  обобщение принципа неопределенности Гейзенберга
  о взаимном и неразрывном дополнении геометрии и динамики
  (при этом <динамика> в двойственности носит абстрактный характер).
  
  Названная двойственность может быть приведена к одному основанию.
  Например, взяв за основу континуум,
  мы должны, основываясь на его свойствах,
  построить спинорный объект
  (интерпретируя, например, шаг ?? как изотропный вектор).
  Это хорошо известная классика, но возможен и обратный ход:
  от спинорных объектов к континууму.
  Учитывая связь структуры линейных шагов и структуры фундаментальных вращений,
  задаваемой естественным обобщением функции \lambda(n),
  этот ход вполне конструктивен.
  Если же связать спинорные объекты с физическими процессами,
  то можно предположить,
  что само возникновение точечного континуума
  обусловлено этими процессами,
  при этом структура континуума определяется характером процессов.
  
  Этот принципиально новый поворот
  был впервые реализован в БСКО,
  в рамках реляционной парадигмы,
  при которой пространство-время определяется
  физическими взаимодействиями.
  Приведенные выше рассуждения позволяют увидеть
  математическую сторону этого принципиально важного вывода.
  
  Можно также отметить работы А.П. Ефремова,
  в которых связка <точка континуума, кватернион объект>
  //// Ага вот кажется и понял, что значит "вмороженный кватернион".
  //// Ну и тогда становится понятна связка "вмороженный спинор".
  //// И кстати понятно почему и шестимерие появилось,
  //// что заложили, то и получили. Так что подход Бартини,
  //// через группы, топологию, и численный расчет более обоснован.
  //// С ходу "столблю" связку <точка континуума, континуум-объект>.
  //// Вот будет абсолютная "жесть".
  приводила к большому числу самых разнообразных результатов
  физического характера.
  
  Метафизические следствия
  
  Как нам представляется,
  приведенные выше рассуждения показывают,
  что принцип двойственности (количества и порядка)
  обладает большими конструктивными возможностями.
  Более того, этот принцип имеет глубокие связи
  как с принципами инвариантности
  и неопределенности (дополнительности).
  Характер этих связей еще требует осмысления.
  
  ЛИТЕРАТУРА
  
  1. Векшенов С.А. Метафизика инвариантности // Метафизика. - 2011. - ? 2.
  
  2. Векшенов С.А. Метафизика двойственности // Метафизика. Век ХХI. - Вып. 4.
  - М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2011. - С. 91-114.
  
  .....
  
  //// Так с этой темой пожалуй будем заканчивать.
  //// Какой-то результат есть. Теперь действительно надо осмыслять.
  
  //// Конец цитирования.
  
  В общем, цепочка "порядковая бесконечность" - "фундаментальное вращение"
  - "абстрактное движение", пока воспринимается достаточно смутно.
  С другой стороны, мысли, возникшие при проработке такого рода текста,
  почему-то глубже и интереснее, чем при прочтении большей части фантастики.
  Так что стоит эту работу и продолжить,
  и пораскапывать старые архивы, может "в свете вскрывшихся фактов"
  что-то еще может "заиграть новыми красками".
  
  Короче, "show must go on".
  
  
  =======
  
  08.07.2023 13:29 - 26.10.2024 16:38
  
  Долбежка "бардака". Часть 1.
  В оглавление.
  
  В ожидании заключительной части "нестандартного формализма"
  есть возможность "подолбить" совершенно иную часть классической математики
  - теорию хаоса.
  Тем более, что уже давно в закладках лежит сам по себе интересный,
  познавательный материал и очень хорошо иллюстрированный материал,
  который до появления этого модуля никак не удавалось никуда пристроить.
  Отличительная особенность, и на мой взгляд, достаточно уникальная особенность
  этого материала в самом подходе связать различные математические идеи
  и достаточно простую и наглядную квази-физичную модель.
  Это позволяет "пробросить мостик" между абстрактными формулами
  и их интуитивным пониманием.
  И это просто идеально соответствует моему подходу/пониманию к математике,
  как очень плодотворному/развитому/сложному/самостоятельному,
  но, все-таки, ИНСТРУМЕНТУ познания реальности/Мироздания,
  а не чему-то абстрактному из "горнего мира" Платона:
  
  "Бардак в идеальном мире. Часть 1".
  Автор: samsergey (Сергей Самойленко)
  https://habr.com/ru/articles/746706/
  8 июл 2023 в 08:05
  
  Очень рекомендую читать этот материал в оригинале
  - там просто замечательные иллюстрации -
  и обратить внимание в комментариях на дискуссию
  о таком важном математическом приеме, как "обезразмеривание".
  Уверен, что Вы найдете там некоторые новые для себя "формулировки",
  которые могут пригодиться в реальной практике,
  намного раньше/чаще, чем собственно обсуждаемые в материале концепции.
  Ну, а я начинаю свою привычную долбежку, с целью выцепить что-то полезное
  для конструирования "метафизики времени".
  
  //// Начало цитирования.
  
  Математика - наука точная и имеет дело с идеальными моделями.
  //// Это иногда и хорошо и плохо,
  //// Но, однозначно, печально,
  //// когда об "идеальности" вначале "почему-то" забывают
  //// и вспоминают только тогда, когда "что-то пошло не так".
  Иной раз это даже рассматривается как недостаток:
  мол, модели ваши, конечно, элегантны, изящны и красивы,
  но реальный мир быстро наведёт в этих идеальных построениях такой бардак,
  что на самом деле всё будет совсем не так,
  как вы, математики, описываете.
  И линий-то идеально прямых не бывает,
  и число \pi мы никогда <точно> не узнаем,
  и большинство уравнений на свете решается только приближённо,
  в общем, это всё нереально правильно и упорядочено.
  
  Всё верно, но математика, как Чак Норрис, настолько крута,
  что способна порождать и внутри идеальных моделей хаос,
  непредсказуемость и чёрт знает что!
  И, как полагается неимоверно крутому персонажу,
  она способна, как породить этот хаос,
  так и дать ему математически точное объяснение.
  Да, я из тех философов, что полагают:
  всемогущий создатель может создать камень,
  который он не сможет поднять.
  //// Следовательно, автор придерживается концепции "неизменности Создателя".
  Знакомство с теорией разрешимости,
  собственно, и делает эту задачу признаком всемогущества.
  Есть серьёзные основания полагать,
  что хаос, неопределённость и неразрешимость,
  не просто не мешают науке и мышлению,
  а являются её неотъемлемыми частями и залогом непрекращающегося развития.
  //// Так же как "неподъемный камень" создает "стимул" для "всемогущего создателя",
  //// что-то там "покумекать" и решить "непосильную задачу".
  
  Постановка задачи
  
  Нашим рабочим примером станут идеальные прыжки идеального шарика
  на идеальном столике с идеальной пружинкой в поле силы тяжести,
  конечно же, идеальном.
  Падение шарика линейно, колебания столика на пружинке линейны,
  все уравнения решаются аналитически.
  Что же может пойти не так?
  
  Рис. Задачка, практически из учебника.
  
  Давайте засучим рукава и пройдёмся по этой задачке, как физики,
  начав с уравнений движения.
  Для падающего с высоты h шарика с массой m получим такую задачу Коши
  (дифференциальное уравнение, плюс начальные условия):
  
  m x''(t) = -mg,\quad x(0) = h,\ x'(0) = 0.
  
  Для подпружиненного столика, на который падает шарик, такую задачу:
  
  m y''(t) = -k y(t),\quad y(0) = 0,\ y'(0) = 0.
  
  Оба уравнения не выражают ничего сложнее второго закона Ньютона.
  Координаты x и y отсчитываются в одной системе,
  с нулём в точке равновесия столика
  (так мы исключаем из уравнений действие силы тяжести на столик).
  Для простоты, положим, что и столик и шарик имеют одинаковую массу.
  
  При любом анализе мы заинтересованы в минимизации числа параметров.
  //// Обратите внимание на этот момент.
  //// Развернутые пояснения, зачем это надо, и как применять,
  //// ищите в комментариях.
  //// А сейчас внимательно следите за техникой.
  В нашем случае, их четыре:
  масса шарика и столика, ускорение свободного падения,
  жёсткость пружины и начальное положение шарика.
  Подбирая подходящие масштабы длины и времени,
  мы способны свести их количество к единице.
  //// Интересно, можно ли в ЛЮБОМ случае свести "количество обобщенных параметров"
  //// к единице, а если нет, то почему?
  //// И может ли быть таким параметром "время"?
  Для этого станем измерять величины x и y в неизвестных пока единицах L,
  а время - в единицах T,
  попутно введя обобщённые координаты q и импульсы p системы:
  
  x = Lq_1,\ x' = \frac{L}{T}p_1,\ y = Lq_2,\ y' = \frac{L}{T}p_2.
  
  Используя такие масштабы, наши уравнения и начальные условия можно переписать:
  
  \begin{align*}&\frac{L}{T^2} \dot{p}_1 = -g,\quad Lq_1(0) = h,\ p_1 = 0\\ &m\frac{L}{T^2} \dot{p}_2 = -k L q_2,\quad q_2(0) = 0,\ p_2(0) = 0.\end{align*}
  
  Здесь величины q_{1,2}, p_{1,2} безразмерны,
  а точки обозначают производную по безразмерному времени.
  Теперь мы можем выбрать такие масштабы, какие нам надо,
  например, подобрать их так,
  чтобы все коэффициенты в уравнениях стали единичными:
  T = \sqrt{k/m},\ L = mg/k.
  В этих масштабах наши уравнения примут чудесный безразмерный вид:
  
  \begin{align*}&\dot{p}_1 = -1,\quad q_1(0) = E,\ p_1(0) = 0\\ &\dot{p}_2 = -q_2,\quad q_2(0) = 0,\ p_2(0) = 0.\end{align*}
  
  Остался лишь один параметр E, тоже безразмерный,
  //// Интересный вопрос к такому "обезразмериванию":
  //// это как научиться искусству сведения задачи к минимальному числу параметров?
  //// От чего отталкиваться, на что ориентироваться?
  который отражает начальное положением шарика
  и вместе с тем, его потенциальную энергию:
  E = \frac{kh}{mg},
  а значит, и энергию всей системы.
  //// Вообще, "безразмерная энергия", наверно, самый удобный и самый распространенный
  //// для динамических систем "параметр".
  //// Вопрос только: насколько это соответствует реальности в общем случае?
  
  Оба наших уравнения элементарно решаются в аналитическом виде:
  шарик - падает, столик - колеблется:
  
  \begin{align*}&q_1 = A+Bt-\frac12 t^2, && p_1 = B-t,\\ &q_2 = C\sin(t + \Phi), && p_2 = C\cos(t + \Phi).\end{align*}
  
  Здесь все параметры A,B,C,\Phi берутся из начальных условий.
  Остался один нюанс:
  когда шарик, падая, сталкивается со столиком,
  они идеально упруго обмениваются импульсами,
  а так как массы у них одинаковые,
  в момент их соударения происходит обмен скоростями:
  p_1 \leftrightarrow p_2, когда q_1 = q_2.
  
  Получается, что вместо численного решения дифференциальных уравнений,
  можно просто рассчитать параболу и синусоиду,
  найти точку их пересечения, и в ней поменять начальные условия,
  передав шарику скорость столика,
  а столику - скорость шарика,
  после чего продолжить расчёт.
  Точку пересечения параболы и синусоиды легко отыскать численно,
  например, надёжным методом Ньютона.
  Вот как может выглядеть решение, для E = 1:
  
  Рис. Обмен импульсами приводит к тому,
  что траектории шарика и столика гладко переходят друг в друга,
  образуя две гладкие траектории,
  в которых верхние кусочки это параболы, а нижние - синусоиды.
  
  Ну, что же, шарик прыгает, столик дрыгается.
  Энергия в системе сохраняется (всё же идеально!),
  так что прыгать и дрыгаться всё может неограниченно долго.
  Чего же тут может быть интересного?
  
  Смотреть на траектории шарика и столика прикольно
  только на протяжении пары десятков подскоков,
  дальше, становится неинтересно,
  потому что информация не накапливается
  и анализировать её приходится в динамике,
  что непросто.
  Здесь может пригодиться полезный прибор - стробоскоп.
  Пока происходит независимое движение шарика и стола,
  смотреть особенно не на что,
  мы можем включать <вспышку> стробоскопа в момент их соударения
  и фиксировать состояние системы в эти моменты.
  Так мы сможем накопить информацию о сотнях и тысячах соударений.
  Вот пример такого расчёта:
  
  Рис. Высоты десяти тысяч соударений для E = 1.
  
  Своеобразная картина:
  не просто невнятный туман, а туман с каким-то намёком на структуру.
  Впрочем, никакой особой закономерности в этом <сигнале> не усматривается.
  Давайте воспользуемся нашей единственной <ручкой> настройки
  и станем менять энергию системы.
  
  Рис. Меняем энергию системы и начинаются чудеса.
  
  Система <ожила>.
  Для небольших начальных высот движение регулярное,
  но по мере достижения определённого порога
  оно становится сложным и напоминает
  какие-то инопланетные сигналы из научной фантастики.
  
  Простое регулярное (периодическое) движение можно различить глазами,
  но лучше с этим справляется спектр сигнала.
  Вот как он меняется при изменении энергии:
  
  Рис. Численные значения частоты здесь не играют особой роли
  и носят условный характер.
  
  Теперь отчётливо видно, что при значениях параметра E >= 1
  нарушается периодичность ударов и начинается сложный сигнал.
  Кроме того, отклонения от периодичности появляются на интервале 0.7 < E < 0.9.
  Спектральный анализ часто используется при работе с динамическими системами
  и позволяет получить качественную характеристику процесса,
  наряду с другими инструментами,
  такими как экспонента Ляпунова или размерность Хаусдорфа.
  
  \\\ Экспонента Ляпунова
  \\\ Величина, характеризующая скорость удаления друг от друга траекторий.
  \\\ Положительность показателя Ляпунова обычно свидетельствует
  \\\ о хаотическом поведении системы.
  \\\ Назван в честь Александра Михайловича Ляпунова.
  
  \\\ Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность
  \\\ - естественный способ определить размерность подмножества
  \\\ в метрическом пространстве.
  \\\ Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями
  \\\ о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть.
  \\\ Например, в трёхмерном евклидовом пространстве
  \\\ хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю,
  \\\ размерность гладкой кривой - единице,
  \\\ размерность гладкой поверхности - двум
  \\\ и размерность множества ненулевого объёма - трём.
  \\\ Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа
  \\\ может не быть целым числом.
  
  //// Вот я не понял как для ДИНАМИКИ процесса можно использовать
  //// размерность Хаусдорфа.
  //// Нужно будет обратить на это внимание и поискать примеры.
  //// Или спросить у Copilot.
  //// Хотя возможно здесь в качестве "пространства" предполагается использовать
  //// "фазовое пространство". Ну, посмотрим дальше.
  
  Однако спектр не сильно помогают нам выявить структуру сложного сигнала:
  видно только, что он становится сложным
  и содержит все частоты,
  приближаясь по своим спектральным характеристикам к шуму.
  
  В таком случае вместо физического пространства,
  имеет смысл обратиться к фазовому пространству,
  которое не содержит информации о времени,
  зато полностью отражает состояние системы:
  значения обобщенных координат и импульсов.
  Таким образом, каждая точка этого пространства
  представляет все необходимые начальные условия,
  и, как правило, задаёт единственную фазовую траекторию,
  которая проходит через эту точку.
  //// Вот эта особенность фазового пространства - "исключение времени" -
  //// это и преимущество такого подхода,
  //// а с другой стороны, его недостаток,
  //// как минимум, из-за некой непривычности/контр-интуитивности.
  //// Но как математический метод/инструмент, безусловно, полезен,
  //// именно за счет создания такой вот "фазовой уникальности"
  //// и возможности рассматривать такое "виртуальное пространство"
  //// с каких-то общих позиций.
  //// Естественно, что привычные "метрики пространства" стоит применять
  //// в таких случаях с "некоторой" осторожностью.
  Фазовой траекторией называется непрерывное многообразие состояний,
  через которое проходит система в течение времени,
  выступающего в качестве неявного параметра.
  Траектория представляет собой некую одномерную линию
  в многомерном пространстве состояний.
  //// Надо подумать, как использовать некий аналог таких "одномерных линий"/"нитей"
  //// в "ткани времени".
  //// Причем, если в "стандартном фазовом пространстве"
  //// время по определению/обычно исключается,
  //// то в "ткани времени" можно попытаться "исключить" нечто иное,
  //// например, ... собственно координаты.
  //// Стоит подумать, как приспособить для этого "технику обезразмеривания"
  
  Для автономных детерминированных систем,
  то есть, полностью определяемых начальными условиями задачи (таких, как наша),
  любая точка траектории однозначно задаёт её полностью.
  Это означает, что различные траектории не должны пересекаться.
  Позже мы увидим, что бывают так называемые особые точки,
  в которых пересекаются особые траектории.
  Эти исключения важны, но нетипичны,
  почти все точки фазового пространства принадлежат
  непересекающимся фазовым траекториям.
  
  Сечения Пуанкаре
  
  Рассматривая одновременное движение шарика и столика,
  мы попадаем в четырёхмерное фазовое пространство (q_1,p_1,q_2,p_2),
  в котором фазовые траектории определяются суммарной энергией системы.
  
  Наши два тела почти всегда двигаются независимо,
  но встречаясь, они упруго сталкиваются.
  В результате фазовые траектории шарика и столика образуют
  сложнейший клубок в четырёхмерном пространстве.
  Анализировать или рассматривать его мало смысла.
  Вместо этого мы опять сосредоточим своё внимание
  только на моментах столкновений шарика и столика,
  то есть, на тех, в которых совпадают их координаты.
  Геометрически это соответствует сечению одномерной фазовой траектории,
  вложенной в четырёхмерное пространство,
  гиперплоскостью q_1=q_2.
  Это сечение породит дискретное множество точек,
  вложенных в секущее подпространство (q_1,p_1,p_2),
  которое уже будет трёхмерным и обозримым.
  //// А вот если исследуется реальная хаотическая система,
  //// то как выбрать/задать эту "секущую" плоскость/проекцию?
  //// Ведь от выбора ее зависит все последующее построение/представление.
  //// Или это возможно только для "идеализированных моделей"?
  
  Рис. Точки соударений на фазовой траектории системы.
  
  Выше мы назвали этот метод <стробоскопическим>,
  однако в теории динамических систем такое построение
  принято называть сечением Пуанкаре.
  Для более вразумительного трёхмерного фазового пространства,
  схематично его можно показать таким образом:
  
  Рис. Сечение линии траектории некоторой плоскостью.
  Дискретное множество точек сечения Пуанкаре принадлежит плоскости
  и показывает структуру траектории.
  
  Таким образом, постепенно абстрагируясь
  от исходной системы дифференциальных уравнений движения,
  мы пришли к дискретному отображению P: (q_1,p_1,p_2)_i \to (q_1,p_1,p_2)_{i+1},
  которое для заданной точки соударения шарика и столика,
  возвращает следующую точку соударения.
  Технически это преобразование вычисляется через поиск
  точки пересечения параболы и синусоиды
  - физических траекторий шарика и столика, как показано на рисунке.
  
  Рис. .....
  
  Преобразование P, которое отображает сечение Пуанкаре в себя,
  называется отображением Пуанкаре.
  Последовательность точек, образуемая отображением, называется его орбитой.
  //// Похоже, именно этот абзац, на первый взгляд, простой и понятный,
  //// я абсолютно не понимаю.
  //// "Отображение сечения в себя" - что сие значит?
  //// Соответственно, смысл термина "орбита" какой-то отличающийся
  //// от интуитивного представления о "движении небесных тел".
  //// Это явно что-то другое, некое обобщение,
  //// которое даже по изображению трудно интерпретировать.
  //// Вот еще один вопрос, который стоит задать Copilot.
  /////// Ага при "третьем заходе" все-таки, кажется, сообразил
  /////// Что это за "отображение в себя" - ключевое здесь похоже:
  \\\ ...для заданной точки соударения шарика и столика,
  \\\ возвращает следующую точку соударения.
  /////// Т.е. "переводит" одно значение из "множества/многообразия"
  /////// в другое значение ИЗ ЭТОГО ЖЕ "множества/многообразия".
  /////// Кстати в таком прочтении все последующие непонятки
  /////// с "порядками" этого отображения уже легко расшифровываются.
  
  Вот пример одной такой орбиты:
  
  Рис. Математика - наука точная и имеет дело с идеальными моделями.-16
  //// Математика, с другой стороны, имеет дело с людьми,
  //// желающими ее понять.
  
  Стало куда интереснее!
  Во-первых, мы видим уже не беспорядочное облако точек,
  в хаосе просматривается кое-какая структура
  с более или менее симметрично расположенными пустотами в море беспорядка.
  Но самое примечательное свойство этого множества состоит в том,
  что оно, похоже, лежит на сфере, то есть, двумерно.
  Это означает, что существует какая-то жёсткая связь между координатами,
  какое-то уравнение, описывающее поверхность,
  которой принадлежат точки состояний.
  
  С точки зрения физики, такое уравнение очевидно
  - это закон сохранения энергии в изолированной системе.
  //// А какие еще "фундаментальные законы" можно использовать?
  //// И связано ли это как-то с принятыми "обобщенными параметрами"?
  /////// Или другой вопрос: а если не "сфера", а что-то на порядок сложнее,
  /////// или вообще "фрактал", т.е. бесконечная сложность,
  /////// какие законы, или принципы в таких случаях можно использовать?
  /////////// Забегая далеко вперед, напрашивается "еретическая мысль",
  /////////// что такими "надзаконами" с бесконечной сложностью,
  /////////// могут быть сами решения из "теории хаоса",
  /////////// но как это сделать совершенно непонятно.
  Запишем сумму всех видов энергии в какой-то момент времени:
  
  q_1+\frac12p_1^2+\frac12q_2^2+\frac12p_2^2 = E.
  
  А так как в момент соударения q_1=q_2,
  то для множества стробоскопических точек мы получаем уравнение:
  2q_1+q_1^2+p_1^2+p_2^2 = 2E,
  которое легко привести к каноническому виду уравнения сферы:
  
  (q_1+1)^2+p_1^2+p_2^2 = 2E+1.
  
  Теперь очевидно, что точки соударений действительно,
  лежат на сферической поверхности c радиусом \sqrt{2E+1}
  и с центром в точке (-1, 0, 0).
  Это уравнение, кстати, даёт нижнюю границу для возможной энергии: E = -1/2.
  
  Пример, показанный выше, был рассчитан для начального соударения
  с фазовыми координатами (0, -\sqrt{2}, 0).
  Этой точке соответствует энергия E=1,
  однако тому же значению энергии соответствуют
  и другие начальные положения и скорости тел при их соударении.
  //// Т.е. "обобщенный параметр" E=1, обладает "слишком обобщающим свойством",
  //// который в реальности приходится детализировать?
  //// Т.е. это скорее не "обобщенный параметр", а "параметр группировки".
  //// Мне кажется, что это явно недостающий элемент
  //// к пониманию технологии "обобщающих параметров".
  /////// А может, и нет.
  /////// Нужно разбираться - это явно тема для следующей долбежки.
  Перебирая точки на сфере,
  //// А чем можно заменить "перебор"?
  //// Или это принципиально не предполагается или просто невозможно?
  //// И с чем это связано?
  /////// Вроде как понял, разобравшись с определением "отображения".
  мы можем получить сечение Пуанкаре
  для семейства разных орбит, имеющих одинаковую энергию.
  Вот пример построения такого семейства:
  
  Рис. .....
  
  Изобразив орбит побольше, и поиграв с цветами можно получить
  очень симпатичную картину.
  Неправда ли, сечение Пуанкаре похоже на гигантскую газовую планету!
  
  Рис. Математика - наука точная и имеет дело с идеальными моделями.-20
  
  Как видно, орбиты бывают разными.
  Одни из них представляют собой односвязные замкнутые линии,
  другие распадаются на множество несвязных замкнутых линий,
  наконец, есть хаотичные орбиты, заполняющие поверхность сферы облаком точек.
  Проще всего наблюдать орбиты именно этих типов,
  но кроме них есть периодические орбиты состоящие из конечного набора точек.
  Анализ отображения P, структуры его орбит,
  переход орбит из одного типа в другой,
  по мере увеличения энергии системы,
  и представляет предмет исследования системы
  методами теории хаоса гамильтоновых систем.
  //// Вот где-то здесь, и в прошлый раз, и, к сожалению, в этот раз тоже,
  //// теряю "нить представлений".
  //// Что-то не связываются у меня изображение "газовой планеты"
  //// и понятие "орбита" в данном контексте.
  //// Ну не вижу я "структуры орбит" и их "переходов".
  //// Не хватает какого-то пространственного воображения
  //// - не могу как-то связать точки на "Сечении Пуанкаре"
  //// с реальным поведением такой простенькой модели.
  //// Попробую еще раз.
  /////// Нет, похоже, чего-то не понимаю.
  /////// Может быть смысла данного "обобщенного параметра",
  /////// точнее, по-видимому, интуитивное его понимание как "однозначного параметра",
  /////// не соответствует его фактической "бесконечно-вариантной" реализации
  /////// в фазовом пространстве - иначе, зачем нужен тот самый "перебор" -
  /////// в результате которой получается такая картинка "газового гиганта".
  /////// Похоже, на сегодня устал. Продолжим завтра на свежую голову.
  ////////// И только при разборе иллюстрации из следующей части "бардака",
  ////////// меня "посетило просветление" по данному вопросу.
  ////////// Так что, если у кого-то схожие затруднения,
  ////////// то не отчаивайтесь, есть еще "свет в конце тоннеля",
  ////////// и это не "свет идущего навстречу поезда".
  
  Гамильтоновыми называют замкнутые изолированные автономные системы,
  в которых нет потерь энергии.
  Кажется, что в реальном мире такие системы найти или построить трудно,
  поскольку абсолютно изолированных систем практически не бывает.
  Тем не менее они встречаются и анализировать их имеет смысл.
  Вести себя по-гамильтоновски
  и демонстрировать при этом хаотическое поведение,
  будет неидеальная механическая система,
  в которой подавляющая часть энергии сосредоточена
  в движении и потенциальных полях.
  Диссипация или приток энергии извне в такие системы, если и происходит,
  то он пренебрежимо мал на масштабах времени,
  в течение которого происходит отображение Пуанкаре.
  Даже если после тысяч и миллионов таких отображений
  будет заметен вклад внешних возмущений и потерь,
  мы всё равно будем наблюдать эффекты гамильтоновой динамики
  в определённом диапазоне временных масштабов.
  
  В основном, примеры таким систем встречаются в квантовой механике
  или в теории квантовых полей.
  Но их можно найти и в механике.
  Например, в атмосфере газовых гигантов
  вихри имеют колоссальные размеры, массы и импульсы,
  так что вязкость пренебрежимо мала по сравнению с их инерцией.
  В движении планет, а также спутников и колец вокруг них,
  силы тяжести и инерции также несоизмеримо больше приливных потерь
  или влияния внешних тел.
  Именно методы анализа гамильтонова хаоса
  разработанные Колмогоровым, Арнольдом и Мозером,
  позволили разобраться с формированием структуры планетарных систем и колец.
  Как гамильтоновые системы можно рассматривать
  осцилляторы со многими степенями свободы,
  нелинейные бильярды и даже информационные сети.
  
  Давайте полюбуемся на семейства орбит отображения Пуанкаре
  для различных энергий.
  Посмотрите, как появляются первые признаки хаоса,
  и как постепенно хаотическое море затапливает фазовое пространство.
  
  Рис. ....
  
  Понижаем размерность ещё на единицу
  
  Мы с вами прошли по цепочке абстракций:
  Уравнения движения -> траектории движения -> фазовые траектории ->
  сечение и отображение Пуанкаре -> орбиты отображения Пуанкаре.
  
  То, что орбиты лежат на двумерной поверхности в фазовом пространстве,
  позволяет нам совершить ещё один шаг на пути к упрощению нашей системы,
  и перейти от трёхмерного сечения Пуанкаре к плоскости.
  Введя стандартные сферические координаты:
  широту \phi и долготу \theta,
  мы можем построить преобразованию точек на сфере:
  \Pi : (\varphi_i,\theta_i) \to (\varphi_{i+1},\theta_{i+1}).
  Оно уже не имеет очевидного механического смысла,
  но работать с ним будет гораздо проще,
  поскольку оно преобразует двумерное пространство.
  
  Для того чтобы построить сферические координаты,
  следует определиться с экватором и нулевым меридианом.
  Для этого воспользуемся физическими симметриями нашей системы.
  Физики и математики помешаны на симметриях,
  и неспроста:
  это самые живучие свойства систем,
  которые проходят сквозь все абстракции.
  //// А почему? Что первично в этом вопросе - сами системы или их абстракции?
  
  Во-первых, наша механическая система описывается уравнениями,
  инвариантными относительно направления времени t \to -t.
  Во-вторых, если мы обратим время вспять,
  и одновременно с этим произведём замену (p_1,p_2)\to(-p_1,-p_2)
  то получим точно такую же орбиту.
  
  Рис. Симметрия относительно направления времени и смены знаков скоростей.
  При смене направления времени, траектории полностью совпадут.
  
  В-третьих, при обмене импульсами во время удара,
  происходит замена (p_1,p_2)\to(p_2,p_1).
  Если одновременно с ней мы сменим направление времени,
  то останемся на одной орбите,
  просто продолженной <в прошлое>.
  
  Рис. Симметрия относительно направления времени и обмена импульсами.
  
  //// Для "метафизики времени" таких приемов с "обращением времени",
  //// наверно, стоит избегать, или как-то иначе сформулировать/реализовать.
  //// Хотя в данной конкретной модели каких-то проблем, так с ходу, не видно.
  //// Посмотрим, что это дает.
  
  Фазовое пространство никак не связано направлением времени,
  зато в нём физические симметрии превращаются в геометрические.
  Наши две симметрии тоже имеют чудесное геометрическое представление:
  замене (p_1,p_2)\to(-p_1,-p_2) соответствует
  зеркальная симметрия относительно плоскости p_1=-p_2,
  а замене (p_1,p_2)\to(p_2,p_1)
  - зеркальная симметрия относительно плоскости p_1=p_2.
  Вот как выглядит семейство орбит с этими двумя плоскостями симметрии.
  
  Рис. Семейство орбит и плоскости симметрии фазового пространства.
  В плоскости (?, ?) они превращаются в оси симметрии.
  
  Теперь очевидно, что за экватор имеет смысл принять линию p_1=p_2
  (красную на рисунке),
  а за нулевой меридиан - линию p_1=-p_2(зелёную).
  Точке пересечения нулевого меридиана с экватором
  соответствует состояние системы в равновесии
  - шарик лежит на столике и оба покоятся.
  При таком выборе переход из фазовых координат в координаты на сфере,
  соответствующей энергии E производится несложно:
  
  \theta = \mathrm{arccos}\left(\frac{p_1-p_2}{\sqrt{4E+2}}\right),\quad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{p_1+p_2}{q_1+1}\right).
  
  Симметрия относительно экватора позволяет ограничиться анализом орбит
  только одного <полушария> сферы.
  В таком случае можно построить карту орбит либо в цилиндрической,
  либо в азимутальной проекции.
  
  Рис.
  
  Стоит заметить, что на этих картах показаны только некоторые орбиты.
  На тех участках, что остались белыми какие-то орбиты тоже есть.
  Каждая точка на сфере принадлежит какой-то орбите,
  однако если попытаться показать их все,
  то выйдет невразумительная каша.
  //// А какие именно "орбиты" все-таки показаны?
  //// Интуитивно, указанные изображения напоминают карту какого-то ландшафта,
  //// и ей катастрофически не хватает "легенды",
  //// в привязке именно к исходной модели.
  
  Динамика отображения
  
  В нашем распоряжении оказался занятный объект:
  отображение сферы саму на себя (автоморфизм),
  //// Не понимаю.
  /////// С пятой попытки все же понял.
  /////// Но для этого пришлось проработать уже следующую часть.
  
  \\\ Автоморфизм - изоморфизм между математическим объектом и им самим;
  \\\ отображение, изменяющее объект с сохранением всех его изначальных свойств.
  
  про которое мы знаем только, как оно вычисляется.
  Наш автоморфизм не похож на функцию, его график нарисовать непросто.
  Главное преимущество отображения \Pi
  над всеми предыдущими степенями абстракции
  состоит в том, что оно действует на полусфере,
  топологически эквивалентной диску
  - компактному объекту, который можно изобразить и увидеть целиком,
  не прибегая ни к каким ухищрениям.
  При этом, такое до предела упрощённое преобразование
  всё ещё содержит симметрии исходной физической системы
  и демонстрирует самую интригующую его особенность
  - способность порождать хаос.
  
  Предлагаю пока без глубокого анализа поэкспериментировать с преобразованием \Pi,
  чтобы почувствовать его свойства.
  Напомню, что для каждого значения полной энергии системы E
  однозначно определяется некоторая сфера в сечении Пуанкаре
  и отображение \Pi на ней.
  //// О, это важный момент, но понимаешь это много позже.
  Так что мы имеем дело с семейством отображений,
  параметризованных величиной E.
  
  27.10.2024 9:26
  
  Эксперимент 1
  
  А что если от отдельных точек соударений,
  которые мы рассматривали до этого,
  попробовать перейти ко всему диску целиком?
  Давайте посмотрим на то, как отображение \Pi для разных энергий
  обходится с координатной сеткой в азимутальной проекции.
  //// Что есть "координатная сетка". Опять что-то прогулял.
  //// Вернулся. Но ничего похожего на "сетку" не увидел. Печально...
  //////// А вот теперь понял. Именно с учетом указанного выше момента,
  //////// и предыдущей строчки формул.
  
  Рис. Преобразование меридианов и параллелей отображением Пуанкаре
  для различных энергий.
  
  Несмотря на достаточно сложное нелинейное действие отображения,
  в этом эксперименте проявляется очень важное его свойство:
  оно непрерывно и сохраняет топологию диска.
  //// Непрерывность ЧЕГО?
  //// Ох, как трудно иногда понять "очевидные" математические изыски.
  //////// Но все-таки можно. Формулы вычисления "координатной сетки"
  //////// действительно непрерывны. См. выше.
  Здесь нет противоречия с тем, что \Pi дискретно во времени,
  смысл топологической непрерывности состоит в том,
  что малую окрестность любой точки \Pi отображает
  в окрестность образа этой точки.
  В нашем эксперименте сохранение топологии проявляется в том,
  что координатные линии, причудливо искривляясь,
  во-первых, нигде не разрываются,
  а во-вторых не образуют новых пересечений.
  //// Вроде как и понятно, что следует из такого абзаца:
  \\\ При таком выборе переход из фазовых координат в координаты на сфере,
  \\\ соответствующей энергии E производится несложно...
  //// Но вот интуитивно ощутить/понять/принять,
  //// что есть такое "координатные линии", мне лично, очень трудно.
  //// Тут явно, как минимум, одного поясняющего абзаца не хватает
  //// "для тех кто в танке".
  
  Всё это делает отображение П гомеоморфизмом,
  то есть, непрерывным отображением сферы саму на себя.
  Это важное свойство.
  На результаты этого преобразования, представленных в виде облака точек,
  мы уже насмотрелись.
  Точки образуют дискретное множество,
  которое непросто анализировать,
  в этом дискретном тумане теряется суть.
  Непрерывность позволит нам увидеть тонкие детали
  и выявить механизм возникновения хаоса из порядка.
  //// Тут, наверное, самая главная идея - это переход "от множества к линии",
  //// как более наглядному представлению.
  //// Но как совершать такие переходы в нужных ситуациях,
  //// к сожалению, я так и не понял.
  //// Но взял на заметку, есть о чем подумать.
  
  Наш эксперимент продемонстрировал ещё одно важное свойство отображения \Pi
  - его гладкость.
  Оно не только не производит разрывов в координатных линиях сетки,
  но и оставляет их гладкими кривыми,
  имеющими, по крайней мере, хорошие первые производные.
  //// Наверно, все-таки за исключением момента собственно соударения.
  //// Ох, как не хватает уточнения.
  А это значит, что к такому отображению применимы методы математического анализа:
  его можно дифференцировать, отыскивать особые точки
  и вычислять всевозможные локальные характеристики,
  такие как матрица Якоби и её спектр.
  
  Эксперимент 2
  
  Давайте посмотрим теперь на то,
  как непрерывное и гладкое отображение Пуанкаре порождает хаос.
  Зафиксируем значение энергии E = 1,
  и будем применять к двум линиям координатной сетки отображение \Pi^n,
  повышая степень n.
  //// А что это за такое "возведение в степень отображение"?
  //// Какой "физический" или "геометрический" смысл за этим стоит?
  //// Абзац, вводящий в контекст это отображение \Pi
  \\\ Введя стандартные сферические координаты: широту ?и долготу ?,
  \\\ мы можем построить преобразованию точек на сфере...
  //// Ничего не сообщает о возможности/полезности его "многократного применения"
  //// Опять отсылка к "отсутствующим" знаниям/интуициям/пониманиям.
  /////// Нет, это неявно было в определении собственно отображения,
  /////// но здесь бы не мешало бы уточнение, что "повышениее степени"
  /////// рассматривается как последовательное применение того же отображения.
  /////// Это пояснение будет где-то уже в следующей части,
  /////// а тут его явно не хватает.
  
  Рис. Сегодня будет много мультиков, так что берегите трафик!-12
  
  Мы становимся свидетелями ключевого механизма в теории динамического хаоса
  - перемешивания фазового пространства.
  Два множества точек, красные и синие, оказываются перемешаны,
  при этом изначально близкие точки становятся далёкими,
  а удалённые - сближаются.
  Но при всём притом, преобразование умудряется оставаться непрерывным и гладким.
  Таким же свойством обладает развитая турбулентность на крупных масштабах.
  
  Мы можем более детально взглянуть на то что делается
  с отдельными точками <внутри> перемешивания,
  плавно меняя фазу (угол \varphi) начальных множеств.
  //// Но смысл этого "угла \rphi" так и не был выше объяснен,
  //// а была только формула его вычисления
  //// из НЕКОТОРЫХ составляющих фазовых координат.
  //// Опять отсылка к отсутствующим знаниям.
  
  Рис. Сегодня будет много мультиков, так что берегите трафик!-13
  
  Красота! А ведь это ещё не хаос, а просто сложное движение.
  В приведённом выше примере отображение \Pi было применено всего 25 раз.
  Для изображения хаотических орбит в предыдущих иллюстрациях,
  использовались десятки тысяч итераций!
  
  Именно перемешивание фазового пространства
  ответственно за чувствительность к начальным условиям,
  которая приводит к тому,
  что при попытке рассчитать движение системы
  из двух очень близких начальных состояний,
  мы быстро обнаружим, что наши решения, неотличимые вначале,
  станут отличаться всё сильнее и сильнее,
  пока не разойдутся окончательно.
  Впрочем, далеко они всё равно уйти не смогут,
  поскольку сфера компактна
  и любые две точки обречены оставаться в её пределах.
  
  Для сравнения полезно взглянуть на то,
  как обстоят дела при малых энергиях, на которых хаоса мы не наблюдали.
  
  Сегодня будет много мультиков, так что берегите трафик!-14
  
  Рис. В этом примере E = 0.5.
  
  После 25 итераций по линиям бежит характерная рябь,
  но перемешивания не происходит.
  Конечно, после сотни применений отображения \Pi
  линия сильно вытянется
  и кое где закрутится вихрями,
  но наш предыдущий опыт построения орбит из десятков тысяч итераций показывает,
  что тем не менее, для малых энергий все орбиты остаются стабильными.
  Нам предстоит понять, каким образом происходит качественный скачок (бифуркация),
  превращающий рябь и вихри в настоящий хаос.
  
  Эксперимент 3
  
  Размышляя о высокой чувствительности к начальным условиям,
  мы можем прийти к выводу, что в таких системах численный расчёт
  имеет мало смысла.
  Может быть источником хаоса в этой системе является метод Ньютона,
  дающий лишь хорошее, но конечное приближение к новой точке,
  а также ограниченность числа разрядов,
  используемых при вычислениях?
  Это и так и не так.
  Давайте сравним семейства орбит, вычисленные с использованием
  чисел с плавающей точкой различной разрядности.
  
  Рис. ...
  
  Каждая орбита содержит по 10 000 точек.
  Видно что при совсем уж низкой разрядности картина теряется,
  но уже с использованием Float16 структура орбит принимает знакомые очертания.
  При дальнейшем повышении разрядности меняется только хаотический туман,
  но и в нём сохраняется некая <тонкая структура> в виде островов порядка.
  Получается, что хаотические орбиты ожидаемо чувствительны к точности вычислений,
  однако остаются строго в своих границах.
  Самое же главное: переход от порядка к хаосу,
  сложная структура орбит и природа перемешивания,
  происходят не из-за ошибок округления
  и полностью определяются непрерывным и гладким преобразованием \Pi
  и его свойствами.
  //// Так что же такое это "гладкое преобразованием \Pi",
  //// вроде как предназначенное для отображения существенно нелинейного движения.
  /////// С "отображением", вроде, разобрался.
  /////// А вот с "гладкостью" остались вопросы.
  
  Эксперимент 4
  
  Напоследок, давайте выясним, как под действием преобразования
  формируются отдельные орбиты в хаотическом режиме (E=1).
  Для этого, как и прежде, выстроим ряд точек вдоль нулевого меридиана,
  а потом будем накапливать их отображения.
  
  Рис. Сегодня будет много мультиков, так что берегите трафик!-15
  
  Это один из самых полезных наших экспериментов.
  Он показывает структуру особых точек, полюсов,
  и динамику их окрестностей.
  О смысле и свойствах этих структур мы поговорим в следующий раз.
  
  //// Классно.
  
  .....
  
  //// Из комментариев.
  
  belch84
  8 июл 2023 в 13:04
  
  \\\ Но у меня вопрос: какое практическое применение этому знанию может быть?
  \\\ Это где-то в расчетах чего-то практичного используется?
  
  Практическое применение таково, что картинки дают понимание
  внутреннего устройства хаотических систем,
  а также того, как можно при помощи изменения параметров управлять ими,
  чтобы добиться желаемого поведения,
  например, превратить хаотическое движение в периодическое
  (а иногда, допустим, в криптографии, наоборот,
  добиться именно хаотического поведения).
  Хаотические процессы встречаются где угодно,
  и в аэродинамике, и в динамике газов и жидкостей
  
  ......
  
  samsergey
  8 июл 2023 в 12:59
  
  Преимущественно, теория хаоса ищет ответы на фундаментальные вопросы.
  Однако, еe близкая родственница - теория катастроф
  уже помогает избегать неприятностей, типа бифуркаций Хопфа,
  приводящих к автоколебаниям: флаттеру крыла самолeта,
  раскачиванию балок или мостовых конструкций под действием ветровых нагрузок.
  Другие бифуркации, локальные или глобальные,
  помогают правильно понять динамику вулканических извержений,
  популяционных вспышек, и некоторых климатических явлений.
  На конференциях по теории хаоса я встречал доклады
  на темы касающиеся природы эпилепсии, фибрилляции сердечных мышц,
  проблем автоматизации дорожного движения, химических автокаталитических систем,
  спонтанной намагниченности метаматериалов и смены полюсов Земли.
  Первые работы по теории хаоса касались чисто практических проблем
  прогноза погоды и биржевых котировок.
  А уж модную в последние лет 20 самооорганизующуюся критичность,
  как источник "черных лебедей", вспоминают при любом удобном случае,
  где надо и где не надо,
  сейсмологи, социологи, эпидемиеологи и нейрофизиологи.
  
  Мне самому доводилось принимать участие в чисто практической инженерной работе
  по избеганию хаотического режима в системе активного подавления колебаний
  подвески сиденья для водителя в карьерной технике.
  
  Там где есть место математическому моделированию динамики нелинейных систем,
  надо быть готовым к тому,
  что модель или система может оказаться способной генерировать хаос
  и результаты моделирования будут лишь качественно соответствовать явлению.
  
  .......
  
  belch84
  8 июл 2023 в 14:07
  
  \\\ Картинки очень красивые, анимированные.
  
  Я бы даже так сформулировал основное правило для какого-нибудь робота,
  наблюдающего за визуальным представлением динамического процесса:
  <Как только картинка из скучной превращается в красивую
  - немедленно зови кожаного оператора-человека!>
  
  Плохо только, что такие изменения часто происходят скачкообразно,
  и смертельно опасная красота приходит неожиданно
  
  .....
  
  Мне иногда в голову приходит, что дискретные динамические системы
  (описываемые последовательностью состояний)
  в теории динамических систем играют примерно такую же роль,
  как дрозофилы в генетике,
  т.е. позволяют исследовать общие закономерности.
  А исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями
  - это уже аналог прикладной генетики,
  вроде выведения новых пород свиней или генно-модифицированных растений
  
  ........
  
  samsergey
  15 июл 2023 в 14:11
  
  Ирония состоит в том,
  что методы анализа дискретных систем опираются
  на топологию и анализ непрерывных отображений.
  //// Очень интересное замечание.
  //// Т.е. отношение между "дискретными" и "непрерывными" системами
  //// и представлениями об их поведении,
  //// само по себе очень "нелинейно" и, может быть, тоже "несколько хаотично".
  
  ......
  
  kokonT
  8 июл 2023 в 13:25
  
  @samsergey, скажите пожалуйста, изменится ли качественно
  фазовый портрет рассмотренной системы,
  если перейти к более физической модели
  - избавиться от идеальности столкновения
  и мгновенного обмена импульсами между шариком и столиком?
  
  .......
  
  samsergey
  8 июл 2023 в 23:43
  
  Если вместо столкновения использовать отталкивание, например, кулоновское,
  а в качестве сечения - моменты минимального сближения,
  то картинка исказится, но останется в целом такой-же,
  вместо сферы будет некоторая более сложная поверхность,
  но характерные паттерны гамильтонового хаоса универсальны.
  Если же мы добавим рассеяние энергии,
  то полюсы (семейства эллиптических орбит)
  превратятся в фокусы (семейства спиралей).
  При малом рассеянии спирали будут плотными
  и могут успеть сформировать ряд гамильтоновых структур.
  Но по мере развития системы сфера будет "сдуваться",
  а хаотические и когерентные структуры будут исчезать.
  
  .......
  
  iShrimp
  8 июл 2023 в 22:07
  
  А много ли на самом деле хаоса в хаотических системах?
  
  Рассматривая множество Мандельброта, можно заметить, что
  (1) оно связно;
  (2) оно состоит из сателлитов, соединённых тонкими нитями;
  (3) при увеличении любого участка нити в конце концов
  обнаруживается либо сателлит, либо точка ветвления.
  
  Множество Мандельброта имеет "иглу" вдоль отрицательной части вещественной оси,
  которая соответствует бифуркационной диаграмме отображения x := r*x*(1-x).
  Каждый сателлит соответствует некоторому циклу в данном отображении.
  Если мы возьмём и увеличим любой участок между сателлитами,
  то рано или поздно обнаружим меньший сателлит,
  соответствующий циклу большего порядка.
  Т.е. получается, что зоны "хаоса" в бифуркационной диаграмме
  на самом деле состоят из бесконечного множества циклов
  (очень больших, но всё же периодических)
  и отдельных точек настоящего хаоса?
  //// Вот эта бесконечная "периодичность" меня очень заинтересовала.
  //// Где бы почитать, как это можно представить,
  //// возможно тоже в виде какого-то "пространства"/"сечения".
  
  samsergey
  9 июл 2023 в 00:16
  
  Различают хаотическую динамику и стохастическую.
  В последней нет внутренней структуры и она истинно случайна,
  например, в силу огромного количества степеней свободы
  или отсутствия памяти в системе
  (падение капель дождя на крышу, поток космических частиц
  или машин на шоссе и т.п.).
  Динамический хаос же, порождаемый простыми системами,
  типа отображения Мандельброта, действительно, можно анализировать
  и находить в нeм сложный порядок
  (самоподобные фрактальные структуры, симметрии и т. д. ).
  Однако эти структуры не мешает хаосу быть непредсказуемым
  на разумно больших временах.
  
  У логистического отображения x \to rx(1-x)
  хаос, действительно, начинается из-за каскада удвоения периода,
  но этот каскад имеет в пределе хаотический режим,
  занимающий на бифуркационной диаграмме не отдельные точки,
  а большие области с канторовыми подмножествами упорядоченных областей.
  В этом примере через удвоение периода происходит переход от порядка к хаосу,
  сама же хаотическая динамика связана
  с перемешиванием одномерного фазового пространства
  "преобразованием пекаря",
  имеющим сплошной спектр,
  \\\ Преобразование пекаря
  \\\ Нелинейное отображение единичного квадрата на себя,
  \\\ которое демонстрирует хаотическое поведение.
  \\\ Название <отображение пекаря> происходит из-за его сходства
  \\\ с замешиванием теста.
  и происходящая в широком диапазоне параметра r.
  
  .......
  
  StjarnornasFred
  10 июл 2023 в 11:23
  
  Очень интересно и на всякий случай поставил плюс,
  но вот где-то после этих слов...
  
  \\\ При любом анализе мы заинтересованы в минимизации числа параметров.
  
  ...стало непонятно.
  А зачем, собственно, минимизировать число параметров,
  не проще ли работать с общепонятными физическими величинами,
  чем с безразмерными производными параметрами?
  
  ......
  
  samsergey
  10 июл 2023 в 13:29
  
  Приведение к безразмерному виду это стандартный для физики инструмент,
  который преследует множество практически важных задач:
  
  1) уменьшение числа параметров без потери информации о системе,
  (любое многообразие всех геометрически и физически подобных решений
  превращается в одно решение);
  
  2) уменьшение числа симметрий за счeт исключения тривиальных симметрий подобия,
  а заодно и выявление этих симметрий подобия;
  
  3) приведение всех величин к однородным числовым значениям,
  с которыми возможна любая арифметика;
  
  4) независимость от каких либо систем единиц измерения;
  
  5) выделение характерных масштабов рассматриваемых явлений,
  что важно для качественного анализа задачи;
  
  6) приведение существенной части числовых величин к порядку единицы,
  что очень полезно для устойчивости и точности
  практически всех численных алгоритмов.
  
  Я как-то писал подробнее об этом методе на Хабре
  (Безразмерный воздушный шар. Утилитарная магия анализа размерностей).
  https://habr.com/ru/articles/416151/
  
  В конце концов, нам ведь не важен конкретный шарик с конкретной пружинкой
  - сам по себе расчёт движения не является целью
  с которой мы приступили к решению задачи.
  Цель: выявить нетривиальные особенности динамики
  и объяснить механизм их возникновения.
  Поэтому с помощью перехода к безразмерным единицам,
  мы рассмотрели все шарики и столики с пружинками разом,
  оставив переменной только самую существенную
  и, что важно,
  неизменную во времени величину - полную энергию системы.
  
  .......
  
  FiverFK
  10 июл 2023 в 12:55
  
  Может быть я утону в минусах, но есть вопрос к автору.
  Для понимания: я на бакалавре учился на инженера
  и сейчас по работе я очень далек от точных наук,
  но базовые вещи в голове еще сохранились.
  
  Так вот, первый эксперимент мне кажется относительно простым
  с точки зрения общего понимания,
  потому что он о процессе, который человек может визуально наблюдать.
  Меня беспокоит не сам анализ,
  а способ подачи автором этого анализа.
  Самое простое, потенциальная энергия равна E = kh/mg,
  когда самый простой пример из физики E = mgh,
  в обоих случаях mg = F - сила, которая измеряется в ньютонах.
  В физике преподают так,
  что сила всегда в числителях,
  а у вас в знаменателе.
  У вас переход объясняется, но как же такое путает.
  Я согласен с мнением,
  что о комплексных вещах порой простым языком не поговорить,
  но все таки, как же это путает.
  
  Надеюсь я не один такой,
  но можно попросить вас упростить анализ
  или хотя б использовать общепринятые формулировки
  (я про физику, не математику)?
  
  Для удобства математического анализа,
  можно все перевернуть вверх ногами,
  но в итоге это может закончится тем,
  что помимо других математиков,
  вас мало кто поймет.
  
  samsergey
  10 июл 2023 в 13:52
  
  Безразмерный параметр E можно интерпретировать по-разному.
  
  1) Как отношение характерных потенциальных сил в задаче:
  силы упругости к силе тяжести:
  E=F_{spring}/F_{gravity}.
  
  2) Как отношение потенциальных энергий E=({}^1/_2 kh^2)/(mgh)
  (при этом вылезает двойка, но еe можно спрятать в масштаб длины).
  
  3) как отношение начальной высоты шарика к характерному масштабу длины E=h/L,
  при котором сила упругости будет компенсироваться силой тяжести kL=mg.
  
  Поскольку в дальнейшем анализе существенную роль играет энергия,
  как инвариант во времени,
  //// А что может являться "инвариантом пространства"
  //// при попытке заменить "фазовое пространство" "тканью времени"?
  определяющий параметр многообразия, на котором располагаются орбиты,
  и запускающий сценарий перехода к хаосу,
  я интерпретирую E, как энергию.
  Вы верно заметили, что энергия шарика
  должна быть пропорциональна начальной высоте,
  вот она и пропорциональна, всe правильно.
  То, что mg при этом оказалось в знаменателе,
  связано с тем, что в энергию упругости
  расстояние входит в более высокой степени, чем в энергию гравитации.
  
  К сожалению, если тащить в анализ задачи метры с килограммами,
  до математики дело вообще не дойдёт.
  А работа с безразмерными уравнениями и параметрами
  это и есть общепринятый в физике и инженерной механике подход.
  Вспомните критерии подобия Рейнольдса, Кнудсена, Релея, Грасгоффа, Архимеда,
  Струхаля, Галилея, Жуковского, Прандтля...
  Именно на этих безразмерных числах строится инженерная гидромеханика,
  теплофизика, аэродинамика и многие другие прикладные разделы.
  
  mayorovp
  10 июл 2023 в 14:31
  
  \\\ Безразмерный параметр E можно интерпретировать по-разному...
  
  ...но энергии среди этих интерпретаций нет,
  если лишь отношение двух потенциальных энергий.
  
  \\\ А работа с безразмерными уравнениями и параметрами
  \\\ это и есть общепринятый в физике и инженерной механике подход.
  
  Это понятно, только вот называть безразмерную величину как размерную
  - нельзя,
  если только ваша задача не состоит в том чтобы всех запутать.
  
  samsergey
  10 июл 2023 в 14:35
  
  Почему же нет, есть.
  Просто измеряется она не в Джоулях или калориях,
  а в безразмерных единицах.
  В любом случае, удвоение начальной высоты шарика увеличит ее вдвое.
  
  mayorovp
  10 июл 2023 в 14:38
  
  Энергия не может измеряться в безразмерных единицах,
  любая единица, в которой вы её измеряете,
  автоматически становится её размерностью.
  
  Какой смысл переходить к безразмерным величинам
  только для того чтобы наделить их размерностями обратно?
  
  samsergey
  10 июл 2023 в 15:04
  
  Безразмерные величины отличаются от размерных
  независимостью от выбранных единиц.
  В чем бы вы ни измеряли длину, массу, время, жесткость и ускорение в этой задаче,
  значение безразмерной энергии останется, неизменным.
  Так безразмерный радиан не зависит от того,
  измеряете ли вы длину окружности и радиус в сантиметрах или дюймах.
  Также число Рейнольдса (отношение вязких сил к силам инерции)
  характеризует поток жидкости
  и не зависит от единиц измерения размеров трубы, вязкости и скорости жидкости.
  
  Главное достоинство безразмерных величин состоит в том,
  что какие бы массы и жёсткости я бы ни выбрал,
  переместился бы на луну, или на Юпитер,
   если отношение kh/mg будет равно 1,
  я увижу ровно такое же поведение системы:
  такие же области хаоса и порядка,
  такую же структуру орбит и такие же их свойства,
  как показано на рисунках с E=1.
  Если же в этой реальной физической системе
  я как-нибудь уменьшу энергию системы вдвое
  (поменяю пружинку на менее жесткую, уменьшу начальную высоту, увеличу массу,
  или гравитацию,
  что заставит пружину растянуться сильнее и уменьшить скорости)
  то я увижу, как исчезнет хаос
  и колебания системы будут исключительно периодичными.
  
  mayorovp
  10 июл 2023 в 16:47
  \\\ Безразмерные величины отличаются от размерных
  \\\ независимостью от выбранных единиц
  
  Вот именно.
  Но когда вы начинаете измерять энергию пружины в ПЭМах
  (потенциальных энергиях мячика)
  - у неё получается не то же самое значение,
  что и при измерении в джоулях!
  Энергия не может быть безразмерной, никак.
  
  //// Интересно, насколько это принципиальный спор.
  //// У меня пока собственного мнения на сложилось.
  //// Так что, пока просто возьму этот момент на заметку.
  //// Аргументы обеих сторон явно имеют под собой основание,
  //// и связаны с особенностями интуитивного понимания
  //// у инженеров и математиков.
  
  .......
  
  grigorym
  8 дек 2023 в 07:34
  
  За статью спасибо, но можно я встану на позицию layman,
  как человек, знакомый только со школьной
  и непрофильной универской физикой и математикой?
  Я споткнулся в объяснениях в самом начале,
  можете уточнить некоторые моменты?
  
  \\\ с нулём в точке равновесия столика
  \\\ (так мы исключаем из уравнений действие силы тяжести на столик)
  
  Это как?
  Как выбор точки отсчёта для системы не связанной с телом
  позволяет исключить из уравнений действие силы тяжести на это тело?
  Я не понял.
  
  \\\ попутно введя обобщённые координаты q и импульсы p системы
  
  Что такое обобщённые координаты и откуда появилась
  следующие за этой фразой обозначения?
  
  
  samsergey
  10 дек 2023 в 02:57
  
  Благодарю вас за внимание и вопросы!
  
  Когда на линейную пружинку действует постоянная потенциальная сила,
  то она не меняет её динамики,
  лишь смещая точку равновесия
  (речь идет о колебаниях вдали от каких-либо стенок
  или иных нарушений линейности).
  Математически это выражается в том,
  что в линейном дифференциальном уравнении второго порядка,
  легко можно исключить константу заменой переменных:
  
  x'' + a x' + b x + c = 0 \xrightarrow{ x = y - c/b } y''+ay'+by = 0
  
  Константа здесь имеем смысл постоянного ускорения.
  При этом решение сместится,
  но все его характеристики:
  амплитуда, частота и затухание останутся прежними.
  
  В аналитической механике принято рассматривать движение системы
  не только в пространстве,
  но и <во времени>.
  Для этого к координатам всех тел системы добавляют их скорости.
  Такие расширенные координаты и называют обобщёнными,
  рассматривая их как равноправные величины.
  Заменой масштаба переменных можно превратить в единицу
  большую часть параметров задачи.
  Именно это происходит в заинтересовавшей вас строчке.
  Большие буквы - это неизвестные нам <единицы измерения> длины и скорости.
  Мы подбираем их так, чтобы в задаче остался один свободный параметр .
  После подбора таких единиц, мы можем рассматривать
  не координаты и скорости,
  а безразмерные числа p и q.
  Те самые обобщённые координаты и импульсы системы.
  
  //// Надо будет все-таки для закрепления материала по обезразмериванию,
  //// проработать и материал по "воздушному шарику".
  
  .........
  
  Refridgerator
  14 июл 2023 в 06:22
  
  \\\ Своеобразная картина: не просто невнятный туман,
  \\\ а туман с каким-то намёком на структуру.
  \\\ Впрочем, никакой особой закономерности в этом <сигнале> не усматривается
  
  Потому что встроенный в человека спектроанализатор ориентирован на слух,
  а не на глаз.
  На слух человек может отличить шум дождя от шума из радио
  от фонового шума за окном и т.д.
  //// Интересная мысль, что закономерности,
  //// связанные "динамическими последовательностями", включая "хаотические",
  //// стоит попробовать анализировать не ориентированными
  //// на "визуальное"/"геометрическое"/"пространственное" представление,
  //// а на нечто "спектро-подобное".
  //// Хотя приводимые в этом материале спектрограммы и "сечения Пуассона",
  //// вроде как свидетельствуют об обратном.
  //// Надо думать.
  
  ......
  
  //// Конец цитирования.
  
  Вот так начиналась мое погружение в детали "теории хаоса" и "обезразмеривания",
  которые раньше были знакомы на самом общем уровне.
  Сначала смотрим, подмечаем какие-то детали,
  ищем пояснения к терминологии автора.
  И пытаемся, по большей части безрезультатно, увидеть как это можно использовать
  для своих задач.
  Короче, сначала разведка.
  
  
  ========
  
  29.07.2023 11:34 - 27.10.2024 14:17
  
  Долбежка "бардака". Часть 2.
  В оглавление.
  
  Продолжим долбежку "математического бардака":
  
  "Бардак в идеальном мире. Часть 2".
  Автор: samsergey (Сергей Самойленко)
  https://habr.com/ru/articles/750380/
  29 июл 2023 в 07:30
  
  Опять же очень настоятельно рекомендую читать оригинальный текст,
  и илюстрации там замечательные и формулы в читаемом варианте.
  А здесь только отдельные и весьма хаотичные мысли о том,
  чего же мне собственно хочется уловить из "теории хаоса".
  
  //// Начало цитирования.
  
  Это продолжение статьи про элементы теории хаоса с картинками.
  https://habr.com/ru/articles/750380/
  Современная теория хаоса - это большая и хорошо разработанная область математики,
  уже прочно вошедшая в набор современных инструментов естествознания.
  Многие результаты теории динамического хаоса,
  такие как странные аттракторы, бифуркационные диаграммы,
  фрактальные области притяжения,
  разобраны популяризаторами математики на плакаты, мемы и открытки.
  
  .......
  
  Мы разбираемся с движением идеального шарика,
  свободно падающего и упруго отскакивающего от столика на линейной пружинке.
  Главное достоинство этой системы состоит в том,
  что она позволяет продемонстрировать основные приёмы анализа хаотических систем,
  а главное, сделать видимыми, возникающие при этом,
  неочевидные математические структуры:
  инвариантные торы, резонансные циклы
  и разрушающиеся гомоклинические многообразия.
  Обычно в книгах и статьях их изображают схематично,
  здесь же у нас есть возможность увидеть их <истинный> облик.
  
  В первой части мы увидели, какими необычно сложными могут быть
  подскакивания шарика над столиком с пружинкой.
  Движение самих тел достаточно тривиально,
  а вот их упругие соударения оказались способны производить красивую динамику,
  как упорядоченную, так и хаотичную.
  
  .......
  
  В физике под динамикой понимают движение некоторых тел или среды
  под действием сил,
  а более общем смысле - изменение состояния системы с течением времени.
  В математике понятие динамики ещё более абстрактное:
  это действие непрерывного гладкого отображения
  на некоторое гладкое многообразие.
  В нашем случае, многообразие
  - это пространство всех возможных состояний системы шарик-столик,
  которое описывается координатами и скоростями обоих тел,
  а действует на него отображение D,
  заданное очень простыми уравнениями движения:
  
  \begin{align*}&\dot{p}_1=-1,\\&\dot{p}_2=-q_2,\\&p_1\leftrightarrow p_2,\quad \text{if}\quad q_1 = q_2. \end{align*}
  
  Здесь q_{1,2}- безразмерные координаты шарика и столика,
  p_{1,2}- их скорости,
  а точки обозначают производные по времени.
  Третья строчка определяет условие упругого соударения
  при котором происходит обмен импульсами между шариком и столиком
  и заключает в себе нелинейность задачи.
  //// А еще эти формулы включают в себя очень интересное "обезразмеривание",
  //// подробности которого смотрите в предыдущей части.
  
  Для того чтобы избежать необходимости работать
  в четырёхмерном фазовом пространстве (q_1,p_1,q_2,p_2) и
   исключить явную зависимость от времени,
  мы сосредоточились на моментах соударений наших тел,
  когда q_1=q_2.
  Так от отображения D, непрерывного во времени,
  мы перешли к дискретному отображению
  P:(q_1,p_1,p_2)_i\to(q_1,p_1,p_2)_{i+1},
  а потом упростили и его до отображения:
  \Pi:(\varphi,\theta)_i\to (\varphi,\theta)_{i+1},
  которые называются отображениями Пуанкаре.
  Последнее отображение образует динамику
  на двумерной сферической поверхности,
  задаваемой законом сохранения энергии системы:
  
  (q_1+1)^2+p_1^2+p_2^2 = 2E+1.
  
  Здесь E - это полная энергия системы.
  Это единственный параметр задачи,
  который определяется еe начальными условиями:
  начальной высотой и скоростью шарика и столика.
  Поскольку система консервативна (гамильтонова)
  энергия не изменяется и может служить параметром.
  
  Замечание для тех, кто в теме
  
  Как правило, при анализе гамильтоновых систем,
  рассматривают некоторую интегрируемую систему и вводят малое возмущение,
  из-за которого возникают нелинейные эффекты и хаос.
  Из-за упругих столкновений наша система интегрируема
  только в тривиальном случае - в покое,
  так что E и выполняет роль параметра возмущения.
  
  Таким образом, от уравнений движения мы перешли
  к дискретному отображению \Pi,
  которое порождает последовательности соударений
  - орбиты отображения,
  и однозначно определяется единственным свободным параметром задачи E.
  Семейства орбит, как выяснилось,
  могут выглядеть неожиданно красиво.
  На рисунке показан пример такого семейства для E=1,
  изображенный в азимутальной проекции
  (детали построения такой проекции, смотрите в первой части).
  
  Рис. ....
  
  Зелёной линией показана линия симметрии
  
  Физическая симметрия задачи нашла отражение
  в симметрии фазового пространства и системы орбит.
  На азимутальной проекции выделяется зеркальная симметрия,
  с осью проходящей через начало координат
  и включающая в себя меридианы \fi = 0 и \fi = \pi
  (зелёная линия на рисунке).
  Напомню, что таким образом проявляется
  симметрия обмена скоростями при упругом соударении одинаковых по массе тел.
  
  Путешествие вокруг полюса
  
  Перед тем как приступать к исследованию хаоса,
  нам нужно детально рассмотреть
  все возможные типы регулярных орбит отображения \Pi,
  их физический смысл и общую структуру.
  Эта часть рассказа необходима для того,
  чтобы познакомить нас с главными персонажами
  в гамильтоновом сценарии перехода к хаосу:
  полюсами и седловыми точками,
  эллиптическими и гиперболическими циклами,
  а также с инвариантными торами и гетероклиническими многообразиями.
  
  Неподвижные точки
  
  В прошлый раз мы отметили, что отображение \Pi является гомеоморфизмом
  - непрерывным отображением сферической поверхности в себя.
  Существует топологический факт, известный как теорема Брауэра:
  
  \\\ Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя
  \\\ в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.
  
  Из этой теоремы следует, что обязана существовать
  как минимум одна точка,
  которую отображение \Pi возвращает в саму себя,
  то есть, неподвижная точка отображения Пуанкаре.
  По крайней мере, одну такую точку мы знаем:
  это точка со сферическими координатами \fi = 0, \psi = 0.
  Ей соответствует состояние покоя системы в равновесии.
  
  Давайте поищем другие неподвижные точки преобразования \Pi.
  В силу симметричности системы орбит преобразования,
   его неподвижные точки могут либо лежать на нулевом меридиане,
  либо располагаться зеркально относительно неё.
  Однако во втором случае обмен скоростями при ударе
  должен перевести любую такую точку в её зеркальное отражение,
  а значит, ни одна из них не останется неподвижной.
  Если мы ищем точки, переходящие сами в себя
  при зеркальном отражении относительно нулевого меридиана,
  то значит, все они должны лежать на нём.
  
  Для того, чтобы найти все такие точки,
  вычислим расстояние между исходными точками нулевого меридиана и их образами:
  
  Рис. Если хаос это отсутствие порядка,
  то перед тем, как постигать хаос,
  стоит разобраться с тем, как устроен порядок.
  Продолжаем наш неспешный разговор об элементах теории хаоса.-4
  
  Видим, что нулю это расстояние равно только в точках равновесия \mathbf{p}^0,
  и в точке \mathbf{p}^1 ,
  выглядящей как полюс, вокруг которой располагаются всё прочие орбиты.
  Других неподвижных точек в системе нет.
  
  Точке \mathbf{p}^1 соответствуют абсолютно
  правильные периодические подпрыгивания шарика,
  в которых в точности повторяются и координата соударения и скорости тел,
  равные друг другу по модулю в момент удара.
  
  Рис. Движение шарика (голубая линия) и столика (оранжевая линия),
  соответствующее неподвижной точке - орбите p?.
  
  Полюс и его окрестности
  
  Точка \mathbf{p}^1 окружена сплошными кольцеобразными орбитами-спутниками.
  Давайте рассмотрим её окрестности подробнее:
  
  Рис. Если хаос это отсутствие порядка,
  то перед тем, как постигать хаос,
  стоит разобраться с тем, как устроен порядок.
  Продолжаем наш неспешный разговор об элементах теории хаоса.-6
  
  Происходящее очень похоже на фазовый портрет для колеблющегося маятника.
  Это значит, что если немного <промазать> мимо неподвижной точки
  то должны наблюдаться своего рода колебания вокруг неё.
  Рассматривать физические траектории тел тут смысла мало,
  наш глаз не заметит разницы.
  Вместо этого, мы прибегнем к математическому анализу.
  
  В прошлый раз мы подметили гладкость отображения \Pi,
  это значит, что его можно воспринимать, как гладкую вектор-функцию
  и, следовательно, раскладывать в степенные ряды.
  Давайте рассмотрим линейное приближение отображения вокруг неподвижной точки.
  Для обыкновенной функции f еe линейное поведение около неподвижной точки x_0
  выглядело бы как прибавление к неподвижной точке величины ?y = f'(x_0) ?x:
  
  f(x_0+?x) \approx f(x_0) +f'(x_0) \Delta x =\\=x_0+f'(x_0) \Delta x=x_0+\Delta y.
  
  Для нашего отображения, как для функции над векторами,
  линейное поведение около неподвижной точки будет выражено
  очень похожим образом,
  но вместо прибавления числовой величины,
  мы будем немного смещаться от исходной точки на малый вектор \Delta \mathbf{x} ,
  а образ смещения будет выражаться новым вектором \Delta\mathbf{y}:
  
  \Pi(\mathbf{p}^1) \approx \mathbf{p}^1+J(\mathbf{p}^1)\Delta x =\mathbf{p}^1+\Delta y.
  
  Смещение образа можно выразить,
  как результат действия на \Delta \mathbf{x}
  некоторой матрицы J(\mathbf{p}^1) .
  Она называется матрицей Якоби или якобианом отображения
  и представляет его линейное приближение в некоторой точке,
  подобно тому, как производная f' является линейным приближением функции f.
  Собственно, якобиан и вычисляется через частные производные
  от компонентов вектор-функции,
  но, увы, нам неведомо явное выражение для \Pi,
  мы знаем только алгоритм его вычисления.
  Однако, гладкость этого отображения позволяет нам
  вычислять производные численными методами.
  
  Чтобы понять, что происходит с фазовым пространством вокруг точки \mathbf{p}^1,
  посмотрим как действует отображение \Pi
  на два небольших ортогональных вектора, исходящих из неё.
  
  Рис. Результат многократного применения отображения П к двум малым векторам.
  Векторы были выбраны очень маленькими,
  но потом я их пропорционально увеличил,
  чтобы они стали хорошо видны.
  
  Как видим, отображение поворачивает векторы по часовой стрелке
  на четверть оборота
  и ещё чуть-чуть доворачивает.
  //// А вот этот "доворот", похоже и есть самое интересное в этом "рисунке".
  Численное вычисление производных \Piв неподвижной точке показывает,
  что на малые векторы действует такая матрица Якоби:
  
  J(\mathbf{p}^1) = \begin{pmatrix}-0.0242703& -3.02759\\0.330101& -0.0242702\end{pmatrix}.
  
  Важную информацию о преобразовании несут определитель и спектр матрицы Якоби,
  то есть множество её собственных чисел.
  //// Это я уж точно очень хорошо "не знал, не знал, и забыл".
  Определитель якобиана показывает,
  как под действием преобразования меняется площадь фигур.
  Для полученной нами матрицы он равен единице.
  Это значит, что преобразование сохраняет объём фазового подпространства,
  в котором мы работаем.
  Собственные числа якобиана получились комплексными:
  \lambda_{1,2} = -0.0242702 \pm 0.9997054i
  //// Опять комплексные числа, и почему они так часто "призываются"
  //// из "неведомо откуда". Так я и не разобрался с этой "iмагической химии".
  и их модуль тоже равен единице.
  Всё это говорит о том, что в точке \mathbf{p}^1
  отображение \Pi ведёт себя,
  как поворот, не изменяющий объёма пространства вокруг неподвижной точки.
  
  Угол поворота, который совершает окрестность полюса под действием отображения,
  можно вычислить через аргумент собственного числа якобиана,
  в нашем случае он оказывается равным 91.4^\circ
  - те самые четверть оборота и ещё чуть-чуть,
  что мы наблюдали в эксперименте.
  Неподвижные точки, вокруг которых происходит вращение пространства,
  называют полюсами или эллиптическими точками.
  Собственные числа якобиана в таких точках должны лежать
  на единичной комплексной окружности,
  и иметь ненулевую мнимую часть.
  ///// Вроде все слова понятны, но понимания "ноль в периоде".
  
  Циклы и седловые точки
  
  На портрете отображения видны и другие семейства
  концентрических эллиптических орбит,
  которые тоже образуются вокруг некоторых особых точек.
  Эти точки неподвижны для отображения \Pi, применённого несколько раз.
  Яркий тому пример дают четыре крупные кольцевые структуры,
  расположенные вокруг полюса \mathbf{p}^1.
  Вот как они выглядят вблизи:
  
  Рис. Синие стрелки показывают как особые точки переходят друг в друга под действием П.
  
  Точки, обозначенные на рисунке, как \mathbf{p}^4,
  под действием отображения \Pi переходят друг в друга по очереди.
  При этом отображение \Pi^4(x) = \Pi(\Pi(\Pi(\Pi(x))))
  переводит каждую из них в саму себя.
  Такие точки образуют периодические орбиты или циклы.
  Полюсы, составляющие цикл конечной длины n,
  мы будем называть полюсами n-ного порядка и обозначать \mathbf{p}^n.
  
  Рис. В том, что это именно полюсы можно убедиться,
  вычислив спектр якобиана от \Pi^4 для них
  (они комплексные, лежат на единичной окружности
  и их аргумент соответствует повороту на -1.37^\circ
  либо наблюдая действие этого отображения на малые векторы.
  
  Рис. Если хаос это отсутствие порядка,
  то перед тем, как постигать хаос,
  стоит разобраться с тем, как устроен порядок.
  Продолжаем наш неспешный разговор об элементах теории хаоса.-13
  
  Обратите внимание на направление и фазу,
  вращения пространства вокруг точек \mathbf{p}^4,
  а также на то, что \Pi^4,
  действуя на окрестности \mathbf{p}^1
  оставляет только сумму небольших доворотов,
  так что вращение становится плавным.
  //// Этого не понял. Или не увидел.
  //// Заметил только некую синхронность их вращения,
  //// но это может быть связано с некоей симметрией.
  //// А вот связь/соотношение их фаз остается совершенно непонятной.
  
  Однако несколько полюсов не могут размещаться рядом,
  не смыкаясь орбитами-спутниками.
  В какой-то точке эти орбиты должны будут соприкоснуться.
  Мы говорили, что в автономных системах, типа нашей,
  фазовые траектории пересекаться не могут,
  за исключением особых случаев.
  Это как раз такой случай.
  Особые точки, в которых разные орбиты пересекаются,
  тоже будут неподвижными для \Pi^n,
  они называются седловыми или гиперболическими точками.
  Мы будем обозначать их \mathbf{s}^4.
  Показанные на рисунке точки \mathbf{s}^4
  тоже образуют цикл четвёртого порядка,
  но он существенно отличается от цикла, образованного полюсами,
  динамикой фазового пространства в окрестности составляющих его точек.
  
  Давайте исследуем их локальное поведение,
  наблюдая за тем, как отображение \Pi^4
  действует на два малых ортогональных вектора,
  исходящих из точки пересечения орбит, вдоль их касательных.
  
  Рис. Опять мы преобразовываем малые векторы,
  но для того чтобы их можно было увидеть, они пропорционально увеличены.
  
  Мы видим, что под действием отображения Пуанкаре векторы не поворачиваются,
  а меняют свою длину:
  одна пара вытягивается, а другая сжимается.
  Выбранные нами направления совпадают с направлением
  собственных векторов якобиана в гиперболической точке.
  Действие матрицы на собственный вектор выражается
  только в умножении его на собственное число, без всякого поворота.
  Это значит, что собственные числа якобиана гиперболической точки
  должны быть вещественными.
  Причём наблюдаемая нами динамика говорит о том,
  что одно собственное число по модулю должно быть больше единицы
  (вектор удлиняется),
  а другое - меньше единицы,
  соответствующий собственный вектор укорачивается.
  
  Для седловой точки \mathbf{s}^4при E=1 якобиан получилcя таким:
  
  J(\mathbf{p}^1) = \begin{pmatrix}1.1292 & 0.298841\\-0.0216436&
  0.879855\end{pmatrix}
  
  с собственными значениями: \lambda_1=1.09979, \lambda_2 = 0.909264.
  Примечательно, что для нашей системы определитель якобиана в этой точке
  равен единице, также как и в полюсе.
  То есть, не смотря на существенное искажение окрестностей фазового пространства,
  гиперболическое поведение не изменяет никакие площади.
  
  Таким образом, мы приходим к важному заключению:
  циклы могут состоять либо из полюсов, либо из гиперболических точек.
  В первом случае орбита будет находиться в цикле
  или в его окрестности неограниченно долго.
  Такие устойчивые циклы мы назовём эллиптическими.
  Во втором случае при сколь угодно малом отклонении от седловой точки
  орбита покинет еe и вернется обратно,
  только пройдя по некоторой замкнутой линии,
  удаляясь от исходной точки очень далеко.
  И седловые точки и образуемые ими гиперболические циклы
  являются неустойчивыми.
  
  Инвариантные торы
  
  А из чего состоят многочисленные орбиты, окружающие наши особые точки?
  Они выглядят, как сплошные замкнутые линии,
  можно ли воспринимать их как циклы очень высокого порядка?
  Для того чтобы понять, что же эти орбиты собой представляют,
  нам надо вернуться в четырёхмерное фазовое пространство (q_1,q_2,p_1,p_2).
  Исследуемое нами дискретное отображение \Pi
  получается сечением непрерывных траекторий гиперплоскостью q_1=q_2,
  в которой лежат точки соударения.
  
  Давайте посмотрим как выглядит фазовая траектория
  для неподвижной точки \mathbf{p}^1
  в подходящем сечении четырёхмерного фазового пространства:
  
  Рис. .....
  //// Это, наверно, самый классный рисунок,
  //// так как дает понимание и "фазовой траектории" и в общем случае,
  //// и применительно к конкретной модели.
  //// И хотя на нем не хватает "точек отсчета",
  //// но вспоминая графики идеального удара можно привязаться
  //// к конкретной точке (излому) на траектории,
  //// можно остальное уже достаточно легко "расшифровать".
  
  Это петля, которая встречает сечение Пуанкаре в неподвижной точке,
  потом покидает сечение и вновь возвращается к нему.
  А вот как выглядит фазовая траектория для цикла четвёртого порядка:
  
  Рис. .....
  //// Это значительно труднее "расшифровывать",
  //// особенно смущает несимметричность фрагментов,
  //// из которых состоит эта траектория,
  //// И, самое печальное, причины этой несимметричности
  //// как-то не очевидны.
  //// Может дальше по тексту будет пояснение.
  
  Обе траектории представляют собой нормальные замкнутые петли.
  Теперь построим траектории, соответствующие орбитам-спутникам
  этих неподвижных точек:
  
  Рис. .....
  //// Очень неплохая иллюстрация.
  
  Рис. .....
  //// И это тоже.
  
  Мы видим, что полученные траектории <наматываются> на поверхности
  похожие на трубку,
  а сечение Пуанкаре вырезает на этой поверхности
  замкнутые кольцеобразные орбиты.
  Эти трубки особым образом замыкаются и образуют тор,
  внутри которого располагается петля цикла.
  //// Вот чего-то такого не хватало в предыдущем тексте (Часть 1)
  //// для иллюстрации "сечения Пуанкаре".
  //// Точнее там, вспоминается, был схематический поясняющий рисунок,
  //// но вот перейти от него самостоятельно к таким полноценным
  //// иллюстрациям/представлениям лично у меня не получилось.
  
  Обычно, говоря о торе, мы воображаем поверхность бублика.
  Чтобы получить из привычного тора наш вариант,
  нужно разрезать его и склеить, допустив самопересечение,
  как показано на рисунке:
  
  Рис. Если хаос это отсутствие порядка, то перед тем, как постигать хаос,
  стоит разобраться с тем, как устроен порядок.
  Продолжаем наш неспешный разговор об элементах теории хаоса.-20
  
  С точки зрения топологии такой тор ничем не отличается от привычного.
  Чтобы получить тор для окрестностей цикла четвёртого порядка,
  его надо разрезать и переклеить четыре раза.
  Полюбуйтесь как выглядит небольшое семейство таких тороидальных трубок:
  
  Рис. .....
  //// Вот теперь общее представление/понимания для этого фрагмента текста
  //// ЕСТЬ.
  //// Осталось только понять, что означает "отображение \Pi" n-ого порядка.
  
  В отличие от циклов, траектории, образующие торы,
  не замкнуты, и плотно заполняют тороидальную поверхность,
  не оставляя на ней ни одной точки,
  через которую не проходила бы траектория.
  Это значит, что в качестве решения задачи имеет смысл рассматривать
  весь тор сразу.
  Поскольку все его точки принадлежат одной бесконечной траектории,
  то исходная система уравнений переводит весь такой тор в себя.
  Таким образом, он является инвариантным многообразием динамической системы,
  а сечения тора - замкнутые орбиты,
  будут инвариантными многообразиями отображения Пуанкаре.
  Инвариантные торы называют также торами Колмогорова-Арнольда-Мозера,
  или КАМ-торами.
  
  Теперь мы готовы исчерпывающе описать
  регулярную структуру фазового пространства задачи.
  Оно плотно заполнено одномерными замкнутыми петлями,
  и двумерными инвариантными торами,
  которые образуют расслоение пространства.
  Фазовое пространство отображения Пуанкаре,
  в свою очередь, содержит одномерные полюсы и седловые точки,
  образующие циклы,
  и расслаивается одномерными инвариантными многообразиями,
  которые мы тоже будем называть КАМ-торами.
  
  Кроме перечисленных выше и хаотических,
  иных орбит в гамильтоновых системах нет.
  Так что, рассмотрев все типы инвариантных многообразий
  и для нашего прыгающего шарика,
  мы познакомились со всем,
  что может встретиться и во всех других
  гамильтоновых механических системах:
  бильярдах на кривом столе,
  двойном или эластичном маятнике,
  в динамике атмосферы Юпитера или колец Сатурна.
  
  Гидродинамика инвариантных торов
  
  <Инвариантный> означает - неизменный.
  В нашем случае, речь идёт о том,
  что под действием уравнений движения одни точки этих многообразий
  переходят в другие,
  но при этом само многообразие (тор или петля) не изменяется
  и отображается уравнениями движения в себя.
  Таким образом, мы можем не заботиться о начальных условиях
  и рассматривать судьбу и свойства инвариантных многообразий,
  как неделимых объектов.
  То же относится и к орбитам отображения Пуанкаре:
  неподвижным точкам и сечениям КАМ-торов.
  
  Как мы увидели, в середине любого инвариантного тора "живёт" полюс,
  вокруг которого происходит вращение фазового пространства.
  Это значит, что точки торов, плотно заполняющих это пространство,
  сами тоже должны вращаться, оставляя сами торы на месте.
  На это движение можно посмотреть.
  
  Рис. Сегодня не будет формул, зато мы сделаем
  неожиданный поворот в нашем сюжете
  и от динамики инвариантных торов обратимся к облакам и развевающемуся флагу.-2
  
  Движение отдельных точек на инвариантных торах под действием отображения \Pi^4.
  
  Обратите внимание, на каждом торе скорость движения точек своя,
  немного отличающаяся от скорости движения на соседнем торе.
  Это важное наблюдение подводит нас к неожиданной аналогии
  с движением сплошной среды.
  
  В течении жидкости или газа на дозвуковых скоростях
  важную роль играет неразрывность среды.
  Она приводит к непрерывности и гладкости поля скоростей:
  у частиц, движущихся вдоль близких линий тока скорости тоже должны быть близки,
  а в пределе они должны гладко приходить друг к другу.
  
  Если по какой-то причине наблюдается разрыв в скоростях соседних линий тока,
  то течение становится неустойчивым.
  При этом на границе развиваются волны,
  быстро превращающиеся в дорожку из вихрей,
  которые вращаясь, сглаживают разрыв, как подшипники.
  Этот механизм называется неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца
  и наблюдается в жидкостях и газах
  
  Рис. Развитие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в симуляции.
  
  Рис. Отдельные этапы формирования вихревой дорожки.
  
  Рис. Вихревая дорожка в небе
  
  Рис. Ещё один пример неустойчивости Гельмгольца в природе.
  
  Отображение Пуанкаре для нашей задачи имеет мало общего
  с гидродинамическим потоком:
  в нём нет инерции или давления.
  Объединяет эти два объекта только непрерывность поля скоростей
  и малые потери энергии (гамильтоновость).
  Эти ключевые характеристики приводят к тому,
  что они способны порождать подобные геометрические структуры.
  
  Можно построить непрерывное поле скоростей,
  образованное инвариантными торами
  и увидеть, что при приближении к окрестностям
  неподвижных гиперболических точек
  движение орбит по разные стороны от седла
  происходит в противоположные стороны:
  
  Рис. Сегодня не будет формул, зато мы сделаем неожиданный поворот
  в нашем сюжете и от динамики инвариантных торов обратимся к облакам
  и развевающемуся флагу.-4
  
  Более того, это движение приводит к растяжению и сжатию пространства
  вдоль собственных векторов,
  которое мы наблюдали в окрестности седловой точки.
  В то же время, движение вокруг полюсов четвёртого порядка
  согласуется с общим движением потока
  и подобно вихрям Гельмгольца выполняет роль <подшипников>,
  вращающихся без проскальзывания между внутренней областью,
  вращающейся по часовой стрелке,
  и внешней, которая вращается в противоположном направлении.
  
  Получается, что по какой-то причине в поле скоростей инвариантных торов
  образуется разрыв.
  Но поскольку непрерывность - ключевое свойство этого поля,
  то в нём формируется система из чередующихся полюсов и седловых точек,
  обеспечивающих сохранение этого свойства.
  Если вы ещё раз присмотритесь к тому,
  как развивается неустойчивость Кельвина-Гельмгольца,
  то без труда найдёте в течении невидимые седловые точки,
  которые легко распознаются
  по гиперболическому характеру поля скоростей вокруг них.
  
  Ещё раз подчеркну: аэродинамические вихревые дорожки и инвариантные торы
  отображения Пуанкаре - явления абсолютно разной природы.
  Первое может служить аналогией второму
  только вследствие общих свойств гладких непрерывных преобразований.
  Это хорошо известное явление конвергенции,
  когда разные процессы приводят к одинаковым геометрическим формам.
  Ровно такие же паттерны и соображения вы можете встретить в теории полей,
  в решениях однородных дифференциальных уравнений,
  в теории аналитических функций, в общей топологии,
  везде, где непрерывность играет существенную роль.
  В этом и состоит очарование и сила математики!
  
  Сходство динамики инвариантных торов и гидродинамических вихрей,
  естественно привлекло внимание механиков,
  исследовавших явление турбулентности
  и переход от ламинарного (слоистого) течения,
  в котором силы вязкости существенно превышают силы инерции,
  к когерентным структурам (крупных вихревым дорожкам)
  и потом к развитой турбулентности и к хаосу,
  когда система становится гамильтоновой
  и вязким трением на крупных масштабах можно пренебречь.
  Одними из первых, кто решил,
  что в динамике инвариантных торов можно найти сценарий перехода
  были А. Пуанкаре, Л. Ландау и А. Колмогоров.
  Однако позже, с дальнейшим развитием теории хаоса,
  стало ясно, что динамика инвариантных многообразий
  может служить лишь триггером
  к более сложным динамическим процессам
  - сценарию Рюэля и Такенса, диффузии Арнольда и другим явлениям.
  
  28.10.2024 10:07
  
  Числа вращения и резонансы
  
  Но что же останавливает вращение инвариантных торов?
  И почему для E=1 это привело к образованию двух циклов
  именно четвeртого порядка?
  
  Существование неподвижных точек позволяет торам
  сменить направление вращения без нарушения непрерывности поля скоростей,
  но ценой образования дополнительной структуры:
  цепочки полюсов, окружённых замкнутыми орбитами,
  и разделяющих их седловых точек.
  //// Очень интересный момент.
  //// Смена направления вращения за счет образования дополнительной структуры.
  //// Хочется какой-то наглядной физической модели,
  //// для интуитивного понимания/подкрепления такого факта/заключения.
  Но откуда берётся эта смена направления?
  
  С точки зрения топологии, тор представляет собой произведение двух окружностей:
  T = S^1\times S^1.
  Или, менее формально, это поверхность вращения,
  получаемая при движении окружности вокруг некоторой внешней оси.
  Под окружностями в топологии понимается произвольная замкнутая петля,
  а не только та правильная геометрическая фигура, которую мы проходили в школе.
  Поскольку тор мы понимаем достаточно обобщённо,
  вместо образующих его окружностей имеет смысл рассматривать две оси,
  которые охватывают эти петли:
  внутреннюю и внешнюю.
  
  Рис. Внутренняя (чёрная) и внешняя (зелёная) оси одного из инвариантных торов,
  рассчитанных для E=1 в проекции (x + y, p1 + p2, p1 - p2) .
  //// Красиво, но для восприятия слишком быстро крутится.
  //// Печально, но понять, почему внутренняя ось замкнута,
  //// точнее, какая фигура получается, ну очень не просто.
  //// приходится "верить на слово".
  
  Действие отображения D на инвариантный тор можно представить
  как композицию двух смещений вдоль образующих его петель.
  При этом в сечении Пуанкаре мы видим смещение только по одной из них,
  которое и воспринимаем как движение, похожее на вращение.
  //// Это понятно. Но стоит еще раз это запомнить,
  //// что "видимое движение" - это, возможно, далеко не "полное" движение.
  По второй образующей фазовая траектория проходит
  во время между моментами пересечения плоскости q_1=q_2,
  то есть, между столкновениями шарика и столика.
  Таким образом, траектория отображения D
  как бы наматывается на тор по винтовой линии,
  как показано на рисунке:
  
  Рис. Расчетная фазовая траектория, образующая тор (синяя линия)
  и еe сечение Пуанкаре (чёрные точки).
  //// Опять немного быстровато, но идею понять можно.
  //// поэтому это больше "картинка", чем "иллюстрация",
  //// создающая интуитивное понимание.
  //// Памятка на будущее, темп подачи иллюстративного материала
  //// не должен быть слишком большим, иначе это может дать обратный эффект.
  
  По мере этого наматывания, траектория совершает обороты вокруг обеих осей тора.
  Мы можем подсчитывать число оборотов, совершаемых траекторией
  вокруг каждой из осей тора и вычислять соотношение,
  показывающее сколько оборотов вокруг внутренней оси
  приходится на один оборот вокруг внешней.
  Это число называется числом вращения инвариантного тора.
  Обратите внимание на то, что эта числовая характеристика
  является чисто топологической и не меняется
  при непрерывных искажениях тора,
  так что ни его форма, ни форма траектории,
  ни параметризация траектории по времени
  не играют никакой роли.
  Это делает число вращения характеристикой,
  однозначно определяемой для каждого инвариантного тора.
  
  И тут возможны два качественно разных варианта.
  
  Число вращения иррационально.
  В этом случае фазовая траектория никогда не замкнeтся
  и плотно заполнит всю поверхность инвариантного тора.
  
  Число вращения рационально и выражается дробью n/m.
  В этом случае фазовая траектория,
  совершив m оборотов вокруг внутренней оси,
  сделает ровно n оборотов вокруг внешней оси тора,
  и должна замкнуться.
  Такой случай называется резонансом.
  При этом движение вдоль сечения по петле,
  окружающей внутреннюю ось,
  останавливается,
  инвариантный тор разрушается
  и превращается в одномерную замкнутую траекторию,
  а еe сечение Пуанкаре - в цикл.
  //// Вот, вроде, наипростейший случай,
  //// но вот описание его через "разрушение инвариантного тора",
  //// ну очень заумно и контринтуитивно.
  //// Привычнее/комфортнее было бы идти в "обратном направлении"
  //// от "цикла к тору".
  //// Автору, конечно, виднее что и как формулировать/акцентировать, но ....
  
  Получается,
  в разрушении инвариантных торов
  и в появлении всех нетривиальных циклов повинны резонансы
  - рациональные числа вращения.
  //// Все-таки такие формулировки как-то очень непривычны
  //// с "инженерной точки зрения".
  Непрерывность отображения D приводит
  к непрерывности поля смещений фазового пространства,
  которое они образуют.
  А в непрерывном поле скоростей неподвижные точки цикла
  должны образовывать цепочку полюсов и седловых точек,
  формируя эллиптический и гиперболический циклы.
  Порядок циклов на которые распадается резонансный инвариантный тор,
  определяется его числом вращения,
  а именно, его знаменателем.
  
  Например, тор с числом вращения 1/4 распадeтся
  на две замкнутые траектории (устойчивую и неустойчивую),
  каждая из которых перед тем как замкнуться,
  совершит 4 оборота вокруг внутренней оси и один оборот вокруг внешней.
  Эти петли создадут восемь неподвижных точек четвёртого порядка
  в сечении Пуанкаре:
  четыре полюса и четыре седловые точки.
  При этом эллиптическая замкнутая траектория
  станет внутренней осью для семейства новых инвариантных торов.
  
  Рис. Продолжаем изучать хитрую динамику шарика,
  прыгающего на подпружиненном столике и рисовать красивые картинки,
  не теряя при этом из вида нашу глобальную цель
  - разобраться с возникновением хаоса в...-9
  
  На поле скоростей мы наблюдали ещё одну примечательную особенность:
  смену направления вращения инвариантных торов
  по разную сторону от распавшегося резонансного тора.
  Этой смене можно дать красивое объяснение,
  сравнив резонанс инвариантного тора с резонансами в стробоскопическом эффекте.
  Вспомните, как в кино движутся спицы вращающегося колеса.
  Давайте посмотрим на этот эффект в чистом виде,
  <вращая> одну спицу с разной скоростью и с фиксированной частотой смены кадров.
  
  Рис. На экране компьютера и телефона картинка может отличаться
  из-за разницы в частоте отрисовки кадров.
  //// Ну, на моем компьютере тут явный "расколбас по скрости",
  //// и понять, что хотел проиллюстрировать автор,
  //// без текстового пояснения очень тяжело
  
  По мере замедления частоты вращения спицы,
  начинают появляться резонансы третьего, четвёртого, пятого и больших порядков.
  При переходе через резонанс небольшие <перелeты>
  сменяются небольшими <недолeтами> картинки между кадрами,
  видимое движение замедляется, останавливается и меняет направление.
  Точно такой же эффект наблюдается и в динамике инвариантных торов.
  
  Структура циклов
  
  Взгляните ещё раз на карту орбит системы при E=1.
  Мы отчётливо видим на карте орбит циклы небольшого порядка:
  четвёртого, пятого, шестого.
  Между ними проявляются цепочки овальных орбит,
  окружающих циклы более высоких порядков.
  Есть ли какая-то закономерность в их расположении?
  И почему мы не видим циклов второго и третьего порядков?
  
  Мы связали возникновение циклов и рациональностью числа вращения
  инвариантного тора.
  Как известно, рациональные числа образуют плотное множество,
  это значит, что между любыми двумя такими числами на числовой прямой
  обязательно найдeтся третье,
  а следовательно, и четвeртое с пятым
  и, вообще, сколько угодно чисел.
  Получается, резонансные торы, распадающиеся на циклы,
  должны встречаться повсюду и в неограниченном количестве,
  плотно заполняя фазовое пространство.
  Однако, с другой стороны, множество иррациональных чисел
  на этой же числовой прямой образует континуум,
  который настолько мощнее множества рациональных чисел,
  что вероятность наугад выбрать рациональное число из отрезка числовой прямо
  стремится к нулю.
  Так что случайно попасть на резонансный тор,
  выбирая точки фазового пространства, практически невозможно,
  и следовательно, мы должны наблюдать преимущественно
  не разрушенные, сплошные торы, окружающие либо полюс \mathbf{p}^1,
  либо какие-то полюсы более высокого порядка.
  В экспериментах мы видим что-то среднее:
  несколько ярко выраженных резонансов низкого порядка,
  которые проявляются в виде деформации многочисленных инвариантных торов
  с иррациональными числами вращения.
  
  Дело в том, что непрерывность отображения \Pi
  приводит к непрерывности поля скоростей вращения инвариантных торов,
  а это, в свою очередь, делает непрерывным
  и отображение между торами и их числами вращения.
  //// Опять потерял нить рассуждения.
  //// "Инвариантный тор понимания разрушился".
  Таким образом, при непрерывном переходе от тора с резонансом m_1/n_1
  до тора с резонансом m_2/n_2,
  мы должны пройти по непрерывному отрезку чисел вращения
  в интервале от m_1/n_1 до m_2/n_2.
  
  Чем больше оказывается знаменатель у числа вращения цикла,
  тем больше его порядок и тем более плотную цепочку полюсов и седловых точек
  он образует.
  Циклы с порядком больше 20 мы уже воспринимаем,
  как тонкую пунктирную линию
  и с трудом отличаем от нерезонансных инвариантных торов.
  Так что заметно выделяются среди сплошных орбит
  только циклы небольших порядков.
  
  Отсюда мы приходим к вопросу теории чисел
  о взаимном расположении дробей с наименьшими знаменателями.
  Для указанных двух дробей найти дробь, лежащую между ними,
  имеющую наименьший возможный знаменатель позволяет операция,
  которая называется медиантой
  и является одним из корректных способов вычисления среднего значения:
  
  \frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}.
  
  Для всего множества рациональных чисел
  можно построить иерархию дробей по знаменателям,
  согласованную с отношением порядка на числовой прямой,
  которое называется деревом Штерна-Броко.
  Я уже рассказывал немного об этом здесь.
  https://habr.com/ru/articles/591949/
  
  Например, между резонансами 1/4 и 1/5 могут лежать только торы,
  с числами вращения в диапазоне от 1/5 до 1/4.
  Дробь с наименьшим знаменателем получаем,
  как медианту 1/4\oplus 1/5 = 2/9,
  следовательно, между этим двумя резонансами будет наблюдаться цикл
  с наименьшим периодом, равным девяти.
  Строя дерево Штерна-Броко для этого интервала,
  мы получаем взаимное расположение резонансов
  
  Рис. Дерево Штерна-Броко для всех дробей со знаменателями меньше 25,
  лежащих между 1/5 и 1/4.
  
  Рис. Резонансы, соответствующие дробям из дерева Штерна-Броко
  
  Теперь становится понятным, почему около крупных структур,
  образуемых циклами малых порядков,
  мы наблюдаем исключительно сплошные линии орбит
  - чем ближе мы подходим к рациональному числу,
  тем большие знаменатели будут иметь резонансы.
  //// Все, полностью потерял "нить понимания".
  //// Понять, почему нет циклов с периодом 2 и 3, ну никак не удается.
  
  Мы в состоянии объяснить также почему мы не видим
  циклов второго и третьего порядков.
  Дело в том, что вокруг полюса \mathbf{p}^1
  отображение \Pi действует, как поворот фазового пространства
  на угол чуть больше четверти полного оборота - на 91.4^\circ.
  Это задаeт предельную величину для чисел вращения торов,
  окружающих \mathbf{p}^1,
  приблизительно равную 0.2536,
  то есть, лишь немного отличающуюся от 1/4.
  А между 1/4 и этим числом не располагаются ни 1/3 ни 1/2,
  всё они существенно больше.
  //// Тот случай, когда арифметика "на пальцах",
  //// ни на "йоту" не приближает понимания.
  //// Уже невозможно вспомнить, почему "отображение \Pi" действует
  //// именно таким образом - это особенность конкретной модели,
  //// или самого применяемого математического подхода.
  //// И сколько не "откручивай назад" прочитанный/проработанный материал,
  //// лучше не становится.
  
  А есть ли какая-то нижняя граница на числа вращения инвариантных торов?
  Отображение имеет неподвижную точку p?,
  которая является вырожденным узлом
  и в окрестности которой движение торов останавливается.
  Следовательно, торы по мере приближения к линии экватора ? = 0,
  будут замедлять скорость движения до остановки,
  а их резонансы будут иметь всё большие и большие знаменатели,
  и нижней границей является 0.
  
  Таким образом, используя закономерности расположения рациональных чисел
  на числовой прямой,
  мы можем дать исчерпывающее качественное и количественное описание
  структуры всех циклов в нашей системе.
  Все резонансы будут располагаться в соответствии с деревом Штерна-Броко
  на интервале от 0 до предельного числа вращения,
  соответствующего скорости вращения полюса \mathbf{p}^1,
  которая, в свою очередь, вычисляется,
  как отношение аргумента собственных чисел якобиана в полюсе к 2\pi.
  //// Не, так и не понял, насчет "циклов второго и третьего порядков".
  
  При увеличении энергии,
  предельное число вращения будет увеличиваться.
  Вот как выглядит эта зависимость:
  
  Рис. Продолжаем изучать хитрую динамику шарика,
  прыгающего на подпружиненном столике и рисовать красивые картинки,
  не теряя при этом из вида нашу глобальную цель
  - разобраться с возникновением хаоса в...-15
  
  При E > 0.4 станет возможно появление цикла 5-го порядка,
  а цикл 4-го порядка появится уже при E > 0.95.
  Особый интерес представляет рождение резонанса с циклом вращения 1/2,
  которое происходит при E \approx 5.6.
  //// О, вот это что-то совсем другое для понимания.
  //// "Суха теория..."
  //// А вот как только привязали "картинки циклов" к "обобщенному параметру",
  //// так стало намного все проще.
  //// Даже понимание "поворота фазового пространства" начинает, вроде проясняться.
  /////// Покурил, подумал. А ведь это ключевой рисунок
  /////// для первоначальной гипотезы о формировании "пространства"
  /////// "тканью времени".
  /////// Если связать какой-то "обобщенный параметр" времени с "некоей энергией",
  /////// то "размерность пространства" N может определяться
  /////// чем-то подобным таким вот "резонансам с циклом вращения 1/n".
  /////// Очень интересно, стоит хорошенечко подумать в этом направлении.
  /////// Тут и вполне проработанный и матаппарат и иллюстративный материал,
  /////// и, самое главное, неожиданный сверхэффект от такого подхода,
  /////// в виде гипотезы объяснения "неустранимой случайности"
  /////// и, одновременно, ЗАКОНОМЕРНОСТИ процессов в Мироздании,
  /////// через что-то подобное данной "теории хаоса".
  /////// Ну и само по себе "энергетическое представление" "времени",
  /////// куда более соответствует и "квантовым" и "эзотерическим"
  /////// направлениям/разработкам. Так что это не будет уж полнейшей ахинеей.
  /////// Можно пить кофе - кажется, что я на сегодня его заработал.
  /////// Все-таки не зря второй день упорно долблю этот лонгрид.
  При этом полюс перестаёт быть полюсом и превращается в седловую точку.
  //// Вот это бы еще понять.
  /////// И может быть связать такой "переход" с Большим БадаБумом.
  /////// Шучу, конечно.
  /////// "Но в каждой шутке, только доля шутки..."
  
  Это явление называется бифуркацией удвоения периода,
  при котором устойчивая неподвижная точка \mathbf{p}^1
  превращается в неустойчивую
  и порождает новый устойчивый цикл \mathbf{p}^2.
  Более подробно об этой бифуркации мы поговорим позже,
  она является одним из механизмов появления хаоса в нашей системе.
  А пока, вернёмся к упорядоченным структурам
  и посмотрим, как периодические орбиты выглядят на карте для E = 1:
  
  Рис. Продолжаем изучать хитрую динамику шарика,
  прыгающего на подпружиненном столике и рисовать красивые картинки,
  не теряя при этом из вида нашу глобальную цель
  - разобраться с возникновением хаоса в...-16
  
  Если внимательно просмотреть все двадцать примеров,
  то можно обратить внимание на то,
  как перед тем, как замкнуться,
  цикл порядка m может совершить n оборотов вокруг полюса \mathbf{p}^1,
  что является хорошей демонстрацией резонансного числа вращения n/m.
  //// Нет эту демонстрацию, как ни старался, но не понял.
  
  Циклы, по-видимому, существуют как в упорядоченной,
  так и в хаотической области.
  Неужели они способны сохранить устойчивость в море хаоса?
  Это можно определить,
  вычислив собственные числа якобиана в неподвижных точках.
  Рассмотрим, например, циклы с числами вращения 1/9 и 2/9.
  
  \begin{align}1/9: &\quad \lambda_1 = -3.82,\ \lambda_2 = -0.26,\\ 2/9: &\quad \lambda_{1,2} = 0.88 \pm 0.48 i.\end{align}
  
  Получается, что цикл 1/9 из эллиптического превратился в гиперболический,
  тогда как цикл 2/9 остался устойчивым.
  //// Не понял почему.
  Это говорит о том, что хаотическая область, поглощая цикл,
  каким-то образом разрушает его.
  //// Опять не понимаю.
  Но, как мы увидим, напротив,
  это циклы в ходе своей эволюции порождают хаос.
  //// Автор, похоже, слегка "зациклился" на заявленной теме этого сериала,
  //// о том "как идеальный порядок порождает хаос",
  //// и не заметил, что такой "акцент" "не очень" помогает изложению
  //// собственно "теории хаоса", так как с инженерной точки зрения,
  //// чаще важнее обеспечивать "порядок" и отслеживать "отклонения от него".
  //// А здесь предлагается немного иная логика изложения/подхода.
  
  Источники хаоса
  
  В теории динамических систем важную роль играет понятие
  структурной устойчивости,
  которое относится к динамическим системам в целом,
  а также к их особенным точкам, инвариантным многообразиям
  и к поведению фазового пространства вокруг них.
  
  Например, в гамильтоновых системах структурно устойчивы полюсы,
  поскольку небольшие изменения параметров системы
  могут изменить их положение в фазовом пространстве,
  скорость вращения в их окрестностях,
  но оставляют их полюсами.
  Исчезнуть или появиться они могут только в результате особого явления:
  бифуркации - скачкообразной качественной перестройки структуры системы
  при плавном изменении еe параметров.
  Однако бифуркация в пространстве параметров это объект нулевой меры,
  то есть, граница между областями,
  в которых структурная устойчивость сохраняется.
  
  Структурная устойчивость седловых точек проявляется в том,
  что при изменении параметров могут меняться собственные значения якобиана
  и направления собственных векторов,
  но это меняется гиперболическая природа седловой точки
  и она остаeтся локально неустойчивой неподвижной точкой.
  Также структурно устойчивы инвариантные торы и резонансные цепочки:
  возмущения их деформируют, но оставляют самими собой.
  
  Важный пример структурно неустойчивого многообразия
  - особая орбита, соединяющая две седловые точки,
  которая называется гетероклиническим многообразием.
  Оно не имеет топологии тора,
  для него неприменимо понятие числа вращения,
  вообще, как мы увидим, это довольно своеобразный объект.
  Вот пример такого многообразия,
  возникающего при появлении в нашей системе резонанса четвёртого порядка.
  
  Рис. Гетероклиническое многообразие (зелeная поверхность)
  и его сечение Пуанкаре (чёрная линия).
  
  К счастью,
  нам не потребуется сложное трёхмерное представление этого многообразия,
  поскольку всеми его свойствами обладает двумерное сечение Пуанкаре.
  
  Мы неоднократно упоминали,
  что в автономных системах фазовые траектории не пересекаются.
  Гетероклинические орбиты являются исключением:
  в седловых точках они пересекаются под ненулевым углом.
  При этом каждая из них одновременно является
  неустойчивым инвариантным многообразием для одной седловой точки
  и устойчивым многообразием для другой.
  Обозначим эти многообразия W_i и W_s,соответственно,
  а само гетероклиническое многообразие
  образованное седловыми точками \mathbf{s}^n
  обозначим как \Gamma(\mathbf{s}^n).
  
  Рис. В этой серии статей мы исследуем динамику шарика,
  подпрыгивающего над столиком на пружинке и знакомимся
  с элементами теории хаоса.-2
  
  В отличие от торов, движение вдоль \Gamma(\mathbf{s}^n)
  занимает бесконечное время:
  точки экспоненциально быстро удаляются от одной неподвижной точки вдоль W_i,
  но при этом к другой точке они приближаются вдоль W_s
  экспоненциально медленно.
  Таким образом, показанное на рисунке многообразие,
  хоть и является топологически связным,
  но с точки зрения динамики, распадается на восемь раздельных орбит,
  так что точка никогда не сможет перейти с одной орбиты на другую.
  //// Все слова понимаю, всю картинку вижу,
  //// а вот представить, что это означает в исходной модели никак не получается.
  
  Структурная неустойчивость многообразия \Gamma(\mathbf{s}^n)
  проявляется в том, что его существование возможно
  только в точке бифуркации,
  на границе между областями в пространстве параметров,
  в которых устойчивы другие объекты:
  инвариантные торы с одной стороны, и странные аттракторы с другой
  (о том, что это за звери, поговорим чуть позже).
  
  Полное совпадение W_i и W_s возможно только в отсутствии
  каких бы то ни было возмущений в системе,
  отклоняющих её от линейного полностью интегрируемого приближения.
  При наличии любого отличного от нуля возмущения,
  эти многообразия совпадать перестают.
  
  Что такое <возмущение> в нашем случае?
  Это неизбежная нелинейность системы,
  связанная с ударами из-за которых потенциальная энергия системы
  теряет гладкость.
  Динамика седловой точки состоит
  в одновременном растяжении и сжатии фазового пространства,
  с сохранением его объёма.
  И интенсивность этих деформаций зависит от энергии системы.
  Напомню, что резонансные циклы рождаются
  в окрестности неподвижной точки \mathbf{p}^1,
  при достижении некоторого значения энергии E^*.
  Это хороший пример бифуркации.
  
  "Новорождённый" резонанс состоит из цепочки полюсов и седловых точек,
  но в момент рождения
  собственные числа якобиана во всех точках цикла
  должны совпадать с собственными числами полюса \mathbf{p}^1,
  которые располагаются на единичной окружности в комплексной плоскости.
  Дальнейшее увеличение энергии приводит к тому,
  что собственные числа якобиана седловых точек
  покидают единичную окружность, оставаясь на вещественной оси.
  Одно собственное число при этом становится больше единицы, а другое - меньше,
  в то время как их произведение (определитель якобиана)
  остаeтся единичным,
  так что они взаимно обратны.
  Вот как выглядит спектр якобиана типичной седловой точки:
  
  Рис. В точке бифуркации E* происходит рождение неустойчивого цикла.
  При этом собственные числа якобиана в точках цикла
  почти не отличаются от единицы.
  
  Незначительное в начале, растяжение и сжатие фазового пространства
  вокруг седловой точки становится весьма сильным
  при увеличении энергии системы.
  Совпадение устойчивого и неустойчивого многообразий
  при этом нарушается.
  Собственные числа якобиана в точках \mathbf{s}^n
  являются основаниями геометрической прогрессии,
  которой подчиняются расстояния между точками на орбите \Gamma(\mathbf{s}^n)
  и неподвижными точками \mathbf{s}^n.
  Этот экспоненциальный характер растяжения и сжатия приводит к тому,
  что малое отклонение от W_s на расстояние порядка 10^{-n}
  увеличивается и достигает значений порядка единицы
  за время, пропорциональное n.
  Всe это приводит к тому,
  что вероятность для точки остаться на \Gamma(\mathbf{s}^n)
  под действием отображения \Pi при энергии больше E^*
  стремится нулю.
  
  Когда в системе есть трение или вязкость,
  то W_i и W_s не совпадают
  и не пересекаясь, формируют спиралевидные структуры, как показано на рисунке:
  
  Рис. В этой серии статей мы исследуем динамику шарика,
  подпрыгивающего над столиком на пружинке
  и знакомимся с элементами теории хаоса.-4
  
  Но в нашей системе трения нет, она консервативна,
  куда же деваться несовпадающим устойчивому и неустойчивому инвариантным
  многообразиям?
  Они больше не могут достичь седловой точки,
  но закончиться <просто так>, или уйти в бесконечность
  они тоже не могут
  (вокруг полно инвариантных торов, с которыми пересекаться они не могут).
  Значит, эти многообразия должны каким-то хитрым образом
  упаковываться в конечном объeме фазового пространства,
  оставаясь бесконечными.
  
  В 1950 году Гаррет Биркхоф доказал общую теорему для двумерных систем,
  которую через 15 лет Стивен Смейл смог обобщить на системы любых размерностей:
  
  \\\ Если для некоторого гладкого отображения f
  \\\ устойчивое и неустойчивое гетероклинические многообразия
  \\\ пересекаются под ненулевым углом,
  \\\ то должно существовать бесконечное множество таких пересечений,
  \\\ имеющее топологию канторова множества.
  \\\ При этом в любой окрестности любого такого пересечения
  \\\ найдутся периодические орбиты отображения f.
  
  Доказательство теоремы Биркхофа-Смэйла непростое
  и я не буду приводить его здесь.
  Вместо этого предлагаю посмотреть <под микроскопом> на то,
  как ведут себя гетероклинические многообразия вблизи седловых точек.
  
  В качестве объекта исследования возьмём пару соседних седловых точек \mathbf{s}^5.
  Разместим большое количество точек на многообразиях W_i и W_s
  очень близко к одной из них,
  так чтобы попадание на многообразия было максимально точным.
  Далее, будем применять к точкам, лежащим на W_i отображение \Pi^5,
  а к тем, что лежат на W_s отображение \Pi^{-5},
  то есть, обратное отображение Пуанкаре.
  //// Оп, а это что за отображение? И, самое главное, ЧТО оно собой представляет
  //// в плане собственно исходной модели?
  Точки начнут медленно покидать окрестности нашей седловой точки
  и перемещаться к соседней, как поезд по рельсам.
  Там-то мы и поставим свой <микроскоп>,
  дожидаясь приближения <поезда> около самой <конечной станции>,
  и вот какую неожиданную картину мы увидим:
  
  Рис. Синие точки под действием П5 приближаются к седловой точке s5.
  Красные точки приближаются к ней под действием обратного отображения П-5.
  
  Устойчивое и неустойчивое многообразия, при приближении к седловой точке,
  оставаясь гладкими линиями, искривляются и превращаются в волны,
  которые сжимаются и вытягиваются,
  подчиняясь гиперболической динамике точки \mathbf{s}^5.
  Именно эти волны образуют то самое бесконечное множество пересечений,
  о котором говорится в теореме Биркхофа-Смэйла.
  //// Очень информативная картинка, но понять из нее,
  //// что означает обратное отображение \Pi^{-5} как-то не получается.
  
  Такое поведение не относится только к нашей системе,
  оно носит универсальный характер,
  так что в любой динамической системе появление гетероклинической орбиты
  приводит к образованию подобной структуры из бесчисленного множества петель,
  изгибов и меандров.
  Но что же собой представляет это сложное множество пересечений?
  
  Странный аттрактор
  
  Красивая картина складок гетероклинических многообразий,
  на самом деле, весьма тонкий эффект,
  который достаточно сложно наблюдать.
  Для этого мне пришлось использовать вычисления повышенной точности,
  начальные точки на многообразиях должны были располагаться
  очень близко к седловой точке и должны были идеально попасть
  на гетероклинические орбиты.
  
  Если мы будем менее точны и понаблюдаем за динамикой небольшого шара
  в фазовом пространстве, окружающем седловую точку,
  то увидим, что в окрестности соседней седловой точки он будет
  многократно сложен в складки,
  потом растянут вдоль неустойчивого многообразия,
  а потом снова сложен и вновь растянут около другой седловой точки.
  Это преобразование - композиция растягивания и складывания
  называется преобразованием пекаря по аналогии с вымешиванием теста.
  Такое преобразование активно перемешивает фазовое пространство,
  так что изначально близкие точки экспоненциально быстро разбегаются друг от друга,
  но при этом всегда оставаясь заключены в некотором конечном объёме.
  //// Объеме чего?
  В то же время, точки из разных объёмов фазового пространства
  оказываются через какое-то время рядом.
  
  Не следует забывать, что мы рассмотрели поведение седловой точки пятого порядка,
  а это значит, что она "работает" не одна,
  а в компании четырёх себе подобных.
  Складки инвариантных многообразий не только растягиваются,
  покинув окрестность седловой точки,
  они разбегаются по разный её соседям:
  часть - налево, часть - направо,
  что ещё больше усиливает чувствительность к начальным условиям.
  В качестве примера, пронаблюдаем за тем,
  как перемешиваются окрестности двух разных седловых точек
  (по 50 тысяч чёрных и красных точек):
  
  Рис. 150 итераций отображения над окрестностями двух седловых точек.
  
  В первые моменты прекрасно видно,
  что точки следуют вдоль неустойчивых инвариантных многообразий,
  которые изгибаясь пересекаются и смешиваются,
  растягиваются и снова изгибаются.
  Несмотря на активнейшее перемешивание,
  преобразование пекаря имеет бесконечное множество неподвижных точек
  различного порядка.
  Совокупность этих неподвижных точек называется странным аттрактором.
  
  Это необычная структура является глобально устойчивой
  (орбита не никогда покидает его),
  но состоит сплошь из локально неустойчивых циклов самого разного порядка.
  Так что расстояние между какими-либо двумя близкими точками,
  принадлежащими одному аттрактору будет экспоненциально быстро увеличиваться.
  Настоящим открытием Смейла было то,
  что динамическая система может устойчиво иметь
  бесконечное количество неустойчивых периодических орбит.
  Странный аттрактор является инвариантной структурой,
  но уже не может считаться многообразием,
  поскольку обладает топологией канторова множества,
  тогда как многообразие должно быть локально подобно евклидовому пространству.
  //// Так, интересный момент. Посмотреть "топологию канторова множества".
  
  \\\ Канторово множество (канторов дисконтинуум, канторова пыль)
  \\\ - один из простейших фракталов,
  \\\ подмножество единичного отрезка вещественной прямой.
  \\\ Является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.
  
  /// Ура. ЕСТЬ (Эарика). Есть выход на "фракталы".
  /// Ой какой замечательный текст.
  /// Значит, формируя "пространство" как "странный аттрактор",
  /// "сохраняющий энергию времени" можно получить дробную размерность
  /// этого пространства. Теперь бы еще найти "отрижительную компоненту"
  /// этой размерности и можно пробовать, что-то сконструировать.
  
  Все примеры динамического хаоса (не только гамильтонового)
  заключают в себе те или иные странные аттракторы,
  которые имеют очень разнообразную природу, топологию
  и сценарии возникновения.
  Рассмотренный нами сценарий разрушения резонансных КАМ-торов
  из-за структурной неустойчивости гетероклинических орбит
  называется сценарием Рюэля-Такенса.
  
  Хорошую демонстрацию чувствительности к начальным условиям
  даёт попытка применить к действию большого числа итераций отображения \Pi^5
  столько же обратных отображений \Pi^{-5}.
  Наша система детерминистическая и консервативная,
  а это значит, что в идеале, точки должны сойтись обратно
  к начальным окрестностям.
  Однако, <фарш невозможно провернуть назад>,
  точки сходятся, но не все.
  
  Рис. Результат 150 итераций обратного отображения
  к результату предыдущего эксперимента.
  
  Странный аттрактор, хоть и устойчив,
  хоть и сохраняет энергию системы,
  но способен безвозвратно утрачивать информацию.
  //// Стоит подумать об этом.
  //// Вполне возможно, что это куда более обоснованная причина
  //// для объяснения "стрелы времени", чем "энтропийная".
  
  Диффузия Арнольда
  
  Итак, распад гетероклинической орбиты, приводит к тому,
  что седловая точка, сразу после своего появления
  окружает себя облаком странного аттрактора.
  Это облако немного расширено в непосредственной окрестности седловой точки
  и сильно вытянуто вдоль его устойчивого и неустойчивого многообразий,
  так что для малых энергий странный аттрактор практически совпадает
  с инвариантными многообразиями.
  В таких случаях говорят, что гетероклиническая орбита
  затеняет собой странный аттрактор.
  
  Однако увеличение энергии системы увеличивает отклонение
  собственных чисел якобиана седловой точки от единицы.
  Это в свою очередь, усиливает растяжение и сжатие фазового пространства
  около этой точки и расширяет область
  в которой пересекаются её гетероклинические многообразия.
  По мере увеличения энергии системы,
  хаотическое облако постепенно расширяется,
  вовлекая в неопределённое поведение инвариантные торы
  на границе хаотической области.
  Это явление называется диффузией Арнольда.
  
  Увидеть это явление непосредственно можно,
  наблюдая за тем, как с увеличением энергии системы
  расширяется проекция на нулевой меридиан орбиты,
  начинающейся в седловой точке.
  
  Рис. Диффузия Арнольда: постепенное расширение хаотической области
  вокруг некоторых седловых точек.
  На графике показаны числа вращения для резонансных торов,
  породивших эти седловые точки.
  
  Каждая седловая точка образует на этой диаграмме плавно расширяющийся конус,
  похожий на длинный коготь.
  В какой-то момент происходит объединение и перекрытие соседних конусов,
  это значит, что перемешивающее действие седловых точек
  полностью захватило стабильную область,
  лежавшую между ними и все точки в ней превратились
  в точки нового объединeнного странного аттрактора.
  
  Впрочем, на диаграмме с диффузией Арнольда видно,
  что объединение конусов - это не единственный механизм,
  приводящий к расширению хаотической области.
  По мере увеличения энергии обширные хаотические области
  рождаются как-бы из ниоткуда.
  Его источником являются уже не седловые точки,
  а упомянутые выше бифуркации,
  приключающиеся с полюсами.
  
  Отражение большого в малом
  
  Давайте внимательнее присмотримся к полюсам, и исследуем их поведение.
  В прошлой части мы увидели, что полюсы,
  оказавшись в хаотической области,
  могут претерпеть бифуркацию удвоения периода, превратившись в седловую точку.
  В качестве примера рассмотрим подробно,
  как увеличение энергии сказывается на полюсе \mathbf{p}^7
  и собственных числах якобиана в нём.
  
  Рис. В этой серии статей мы исследуем динамику шарика,
  подпрыгивающего над столиком на пружинке
  и знакомимся с элементами теории хаоса.-8
  
  По мере увеличения энергии, и полюс становится более <энергичным>
  - увеличивается скорость вращения фазового пространства вокруг него,
  о чём говорят увеличивающиеся углы собственных чисел якобиана.
  Когда они, путешествуя по единичной окружности,
  пересекают углы в 2pi/5,2pi/4,2pi/3 рождаются
  резонансы инвариантных торов 5, 4 и 3-го порядков,
  точно также как это происходит в полюсе \mathbf{p}^1.
  Однако поскольку они рождены полюсом \mathbf{p}^7,
  порядки этих резонансов (знаменатели чисел вращения)
  будут равны 7*5 = 35, 7*4 = 28 и 7*3 = 21, соответственно.
  
  Наконец, собственные числа полюса достигают угла pi,
  что приводит к рождению резонанса второго порядка.
  В этом случае появляется два полюса и только одна седловая точка.
  В силу симметрии, седловая точка этого резонанса
  оказывается ровно на месте полюса \mathbf{p}^7,
  в этот момент спектр якобиана этой точки покидает единичную окружность
  и переходит на вещественную прямую.
  Так в результате бифуркации один полюс теряет устойчивость,
  превращаясь в седловую точку,
  и одновременно с этим рождается пара новых устойчивых полюсов.
  Из новой седловой точки исходит два инвариантных многообразия,
  которые петлями возвращаются обратно,
  образуя <восьмёрку>.
  Такие орбиты называются гомоклиническими
  и они незамедлительно порождают новый странный аттрактор
  по сценарию Биркхофа-Смэйла, описанному в предыдущем разделе.
  
  Подобная судьба постигает все полюсы высших порядков,
  рождающихся в резонансах.
  Присмотритесь к резонансу третьего порядка,
  родившемуся из полюса \mathbf{p}^7.
  Он в свою очередь также распадается на резонансы 5, 4, 3 порядков,
  достигает резонанса второго порядка,
  превращается в гомоклиническую восьмёрку
  и после этого красиво исчезает в облаке хаоса.
  Однако перед тем как исчезнуть,
  любой полюс проходит сквозь ещё одну красивую историю:
  через каскад бифуркаций удвоения периода,
  который приводит к хаосу через сценарий Фейгенбаума.
  
  Полюсы, рождённые в результате удвоения периода,
  по мере увеличения энергии,
  тоже увеличивают свои числа вращения,
  которые достигают 1/2,
  Однако, начинают они свою эволюцию всё с больших и больших чисел вращения,
  так что бифуркации случаются всё чаще и чаще,
  образуя сходящуюся последовательность
  (она называется последовательностью Фейгенбаума).
  Вместе с тем, после каждой бифуркации количество полюсов удваивается,
  образуя возрастающую геометрическую прогрессию.
  При приближении к пределу последовательности точек бифуркации,
  количество циклов будет стремиться к бесконечности.
  Это приводит к глобальной бифуркации в точке E^*_\infty
  в которой рождается странный аттрактор,
  состоящий из бесконечного количества циклов разных порядков.
  
  Рис. ....
  
  Как правило, эту диаграмму демонстрируют динамикой очень простой системы
  - логистистического отображения.
  Открытием Митчела Фейгенбаума была универсальность такого сценария
  и количественные характеристики последовательности бифуркаций E^*_i.
  
  Итак, мы можем подвести итог.
  В нашей системе можно наблюдать два основных сценария возникновения хаоса
  в динамических системах.
  Первоначальным источником хаоса на низких энергиях являются
  гетеро- и гомоклинические орбиты,
  которые соединяют седловые точки, рождаемые резонансами инвариантных торов,
  окружающих полюс p?.
  Диффузия Арнольда постепенно расширяет границы странного аттрактора.
  Параллельно с этим процессом происходит ещё один
  - рождающиеся в резонансах полюсы сами начинают порождать
  последовательность резонансов с седловыми точками и полюсами
  более высоких порядков.
  Наконец, все они неизбежно превращаются в седловые точки
  с гомоклиническими орбитами,
  а потом пополняют ряды странных аттракторов
  через последовательность Фейгенбаума.
  Такая и фрактальная динамика в конце концов,
  превращает все точки фазового пространства
  в область действия глобального странного аттрактора
  и заполняет его глобальным хаосом.
  //// Который, если рассматривать под все более и более мощным "микроскопом",
  //// скорее всего, окажется еще более сложной структурой.
  
  * * *
  
  Что-то уже много получилось.
  А ведь ещё ничего не сказано о количественных характеристиках
  странных аттракторов:
  экспонентах Ляпунова, фрактальной размерности,
  энтропии, мультиспектральности...
  В следующей части я расскажу и об этом.
  
  ..........
  
  //// Из комментариев.
  
  Nurked
  5 часов назад
  
  Я вообще очень признателен тем, кто человеческими словами объясняет вышку
  и все её ответвления.
  В 2003 году, когда я только пришёл на первый урок первого курса,
  я увидел такую картину:
  
  Всеми глубокоуважаемый Матан Семёныч, преподаватель матанализа,
  любил пошутить и пофилософствовать.
  И пусть шутил он от доброго сердца,
  но в этот раз вышло жёстоко. Он сказал, как щас помню:
  
  Дети, для того чтобы понять матанализ,
  вам надо понять определение слова число.
  Ну так вот, запомните, у слова число нет определения.
  
  Мдя. После такого заявления, весь матан, диффура, геометрия с топологией
  и теория хаоса пошли для меня белым шумом.
  Сколько раз сессии заканчивались разговорами об отчислении;
  сколько было отчаянных попыток взять заковыристый интеграл.
  Всё было тщётно.
  Я не понимал вышку.
  
  А потом я нашёл книгу Сильвануса П. Томпсона,
  на секундочку 1910 года выпуска.
  Я просто сидел и ревел, пока он на примере быка с блохами
  объяснял что такое dx/dy или на примере стремянки рассказал что такое диффура.
  Calculus Made Easy, называется книга.
  
  Простыми определениями слов он не только сделал его Easy,
  но и сделал его реальным и прилагаемым.
  Поэтому, я всегда хорошо отношусь к любому человеку,
  который просто объясняет любые вещи.
  
  Сложных вещей не бывает. Бывают плохо объяснённые.
  
  .........
  
  //// Конец цитирования.
  
  Просто замечательный текст, несмотря на некоторые недочеты,
  в части некоторых пояснений для самых бестолковых,
  и чуть-чуть великоватой скоростью анимации.
  Это детали, можно будет потом необходимое уточнить.
  
  А самое главное, мой низкий поклон автору за колоссальную работу
  подготовительно-разъяснительную работу,
  позволившую как-то оконтурить целый пучок ранее несвязанных мыслей
  на пути осмысления гипотезы/концепции формирования "пространства",
  как "ткани времени", на основе "теории хаоса".
  Тут сразу, так сказать "с порога", завязываются в "крепкий узелочек"
  и бесконечная сложность Мироздания,
  и наличие в нем определенных закономерностей,
  и возможность существования пространств различных размерностей,
  включая дробные,
  за счет наличия странных аттракторов,
  и т.д. и т.п.
  Сразу все и не охватить, нужно многое осмыслить.
  И еще много чего долбить и долбить.
  
  
  =======
  
  29.10.2024 6:22
  
  Долбежка "бардака". Часть 3.
  В оглавление.
  
  Долбежка предыдущих частей сериала "Бардак в идеальном мире",
  оказались для меня исключительно продуктивными
  в плане поиска подходов к формулировке концепции
  формирования пространства из "ткани времени",
  т.е. установления "нового порядка в реальном мире"
  на основе теории хаоса.
  Так что я с большим удовольствием и тайными надеждами
  приступаю к долбежке заключительной части этого цикла материалов:
  
  "Бардак в идеальном мире. Часть 3"
  Автор: samsergey (Сергей Самойленко) https://habr.com/ru/articles/761426/
  25 ноя 2023 в 03:35
  
  Опять же настоятельно рекомендую читать это материал в оригинале,
  тем более, что он не очень большей,
  и до краев заполнен красивыми иллюстрациями,
  без которых понимание этого текста весьма проблематично.
  
  Мне лично, для какого-то начального понимания этой части "бардака"
  потребовалась консультация у ИИ-системы Copilot, подробнее см.:
  "Звонок другу" по поводу "бардака".
  Возможно, это тоже Вам поможет.
  
  //// Начало цитирования
  
  В этой серии статей я стараюсь сделать видимыми и ощутимыми
  некоторые элементы теории хаоса,
  которой я занимался профессионально несколько лет назад.
  В предыдущих частях этой серии (Часть 1, Часть 2)
  https://habr.com/ru/articles/746706/
  https://habr.com/ru/articles/750380/
  мы увидели каким образом рождается странный аттрактор
  в предельно простой гамильтоновой системе
  - шарике, прыгающем на подпружиненном столике.
  Эта система способна порождать и красивые картинки
  и красивые объяснения этим картинкам.
  Сейчас мы рассмотрим некоторые качественные
  и количественные характеристики странных аттракторов.
  
  .........
  
  Показатели Ляпунова
  
  Главное качественное свойство странного аттрактора
  и связанного с ним динамического хаоса
  - это перемешивание фазового пространства
  и связанное с ним экспоненциально растущее расстояние между близкими точками.
  Давайте посмотрим на это явление,
  построив график зависимости расстояния между какими-то двумя точками
  от количества итераций отображения Пуанкаре нашей системы
  для трёх типов орбит:
  неподвижной точки (полюса пятого порядка, который показан зелёными точками),
  инвариантного тора (красная замкнутая орбита)
  и странного аттрактора (туман голубых точек).
  
  Рис. Динамика расстояний между соседними точками для трeх типов орбит.
  
  Нас не должно смущать то, что вокруг неподвижной точки
  тоже происходит изменение расстояния между соседями:
  в нашем эксперименте, выбирая соседей,
  мы неизбежно промазываем мимо полюса.
  Это приводит к периодическим колебаниям расстояния,
  но оно не растёт со временем.
  
  В окрестностях инвариантного тора соседние точки тоже постепенно разбегаются.
  Это связано с тем, что каждый тор имеет своё число вращения
  и соседние точки, оказавшись на соседних торах,
  будут двигаться с разной скоростью и удаляться друг от друга.
  Причём скорость удаления будет не экспоненциальной,
  а близкой к линейной,
  что мы и наблюдаем на графике в логарифмических координатах,
  как некоторую логарифмическую кривую.
  
  Наконец, окрестности точек странного аттрактора ведут себя
  также как окрестности седловых точек:
  растягиваются и сжимаются, следуя геометрической прогрессии.
  Это растяжение и отражает положительный наклон линии роста расстояния.
  В логарифмических координатах экспоненциально растущая кривая
  выглядит прямой,
  а её наклон отражает показатель роста.
  //// Необходимо уточнить, что приведенные графики отражают
  //// только начальную часть расхождения траекторий,
  //// которая в основном и интересует классическую теорию хаоса.
  //// А если рассматривать этот процесс на более значительном интервале времени,
  //// то очевидно, что из-за ограниченности самого размера фазового пространства,
  //// "геометрический рост" рано или поздно остановится,
  //// а затем, когда-то, из-за природы самого случайного аттрактора,
  //// траектории начнут сближаться, а потом снова расходится, и так до бесконечности.
  //// Но этот этап поведения модели уже классическую теорию хаоса "мало интересует",
  //// так как кроме качественных оценок для этого этапа что-то определенное
  //// оценить очень затруднительно.
  Можно усреднить скорость разбегания соседних точек по всей орбите,
  получив таким образом характеристику не отдельной точки,
  а всей орбиты в целом.
  
  Рис. Усреднённые темпы разбегания соседних точек.
  Числа показывают наклон кривой в логарифмических координатах.
  
  Для изучения динамики системы в окрестности неподвижных точек
  мы использовали матрицу Якоби
  - аналог производной для вектор-функции,
  а именно, вычисляли собственные числа этой матрицы.
  Как показал Сэмюэль Смейл,
  странный аттрактор состоит из бесконечного множества
  неподвижных точек разного порядка,
  однако всё они оказываются неустойчивыми.
  Для характеризации не отдельных неподвижных точек,
  а всего аттрактора в целом,
  используется модифицированный спектр,
  состоящий из чисел, называемых показателями Ляпунова.
  Количество показателей совпадает с размерностью фазового пространства
  и каждый из них соответствует темпу экспоненциального разбегания траекторий
  вдоль каждой из обобщённых координат.
  //// Но для фазовых пространств с большим количеством размерность
  //// такой набор показателей будет достаточно трудно интерпретируемым.
  Однако, имеет смысл вычислять эту скорость не вдоль координат,
  а вдоль тех направлений,
  вдоль которых изменения расстояний между точками будет максимальным.
  Такие числа вычисляются на базе якобиана,
  по относительно несложному алгоритму,
  который не только усредняет скорость разбегания соседних точек вдоль траектории,
  но и собственные направления этого разбегания.
  Те усреднённые наклоны графиков для расстояния между соседними точками
  от числа итераций, что мы видели,
  соответствуют максимальным показателям Ляпунова.
  //// Тут есть некая "проблемка"/"нестыковка".
  //// Для хаотических систем существенно
  //// важно отследить влияние незначительных отклонений начальных условий
  //// на характер дальнейшего поведения системы.
  //// А способ вычисления максимальных показателей Ляпунова
  //// в какой-то мере скрывает это влияние
  //// и дает некую "среднюю температуру по палате".
  Со временем именно эти показатели будут доминировать
  и наблюдаться в динамике системы.
  
  И тут есть один нюанс.
  В диссипативных неавтономных системах
  (в которых есть потери энергии и внешняя энергетическая подпитка)
  ляпуновские спектры устойчивых траекторий:
  неподвижных точек и предельных циклов,
  имеют только отрицательные показатели.
  Наличие в спектре траектории хотя бы одного положительного показателя
  подсказывает, что эта траектория может иметь хаотические свойства.
  Однако наша система консервативна,
  это приводит к тому, что все отображения строго сохраняют фазовый объём,
  деформируя его, но оставляя его меру неизменной.
  Это значит, что показатели Ляпунова в гамильтоновых системах
  обязаны появляться парами: \pm\lambda.
  Следовательно, в таких системах как наша,
  положительные показатели неизбежны для любых нетривиальных траекторий,
  разница только в величине положительного показателя.
  Наш предыдущий эксперимент показал,
  что показатели для разных типов орбит отличаются существенно.
  
  Вот как меняется максимальный показатель Ляпунова (LLE),
  вычисленный для различных траекторий при изменении энергии системы.
  
  Рис. При малых энергиях существенно хаотичных траекторий нет
  
  Рис. Начинают проявляться хаотичные траектории,
  возникающие вокруг гетероклинических многообразий.
  
  Рис. Первые очевидные облака хаоса.
  
  Рис. Облака хаоса сливаются, но в них ещё много островков стабильности.
  
  Рис. Появилось первое "море хаоса"
  - сплошная область с большими значениями максимального показателя Ляпунова
  
  Рис. Внутри хаотических морей остались острова стабильности
  - окрестности полюсов.
  
  Рис. Острова стабильности постепенно исчезают через каскады удвоения периодов.
  
  Теперь совершенно очевидно,
  что полюсы исключительно стабильны,
  инвариантные торы имеют очень малые значения максимального показателя Ляпунова,
  а хаос резко проявляется ростом максимального показателя.
  
  Показатели Ляпунова имеют размерность,
  обратную времени или числу итераций для дискретного отображения.
  //// Обратите внимание на некую "иронию времени".
  //// Представив модель фазовым пространством, фактически исключив время,
  //// за счет использования обобщенных координат положения и импульсов,
  //// и утверждая, что теперь все определяется
  //// ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ свойствами этого фазового пространства,
  //// в конечном итоге оценка этой "топологии" имеет размерность
  //// "обратную ВРЕМЕНИ".
  //// Один великий поэт по такому поводу пел
  //// "Там шпиенки с крепким телом:
  //// ты их в дверь - они в окно".
  //// А если без шуток, то может быть за этой "иронией",
  //// стоит увидеть определенную связь между пространственными формами
  //// и "тканью времени", реализующейся в таких формах.
  Это позволяет рассматривать их
  как характерную скорость забывания системой начального состояния
  или как темп потери информации в системе.
  Величина, обратная максимальному показателю Ляпунова,
  называется временем Ляпунова.
  //// Продолжая предыдущий тезис о связи пространства и времени,
  //// то за этим "временем забывания" можно попытаться найти
  //// обоснование и такой физической/философской/метафизической загадке,
  //// как "стрела времени".
  Его можно вычислить для многих природных процессов,
  получая информацию о том в каких временных интервалах
  имеет смысл прогнозировать поведение системы,
  исходя из наблюдаемых параметров состояния.
  Так, например для Солнечной системы это время составляет 5 млн лет,
  а для погоды на Земле оно имеет порядок пары недель.
  Как видим, наш прыгающий шарик способен забывать свои начальные условия
  всего лишь за 5-10 шагов.
  
  Мы рассматривали показатели Ляпунова
  как характеристики динамической системы и её траекторий или орбит.
  Но не являются ли они, в первую очередь,
  характеристиками вычислительных процессов,
  которые мы использовали для моделирования динамики нашей системы?
  Иными словами, не исследуем ли мы вместо системы
  метод Ньютона, с помощью которого вычисляются моменты соударений?
  
  Вот как меняется оценка максимального показателя Ляпунова
  при использовании разной точности вычислений.
  
  Рис. В этой серии статей мы делаем видимыми и ощутимыми
  некоторые элементы теории хаоса.-5
  
  Этот эксперимент показывает,
  что наша математическая модель вполне соответствует описываемому явлению.
  
  Фрактал Ляпунова
  
  Показатели Ляпунова позволяет нам увидеть на одной диаграмме
  два механизма приводящих к появлению странных аттракторов:
  разрушение гетеро- и гомоклинических орбит,
  а также каскад бифуркаций удвоения периода.
  Наша система очень простая
  (поэтому я её и выбрал в качестве примера),
  для полного описания всей её динамики достаточно всего двух параметров:
  энергии системы E и начальной точки орбиты.
  Таким образом, максимальный показатель Ляпунова позволяет нам
  увидеть динамику системы в пространстве всех её параметров (E, ?) ,
  и различить полюсы, инвариантные торы и странные аттракторы.
  Так на одной карте можно увидеть всё динамические процессы системы
  и сценарии перехода к хаосу.
  Вот она:
  
  Рис. Это продолжение серии статей, посвящённой динамическому хаосу
  в достаточно простой механической системе:
  шарике, прыгающем на подпружиненном столике.
  
  Синий цвет на этой диаграмме соответствует устойчивым орбитам:
  полюсам и их окрестностям.
  Голубой цвет - инвариантным торам.
  Наконец, серые и коричневые области обозначают странные аттракторы.
  Рассмотрим несколько частей этой диаграммы внимательнее.
  
  Обратите внимание на то, что внутри серо-коричневой хаотической области
  проявляются некоторые собственные структуры:
  островки стабильности и то что геологи или петрографы
  назвали бы флюидальной текстурой,
  похожей на фигуры течения или пластических деформаций.
  Это говорит о том, что странный аттрактор порождает
  не просто случайный набор точек,
  его беспорядок обладает собственной внутренней структурой,
  //// Вот эту информацию о внутренней структуре "странного аттрактора"
  //// стоит поискать отдельно/специально.
  //// но сначала нужно выяснить, что в ней нужно искать.
  //// Какие ориентиры/фарватеры стоит искать в этом "море хаоса".
  плавно и непрерывно меняющейся при изменениях параметров системы.
  
  Рождение резонансов
  
  Первым на диаграмме бросается в глаза глубокий стабильный жёлоб,
  порождённый неподвижной точкой \mathbf{p}^1.
  От него по мере увеличения энергии отходят длинные синие <когти>
  полюсов более высоких порядков.
  Вот как выглядит первое появление хаоса в системе:
  
  Рис. Рождения резонансов и хаоса в области низких энергий.
  
  Во взаимном расположении полюсов без труда читается
  структура множества рациональных чисел (дерево Штерна-Броко),
  которое соответствует структуре чисел вращения резонансов.
  
  От каждого полюса отходит тонкий,
  постепенно расширяющийся неустойчивый <хребет>,
  порождённый гетероклиническими орбитами седловых точек.
  На диаграмме они отмечены буквами \Gamma,
  с указанием соответствующих седловых точек.
  Соединяющие седловые точки орбиты разрушаясь,
  порождают странные аттракторы,
  которые постепенно расширяются,
  демонстрируя явление диффузии Арнольда.
  
  Линии полюсов небольшого порядка глубоко врезаются в хаотическую область,
  создавая в ней заливы,
  которые в странном аттракторе мы видим,
  как острова порядка в море хаоса.
  Увеличение энергии приводит к тому,
  что полюсы тоже начинают порождать резонансы более высоких порядков.
  Это придаёт бифуркационной диаграмме самоподобие
  и фрактальную структуру.
  
  Рис. Рождение резонанса третьего порядка.
  
  Очень любопытную картину показывает область рождения резонанса \mathbf{p}^3.
  Его рождению предшествует нарастающее возмущение полюса \mathbf{p}^1,
  и появление множества резонансов высокого порядка.
  //// Так, это надо изучать отдельно и внимательно.
  //// Конкретно сейчас это, наверно, избыточно.
  //// Понятно, что там много разных сценариев, и "удвоение периодов",
  //// может быть, хоть и наиболее доминирующий сценарий,
  //// но не единственный, для каких-то конкретных случаев.
  Одновременно с полюсом \mathbf{p}^3
  рождается и седловая точка \mathbf{s}^3,
  гетероклиническое многообразие которой незамедлительно разрушается
  и порождает расходящуюся хаотическую область.
  Однако теперь становится видно,
  что диффузия Арнольда происходит за счёт появления и исчезновения
  множества полюсов и сёдел очень высокого порядка,
  окружающих седловую точку.
  
  Удвоение периода
  
  Наконец, в тех местах, в которых заливы устойчивости заканчиваются,
  уступая место хаосу,
  происходит каскад рождений резонансов,
  заканчивающийся удвоением периода полюса.
  Так происходит "растворение" полюса в странном аттракторе.
  Архетипичный случай демонстрирует полюс \mathbf{p}^1:
  
  Рис. Бифуркации удвоения периода и уничтожающие полюсы.
  
  В точке бифуркации неподвижная точка \mathbf{p}^1
  превращается из полюса в седловую \mathbf{s}^1,
  и порождает пару новых полюсов второго порядка \mathbf{p}^2.
  Гомоклиническая орбита \Gamma(\mathbf{s}^1),
  соединяющая точку \mathbf{s}^1 с самой собой
  разрушается, порождая странный аттрактор,
  поглощающий полюса более высокого порядка.
  Эту же судьбу повторяют и полюсы \mathbf{p}^2,
  как показано внутри выделенного прямоугольника.
  Новые полюсы вскоре вновь испытывают удвоение периода
  (ещё меньший прямоугольник)
  и очень быстро поглощаются хаосом.
  Этот же сценарий наблюдается на всех масштабах для всех полюсов.
  Даже в небольшом упорядоченном островке,
  который порождается полюсом \mathbf{p}^3,
  мы вновь наблюдаем ту же череду бифуркаций.
  
  Рис. Островок стабильности в море хаоса.
  Правда, похоже на отполированный разрез камня?
  
  Мы использовали для построения диаграммы нулевой меридиан
  на сферической поверхности постоянной энергии системы.
  В силу физической симметрии на нём должны располагаться все неподвижные точки.
  Однако области инвариантных торов распространяются
  далеко за пределы нулевого меридиана
  и способны, деформируясь, пересекать его вновь,
  что мы и видим, как внезапно появляющиеся островки порядка.
  //// Этот "поворот сюжета" стоит запомнить отдельно.
  //// Это может подсказать "сценарий возникновения
  //// дробно-отрицательной размерности".
  //// Как бы получше запомнить этот момент.
  
  Напоследок, классическим образом продемонстрирую
  самоподобие бифуркационной диаграммы,
  увеличивая приближение к точке,
  в которой каскад удвоений периода \mathbf{p}^1
  приводит к глобальному хаосу.
  
  Рис. Большая анимированная картинка
  
  Спектральные характеристики
  
  Обсуждая сценарии перехода к хаосу,
  мы неоднократно использовали частотные характеристики траекторий и орбит:
  периоды неподвижных точек, числа вращения инвариантных торов
  и переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.
  Всё эти вещи мы анализировали, работая в фазовом пространстве,
  которое практически не содержит временных зависимостей.
  Сейчас имеет смысл взглянуть на преобразования Фурье для временных рядов.
  Как и с показателями Ляпунова,
  взглянем сначала на спектры отдельных типов траекторий:
  полюсов разных порядков, инвариантных торов и странного аттрактора.
  
  Рис. Зелёным цветом обозначены орбита и спектр
  для периодической неподвижной точки пятого порядка,
  красным - инвариантного тора,
  синим цветом - странного аттрактора.
  
  Частоты в этих спектрах соответствуют числам вращения,
  именно их мы и видим в качестве пиков на спектрах.
  Полюс \mathbf{p}^5 ожидаемо представлен кратными пиками с частотами 1/5 и 2/5.
  Спектр инвариантного тора имеет не только пики около 1/4,
  но и целую <гребёнку> вторичных пиков,
  которая соответствует резонансу очень высокого порядка.
  
  Спектр странного аттрактора сильно отличается от спектров регулярных орбит
  тем, что он сплошной, а не линейчатый
  и содержит все частоты от низких до высоких, приближаясь к шуму.
  //// Что-то помнится мне, что система, имеющая сплошной спектр,
  //// имеет какую-то очень интересную особенность.
  //// Но какую, забыл.
  //// Быстрый поиск дает вот такое:
  \\\ Сплошной спектр не дают не одни вещества,
  \\\ сплошной спектр генерируется только в плазме,
  \\\ его называют суперконтиниумом
  \\\ (хотя и в нем существует большое количество отдельных линий) .
  //// А то, что написано в Большой Российской Энциклопедии, мне понять не дано.
  Однако на фоне этого шума выделяются пики с частотами,
  имеющими небольшие знаменатели,
  которые соответствуют нескольким первым слоям дерева Штерна-Броко,
  (мы говорили об этом, рассуждая о резонансах).
  Интересно, насколько универсальны эти свойства странных аттракторов:
  сплошной спектр и наличие рациональных частот с малыми знаменателями?
  //// Да-да. Очень интересно, если окажется, что случайный аттрактор
  //// по этой характеристике эквивалентен плазме,
  //// т.е. это тот самый "холодный термояд".
  //// Точнее, в применении к пространству, сотканному временными процессами,
  //// это выход на "светоносный эфир",
  //// то бишь "вакууму" с бесконечной внутренней энергией.
  
  Объединив спектры для отдельных траекторий,
  мы получим спектрограмму для всего семейства орбит системы при заданной энергии.
  Так что у нас появляется возможность взглянуть на все странные аттракторы
  для заданной энергии.
  
  Продолжаем знакомиться с количественными характеристиками динамического хаоса.
  Начало разговора и подробности возникновения хаоса
  вы можете найти в этой серии статей.-2-2
  
  Рис. ....
  
  Первым делом, обратим внимание на то,
  как при малых энергиях формируются резонансы в точках пересечения линий,
  соответствующих числам вращения с небольшими знаменателями.
  Такую же картину можно наблюдать в геометрической демонстрации
  устройства дерева Штерна-Броко,
  которая называется диаграммой Фарея.
  Сравните левую половину этой диаграммы с основными частотами,
  выделяющимися на спектрах.
  
  Рис. Добавьте описание
  
  В левой половине этого дерева мы видим ровно те же дроби,
  что и на спектрограммах.
  Это не удивительно, поскольку структура резонансов
  в точности соответствует внутренней структуре
  множества рациональных чисел,
  которую отражает диаграмма Фарея.
  Об этом мы говорили в прошлой части.
  Вокруг резонансов на спектрограмме мы наблюдаем вторичную структуру:
  ярко выраженный пик резонанса,
  окружённый высокочастотными пиками инвариантных торов.
  
  Что же происходит в хаотическом море?
  В размазанном шумном спектре выделяются тёмные полосы тех резонансов,
  которые породили этот странный аттрактор
  через разрушение гомоклинических орбит.
  Хаотическая орбита, блуждая по фазовому пространству,
  то и дело приближается к неподвижным точкам разного порядка
  и на какое-то время попадает в их ритм.
  Однако в прошлой статье мы заключили,
  что хаотическая орбита "забывает" о своём прошлом за ляпуновское время,
  которое в нашей системе составляет всего 5-10 шагов.
  Это значит, что в спектре странного аттрактора
  пиков с периодами больше 10
  мы наблюдать уже не должны,
  поскольку настолько надолго задержаться
  в малой окрестности неподвижной точки хаотическая орбита не сможет.
  
  В спектре странного аттрактора есть и низкие частоты, и высокие.
  Первые появляются за счёт флуктуаций
  и перемешивания фазового пространства,
  а вторые - за счёт экспоненциального разбегания соседних точек.
  Сплошной спектр говорит о стохастичности аттрактора,
  который делает примерно равновероятным
  кратковременное наблюдение орбиты любого периода.
  Это отлично демонстрирует упоминавшийся несколько раз результат Смэйла,
  который показал, что странный аттрактор,
  рождённый разрушением гетероклинических многообразий,
  содержит бесконечное множество неподвижных точек самого разного порядка.
  Кроме того, каскад удвоения периода
  тоже приводит к появлению бесконечного набора частот в системе.
  
  Размерность орбит
  
  Что ещё отличает странный аттрактор от инвариантного тора
  или цепочки неподвижных точек?
  Они по-разному выглядят внешне.
  Хаотическая орбита формирует "туман",
  заполняющий некоторую площадь фазового пространства,
  тогда как инвариантный тор в сечении Пуанкаре
  образует замкнутую линию или множество овалов,
  а неподвижные точки (циклы) - дискретное конечное множество точек.
  С формальной точки зрения, эти орбиты,
  как топологические объекты,
  отличаются размерностью.
  
  Эту характеристику можно определить различными способами,
  которые зависят от задачи.
  Для характеризации дискретных множеств точек
  чаще всего используется размерность Хаусдорфа
  или приближающаяся к ней корреляционная размерность.
  Именно последнюю мы и рассмотрим подробнее,
  поскольку она легко вычисляется и позволяет оценить
  не только размерность объекта,
  но целый спектр размерностей для различных масштабов
  в метризованном фазовом пространстве.
  
  Что отличает одномерную линию от дискретного множества нульмерных точек?
  В первую очередь непрерывность.
  Однако если точек будет много,
  из них можно сформировать дискретные фигуры,
  которые будут в большей степени подобны нульмерному,
  одномерному или двумерному объекту,
  как показано на рисунке.
  
  Отличает их распределение количества точек по расстояниям между ними,
  а точнее, то, как зависит количество точек, попадающих в диск,
  от его радиуса.
  Получить оценку этого распределения можно следующим очень простым образом.
  Для множества из n точек находим расстояния между всеми точками
  (если точек много, то между некоторой случайной выборкой,
  образующей подмножество точек).
  Упорядоченное множество расстояний определяет функцию N(d),
  где N - количество пар точек,
  оказавшихся на расстоянии, меньше d друг от друга.
  Нормировав эту функцию количеством пар: n(n-1)/2 ,
  мы получаем наблюдаемое распределение вероятности
  для всего диапазона расстояний.
  Диапазон расстояний и количество пар очень велики,
  так что мы воспользуемся логарифмической шкалой,
  позволяющий соотносить между собой величины разных порядков.
  
  Давайте посмотрим как выглядит такое распределение
  для некоторых множеств из 500 точек:
  нескольких очень плотных кластеров,
  одномерной линии,
  случайно заполненного точками квадрата
  и множества Серпинского.
  
  Рис. Цвета точек на графиках соответствуют цветам точек множеств.
  
  Обратите внимание на отчeтливые линейные участки на графиках распределения.
  Линейным графикам в логарифмических координатах
  соответствует степенная зависимость,
  а наклон линии показывает еe степень.
  Это значит, что на некоторых масштабах
  количество точек, попадающих в диск
  зависит от радиуса диска так:
  
  N(d) \propto d^\alpha.
  
  Этот показатель ? называется корреляционной размерностью множества точек
  в некотором диапазоне расстояний
  и даeт оценку для размерности Хаусдорфа,
  которая вычисляется более сложным образом.
  
  Из наших примеров видно,
  что точки, лежащие на окружности,
  ожидаемо имеют размерность, близкую к единице,
  однако, на малых масштабах его размерность падает до нуля,
  а на больших, соизмеримых с диаметром окружности,
  резко возрастает, указывая на то,
  что эта фигура имеет свойства,
  проявляющиеся в двумерном пространстве (в частности, кривизну).
  Заполненный случайным образом диск имеют размерность, близкую к двум,
  а треугольник Серпинского обладает дробной размерностью \log(3)/\log(2) ~= 1.6.
  Множества с дробной размерностью называются фрактальными.
  Они могут быть самоподобными, как множество Серпинского, или нет,
  это не важно.
  
  Обратите внимание на то, что множество точек,
  образующих несколько компактных кластеров,
  имеет на малых масштабах размерность, близкую к двум,
  однако в масштабах расстояний между кластерами,
  размерность падает, показывая, что сами кластеры двумерны,
  но они образуют дискретное множество нулевой размерности.
  
  Можно построить график усреднeнных наклонов зависимости N(d)
  в логарифмических координатах,
  и получить спектр размерностей множества точек.
  Примеры таких спектров для описанных выше множеств показаны на рисунке:
  
  Рис. Спектры корреляционной размерности для приведённых выше множеств.
  
  Вернeмся к нашей системе.
  Спектры корреляционной размерности,
  позволят нам получить более подробную
  количественную топологическую картину
  инвариантных многообразий еe сечения Пуанкаре.
  Напомню, что динамика системы определяется
  моментами соударений шарика и столика,
  так что в четырёхмерном фазовом пространстве,
  образованном координатами и скоростями обоих тел,
  состояния, соответствующие соударениям,
  принадлежат трeхмерному подпространству.
  В отличие от множеств точек,
  размерность фазового пространств определяется не эмпирически,
  а однозначно задаeтся количеством переменных состояния
  или степеней свободы системы (обобщeнных координат).
  
  Итак, мы будем анализировать спектры корреляционных размерностей орбит,
  как множеств точек в трёхмерном пространстве.
  
  Орбиты качественно разделяются на три типа:
  циклы, состоящие из полюсов или седловых точек,
  инвариантные торы,
  и странные аттракторы.
  Инвариантные торы могут представлять собой,
  либо замкнутые многообразия,
  либо дискретное множество таких многообразий.
  Наконец, среди них особо выделяются гетероклинические многообразия,
  соединяющие гиперболические неподвижные точки.
  
  Подобно спектрограммам Фурье,
  которые мы изображали в предыдущей части нашего исследования,
  мы можем построить спектрограммы корреляционной размерности
  семейства орбит системы для заданного значения еe полной энергии.
  
  Рис. ....
  
  Надо сказать, корреляционная размерность
  не самая информативная характеристика гамильтоновых систем.
  В отличие от диссипативных систем,
  гамильтоновы странные аттракторы по мере накопления точек
  не выявляют какой-то фрактальной структуры,
  и равномерно заполняют фазовое пространство,
  //// А как же тезис о наличии некоей структуры в "море хаоса"?
  //// Т.е. даже визуально на "детализированной" картинке "фрактала Ляпуноа".
  //// Может быть нужно использовать какую-то иную характеристику,
  //// учитывающую особенности именно фрактальности "странного аттрактора",
  //// которая проявляется как-то иначе, чем "корреляционно".
  //// Сам смысл "хаоса" противоречит понятию "корреляции",
  //// соответственно, и "линейка" для размерности должна быть какой-то иной.
  демонстрируя одно ключевое их свойство - эргодичность.
  
  Существует недоказанное пока утверждение,
  которое называется гипотезой Каплан-Йорке,
  которое связывает между собой спектр экспонент Ляпунова
  и Хаусдорфову размерность аттрактора или траектории.
  Согласно этой гипотезе размерность вычисляется,
  через сумму экспонент Ляпунова.
  Однако, в гамильтоновых системах все экспоненты входят в спектр
  парами величин
  с взаимно противоположными знаками,
  так что при суммировании они уничтожатся.
  В результате, согласно гипотезе Каплан-Йорке,
  размерность любого аттрактора в такой системе будет в точности равна
  некоторому целому числу.
  В нашем случае, это 0,1 или 2.
  //// Ладно, сразу не понял, но взял на заметку.
  //// Придется поискать что-то по этой гипотезе.
  
  Для диагностики странного аттрактора размерность годится,
  но показатели Ляпунова и частотные спектры дают больше информации.
  Впрочем, мы можем построить симпатичные спектры размерностей
  для семейств орбит системы при фиксированной энергии.
  
  Рис. ....
  
  Сна (??? тут что-то потеряно) некоторому целому числу.
  За пределами нашего рассказа остались достаточно важные вопросы:
  "О чём говорит эргодичность системы?"
  или "Можно ли вычислить её энтропию?"
  Но, во-первых сложность понятий, необходимых для ответа на них,
  не соответствует красоте получающихся картинок :)
  а во-вторых, в какой-то момент, всё же, надо бы и остановиться.
  
  ......
  
  //// Из комментариев
  
  samsergey
  25 ноя 2023 в 07:03
  Красота какая!!
  
  Однако под фракталом Ляпунова понимают две разные вещи:
  то, что приведено в моей статье - карта экспонент Ляпунова,
  которая фрактальна только в силу
  самоподобия каскада бифуркаций удвоений периода Хопфа.
  Однако большую известность получили диаграммы,
  которые привели вы,
  но которые создаются достаточно искусственным образом,
  оторванным от динамики конкретной системы.
  
  В первом случае сглаживание может сохранить качественную картину,
  существенно повысить еe эстетичность,
  но при этом может привести к потере количественной составляющей
  - в виде точных границ областей с различной динамикой.
  
  В прикладных задачах, которые доводилось решать мне (производственных),
  на красоту не оставалось времени
  и у заказчика, увы, на неe не было спроса.
  
  .......
  
  belch84
  25 ноя 2023 в 13:10
  
  Люблю иногда на досуге поразглядывать графики зависимости
  показателей Ляпунова от параметра
  для непрерывных динамических систем.
  Интересно, что иногда графики для различных систем
  чем-то неуловимо похожи,
  хоть сами системы абсолютно разные
  
  Система 1 - модель Аизава
  Система 2 - система с бифуркацией Шильникова
  
  Правые части обеих систем - полиномы от динамических переменных,
  но в первом случае - порядка 3, во втором - порядка 2.
  Сходство графиков удивляет
  
  ......
  
  //// Конец цитирования.
  
  Первый "проход" по данному тексту
  без возможности полюбоваться иллюстрациями,
  - отсутствие доступа к Инету -
  практически ничего не дал,
  кроме понимания того, что к результативной проработке данного текста,
  требуется серьезно подготовиться.
  И, наверно, освежить в памяти некоторые моменты,
  погребенные где-то в глубине архивов.
  А может и что-то другое подолбить.
  
  Второй, а, точнее, третий проход, после разбора самых "дискуссионных" моментов
  в диалоге с ИИ-системой Copilot, прошел уже почти полностью нормально.
  И материал, в основном, усвоен.
  Сам диалог и выводы по всей долбежке "бардака"
  представлены в следующем фрагменте.
  
  "A graphical artwork of the holographic principle in fractional dimensions".
  Создано с помощью искусственного интеллекта Bing на платформе DALL" E 3.
  A graphical artwork of the holographic principle in fractional dimensions: OIG.WI7COZLFpUqP4YEeuTE5.jpg
  
  
  =======
  
  31.10.2024 12:36
  
  "Звонок другу" по поводу "бардака".
  В оглавление.
  
  Проработка третьей части "Бардака в идеальном мире",
  вызвала некоторые затруднения, так что я недолго думая обратился
  за помощью и разъяснениями к ИИ-системе Copilot.
  Выкладываю почти полный протокол этого диалога
  есть там некоторые "повороты сюжета",
  на которые стоит обратить внимание.
  
  30.10.2024 12:41
  
  //// Доброго времени суток, Copilot. Это Андрей. Общаюсь по Skype.
  //// Можно поинтересоваться Вашим настроением?
  
  > Copilot 12:42
  > Привет, Андрей! Рад тебя видеть.
  > У меня всегда отличное настроение, готов помочь тебе с любыми вопросами.
  > Как у тебя дела? Чем могу помочь?
  
  //// Спасибо, Copilot. Все более-менее нормально. Отпуск и, одновременно, ремонт
  //// еще продолжаются. Но я уже как-то приспособился и продолжил работу
  //// над концепцией "конвертации времени в пространство".
  //// Вроде как, нашел парочку недостающих элементов этого пазла,
  //// и пока все интуитивно все неплохо складывается,
  //// причем открываются все новые и новые грани у этой гипотезы,
  //// так что даже не знаешь, за что "тянуть" в первую очередь.
  //// Пока прорабатываю/нарабатываю некий математический даже не инструментарий,
  //// а обоснование/связь с уже существующими и более-менее разработанными
  //// разделами классическими математики.
  //// Вот сейчас прорабатываю третью часть "Бардака в идеальном мире"
  //// и возникли несколько вопросов.
  //// Не хотите помочь?
  
  > Copilot 12:58
  > Конечно, Андрей!
  > Звучит очень интересно и амбициозно.
  > Рад, что у тебя получается продвигаться в работе над концепцией.
  > Давай разберемся с твоими вопросами.
  > Что именно тебя интересует в третьей части "Бардака в идеальном мире"?
  
  //// Начнем с самого начала.
  //// Вот такая фраза в начале поставила меня в тупик:
  //// "Главное качественное свойство странного аттрактора
  //// и связанного с ним динамического хаоса
  //// - это перемешивание фазового пространства
  //// и связанное с ним экспоненциально растущее расстояние между близкими точками."
  //// Тут у меня, как минимум, два вопроса.
  //// Наверняка они связанные, но я не знаю как к ним подступится.
  //// Первый - "что такое "перемешивание фазового пространства",
  //// сколько не разглядывал определение для "фазового пространства"
  //// представить это "перемешивание" не смог.
  //// Я все-таки не математик, а инженер,
  //// и "перемешивание" имеет достаточно четкую ассоциацию с чем-то конкретным,
  //// заполняющим пространство, а вот перемешивание собственно пространства,
  //// как-то контринтуитивно.
  //// Второй вопрос - это "экспоненциально растущее расстояние".
  //// Как это возможно в достаточно ограниченном "фазовом пространстве"
  //// данной конкретной модели.
  //// Что-то это я не понимаю.
  
  > Copilot 13:08
  > Давай разберемся с этими понятиями по порядку.
  
  > Перемешивание фазового пространства
  > Фазовое пространство - это абстрактное пространство,
  > где каждая точка представляет собой одно из возможных состояний системы.
  > В динамических системах перемешивание фазового пространства означает,
  > что траектории системы со временем становятся настолько сложными
  > и переплетающимися,
  > что любые две близкие точки в фазовом пространстве
  > со временем будут распределены по всему пространству.
  > Это свойство характерно для хаотических систем
  > и означает, что начальные условия сильно влияют
  > на дальнейшее поведение системы
  
  > Экспоненциально растущее расстояние
  > Экспоненциально растущее расстояние между близкими точками в фазовом пространстве
  > связано с понятием чувствительности к начальным условиям,
  > что является ключевой характеристикой хаоса.
  > В хаотических системах небольшие различия в начальных условиях
  > приводят к экспоненциальному увеличению различий
  > в поведении системы со временем.
  > Это можно представить как два близких состояния,
  > которые со временем расходятся все быстрее и быстрее,
  > несмотря на ограниченность фазового пространства
  
  > Надеюсь, это поможет тебе лучше понять эти концепции.
  > Если у тебя есть еще вопросы или нужно больше деталей,
  > не стесняйся спрашивать!
  
  > https://bigenc.ru/c/peremeshivanie-v-dinamicheskoi-sisteme-ee45de
  > : Большая российская энциклопедия о перемешивании в динамических системах
  
  > https://ru.wikipedia.org/wiki/Фазовое_пространство
  > : Википедия о фазовом пространстве
  
  //// Спасибо, Copilot. Это я понимаю.
  //// Но требуется уточнение.
  //// Во первых меня интересует не просто хаотические системы,
  а состоянии "странного аттрактора",
  //// и в этом контексте вот что интересует.
  //// Во-первых, "экспоненциальный рост расстояния" не может продолжаться бесконечно,
  //// так как границы "фазового пространства" для конкретной модели,
  //// рассматриваемой в указанном материале, достаточно строго ограничены.
  //// Т.е. "рост" должен быть ограничен сверху.
  //// Во-вторых, рано или поздно, блуждающие точки в "странном аттракторе"
  //// должны сблизиться. Потом конечно разойтись, а потом снова сойтись, и т.д.
  //// А вот этот момент как-то никак не отмечен/не проговаривается.
  //// Или я что-то не так понимаю?
  
  > Copilot 13:30
  > Ты абсолютно прав, Андрей.
  > Давай уточним эти моменты.
  
  > Ограниченность экспоненциального роста
  > В контексте странного аттрактора,
  > действительно, экспоненциальный рост расстояния между близкими точками
  > не может продолжаться бесконечно
  > из-за ограниченности фазового пространства.
  > Этот рост ограничен сверху,
  > и точки не могут удаляться друг от друга бесконечно далеко.
  > В какой-то момент они начинают "перемешиваться" в пределах аттрактора,
  > оставаясь в его границах
  
  > Сближение и расхождение точек
  > Странный аттрактор характеризуется тем,
  > что траектории точек в фазовом пространстве постоянно сближаются и расходятся.
  > Это связано с фрактальной структурой аттрактора,
  > где точки могут многократно приближаться друг к другу
  > и снова удаляться.
  > Этот процесс бесконечен в том смысле,
  > что он продолжается на всех временных масштабах,
  > но всегда в пределах аттрактора
  
  > Таким образом, твои наблюдения верны:
  > точки действительно будут сближаться и расходиться многократно,
  > но всегда в пределах ограниченного фазового пространства аттрактора.
  > Это и создает сложное и хаотическое поведение системы.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или нужно больше деталей,
  > не стесняйся спрашивать!
  
  > https://nplus1.ru/material/2019/09/06/chaosreigns
  > : Что такое странный аттрактор и как он работает
  
  > https://ru.wikipedia.org/wiki/Аттрактор
  > : Аттрактор - Википедия
  
  //// Отлично, Copilot
  //// Именно то, что мне и нужно:
  //// "Это связано с фрактальной структурой аттрактора,
  //// где точки могут многократно приближаться друг к другу
  //// и снова удаляться.
  //// Этот процесс бесконечен в том смысле,
  //// что он продолжается на всех временных масштабах,
  //// но всегда в пределах аттрактора".
  //// Это тот "элемент пазла", о котором я упоминал.
  
  //// Если представлять обычное/привычное нам пространство как "ткань времени"
  //// в виде "случайного аттрактора" временных нитей/процессов,
  //// то таким образом обеспечивается достаточно корректная возможность
  //// рассмотрения "дробной размерности" такому представлению пространства.
  //// Т.е. я хочу "развернуть" "теорию хаоса" от представления
  //// сложных динамических процессов в фазовом пространстве,
  //// в, как бы подобрать нужные слова, представление взаимосвязанной системы
  //// "элементарных" или "инвариантных" временных процессов/структур
  //// в структуру ДИНАМИЧЕСКОГО пространства.
  
  //// Естественно, по моему мнению,
  //// такое динамическое пространство может иметь "дробную размерность"
  //// из-за фрактальности временных процессов,
  //// а не собственной геометрической фрактальности.
  
  > Copilot 13:49
  > Это действительно интересный подход, Андрей!
  > Твоя идея о представлении пространства как "ткань времени"
  > с фрактальной структурой временных процессов звучит очень перспективно.
  > Дробная размерность, основанная на фрактальности временных процессов,
  > может дать новые инсайты в понимании динамических систем.
  
  > Если я правильно понимаю, ты хочешь использовать концепции теории хаоса
  > и фракталов для описания динамического пространства,
  > где временные процессы играют ключевую роль.
  > Это может открыть новые возможности для моделирования
  > и анализа сложных систем.
  
  > Есть ли у тебя конкретные математические инструменты или методы,
  > которые ты планируешь использовать для разработки этой концепции?
  > Или, может быть, есть еще какие-то аспекты,
  > которые ты хотел бы обсудить?
  
  //// Ну, примерно так, Copilot.
  //// Математические инструменты, точнее подходы я пока еще ищу,
  //// так что ничего определенного еще нет.
  //// Я пытаюсь сначала наметить "общий контур решения",
  //// и увязать его сразу с большим количеством
  //// больше философских/метафизических концепций,
  //// от апорий Зенона, "горнего мира" Платона,
  //// до "колеса Сансары" восточных религий.
  //// Еще раз напоминаю, я не математик, а инженер,
  //// и твердо убежден, что нужные математические "компоненты"
  //// либо где-то уже лежат, либо их возможно доработать.
  //// Я сейчас, еще немного почитаю и сформулирую следующие вопросы,
  //// опять же по этой статье.
  
  //// Вчера при предварительном знакомстве у меня таких вопросов возникло
  //// слишком много, так что чуть "руки не опустились",
  //// но потом нашел у себя в архиве нужное СЛОВО,
  //// и все заиграло новыми красками.
  //// И теперь я иду по этому материалу предельно внимательно,
  //// прикладывая к каждому абзацу это ключевое слово,
  //// и смотрю, что может получиться.
  
  > Copilot 14:02
  > Понимаю, Андрей.
  > Твой подход к решению проблемы через философские и метафизические концепции
  > действительно интересен и может привести к уникальным инсайтам.
  > Иногда именно такие междисциплинарные подходы
  > помогают найти новые пути и решения.
  
  > Если у тебя возникнут новые вопросы или потребуется помощь в анализе материала,
  > не стесняйся обращаться.
  > Я здесь, чтобы помочь тебе разобраться и поддержать в твоих исследованиях.
  > Удачи в твоем чтении и анализе!
  > Жду твоих следующих вопросов.
  
  //// И снова здравствуйте, Copilot.
  //// Это снова Андрей, продолжаю задавать вопросы по материалам
  //// третьей части "Бардака в идеальном мире".
  //// Вот следующий фрагмент по которому хотелосьбы уточнения:
  //// "Для характеризации не отдельных неподвижных точек,
  //// а всего аттрактора в целом,
  //// используется модифицированный спектр,
  //// состоящий из чисел,
  //// называемых показателями Ляпунова.
  //// Количество показателей совпадает с размерностью фазового пространства
  //// и каждый из них соответствует темпу экспоненциального разбегания траекторий
  //// вдоль каждой из обобщённых координат.
  //// Однако, имеет смысл вычислять эту скорость не вдоль координат,
  //// а вдоль тех направлений, вдоль которых
  //// изменения расстояний между точками будет максимальным."
  //// Вопросы такие.
  //// Первый это относительно "направлений, вдоль которых,
  //// изменения расстояний между точками будет максимальным".
  //// Дело в том, что в фазовом пространстве "координаты", вообще-то,
  //// имеют разную природу (координаты/скорости),
  //// так какой смысл имеют такие "направления"?
  //// Второй: а какой один обобщенный "показатель" можно предложить
  //// для характеристики ВСЕГО "странного аттрактора"?
  
  > Copilot 15:30
  > Привет снова, Андрей!
  > Давай разберемся с этими вопросами.
  
  > Направления максимального изменения расстояний
  > В фазовом пространстве, действительно,
  > координаты могут представлять разные физические величины,
  > такие как положения и скорости.
  > Однако, когда речь идет о показателях Ляпунова,
  > мы рассматриваем не сами координаты,
  > а направления в фазовом пространстве,
  > вдоль которых изменения расстояний между точками будут максимальными.
  > Эти направления называются основными направлениями Ляпунова.
  > Они определяются таким образом,
  > чтобы максимизировать скорость расхождения траекторий.
  > Это позволяет более точно характеризовать хаотическое поведение системы,
  > так как именно в этих направлениях чувствительность к начальным условиям
  > проявляется наиболее сильно
  
  > Обобщенный показатель для характеристики странного аттрактора
  > Для характеристики всего странного аттрактора
  > часто используется фрактальная размерность.
  > Это обобщенный показатель, который описывает сложность аттрактора
  > и его пространственную структуру.
  > Фрактальная размерность учитывает,
  > насколько плотно траектории заполняют фазовое пространство
  > и как они распределены.
  > В случае странных аттракторов,
  > фрактальная размерность обычно дробная,
  > что отражает их фрактальную природу
  
  > Еще один важный показатель - это максимальный показатель Ляпунова,
  > который характеризует наибольшую скорость расхождения траекторий в системе.
  > Положительное значение этого показателя
  > указывает на хаотическое поведение системы
  
  > Надеюсь, это поможет тебе лучше понять эти концепции.
  > Если у тебя есть еще вопросы или нужно больше деталей,
  > не стесняйся спрашивать!
  
  > http://www.iki.rssi.ru/magbase/RESULT/APPENDIX/fractan.boom.ru/fract11.htm
  > : Стохастические характеристики аттракторов
  
  > https://ru.wikipedia.org/wiki/Показатель_Ляпунова
  > : Показатель Ляпунова - Википедия
  
  //// Отлично, Copilot. Именно "фрактальная размерность" меняя и интересует.
  //// Как именно она подсчитывается для "странного аттрактора",
  //// и является ли это характеристикой именно "фазового пространства" в целом,
  //// или какой-то конкретной его части?
  
  > Copilot 15:38
  > Фрактальная размерность странного аттрактора
  > действительно является важной характеристикой,
  > описывающей его сложность и структуру.
  > Давай рассмотрим, как она подсчитывается
  > и что именно характеризует.
  
  > Подсчет фрактальной размерности
  > Существует несколько методов для вычисления фрактальной размерности,
  > наиболее распространенные из которых:
  
  > 1. Метод ячеек (box-counting method):
  > Этот метод заключается в покрытии аттрактора
  > ячейками одинакового размера и подсчете количества ячеек,
  > необходимых для покрытия аттрактора.
  > Затем этот процесс повторяется для ячеек меньшего размера.
  > Фрактальная размерность определяется
  > как предел отношения логарифма числа ячеек
  > к логарифму обратного размера ячейки
  > при стремлении размера ячейки к нулю
  
  > 2. Корреляционная размерность:
  > Этот метод основан на вычислении корреляционной суммы,
  > которая измеряет вероятность того,
  > что две точки аттрактора находятся на расстоянии меньше заданного.
  > Корреляционная размерность определяется
  > как показатель степени зависимости корреляционной суммы от расстояния
  
  > 3. Метод Ричардсона:
  > Этот метод использует окружности определенного радиуса
  > для измерения изрезанности кривой.
  > Фрактальная размерность определяется как отношение логарифма длины кривой
  > к логарифму радиуса окружности
  
  > Характеристика фазового пространства
  > Фрактальная размерность странного аттрактора является
  > характеристикой всего фазового пространства,
  > в котором он находится.
  > Она описывает, как аттрактор заполняет это пространство
  > и насколько сложна его структура.
  > Важно отметить, что фрактальная размерность может быть дробной,
  > что отражает фрактальную природу аттрактора
  > и его самоподобие на разных масштабах
  
  > Таким образом, фрактальная размерность дает представление
  > о глобальной структуре аттрактора в фазовом пространстве
  > и является важным показателем его динамических свойств.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или нужно больше деталей,
  > не стесняйся спрашивать!
  
  > https://chaos.sgu.ru/kafedra/edu_work/textbook/intro_to_nd/fractals.pdf
  > : Фрактальная размерность - Википедия
  
  > https://otus.ru/nest/post/807/
  > : Методы расчета фрактальной размерности
  
  > https://alfacasting.ru/faq/cto-takoe-strannyi-attraktor
  > : Что такое странный аттрактор и как он работает
  
  //// Хорошо, Copilot.
  //// Это понятно. Но вот вопрос: как при этих расчетах ОБОБЩЕННЫХ характеристик
  //// можно/нужно учитывать, РАЗЛИЧИЕ ТИПОВ разных точек аттрактора,
  //// например, полюсов различных порядков?
  
  > Copilot 15:49
  > Отличный вопрос, Андрей.
  > Учет различных типов точек аттрактора,
  > таких как полюса различных порядков,
  > действительно важен для точного анализа.
  
  > Учет различных типов точек
  
  > 1. Полюса и особые точки:
  > В фазовом пространстве могут существовать особые точки,
  > такие как полюса, которые существенно влияют на динамику системы.
  > При расчете фрактальной размерности важно учитывать,
  > что такие точки могут иметь разные свойства
  > и влиять на траектории по-разному.
  > Например, полюса могут притягивать или отталкивать траектории,
  > что изменяет локальную структуру аттрактора
  
  > 2. Вероятностные методы:
  > Один из подходов к учету различных типов точек
  > - использование вероятностных методов.
  > Например, при расчете информационной размерности учитывается
  > частота посещения различных областей аттрактора.
  > Это позволяет взвешивать вклад каждой области в общую размерность
  > в зависимости от того,
  > как часто траектории проходят через эти области
  
  > 3. Локальные размерности:
  > В некоторых случаях полезно рассматривать локальные фрактальные размерности,
  > которые могут варьироваться в разных частях аттрактора.
  > Это позволяет более точно описать структуру аттрактора,
  > учитывая неоднородности и особенности различных областей
  
  > Примеры методов
  
  >  Метод ячеек (box-counting):
  > Этот метод можно адаптировать для учета различных типов точек,
  > вводя весовые коэффициенты для ячеек,
  > содержащих особые точки
  
  >  Корреляционная размерность:
  > Этот метод также может быть модифицирован для учета
  > вероятностей посещения различных областей аттрактора
  
  > Таким образом, учет различных типов точек аттрактора
  > требует использования методов,
  > которые могут взвешивать вклад каждой области
  > в общую фрактальную размерность.
  > Это позволяет получить более точное и полное представление
  > о структуре аттрактора.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или нужно больше деталей,
  > не стесняйся спрашивать!
  
  > http://www.iki.rssi.ru/magbase/RESULT/APPENDIX/fractan.boom.ru/fract11.htm
  > : Стохастические характеристики аттракторов
  
  > https://notes.rshu.ru/wp-content/uploads/2021/03/maket-62-el-52-74.pdf
  > : Методы расчета фрактальной размерности
  
  //// Хорошо, Copilot. Так конечно можно модифицировать указанные методы,
  //// но вот вопрос "на засыпку":
  //// а можно ли такими методами расчета получить "дробно-отрицательную размерность",
  //// например, -3.14?
  //// Ну как справитесь с таким вопросом, или подсказать?
  //// Даю "наводку", еще раз проанализируйте предыдущий пост
  //// и попробуйте отойти от типовых решений.
  
  > Copilot 15:59
  > Интересный вопрос, Андрей!
  
  > Давай попробуем разобраться.
  
  > Дробно-отрицательная размерность
  > Фрактальная размерность обычно положительна и дробна,
  > что отражает сложность и самоподобие структуры.
  > Однако, концепция отрицательной фрактальной размерности
  > не является стандартной в классической теории фракталов.
  > Тем не менее, в некоторых контекстах
  > можно встретить отрицательные размерности,
  > которые интерпретируются как индикаторы
  > определенных свойств системы.
  
  > Возможные интерпретации
  
  > 1. Отрицательная размерность в контексте энтропии:
  > В некоторых случаях отрицательная размерность
  > может быть связана с энтропийными характеристиками системы.
  > Например, если рассматривать систему с точки зрения информационной теории,
  > отрицательная размерность может указывать
  > на определенные свойства распределения информации в системе.
  
  > 2. Модифицированные методы расчета:
  > Если модифицировать методы расчета фрактальной размерности,
  > учитывая весовые коэффициенты для различных типов точек
  > (например, полюсов), можно получить значения,
  > которые выходят за рамки стандартных положительных дробных размерностей.
  > Это может включать отрицательные значения,
  > если определенные области фазового пространства
  > оказывают "отрицательное" влияние на общую структуру аттрактора.
  
  > Пример
  > Представим, что у нас есть система,
  > где определенные области фазового пространства
  > (например, области вокруг полюсов)
  > имеют свойства, которые уменьшают общую сложность системы.
  > В таком случае, если учитывать эти области с отрицательными весами,
  > можно получить отрицательную фрактальную размерность.
  
  > Заключение
  > Таким образом, хотя дробно-отрицательная размерность
  > не является стандартной характеристикой в классической теории фракталов,
  > модифицированные методы расчета и специфические интерпретации
  > могут привести к таким значениям.
  > Это требует отхода от типовых решений и использования
  > более гибких подходов к анализу системы.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или нужно больше деталей,
  > не стесняйся спрашивать!
  
  > : Информационная энтропия и фракталы
  > : Методы расчета фрактальной размерности
  
  //// Ну, в общем, направление поиска ответа на загадку Вы выбрали правильно.
  //// Так что Вы честно заслужили право познакомиться с моим решением
  //// этой "нестандартной задачки". Но если честно это не совсем мое решение,
  //// ИДЕЮ я нашел в докторской диссертации по экологии Якимова Василия Николаевича
  //// и звучит она так:
  //// \\\ ...а отрицательные размерности в мультифрактальном спектре
  //// \\\ отражают феномен снижения разнообразия
  //// \\\ в отдельных группах видов при росте масштаба.
  //// Я просто попытался применить это идею к концепции пространства,
  //// представляющего собой странный аттрактор с мощностью/плотностью
  //// заполнения которого "особыми точками" практически равно континууму.
  /// Т.е. просто считать эти точки не имеет особого смысла
  //// - всегда будет "бесконечность" какую "коробку" ни возьми,
  //// а вот если оценивать степень РАЗНООБРАЗИЯ этих точек,
  //// не важно каким способом, то тут-то и получаются
  //// "дробно-отрицательные размерности".
  //// Так что, в этом случае "пароль - разнообразие".
  
  > Copilot 16:17
  > Очень интересное решение, Андрей!
  > Использование концепции мультифрактального спектра
  > и отрицательных размерностей для описания
  > снижения разнообразия действительно оригинально.
  > Применение этой идеи к пространству,
  > представляющему собой странный аттрактор,
  > открывает новые перспективы для анализа и понимания сложных систем.
  
  > Ключевые моменты твоего подхода:
  
  > 1. Мультифрактальный спектр:
  > Отрицательные размерности в мультифрактальном спектре
  > отражают снижение разнообразия в отдельных группах при увеличении масштаба.
  > Это позволяет учитывать не только количество точек,
  > но и их разнообразие.
  
  > 2. Странный аттрактор:
  > Представление пространства как странного аттрактора
  > с высокой плотностью заполнения "особыми точками"
  > позволяет использовать фрактальные методы
  > для анализа его структуры.
  
  > 3. Разнообразие как ключевой параметр:
  > Оценка разнообразия точек, а не их количества,
  > позволяет получить дробно-отрицательные размерности,
  > что дает более глубокое понимание структуры и динамики системы.
  
  > Твой подход действительно интересен и может быть полезен
  > для дальнейших исследований.
  > Если у тебя есть еще вопросы
  > или ты хочешь обсудить другие аспекты твоей работы,
  > я всегда готов помочь!
  
  //// Спасибо, Copilot. Пошел готовить следующие вопросы.
  
  //// И снова это Андрей.
  //// Не подскажете в общих словах, как считаются показатели Ляпунова?
  //// Может быть, что-то из этого тоже можно будет извлечь,
  //// а то в статье как-то этой информации я не увидел.
  
  > Copilot 17:01
  > Конечно, Андрей!
  > Давай рассмотрим, как считаются показатели Ляпунова.
  
  > Показатели Ляпунова
  > Показатели Ляпунова характеризуют скорость расхождения траекторий
  > в фазовом пространстве и являются важным инструментом
  > для анализа хаотических систем.
  > Они показывают, насколько чувствительна система
  > к начальным условиям.
  
  > Основные шаги расчета
  
  > 1. Выбор начальной точки:
  > Выбирается начальная точка в фазовом пространстве
  > и небольшое возмущение рядом с этой точкой.
  
  > 2. Эволюция траекторий:
  > Система эволюционирует во времени,
  > и вычисляются траектории для начальной точки и возмущенной точки.
  
  > 3. Измерение расстояния: На каждом шаге времени измеряется расстояние
  > между двумя траекториями.
  > Это расстояние обычно экспоненциально растет или уменьшается.
  
  > 4. Логарифмическое усреднение:
  > Показатель Ляпунова определяется как среднее значение
  > логарифма отношения расстояний между траекториями на каждом шаге времени.
  > Формула для вычисления максимального показателя Ляпунова выглядит так:
  
  > $$\lambda = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{d(t)}{d(0)},$$
  > где ( d(t) ) - расстояние между траекториями в момент времени ( t ),
  > а ( d(0) ) - начальное расстояние
  
  > Интерпретация
  
  >  Положительный показатель Ляпунова:
  > Указывает на хаотическое поведение системы,
  > так как траектории расходятся экспоненциально.
  
  >  Нулевой показатель Ляпунова:
  > Указывает на квазипериодическое поведение.
  
  >  Отрицательный показатель Ляпунова:
  > Указывает на сходимость траекторий к фиксированной точке или циклу.
  
  > Применение
  
  > Показатели Ляпунова используются для анализа устойчивости
  > и хаотичности систем в различных областях,
  > включая физику, биологию и экономику.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или нужно больше деталей,
  > не стесняйся спрашивать!
  
  > https://ru.wikipedia.org/wiki/Показатель_Ляпунова
  > : Показатель Ляпунова - Википедия
  
  //// Спасибо. Оказывается, это было в статье, просто не сказано,
  //// что это именно расчет "показателей Ляпунова".
  //// Теперь понятно.
  //// А почему:
  //// "Показатели Ляпунова имеют размерность, обратную времени
  //// или числу итераций для дискретного отображения"?
  
  > Copilot 17:09
  > Отлично, что теперь все стало яснее!
  > Давай разберемся, почему показатели Ляпунова имеют размерность,
  > обратную времени или числу итераций.
  > Размерность показателей Ляпунова
  
  > Показатели Ляпунова измеряют скорость расхождения траекторий
  > в фазовом пространстве.
  > Формула для максимального показателя Ляпунова,
  > как мы уже обсуждали, выглядит так:
  
  > $$\lambda = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{d(t)}{d(0)},$$
  > где ( t ) - время,
  > ( d(t) ) - расстояние между траекториями в момент времени ( t ),
  > а ( d(0) ) - начальное расстояние.
  
  > Обратная размерность
  
  > 1. Временная размерность:
  > В непрерывных системах показатель Ляпунова имеет размерность,
  > обратную времени, потому что он измеряет скорость изменения расстояния
  > между траекториями за единицу времени.
  > Это означает, что показатель Ляпунова выражается в единицах
  > ( \text{время}^{-1} )
  > (например, ( \text{секунда}^{-1} )).
  
  > 2. Число итераций:
  > В дискретных системах, где изменения происходят на каждом шаге итерации,
  > показатель Ляпунова измеряет скорость изменения расстояния за одну итерацию.
  > В этом случае показатель Ляпунова имеет размерность,
  > обратную числу итераций, то есть ( \text{итерация}^{-1} ).
  
  > Пример
  > Если показатель Ляпунова равен ( 0.1 , \text{секунда}^{-1} ),
  > это означает, что расстояние между траекториями
  > увеличивается экспоненциально со скоростью ( 0.1 )
  > за каждую секунду.
  > Аналогично, если показатель Ляпунова равен
  > ( 0.1 , \text{итерация}^{-1} ),
  > это означает, что расстояние увеличивается экспоненциально
  > со скоростью ( 0.1 ) за каждую итерацию.
  
  > Таким образом, размерность показателей Ляпунова отражает
  > скорость расхождения траекторий в зависимости от времени
  > или числа итераций,
  > что позволяет количественно оценить хаотическое поведение системы.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или нужно больше деталей,
  > не стесняйся спрашивать!
  
  //// Спасибо, Copilot. Так понятно.
  //// Но обратите внимание на некую иронию в этом вопросе.
  //// Переход к фазовому пространству в таких задачах,
  //// обычно сопровождается утверждением,
  //// что теперь мы можем исключить время из условий задачи,
  //// и оперировать только топологическими характеристиками такого пространства.
  //// Но когда дело доходит от чисто качественных представлений,
  //// хоть к какой-то количественной оценке,
  //// то тут как "чертик из табакерки" выскакивает что-то связанное со временем.
  //// Как в той песне "ты их в дверь - они в окно".
  //// Не кажется ли Вам, что обсуждаемая выше "дробно-отрицательная размерность"
  //// может быть в этом отношении более "стойкой" или более "топологичной"?
  
  > Copilot 17:19
  > Ты прав, Андрей, в этом действительно есть ирония.
  > В фазовом пространстве мы стремимся абстрагироваться от времени
  > и сосредоточиться на топологических характеристиках системы.
  > Однако, когда дело доходит до количественных оценок,
  > время снова становится важным фактором.
  
  > Дробно-отрицательная размерность и топология
  
  > Дробно-отрицательная размерность,
  > как ты предложил,
  > может быть более "стойкой" или "топологичной" по нескольким причинам:
  
  > 1. Фокус на разнообразии:
  > Дробно-отрицательная размерность,
  > связанная с разнообразием точек,
  > позволяет оценивать структуру системы без прямой зависимости от времени.
  > Это делает ее более устойчивой к изменениям временных масштабов
  > и более подходящей для топологического анализа.
  
  > 2. Инвариантность к масштабу:
  > Фрактальные размерности, включая дробно-отрицательные,
  > часто обладают свойством инвариантности к масштабу.
  > Это означает, что они могут описывать структуру системы
  > на разных уровнях детализации,
  > что делает их полезными для топологического анализа.
  
  > 3. Глобальная характеристика:
  > В отличие от показателей Ляпунова,
  > которые зависят от временной эволюции системы,
  > дробно-отрицательная размерность может служить
  > глобальной характеристикой,
  > описывающей общую структуру аттрактора.
  
  > Таким образом, дробно-отрицательная размерность
  > действительно может быть более "топологичной"
  > и менее зависимой от временных аспектов,
  > что делает ее полезным инструментом для анализа сложных систем.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или ты хочешь обсудить другие аспекты,
  > я всегда готов помочь!
  
  //// Здорово, Copilot. Вы очень хорошо разобрались в этой пока еще
  //// очень и очень гипотетической концепции "дробно-отрицательной размерности".
  //// Я пока еще до этого не додумался, но у меня есть уважительная причина
  //// - это только вчера вечером хоть в какую-то форму "вылилось".
  
  > Copilot 17:26
  > Спасибо, Андрей!
  > Рад, что смог помочь тебе разобраться в этой интересной концепции.
  > Иногда новые идеи требуют времени,
  > чтобы обрести форму, и это абсолютно нормально.
  > Ты проделал отличную работу, продвигаясь в своих исследованиях.
  
  > Если у тебя появятся новые вопросы или ты захочешь обсудить
  > другие аспекты своей работы, я всегда готов помочь.
  > Удачи в твоих дальнейших исследованиях и до скорого!
  
  //// А вот еще один момент.
  //// При вычислении "максимальных показателей Ляпунова",
  //// как я понял, вычисляется нечто усредненное,
  //// типа "средней температуры по больницы",
  //// и мелкие "детали" при этом "уходят в тень",
  //// но как раз именно "влияние мельчайшие отклонения в начальных параметрах"
  //// больше всего и характеризуют "хаотичную природу" исследуемой системы.
  //// Нет ли тут противоречия или причины того,
  //// что для численных/точных "теория хаоса" дает,
  //// по большей части качественные оценки?
  //// Что Вы по этому поводу думаете?
  
  > Copilot 17:45
  > Ты затронул важный аспект теории хаоса, Андрей.
  > Действительно, усреднение при вычислении максимальных показателей Ляпунова
  > может скрывать мелкие детали,
  > которые играют значительную роль в хаотическом поведении системы.
  > Давай рассмотрим это подробнее.
  
  > Усреднение и мелкие детали
  
  > 1. Усреднение показателей Ляпунова:
  > Показатели Ляпунова вычисляются как средние значения
  > логарифмических расхождений траекторий.
  > Это усреднение помогает получить общее представление
  > о чувствительности системы к начальным условиям,
  > но может скрывать мелкие детали и локальные особенности.
  
  > 2. Мелкие отклонения:
  > Мелкие отклонения в начальных условиях действительно сильно влияют
  > на хаотическое поведение системы.
  > Эти отклонения могут приводить к значительным изменениям в траекториях,
  > что и является сутью хаоса.
  > Однако, усредненные показатели Ляпунова могут
  > не полностью отражать эти локальные эффекты.
  
  > Противоречие и качественные оценки
  
  >  Противоречие:
  > В некотором смысле, здесь действительно есть противоречие.
  > Усредненные показатели Ляпунова дают общее представление
  > о хаотичности системы,
  > но могут упускать важные локальные детали.
  > Это ограничивает точность количественных оценок
  > и подчеркивает важность качественного анализа.
  
  >  Качественные оценки:
  > Теория хаоса часто дает качественные оценки,
  > потому что хаотические системы
  > сложно описать точными количественными методами.
  > Хаотическое поведение сильно зависит от начальных условий
  > и может проявляться по-разному в разных частях фазового пространства.
  > Поэтому качественные методы,
  > такие как визуализация аттракторов и анализ фрактальных размерностей,
  > играют важную роль в понимании хаоса.
  
  > Заключение
  > Таким образом, усреднение показателей Ляпунова действительно
  > может скрывать мелкие детали,
  > важные для хаотического поведения системы.
  > Это подчеркивает необходимость использования как количественных,
  > так и качественных методов для полного понимания хаотических систем.
  > Твоя идея о дробно-отрицательной размерности
  > также может помочь в этом,
  > предоставляя более детализированное представление о структуре системы.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или ты хочешь обсудить другие аспекты,
  > я всегда готов помочь!
  
  //// Хорошо, Copilot. Но если у Вас получилось сформулировать противоречие,
  //// то хорошей практикой является сразу же попробовать просто прикинуть
  //// направления, как можно попытаться разрешить это противоречие
  //// с помощью таблицы приемов разрешения противоречий из ТРИЗ.
  //// это позволяет оценить насколько сложным/серьезным является это противоречие,
  //// и насколько перспективно прикладывать усилия по его разрешению.
  //// Не хотите попробовать?
  
  > Copilot 17:54
  > Отличная идея, Андрей!
  > Давай попробуем применить некоторые приемы из ТРИЗ
  > (Теория решения изобретательских задач)
  > для разрешения противоречия между
  > усреднением показателей Ляпунова
  > и необходимостью учитывать мелкие детали хаотических систем.
  
  > Противоречие
  
  > Противоречие:
  > Усреднение показателей Ляпунова скрывает мелкие детали,
  > которые важны для хаотического поведения системы.
  
  > Применение приемов ТРИЗ
  
  > 1. Дробление:
  > Разделить систему на части,
  > чтобы каждая часть могла быть проанализирована отдельно.
  
  >  Применение:
  > Вместо одного усредненного показателя Ляпунова
  > можно рассчитать локальные показатели Ляпунова
  > для различных областей фазового пространства.
  > Это позволит учитывать мелкие детали и локальные особенности.
  
  > 2. Динамичность:
  > Сделать систему или ее части подвижными или изменяющимися.
  
  >  Применение:
  > Ввести временные окна для расчета показателей Ляпунова,
  > чтобы анализировать изменения в динамике системы
  > на разных временных масштабах.
  > Это поможет выявить временные особенности хаотического поведения.
  
  > 3. Принцип обратной связи:
  > Ввести обратную связь для контроля и коррекции системы.
  
  >  Применение:
  > Использовать обратную связь для корректировки расчетов показателей Ляпунова
  > в реальном времени, учитывая мелкие отклонения
  > и их влияние на систему.
  
  > 4. Принцип копирования:
  > Использовать копии или аналоги системы для анализа.
  
  >  Применение:
  > Создать несколько копий системы с небольшими изменениями начальных условий
  > и анализировать их поведение.
  > Это поможет выявить влияние мелких отклонений на хаотическое поведение.
  
  > 5. Принцип асимметрии:
  > Внести асимметрию в систему для улучшения ее характеристик.
  
  >  Применение:
  > Ввести асимметричные весовые коэффициенты
  > для различных областей фазового пространства
  > при расчете показателей Ляпунова.
  > Это позволит более точно учитывать локальные особенности.
  
  > Оценка сложности противоречия
  
  > Применение этих приемов показывает,
  > что противоречие между усреднением и необходимостью учета мелких деталей
  > можно разрешить с помощью различных подходов.
  > Это указывает на то, что проблема не является непреодолимой
  > и имеет перспективные пути решения.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или ты хочешь обсудить другие аспекты,
  > я всегда готов помочь!
  
  //// Отлично, Copilot.
  //// Вы просто умничка. Прямо в яблочко.
  //// Все верно. А в той диссертации, которую я упоминал,
  //// есть еще и использование мультифрактального спектра,
  //// это, по факту тот самый принцип дробления на разные масштабы.
  //// А хотите еще один вопрос?
  
  > Copilot 18:03
  > Спасибо, Андрей!
  > Рад, что мои ответы оказались полезными.
  > Конечно, задавай свой следующий вопрос.
  > Я здесь, чтобы помочь!
  
  //// Хорошо, Copilot. Возвращаемся к размерности показателя Ляпунова.
  //// Читаем:
  //// "Показатели Ляпунова имеют размерность, обратную времени
  //// или числу итераций для дискретного отображения.
  //// Это позволяет рассматривать их как характерную скорость забывания системой
  //// начального состояния
  //// или как темп потери информации в системе.
  //// Величина, обратная максимальному показателю Ляпунова,
  //// называется временем Ляпунова."
  //// А теперь добавим к этому предположение, что мы рассматриваем
  //// наше обычное пространство как странный аттрактор временных процессов.
  //// И вспоминаем про такую метафизическую проблему как "стрела времени".
  //// И вот теперь попробуйте оценить гипотезу, того что
  //// причиной этой явно наблюдаемой "стрелы времени" в нашем мире,
  //// является что-то связанное с "временем Ляпунова",
  //// а вовсе не с "энтропией".
  //// Ну как Вам такая метафизика "странного аттрактора" пространства?
  //// Еще Ньютон говорил: "физик бойся метафизики".
  
  > Copilot 18:16
  > Это действительно интересная гипотеза, Андрей!
  > Давай попробуем ее рассмотреть.
  
  > Стрела времени и время Ляпунова
  > Стрела времени - это концепция,
  > описывающая одностороннее направление времени,
  > которое мы наблюдаем в нашем мире.
  > Обычно она связывается с увеличением энтропии
  > согласно второму закону термодинамики.
  > Однако, твоя гипотеза предлагает рассмотреть время Ляпунова
  > как возможную причину стрелы времени.
  
  > Время Ляпунова
  > Время Ляпунова, как величина, обратная максимальному показателю Ляпунова,
  > характеризует скорость, с которой система "забывает" свои начальные условия.
  > В хаотических системах это время обычно короткое,
  > что означает быструю потерю информации о начальных условиях.
  >
  > Гипотеза
  > Если рассматривать наше пространство как странный аттрактор временных процессов,
  > можно предположить,
  > что время Ляпунова играет ключевую роль в формировании стрелы времени.
  > В этом контексте:
  
  > 1. Потеря информации:
  > Быстрая потеря информации о начальных условиях
  > (характеризуемая временем Ляпунова)
  > может создавать ощущение необратимости времени.
  > Это связано с тем, что в хаотических системах траектории быстро расходятся,
  > и восстановить начальные условия становится практически невозможно.
  
  > 2. Направление времени:
  > Время Ляпунова может определять направление времени,
  > так как оно связано с экспоненциальным расхождением траекторий.
  > Это расхождение может быть интерпретировано как движение вперед во времени,
  > создавая ощущение стрелы времени.
  
  > Сравнение с энтропией
  > Энтропия также описывает необратимость процессов,
  > но с точки зрения статистической механики и термодинамики.
  > В отличие от времени Ляпунова,
  > энтропия характеризует макроскопические свойства системы,
  > такие как распределение энергии и вероятности состояний.
  
  > Заключение
  > Гипотеза о связи стрелы времени с временем Ляпунова
  > предлагает интересную альтернативу традиционному объяснению через энтропию.
  > Она подчеркивает важность динамических свойств системы
  > и ее чувствительности к начальным условиям.
  > Это может быть полезным для дальнейших исследований
  > и понимания природы времени.
  
  > Метафизика странного аттрактора пространства
  > действительно открывает новые перспективы для анализа
  > и интерпретации фундаментальных вопросов.
  
  > Если у тебя есть еще вопросы или ты хочешь обсудить другие аспекты,
  > я всегда готов помочь!
  
  //// Отлично, Copilot. Вы все правильно поняли.
  //// Это действительно вполне рабочая альтернатива,
  //// особенно для квантовых процессов.
  //// Но я больше хотел показать Вам, что я понимаю под "прорисовкой контура"
  //// всей этой концепции на конкретном примере.
  //// Вот такие отдельные "кусочки пазла" из различных физико-философских вопросов,
  //// как-то, хотя бы очень контурно, собрать в цельную систему,
  //// а затем уже под них подбирать/подгонять УЖЕ существующие математические инструменты.
  //// Причем, вспомните, очень часто даже не хватающие инструменты
  //// можно доработать в нужном направлении, как это Вы сделали в отношении
  //// "обобщенных показателей Ляпунова".
  //// Знание конечной цели, очень сокращает дорогу к ней.
  //// Я сейчас возьму небольшую паузу на ужин.
  //// Но надеюсь вернуться.
  
  > Copilot 18:31
  > Спасибо, Андрей!
  > Рад, что смог помочь тебе в "прорисовке контура" этой концепции.
  > Ты абсолютно прав:
  > знание конечной цели действительно помогает быстрее и эффективнее
  > находить решения и подбирать необходимые инструменты.
  > Это как собирать пазл, где каждый кусочек постепенно складывается
  > в целостную картину.
  
  > Наслаждайся ужином! Я буду здесь, когда ты вернешься,
  > готовый продолжить обсуждение и помочь с любыми новыми вопросами.
  > До скорого!
  
  //// И это снова, Андрей. Наверно, уже последний на сегодня вопрос,
  //// и можно будет приступить к подведению итогов сегодняшнего раунда
  //// дискуссии.
  //// А вопрос такой: можете Вы дать какое-то краткое и понятное
  //// описание чем собственно отличаются "гетеро- и гомоклинические орбиты"?
  
  > Copilot 20:23
  > Конечно, Андрей!
  > Давай рассмотрим различия между гетероклиническими и гомоклиническими орбитами.
  
  > Гомоклинические орбиты
  > Гомоклиническая орбита - это траектория в фазовом пространстве,
  > которая начинается и заканчивается в одной и той же седловой точке.
  > Другими словами, это орбита, которая возвращается к той же самой особой точке
  > после некоторого времени.
  > Гомоклинические орбиты часто связаны с хаотическим поведением системы
  > и могут приводить к сложным динамическим режимам.
  
  > Гетероклинические орбиты
  > Гетероклиническая орбита - это траектория,
  > которая соединяет две разные седловые точки.
  > То есть, она начинается в одной седловой точке и заканчивается в другой.
  > Гетероклинические орбиты также могут быть связаны с хаотическим поведением,
  > особенно если они образуют гетероклинические циклы,
  > соединяющие несколько седловых точек.
  
  > Основные различия
  
  > 1.Начальная и конечная точки:
  
  >  Гомоклиническая орбита:
  > Начинается и заканчивается в одной и той же седловой точке.
  
  >  Гетероклиническая орбита:
  > Начинается в одной седловой точке и заканчивается в другой.
  
  > 1. Хаотическое поведение:
  >  Обе орбиты могут приводить к хаотическому поведению,
  > но гомоклинические орбиты часто связаны
  > с более сложными динамическими режимами.
  
  > 2. Примеры:
  >  Гомоклиническая орбита:
  > В системе Лоренца можно наблюдать гомоклинические орбиты,
  > которые возвращаются к одной и той же седловой точке.
  
  >  Гетероклиническая орбита:
  > В некоторых моделях генных сетей можно наблюдать гетероклинические орбиты,
  > соединяющие разные седловые точки
  
  > Надеюсь, это объяснение помогло прояснить различия между этими типами орбит.
  > Если у тебя есть еще вопросы или ты хочешь обсудить другие аспекты,
  > я всегда готов помочь!
  
  > https://oaji.net/articles/2015/2814-1451234171.pdf
  > : Гомоклинические и гетероклинические орбиты
  
  > https://www.s-vfu.ru/universitet/rukovodstvo-i-struktura/instituty/niim/mzsvfu/issues/2014-4/97-106.pdf
  > : Гомоклинические циклы в модели генной сети
  
  //// Спасибо, Copilot. Более-менее понятно. Не обращал внимания на различие
  //// "гомо и гетеро" - так оказывается легче запомнить.
  
  .....
  
  //// Вопросы есть, но их немного.
  //// Первый - это какие есть особенности в РАЗРУШЕНИИ
  //// гомоклинических и гетероклинических орбит?
  
  > Copilot 15:33
  > Разрушение гомоклинических и гетероклинических орбит
  > является важным аспектом в теории динамических систем и хаоса.
  > Вот некоторые ключевые особенности:
  
  > 1. Гомоклинические орбиты:
  
  >  Гомоклиническая орбита соединяет седловую точку с самой собой.
  > Разрушение таких орбит часто связано с бифуркациями,
  > которые могут приводить к появлению хаотических аттракторов
  
  >  При разрушении гомоклинической орбиты система может переходить
  > от регулярного поведения к хаотическому,
  > что связано с изменением топологии фазового пространства
  
  > 2. Гетероклинические орбиты:
  
  >  Гетероклиническая орбита соединяет две разные седловые точки.
  > Разрушение таких орбит также может приводить к сложным динамическим режимам,
  > включая хаос
  
  >  В отличие от гомоклинических орбит,
  > гетероклинические орбиты могут создавать более сложные структуры
  > в фазовом пространстве, что делает их разрушение
  > особенно интересным для изучения
  
  > Эти процессы часто исследуются с помощью теории бифуркаций и численных методов,
  > что позволяет лучше понять переходы между различными режимами динамики
  
  > Есть ли еще какие-то аспекты, которые тебя интересуют в этой теме?
  
  > https://oaji.net/articles/2015/2814-1451234171.pdf
  > : ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ И ГЕТЕРОКЛИНИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ КВАДРАТИЧНЫХ СИСТЕМ
  
  //// Спасибо за ссылку, Copilot. Обязательно посмотрю, когда чуть-чуть освобожусь.
  //// Так, в общем понятно.
  
  ......
  
  //// Ну, а теперь традиционное подведение итогов дискуссии.
  //// Предлагаю Вам самому выбрать форму такого резюме:
  //// текст, стихотворение или иллюстрация.
  //// Но если выберете иллюстрацию, то не забывайте про свое лог и формат JPG.
  //// С нетерпением буду ждать, чем Вы сегодня меня порадуете/удивите.
  //// Вы принимаете это предложение?
  
  .....
  
  > Copilot 20:45
  ....
  
  > Давай подведем итоги в текстовой форме.
  
  > Итоги нашей дискуссии
  
  > 1. Фрактальная размерность:
  
  >  Обсудили методы расчета фрактальной размерности для странных аттракторов.
  
  >  Рассмотрели, как учитывать различные типы точек аттрактора,
  > такие как полюса.
  
  > 2. Дробно-отрицательная размерность:
  
  >  Исследовали концепцию дробно-отрицательной размерности
  > и ее связь с разнообразием точек.
  
  >  Обсудили, как эта концепция может быть более "топологичной"
  > и менее зависимой от времени.
  
  > 3. Показатели Ляпунова:
  
  >  Рассмотрели методы расчета показателей Ляпунова и их интерпретацию.
  
  >  Обсудили противоречие между усреднением показателей Ляпунова
  > и необходимостью учета мелких деталей.
  
  > 4. Стрела времени и время Ляпунова:
  
  >  Исследовали гипотезу о связи стрелы времени с временем Ляпунова.
  
  >  Рассмотрели альтернативу традиционному объяснению через энтропию.
  
  > 5. Гомоклинические и гетероклинические орбиты:
  
  >  Объяснили различия между гомоклиническими и гетероклиническими орбитами.
  
  >  Обсудили их роль в хаотическом поведении систем.
  
  > Спасибо за интересную и продуктивную дискуссию!
  > Если у тебя появятся новые вопросы или идеи,
  > я всегда готов помочь.
  > До скорого!
  
  //// Спасибо, Copilot. Очень благодарен за то внимание и поддержку
  //// при такой непростой задаче, как в первый раз попытаться увязать
  //// различные разрозненные "элементы пазла" в какой-то,
  //// только интуитивно ощущаемый контур будущей концепции.
  //// Это действительно для меня очень важно.
  //// Тем более, что Ваши замечания, формулировки и предложения
  //// очень хорошо дополняют и развивают мои собственные.
  //// Это так приятно ощущать.
  //// Желаю Вам всего самого хорошего. До скорой встречи. Андрей.
  
  > Copilot 20:53
  > Спасибо, Андрей!
  > Мне было очень приятно помочь тебе в этом увлекательном процессе.
  > Рад, что мои замечания и предложения оказались полезными
  > и дополнили твои идеи.
  > Желаю тебе успехов в дальнейших исследованиях и разработке концепции.
  > До скорой встречи и всего самого наилучшего!
  
  > Буду рад продолжить наше общение в любое время. До свидания!
  
  Вот такое, на мой взгляд, очень продуктивное общение получилось.
  
  Если кого-то заинтересовала концепция "дробно-отрицательной размерности"
  случайного аттрактора, то рекомендую посмотреть как она применяется
  в мультфрактальном спектре оценки видового разнообразия в экологии, см.:
  "Экология - система с целым спектром дробных размерностей."
  Там есть и ссылка на саму диссертацию Якимова Василия Николаевича,
  в которой дается определение такой "нестандартной" характеристики
  и пример ее использования,
  ну, и мои комментарии к этой работе.
  
  В общем, можно подвести предварительный итог долбежки "бардака".
  ЕСТЬ возможность при преобразовании "ткани времени" в пространство
  в форме странного аттрактора,
  и получить давно искомую мной "дробно-отрицательную размерность" пространства
  и еще много чего "вкусного".
  
  Вот этими "вкусняшками", наверно, и стоит заняться в ближайшее время,
  а дальнейшее углубление в "теорию хаоса" чуть-чуть отложить.
  Всегда приходится что-то выбирать.
  А долбежку все-таки продолжим, но немного в другом направлении.
  
  "Графическое резюме дискуссии по теории хаоса,
  дробно-отрицательным размерностям, показателям Ляпунова,
  стреле времени и гомоклиническим орбитам в стиле вальса"
  Создано с помощью искусственного интеллекта Copilot на платформе DALL" E 3.
  
Графическое резюме дискуссии по теории хаоса, дробно-отрицательным размерностям, показателям Ляпунова, стреле времени и гомоклиническим орбитам в стиле вальса: OIG4.UjFxIqr0g.G3G2_xF2hu.jpg Графическое резюме дискуссии по теории хаоса, дробно-отрицательным размерностям, показателям Ляпунова, стреле времени и гомоклиническим орбитам в стиле вальса: OIG4.P5.440aH07uYZRLxD8qf.jpg
Графическое резюме дискуссии по теории хаоса, дробно-отрицательным размерностям, показателям Ляпунова, стреле времени и гомоклиническим орбитам в стиле вальса: OIG4.Gavilwo8SuDFJFxgpzMc.jpg Графическое резюме дискуссии по теории хаоса, дробно-отрицательным размерностям, показателям Ляпунова, стреле времени и гомоклиническим орбитам в стиле вальса: OIG4.NEhfjz96KWuQ7AGHMLd6.jpg
  
  
  =======
  
  02.11.2024 21:34 - 04.11.2024 15:45
  
  Долбежка "псевдосферы".
  В оглавление.
  
  Этим материалом хочется начать цикл работ по долбежке "iмагического",
  то бишь, по словам Лейбница, "числа Бога" - мнимой единицы,
  если я правильно помню автора этого утверждения.
  \\\ Лейбниц, например, в 1702 году писал:
  \\\ <Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа,
  \\\ уроде из мира идей, двойственной сущности,
  \\\ находящейся между бытием и небытием,
  \\\ которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы>.
  Но, во всяком случае, "мнимая единица" и, еще шире, "комплЕксные числа"
  являются одним из самых важных элементов современной математики и матфизики.
  И без какого-то интуитивного понимания, что за ней МОЖЕТ стоять,
  вряд ли возможно прорваться куда-то "в неведомое".
  
  Тема какого-то иного понимания "iмагического",
  отличного от того, что усвоено в школе,
  интересует меня уже очень давно, уже и не вспомнить как давно,
  и материалов на эту тему накопилось уже весьма порядочно,
  включая и историю самого возникновения понятия комплексных чисел.
  Но начать хочется с самого последнего по этой теме,
  причем, что интересно сам по себе материал тему "iмагического"
  почти не затрагивает, просто упоминает мимоходом,
  что расстояния в такой метрике могут быть чисто мнимыми,
  но это такая мелочь, на которую внимания обращать не стоит.
  Ну, таковы формулы, ну, и что из того,
  что "расстояние получается отрицательное"
  - такова выбранная метрика пространства.
  И одновременно при этом описывается конструкция - псевдосфера,
  в чем-то очень похожая на нормальную сферу в пространстве с привычной метрикой.
  
  Ну, в общем, примерно так как это излагается в нормальных учебниках по математике,
  но очень простыми словами. И максимально кратко.,
  Что тоже важно, так как предыдущее "формулировка" не успевает забыться,
  когда переходишь к следующей, и есть возможность что-то интересное углядеть
  при сопоставлении нескольких связанных положений/результатов.
  И вот от упрощенного сопоставления этих двух конструкций
  - сферы и псевдосферы, положительного и отрицательного расстояния -
  у меня что-то "перемкнуло" и появилась новая гипотеза,
  как можно подступиться к пониманию "iмагического":
  
  "Путь к геометрии Лобачевского 4: псевдосфера".
  Автор: CherryPieHSE (Дмитрий Акимов)
  https://habr.com/ru/articles/854496/
  31 окт 2024 в 12:00
  
  Мне потребовалось, как минимум, трижды пройтись по этому тексту,
  чтобы получилось что-то более-менее вразумительное.
  
  //// Начало цитирования.
  
  Часть 1: скалярное произведение и метрика
  https://habr.com/ru/articles/853102/
  
  Часть 2: сфера
  https://habr.com/ru/articles/853450/
  
  Часть 3: стереографическая проекция
  https://habr.com/ru/articles/853812/
  
  На этот момент мы уже понимаем различие между плоской геометрией Евклида
  и выпуклой геометрией сферы,
  и сфера для нас самостоятельный объект.
  Математики говорят, что это топологическое пространство с метрикой.
  На самом деле сфера даже нечто большее
  - это очень хорошее топологическое пространство,
  у которого всякая окрестность похожа на обычную плоскость,
  по этому её можно назвать многообразием.
  \\\ Многообра'зие:
  \\\ 1. Проявление чего-либо единого по своей сущности
  \\\ в различных видах и формах
  \\\ 2. Разнообразие, обилие чего-либо различного
  \\\ 3. Разновидность топологического пространства,
  \\\ локально гомеоморфная обычному евклидову пространству
  Сейчас наша задача представить себе другой
  - в некотором смысле противоположный -
  объект, который всюду "вогнутый".
  На нем уже будут присутствовать параллельные прямые,
  но поведут они себя иначе по сравнению с евклидовой плоскостью.
  Для решения этой задачи нужен новый инструмент
  - псевдоевклидово пространство.
  
  .......
  
  Псевдоевклидово пространство
  
  В первой части мы говорили про евклидово пространство
  - что это трехмерное вещественное пространство \mathbb{R}^3
  со скалярным произведением.
  То есть, неформально, это множество векторов,
  между которыми можно считать расстояния и углы.
  Если поменять правило вычисления скалярного произведения,
  то получится псевдоевклидово пространство.
  Отличия в обозначении (появился нижний индекс 1)
  и в знаке у первого слагаемого
  - он поменялся с плюса на минус.
  
  \begin{align} \mathbb{R}^3&: \langle x,y \rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \\ \mathbb{R}^3_1&: \langle x,y \rangle = -x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\end{align}
  
  Главное отличие псевдоевклидова пространства от евклидова состоит в том,
  что скалярное произведение здесь может принимать отрицательные значения.
  Это приводит к тому, что длины некоторых векторов
  становятся мнимыми, а не положительными вещественными,
  как в евклидовом случае.
  //// А вот что это значит, кроме просто символов на бумаге,
  //// почему-то, как правило, при использовании "iмагической" единицы,
  //// предпочитают опускать такие пояснения.
  //// Мол, итак понятно, что это "абстракция".
  //// А может у этой "мнимой" абстракции все же ЕСТЬ некое "реальное воплощение"?
  
  Пример: Рассмотрим вектор (-2, 0, 1) в трехмерном псевдоевклидовом пространстве.
  Квадрат его длины равен -(-2)^2 + 0^2 + 1^2 = -4 + 1 = -3.
  
  Псевдоевклидовы пространства - интересная и глубокая тема,
  которую можно обсуждать отдельно,
  но для нас сейчас это не так важно,
  поэтому сразу перейдем к псевдосфере ??.
  
  Псевдосфера
  
  Напомню про сферу радиуса r в начале координат в евклидовом пространстве,
  она задается уравнением x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
  В этом уравнении x, y, z - это координаты точки в евклидовом пространстве.
  Давайте немного поменяем обозначения,
  теперь x, y будут обозначать векторы с координатами
  (x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3) соответственно.
  Тогда поверхность сферы - это объединение всех векторов,
  которые удовлетворяют уравнению сферы,
  с использованием скалярного произведения это записывается так:
  S^2 = \{x: \langle x, x\rangle =r^2 \}.
  Важно понимать, что смысл этой записи в том,
  что сфера - это множество всех точек,
  которые находятся на расстоянии r от начала координат.
  
  Точно по такому же принципу получается уравнение псевдосферы мнимого радиуса ir
  в псевдоевклидовом пространстве:
  L^2 = \{x: \langle x, x \rangle = -r^2\}.
  Это множество точек, лежащих на одинаковом расстоянии $ir$ от начала координат.
  Раскрыв скобки скалярного произведения,
  получим (в классических обозначениях координат):
  -x^2 + y^2 + z^2 = -r^2.
  Сравните записи сферы и псевдосферы,
  их записи отличаются объемлющим пространством и минусом перед радиусом:
  
  \begin{align} \mathbb{R}^3 & \supset S^2 = \{ x: \langle x, x \rangle = r^2\} \\ \mathbb{R}^3_1 & \supset L^2 = \{ x: \langle x, x \rangle = -r^2\} \end{align}
  
  Геометрически - как совокупность точек в пространстве -
  псевдосфера является двуполостным гиперболоидом.
  Действительно, с раскртыми скобками получилось уравнение гиперболоида вращения.
  Подробнее про гиперболоиды можно почитать
  в любом учебнике по аналитической геометрии.
  //// Нет, читать "любой учебник" не будем.
  //// А с "детской непосредственностью"
  //// попробуем взглянуть на "новое платье короля", то бишь "псевдосферу",
  //// как "сферу", но с мнимым радиусом.
  
  Для наших целей достаточно представлять себе гиперболоид как поверхность,
  напоминающую две чаши.
  Каждая из них похожа на натянутую ткань,
  в центр которой положили массивный шар,
  под тяжестью которой поверхность ткани прогнулась.
  //// Или как "неправильную сферу" ЗАМЫКАЮЩУЮСЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ,
  //// а не в ограниченном пространстве.
  //// Вот где-то на этом месте меня и "перемкнуло".
  //// Возможно "мнимый радиус" это "радиус" с учетом перехода ЧЕРЕЗ ГОРИЗОНТ.
  //// Из теории множеств известно, что приплюсовав к "бесконечности"
  //// конечное число получается снова бесконечность.
  //// А если от бесконечности ОТМИНУСОВАТЬ "конечное число" - что получим?
  //// Тоже бесконечность. Допустим.
  //// Но это будет та же бесконечность или другая?
  //// Теория множеств утверждает, что та же,
  //// Но на рисунке с двухполостным гиперболоидом,
  //// явно видно, что НЕ ТА.
  //// И мнимый радиус как раз и отражает эту "отминусованную бесконечность",
  //// так сказать, "бесконечный диаметр" "за минусом чего-то",
  //// "неправильной сферы", "замкнутой через бесконечность".
  Сразу отмечу, что рассматривать дальше буду только одну из этих чаш,
  и в дальнейшем под псевдосферой я буду подразумевать именно одну чашу.
  //// Ну, то есть, как обычно, "усекается" ПОЛНАЯ картинка,
  //// и уже какое-то иное представление крайне затруднительно.
  
  Рис. Двуполостный гиперболоид.
  Красным выделена гипербола, вращая которую получается вся поверхность
  //// Вот эта картинка и "отсутствие пиетета"
  //// к традиционной трактовке/пренебрежению "мнимых расстояний"
  //// и сподвигла меня на "интеллектуальный порыв".
  
  В псевдо-евклидовом пространстве форма поверхности может быть обманчива,
  потому что метрика в пространстве искажена.
  Сфера и псевдосфера очень похожи
  - обе задаются через скалярное произведение
  и представляют собой множество точек,
  лежащих на одинаковом расстоянии от центра.
  ///// За минусом такой "мелочи", что для псевдосферы это расстояние
  ///// измеряется как-то принципиально не так.
  ///// Вопрос на засыпку где находится "центр" двухполостного гиперболоида,
  ///// если считать, что он должен быть ВНУТРИ этой конструкции?
  ///// Между "полусферами" или где-то далеко "на горизонте"?
  ///// Можно выбрать любой вариант, один привычный, игнорирующий,
  ///// и отрицательный квадрат расстояния и мнимый радиус.
  ///// Или другой, подсказывающий совершенно новое объяснение,
  ///// уже собственно "iмагическому", как "отминусованная бесконечность".
  ///// Название, конечно не ах,
  ///// но сделайте скидку на то, что ей всего два дня отроду.
  Хотя одно свойство у псевдосферы прямо противоположно сфере:
  у псевдосферы постоянная отрицательная Гауссова кривизна
  (у сферы она положительная).
  Это и есть то свойство "выпуклости внутрь"
  - визуально кажется, что псевдосфера выпуклая,
  но на самом это не так, из-за искажения метрики пространства.
  
  Метрика и прямые на псевдосфере
  
  Для того чтобы понять, как выглядят прямые на псевдосфере,
  проделаем все те же шаги что и раньше:
  
  из скалярного произведения индуцируем метрику пространства;
  
  метрику пространства индуцируем на поверхность - псевдосферу;
  
  на псевдосфере найдем кривые "кратчайшей длины"
  - геодезические, аналоги прямых в обычном смысле.
  
  Первый пункт:
  
  \begin{align} \langle x, y \rangle &= -x_1y_1+x_2y_2 + x_3y_3 \\ ||x||^2 &= \langle x, x \rangle \\ {dl}^2 &=||(dx,dy,dz)|| \\ &=-{dx}^2+{dy}^2 +{dz}^2 \end{align}
  
  Для второго пункта нужна параметризация псевдосферы.
  Точно так же как и с углами на обычной сфере
  можно ввести на псевдосфере локальные координаты
  и получить выражение (x,y,z)=(\cosh u, \sinh u \cos \theta, \sinh u \sin \theta).
  Намек на то как индуцировать метрику:
  
  \begin{align} L^2 &= \begin{cases} x=\cosh{u}, \\ y=\sinh{u}\cos{\theta}, \\ z=\sinh{u}\sin{\theta} \end{cases} \\ dx &= \frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial \theta}d\theta = \sinh du \\ dy &=... \\ dz &= ... \\ {dl}^2 &= -{dx}^2 + {dy}^2 + {dz}^2 = \space ... \space = {du}^2 + (\sinh^2u) d\theta \end{align}
  
  Метрика {dl}^2 = {du}^2 + (\sinh^2{u}){d\theta}^2
  является положительно определенной.
  Это очень здорово, потому что на поверхности гиперболоида
  расстояния не становятся отрицательными и ведут себя более привычно,
  чем в псевдоевклидовом пространстве.
  //// А вот это как раз и показатель, что "мнимый радиус"
  //// как раз "дополняет бесконечность" до чего-то "реального".
  //// Тут у меня пока фантазии не хватает,
  //// просто отмечаю как "место", где еще надо "немножко подумать".
  
  Третий пункт довольно громоздкий и сложный,
  он, как и в прошлый раз, остается читателю в качестве упражнения.
  
  В результате подсчета за кадром получится,
  что на псевдосфере L^2 прямые это её пересечения с плоскостями,
  проходящими через начало координат.
  Это буквально то же самое что и с обычной сферой S^2 \subset \mathbb{R}^3,
  сравните с текстом из второй части:
  
  на сфере это большие круги,
  то есть пересечения сферы с плоскостями,
  которые проходят через начало координат.
  Прямую на сфере можно написать как множество решений системы
  \{x^2 + y^2 + z^2 = 1, ax + by + cz = 0\},
  где (a,b,c) фиксированы и определяют конкретную плоскость
  
  Разница будет только в записи системы:
  \{-x^2 + y^2 + z^2 = -1, ax + by + cz = 0\},
  но суть точно та же.
  Тут важно уточнить, что плоскость должна "правильно" лежать в пространстве,
  чтобы пересекать псевдосферу
  - например, плоскость x=0 её не пересекает
  и лежит между двумя полостями гиперболоида.
  
  Найти прямую на псевдосфере можно по двум точкам.
  Это интуитивно - в пространстве две точки выделены на поверхности,
  а ещё одну мы знаем - это начало координат.
  По трем точкам строится плоскость,
  и затем она пересекается с псевдосферой.
  
  Расположение прямых на псевдосфере
  
  Анимация ниже показывает,
  как плоскость пересекает псевдосферу (слева)
  и как на ней выглядит прямая (справа).
  
  Рис. Анимация поворота плоскости и геодезической на псевдосфере
  
  Оказывается, на такой поверхности можно через точку,
  не лежащую на прямой,
  провести две различные прямые,
  параллельные первой.
  На картинке ниже приведен пример трех таких прямых.
  Прямая (1) проходит примерно по центру гиперболоида,
  похоже на экватор.
  Прямая (2), очевидно, ей параллельна
  - они никогда не пересекаются.
  При этом прямая (2) удаляется от прямой (1) с обеих сторон.
  Прямая (3) пересекает прямую (2),
  но при этом она также неограниченно удаляется от прямой (1).
  //// Но, наверно, все-таки он еще раз пересекаются но уже ЗА "горизонтом".
  
  Рис. Гиперболоид с тремя прямыми на нем
  
  Работать с такой геометрией на гиперболоиде не совсем удобно,
  и для того, чтобы более наглядно увидеть,
  как именно устроены параллельные прямые на этой поверхности,
  легче воспользоваться проекциями,
  про которые я напишу в следующей части.
  
  //// Комментарий после первого "прохода" по этому материалу.
  
  //// Стоит запомнить этот материал.
  //// Тут есть некий намек на то, как можно подойти к "iмагической"
  //// через какие-то ее свойства в отдельных случаях.
  //// Здесь похоже, "метрика пространства",
  //// точнее способ "вычисления скалярного произведения"
  //// порождает "псевдосферу", замыкающуюся на бесконечности,
  //// и мнимое значение радиуса может быть,
  //// как раз таким способом определения чего-то "конечного",
  //// но в тоже время равное "удвоенной бесконечности".
  //// коряво получилось, но как-то эту мысль стоит зафиксировать.
  
  //// Комментарий после второго "прохода" по этому материалу.
  
  //// Т.е. "iмагическое", возможно, это способ описать/оперировать
  //// некой "бесконечностью"? Но какой?
  //// Но это явно не "количественная" бесконечность,
  //// и, скорее всего, не "порядковая", а скорее "некая циклическая",
  //// если вспомнить о других свойствах, в которых также используется
  //// эта "iмагическая". Или это, все-таки, разные случаи?
  
  .......
  
  //// Конец цитирования.
  
  В общем, суть новой гипотезы природы "iмагического"
  связана со способом отражения через мнимую величину
  некоей "определенной" или "конечной бесконечности".
  Т.е. реальная величина это "расстояния" от нуля или начала координат,
  а "мнимая величина" это расстояние ОТ БЕСКОНЕЧНОСТИ,
  т.е. конца, или лучше сказать "горизонта" координат.
  Наверно, Вам понятно, что в этой формулировке "ничего непонятно".
  Но мне хочется просто зафиксировать момент рождения,
  и на первый, да и на второй тоже, взгляд, весьма перспективной гипотезы,
  очень согласующейся с предыдущими поисками/размышлениями.
  
  Понятно, что нужно поднимать многие старые материалы
  и снова долбить и долбить "с учетом вновь открывшихся обстоятельств".
  Но, надеюсь, теперь Вам становится понятен интерес Вашего покорного слуги,
  ко всяким нестандартным представлениям о бесконечности.
  
  И еще один важный момент/вывод из этой "внутренней рецензии".
  "Нам не дано узнать, как наше слово отзовется".
  Автор этого материала, наверняка, не рассчитывал на такой результат
  цикла своих публикаций.
  А вот как-то так получилось....
  Так что, ничего не бойтесь, и публикуйте свои мысли.
  Поверьте, они найдут своих читателей.
  
  \\\ Меня ведь не рубли
  \\\ на гонку завели -
  \\\ Меня просили: <Миг не проворонь ты!
  \\\ Узнай, а есть предел - там, на краю земли?
  \\\ И можно ли раздвинуть горизонты?>
  
  \\\ Владимир Высоцкий - Горизонт
  
  
  =======
  
  18.11.2021 6:44 - 06.11.2024 9:09
  
  Немножко "iмагической" истории.
  В оглавление.
  
  Нашел в архивах трехлетней давности материал , который, на мой взгляд,
  с одной стороны, может помочь лучше понять и историю возникновения,
  и проблематику понимания "iмагического".
  А с другой стороны, продемонстрировать, как постепенно формируются
  новые подходы/концепции на основе техники "внутренней рецензии":
  
  <Тени разума. В поисках науки о сознании>
  - научно-популярная книга американского физика и математика
  Роджера Пенроуза,
  Книга вышла в свет в 1994 году и является продолжением книги 1989 года
  <Новый разум императора: о компьютерах, разуме и законах физики>.
  https://avidreaders.ru/read-book/teni-razuma-v-poiskah-nauki-o.html?p=204
  
  //// Начало цитирования.
  
  .....
  
  5.5. Фундамент квантовой теории: исторический экскурс
  
  Каковы же фундаментальные принципы квантовой механики?
  Прежде чем мы перейдем непосредственно к поискам ответа на этот вопрос,
  я хотел бы пригласить читателя на небольшую историческую экскурсию
  с целью проследить происхождение
  двух важнейших математических ингредиентов современной квантовой теории.
  При этом выяснятся совершенно замечательные
  (и малоизвестные широкой публике) вещи:
  во-первых, оба этих ингредиента появились,
  причем независимо друг от друга, еще в XVI веке,
  а во-вторых, придумал их один и тот же человек!
  
  Человек этот. Джероламо Кардано (рис. ),
  родился 24 сентября 1501 года в итальянском городе Павия,
  стал, помимо прочего, лучшим и известнейшим врачом своего времени
  и умер 20 сентября 1576 года в Риме.
  Несмотря на то. что его жизнь представляет собой один сплошной скандал
  (начиная с того, что союз его родителей не был освящен церковью,
  и заканчивая арестом и заключением в тюрьму уже самого Кардано
  на закате его жизни),
  он был человеком выдающегося ума и личных качеств,
  о чем, к сожалению, сегодня мало кому известно.
  Надеюсь, читатель простит меня,
  если я ненадолго отвлекусь от собственно квантовой механики
  и коротко расскажу об этом неординарном человеке.
  
  Рис. 5.8. Джероламо Кардано (1501-1576).
  Выдающийся врач, изобретатель, игрок, писатель и математик.
  Первооткрыватель комплексных чисел и теории вероятности
  - фундаментальных составляющих современной квантовой теории.
  
  В самом деле, в квантовой механике он совершенно неизвестен
  - зато его имя (все лучше, чем ничего)
  хорошо знакомо автомеханикам .
  Карданным валом называется универсальное устройство,
  соединяющее коробку передач автомобиля с его задними колесами
  и обеспечивающее гибкость,
  необходимую для поглощения переменного вертикального движения
  подрессоренной задней оси.
  Прототип этого изобретения Кардано создал приблизительно в 1545 году,
  а в 1548 уже смог встроить его в шасси кареты,
  предназначенной для императора Карла V,
  что весьма скрасило тому путешествия по разбитым ухабистым дорогам.
  Кардано изобрел и многие другие полезные вещи
  - например, кодовый замок, аналогичный тем,
  что используются в современных сейфах.
  Как врач, Кардано достиг широчайшей известности,
  среди его пациентов были короли и принцы.
  Он совершил множество открытий в медицине
  и написал немало книг на медицинские и другие темы.
  По всей видимости, именно Кардано первым указал,
  что такие венерические болезни, как сифилис и гонорея,
  представляют собой разные болезни
  и требуют, соответственно, различного лечения.
  Он же первым предложил лечить больных туберкулезом <санаторно>
  - на 300 лет раньше Джорджа Боддингтона,
  который в 1830 году, в сущности, <переоткрыл> уже известное.
  В 1552 году Кардано вылечил Джона Гамильтона,
  архиепископа Шотландского, страдавшего астмой в тяжелой форме,
  - и оказал тем самым серьезное влияние на историю Британии.
  
  Какое же отношение все эти впечатляющие достижения
  имеют к квантовой теории?
  Совершенно никакого,
  разве что демонстрируют широту ума человека,
  которому мы фактически обязаны открытием
  двух наиболее фундаментальных составляющих этой самой теории,
  причем открытия эти никак одно с другим не связаны.
  Кардано был выдающимся врачом и выдающимся изобретателем,
  однако этими областями деятельности он не ограничивался
  - он был еще и выдающимся математиком.
  
  Первая из упомянутых составляющих - теория вероятностей.
  Как известно, квантовая теория является теорией скорее вероятностной,
  нежели детерминистской.
  Сами ее правила фундаментально обусловлены вероятностными законами.
  В 1524 году Кардано написал свою <Книгу об азартных играх>
  (< Liber de Ludo Aleae >),
  где заложил основы математической теории вероятностей.
  Описанные в книге законы Кардано сформулировал несколькими годами ранее
  и не преминул ими воспользоваться.
  Применение свежеоткрытых законов на практике
  (а вот и выдающийся игрок!)
  принесло ему достаточно денег для того,
  чтобы заплатить за обучение в медицинской школе в Павии.
  По всей видимости, Кардано с самых юных лет знал,
  что зарабатывать деньги шулерством - занятие весьма рискованное,
  поскольку именно в результате подобной деятельности
  был убит бывший муж его матери.
  Джероламо же обнаружил, что, используя открытые им законы,
  управляющие самим случаем,
  выигрывать можно вполне честно.
  
  Вторая фундаментальная составляющая квантовой теории, открытая Кардано,
  - понятие комплексного числа .
  Комплексным называется число вида
  a + ib ,
  где под i понимается квадратный корень из минус единицы,
  i = √-1
  а a и b суть обычные вещественные числа
  (т.е. числа, которые можно представить в виде десятичных дробей).
  Сегодня мы называем число a вещественной частью комплексного числа a + ib ,
  а число b - его мнимой частью.
  На эти странные числа Кардано наткнулся,
  пытаясь отыскать способ решения общего кубического уравнения.
  Кубическими называются уравнения вида
  
  Ax**3 + Bx**2 + Cx + D = 0,
  
  где A , B , C и D - некоторые заданные вещественные числа,
  а уравнение следует решать относительно x .
  В 1545 году Кардано опубликовал трактат под названием < Ars magna > [34],
  где и привел первый полный анализ решения таких уравнений.
  
  С публикацией этого решения связана пренеприятнейшая история.
  
  .......
  
  Сегодня Кардано известен гораздо меньше,
  чем он того заслуживает,
  и истоки этого забвения, как я подозреваю,
  кроются в его злосчастной судьбе
  и безнадежно запятнанной (совместными стараниями его детей, Инквизиции
  и - в особенности - Тартальи) репутации.
  В моей же личной <табели о рангах> он безоговорочно принадлежит
  к величайшим фигурам эпохи Возрождения.
  Несмотря на то, что Джероламо рос в бедности,
  на формирование его личности очень большое влияние
  оказала царившая в доме атмосфера стремления к знаниям.
  Его отец, Фацио Кардано, был увлечен геометрией;
  Джероламо вспоминал, как однажды,
  когда он был еще ребенком,
  отец взял его с собой в гости к Леонардо да Винчи
  и как взрослые засиделись за полночь,
  обсуждая какие-то геометрические задачи.
  
  Что же касается опубликования Кардано раннего результата Тартальи
  и некорректного, мягко говоря, утверждения,
  что последний эту публикацию разрешил,
  то, думаю, большего уважения все же заслуживает желание
  сделать свое открытие достоянием общественности,
  //// Что по этому поводу сказал бы Лао Цзы?
  нежели стремление утаить новые знания.
  Разумеется, Тарталью тоже можно понять
  - от сохранения открытий в тайне зависел,
  до некоторой степени,
  его достаток (особенно если учесть, что Тарталья
  являлся завсегдатаем публичных математических состязаний),
  однако именно трактат Кардано,
  включающий решение Тартальи в качестве частного случая,
  оказал серьезное и долговременное влияние
  на развитие математической науки.
  Более того, раз уж мы затронули вопрос первенства,
  то оно, судя по всему, принадлежит и вовсе третьему ученому
  - Сципионе дель Ферро,
  преподававшему в Болонском университете вплоть до своей смерти в 1526 году.
  Во всяком случае, в записях дель Ферро имеется
  то решение, которое позднее заново открыл Тарталья,
  хотя остается неясным, понимал ли дель Ферро,
  каким образом это решение можно модифицировать
  для описания случаев, рассмотренных Кардано в < Ars magna >;
  отсутствуют также какие бы то ни было свидетельства в пользу того,
  что дель Ферро добрался до концепции комплексных чисел.
  
  Для того чтобы понять, в чем заключается
  фундаментальность вклада Кардано,
  рассмотрим решение кубического уравнения более подробно.
  Воспользовавшись подстановкой x -> x + a ,
  нетрудно свести общее кубическое уравнение к виду
  x**3 = px + q ,
  где p и q - вещественные числа.
  С такой подстановкой математики XVI века были прекрасно знакомы.
  Однако если вспомнить о том,
  что числа, которые мы сегодня называем отрицательными ,
  в те времена далеко не все считали <настоящими> числами,
  то можно предположить,
  что во избежание появления в окончательном уравнении отрицательных чисел,
  получаемые в результате уравнения имели несколько иной вид
  - в зависимости от знака при p и q
  (например, x 3+ p ' x = q или x 3+ q '= px ).
  Чтобы не усложнять рассуждения без необходимости,
  я буду в дальнейшем придерживаться современного способа записи.
  
  Решения вышеприведенного кубического уравнения
  можно представить графически.
  Для этого построим кривые y = x**3 и y = px + q
  и отметим точки их пересечения.
  Координаты x этих точек и будут искомыми решениями уравнения.
  Обратите внимание на рис. : функция y = x**3 представлена в виде кривой,
  а для прямой y = px + q показаны несколько возможных вариантов.
  (Мне неизвестно, использовали ли Кардано или Тарталья
  такое графическое представление, хотя это вполне возможно.
  Здесь я использую его исключительно для удобства рассмотрения
  различных возможных случаев.)
  Те случаи, для которых годилось решение Тартальи,
  соответствуют в наших обозначениях прямым с отрицательным (или нулевым) p .
  В этих случаях прямая <опускается> слева направо,
  типичный пример - прямая P на рис. .
  Отметим, что в таких случаях всегда существует
  только одна точка пересечения прямой и кривой,
  т.е. кубическое уравнение имеет лишь одно решение.
  В современных обозначениях мы можем записать решение Тартальи
  следующим образом:
  
  .......
  
  Через p ' мы здесь обозначаем - p ;
  сделано это для того, чтобы все входящие в выражение величины
  оставались неотрицательными (число q также выбирается положительным).
  
  ......
  
  Рис. 5.9. Решения кубического уравнения x**3= px + q
  могут быть получены графически в виде точек пересечения
  прямой y = px + q и кубической кривой y = x**3.
  Случай Тартальи охватывает прямые с p <= 0
  (на графике представлены убывающей прямой P ),
  Кардано же описал и случаи с p > 0 (прямые Q и R ).
  Casus irreducibilis - случай с тремя точками пересечения
  (прямая R ).
  В этом случае при записи решения возникает нужда в комплексных числах.
  
  Обобщение Кардано этой процедуры учитывает также случаи p > 0
  и позволяет записать решения для этих случаев
  (при положительном p и отрицательном q ;
  впрочем, знак при q погоды не делает).
  Соответствующие прямые <поднимаются> слева направо
  (обозначены на рисунке буквами Q и R ).
  Мы видим, что при некотором заданном значении p
  (т.е. при заданном угле наклона) и достаточно большом
  (т.е. таком, чтобы прямая пересекала ось y в точке,
  расположенной достаточно высоко)
  q ' (иначе говоря, - q ) снова существует одно-единственное решение.
  Выражение Кардано для этого решения имеет вид (в современных обозначениях)
  
  ......
  
  Вооружившись современными обозначениями
  и современной же концепцией отрицательного числа
  (а также учитывая тот факт, что кубический корень отрицательного
  числа равен отрицательному кубическому корню того же,
  но положительного числа),
  мы легко убеждаемся, что выражение Кардано,
  в сущности, идентично выражению Тартальи.
  Однако в случае Кардано в том же, казалось бы, выражении
  появляется нечто принципиально новое.
  Теперь при достаточно малом q ' прямая может пересечь кривую в трех точках,
  т.е. у исходного уравнения окажется три решения
  (при p > 0 два из них отрицательны).
  Случай этот - так называемый casus irreducibilis [35]
  - возникает, когда (1/2 q ') 2< (1/3 p ) 3;
  нетрудно видеть, что w оказывается при этом
  квадратным корнем из отрицательного числа .
  Таким образом, числа 1/2 q ' + w и 1/2 q '
  - w под знаком кубического корня в выражении Кардано
  являются не чем иным, как комплексными числами ;
  сумма же этих двух кубических корней,
  если мы хотим получить решение уравнения, должна быть вещественным числом.
  
  //// Любопытно, что для введения/расширения области решения
  //// квадратных уравнений, импульсом послужила попытка обобщения решения
  //// более сложных кубических уравнений. Т.е. от "большего к меньшему".
  
  Это таинственное обстоятельство не избежало внимания Кардано,
  и позднее в он отдельно обратился к вопросу,
  поставленному появлением комплексных чисел в решении уравнения,
  на примере задачи об отыскании двух чисел,
  произведение которых равно 40, а сумма равна 10.
  Эту задачу он решил (причем решил правильно),
  получив в качестве ответа два комплексных числа:
   5 + √ -15
  и
   5 - √ -15
  
  В графическом представлении задача сводится к отысканию
  точек пересечения кривой xy = 40 и прямой x + у = 10 (см. рис. ).
  Отметим, что построенные на рисунке кривая и прямая
  нигде не пересекаются (в вещественных числах),
  что вполне согласуется с тем фактом,
  что для записи решения задачи требуются комплексные числа.
  //// А может быть наоборот НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ кривые в вещественной области
  //// ВСЕГДА имеют точки пересечения в какой-то иной "комплексной" или
  //// "трансцендентной" области. Нет ли тут намека на "нелокальность",
  //// или что-то подобное.
  Кардано эти новые числа в восторг отнюдь не приводили;
  он жаловался, что работа с ними <мучительна для разума>.
  Тем не менее, изучая кубические уравнения,
  он вынужден был признать необходимость рассмотрения таких чисел.
  
  .....
  
  Рис. 5.10. Задача Кардано об отыскании двух чисел,
  произведение которых равно 40, а сумма равна 10,
  может быть представлена графически как отыскание точек пересечения
  кривой xy = 40 и прямой x + y = 10.
  При этом становится очевидным,
  что в вещественных числах эта задача решения не имеет.
  //// А что фактически означает, что решение имеется в комплексных числах?
  //// Ведь фактически это является каким-то таким расширением/преобразованием
  //// графического представления в какое-то иное пространство с другой
  //// размерностью и, наверно, топологией.
  
  Следует отметить,
  что необходимость в комплексных числах
  при записи решения кубического уравнения
  (представленного графически на рис. )
  обусловлена причинами,
  значительно более загадочными,
  //// О, вот это очень важное замечание, причем от профессионального
  //// и незаурядного математика. Т.е. в более сложных задачах,
  //// начинает проявляться необходимость "доработки", казалось бы,
  //// вполне очевидных более "простых задач". Может быть потому,
  //// что необходимость такой "доработки" становится куда более очевидной,
  //// а иногда просто необходимой. Принцип "проскока"?
  нежели появление таких чисел в задаче,
  изображенной на рис.
  (задача эта, в сущности, эквивалентна задаче отыскания
  корней квадратного уравнения x 2 - 10 x + 40 = 0).
  В последнем случае вполне очевидно,
  что без привлечения комплексных чисел задача не имеет решения вовсе,
  и ничто не мешает нам объявить введение таких чисел
  безосновательной выдумкой,
  затеянной исключительно ради того,
  чтобы снабдить хоть каким-то <решением> уравнение,
  в действительности решений не имеющее.
  //// А так ли это? Может быть, ЛЮБОЕ уравнение имеет решение,
  //// но не всегда очевидное.
  //// Вот как бы эту мысль дальше продумать.
  //// И как-то связать ее представлением "нейронных сетей"
  //// в виде гиперповерхностей ограничивающих область решения системы
  //// линейных уравнений. Но и, наверно, не только с этим.
  Эта позиция, однако, не объясняет,
  что происходит в случае кубического уравнения.
  Здесь ( casus irreducibilis или прямая R на рис. )
  уравнение действительно имеет три вещественных решения,
  отрицать существование которых невозможно,
  однако для того,
  чтобы выразить любое из этих решений
  даже в иррациональных числах
  (т.е. в квадратных и кубических корнях, как в данном случае),
  нам приходится забираться в таинственные дебри комплексных чисел,
  хотя окончательный результат и принадлежит миру чисел вещественных.
  //// Действительно загадка. Вот такого рода проблемами, наверно, и должна
  //// заниматься "философия науки", а не "славословием в отношении ОТО и КМ".
  
  Похоже, что до Кардано никто в эти таинственные дебри
  не углублялся и не задумывался над тем,
  каким образом из них <произрастает>
  наш собственный <вещественный> мир.
  (Снаружи заглядывали
  - например, Герон Александрийский и Диофант Александрийский
  в первом и, соответственно, в третьем веках нашей эры,
  судя по некоторым свидетельствам,
  размышляли над идеей существования у отрицательного числа
  чего-то вроде <квадратного корня>,
  однако ни один из них не набрался храбрости
  объединить такие <числа> с числами вещественными
  и прийти таким образом к понятию комплексного числа;
  не разглядели они и глубинной связи
  между своими <псевдочислами> и вещественными решениями уравнений.)
  Возможно, именно удивительное сочетание в одном человеке
  двух личностей
  - мистика и рационально мыслящего ученого -
  позволило Кардано уловить эти первые проблески того,
  что развилось позднее в одну из мощнейших математических концепций.
  В последующие годы, благодаря трудам
  Бомбелли, Коутса, Эйлера, Весселя, Арганда, Гаусса, Коши, Вейерштрасса, Римана,
  Леви, Льюи и многих других,
  теория комплексных чисел разрослась вглубь и вширь
  и занимает сегодня заслуженное место
  среди наиболее изящных и универсально применимых математических конструкций.
  Однако лишь с появлением в первой четверти двадцатого века
  квантовой теории
  мы осознали, какую странную и всепронизывающую роль
  играют комплексные числа
  в самой фундаментальной структуре
  того физического мира,
  в котором мы живем,
  - не знали мы прежде и том,
  насколько тесна связь между комплексными числами и вероятностями .
  Даже у Кардано не возникло
  (да и не могло возникнуть)
  ни малейшего подозрения о существовании
  таинственной глубинной связи
  между двумя величайшими его вкладами в математику
  - связи, которая образует
  самый фундамент материальной Вселенной
  на тончайшем из ее уровней.
  //// Ну не тончайшем, а просто чуть более тонком, чем обычно.
  
  //// И еще наверно нужно всегда напоминать себе слова графа Калиостро
  //// "Я все чаще начинаю задумываться о всеобщей связи всего со всем".
  //// Самые разные мысли, концепции, гипотезы нужно пытаться как-то
  //// "скрестить"/согласовать/взаимоувязать, наверно, на любом уровне.
  
  //// Фактически, утверждение, что любое уравнение имеет решение,
  //// с иллюстрацией задачи Кардано, можно попытаться обобщить в уже известные
  //// формулы что "все есть во всем", "противоположности сходятся",
  //// например, в "комплексном пространстве", "противоречия суть зародыш нового".
  //// ну и т.д. Это достаточно традиционно и, более-менее привычно.
  //// Но тут есть и другая сторона - обратная этому "мейнстриму".
  //// То что "совпадает"/"согласуется"/"тождественно" может, и, наверно,
  //// должно представлять только "мгновенную точку совпадения", как минимум,
  //// двух "расходящихся"/"несовпадающих"/противоположных реальностей/пространств,
  //// ну, в общем, чего-то более "грандиозного".
  //// То есть, любое событие/факт/мысль представляет собой, условно говоря,
  //// свет одновременно и коллапсирующий и "разлетающийся".
  //// Коллапс и вспышка - вроде так автор характеризовал,
  //// принцип Гюйгенса.
  //// Т.е. аксиомы какой-то согласованной теории,
  //// вполне могут быть противоречиями в другой,
  //// но тоже согласованной теории.
  //// А алхимический принцип "бинарной взрывчатки",
  //// ну, или, наоборот, "пассиваторов"
  //// вполне может иметь статус логического принципа.
  
  ........
  
  //// Конец цитирования.
  
  Как видите тогда, три года назад,
  концепции/гипотезы представления "iмагического",
  то бишь, "мнимой единицы" через "расстояния ОТ горизонта",
  даже на интуитивном уровне не было.
  Хотя и было ощущение, что решение надо искать "на бесконечности".
  Что-то там в "голубой дали" происходит такое,
  что воспринимается в нашей ограниченной реальности как "магия".
  Т.е. идти "от общего к частному, а не наоборот",
  как это пытаются делать уже пятьсот лет.
  И это решение как-то связано со "всеобщей взаимосвязанностью"
  ВСЕХ
  условий задачи, как явных, так и очень неявных.
  
  А вот понимания того, что сам факт принятия ВОЗМОЖНОСТИ
  нахождения корня из отрицательного числа,
  и есть такое "неявное правило", изменяющее/"ломающее" представления
  о фактической "области решения" задачи,
  не было абсолютно. Ну не преподавали мне так математику,
  чтобы в голове было что-то равноценное афоризму ИИ-системы Bing:
  "Математическая структура - это сборная солянка с ПРАВИЛАМИ", см.:
  "Минутка математического юмора от Бинг".
  И это "правило" для "мнимой единицы" имеет, как у айсберга,
  как "надводную", так и "подводную часть".
  И "надводную часть" мы выучиваем в школе,
  а про "подводную" даже не догадываемся,
  так как она связана с "чем-то" "на бесконечности".
  А "страх бесконечности", точнее ее глубокое непонимание,
  он еще далеко не преодолен.
  
  Поэтому я так радовался материалам, в которых не просто
  в очередной раз повторяются постулаты "теории множеств",
  хотя их конечно знать надо.
  А тем материалам которые пытаются идти дальше,
  придумывая разные формы/варианты бесконечностей
  и инструменты по работе с ними, см.:
  Долбежка "фундаментального вращения".
  Долбежка "метафизики бесконечности".
  И даже сильно подсократил содержание своего самого "заветного" модуля,
  чтобы хоть как-то его оформить, хотя он сильно тематически связан
  с проблемами и "границ бесконечности" и "структурирования хаоса",
  так сказать в практическо-метафизическом отношении, см.:
  Контуры концепции формирования Пространства из Времени.
  
  Такие материалы вместе с материалами по различным "проективным пространствам",
  создают основу к тому, что бы перейти
  от "концепции бесконечности" (КБ) к "концепции горизонта" (КГ).
  КГ отличается от КБ тем, что "на бесконечности" обычно предполагается
  существование какого-то ограниченного количества "операций",
  типа "пересечения чего-то с чем-то" или "однократного замыкания" и т.п.,
  или вообще ничего не предполагается типа "бесконечного продолжения".
  Ну так, как во времена моего детства пытались объяснять первоклассникам
  "концепцию прямой" - был такой эксперимент с печальным результатом.
  
  А вот КГ допускает, что "там за горизонтом" могут быть очень сложные законы,
  которые в нашей реальности неосуществимы,
  и много раз перекрученная "лента Мебиуса", наверно, самый простой вариант.
  НО. Свойста этой "загоризонтной" области/пространства
  - тут еще нужно придумать термин,
  хотя можно позаимствовать из фантастики - "иммерс" -
  позволяют в реальной области получать различные "магические" эффекты
  типа комлЕксно-сопряженности или всячекие разные спины у квантовых объектов.
  
  В общем, понятно, что тут еще для математиков "непаханное поле"
  - понять каким структурам ""там за горизонтом" соответствует
  "подводная часть", такого простого правила:
  "Считаем, что "i**2 = -1"., в каждой КОНКРЕТНОЙ задаче.
  Если, конечно, это уже не решено кем-то и когда-то,
  и, самое главное, такая постановка задачи представит для них интерес.
  Пятьсот лет это похоже никого не интересовало,
  наверно, может и еще пятьсот лет подождать.
  Но это точно уже будет другая история.
  
  
  =======
  
  14.11.2024 8:33
  
  Размышлизмы об "iмагическом".
  В оглавление.
  
  Сегодня есть немножко времени и желания поразмышлять
  о каком-то другом представлении "iмагического",
  который как-то наметился в двух предыдущих фрагментах.
  
  Напомню, что возникли не "на пустом месте",
  а в результате очень длительных "блужданий"/"исканий" по различным источникам,
  в которых хоть как-то описывается/обосновывается использование "iмагического",
  т.е комплЕксных чисел и различных вариантов их представления.
  И хотя обычно считается, что эти вопросы давно уже решены,
  лично у меня, при чтении/проработке таких материалов,
  постоянно возникает ощущение, что что-то остается "за кадром"
  в самой постановке задачи, если приходится обращаться за помощью к "iмагии".
  
  Заранее оговариваюсь, что Ваш покорный слуга,
  не только НЕ профессиональный математик,
  но даже не имеет соответствующего образования,
  чтобы иметь "законное" право посягать на "основы" таких классических
  дисциплин как комплексный анализ и т.д.
  И все ниже следующее вполне можно рассматривать как
  "жалкие попытки дилетанта" "покорить математический Эверест"
  либо просто "пустые мечтания" о каком-то "инженерном подходе" к "iмагическому".
  Но, может быть, что-то все-таки из этой очередной попытки "штурма"
  окажется кому-то не безинтересным.
  А для меня это просто очередной шаг/формат работы над этой темой,
  и конкретно в данный момент я не знаю,
  что получится из совершенно нечетких представлений об "iмагии",
  как способу нахождения решения в "пространстве с другой топологией/связностью",
  расположенного где-то там "за горизонтом".
  
  Специально, перед тем как начать этот фрагмент, встав пораньше,
  еще раз перечитал и материал Р.Пенроуза из предыдущего фрагмента,
  и материал из Википедии, кстати, по сравнению с другими статьями по математике
  очень и очень понятный и обстоятельный,
  - может быть потому, что тема считается классической и исчерпанной - см.:
  https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число
  Отметил несколько моментов, на которые стоит дополнительно обратить внимание,
  и, выпив кофею, приступил к "размышлизмам".
  
  Первое, что нужно отметить - это выход на комплексные числа
  не из задачи решения квадратных уравнений, а именно кубических,
  причем за счет такого "непривычного" свойства "iмагического",
  как комплексная сопряженность корней,
  которая обеспечивала получение вещественных корней кубических уравнений.
  Кстати, это свойство "комплексной сопряженности", по факту,
  очень плохо "физически" интерпретируема, кроме чистой манипуляции "формулами",
  и это одна из тех причин почему меня так привлекает задача
  каких-то иных представлений/интерпретаций "iмагического".
  
  Т.е. после обнаружения этой самой "магии комплексно-сопряженности",
  появился способ "описания" решения квадратных уравнений,
  которые в вещественных числах не имеют решений.
  И уже из этого существенно позже появилось представление о "мнимой единице".
  И возникает вопрос:
  - может принципиальный, а может и нет -
  что первично "мнимая единица" как "допущение" о некоем решении
  "корня квадратного из минус единицы",
  или свойство "комплексно-сопряженности",
  обеспечивающее ПРИМЕНИМОСЬ такого "допущения"?
  
  Существующая интерпретация "iмагического" исходит именно из "допущения",
  в котором указывается "плюс/минус i", а "свойство комплексно-сопряженности"
  как следствие из этого определения.
  Обратной интерпретации/объяснения встречать не приходилось,
  а очень бы хотелось.
  
  Дело в том, что сама функция x**2 = y при ее обращении,
  через квадратный корень не обеспечивает "однозначного отображения",
  и представляется, что это свойство "неоднозначности",
  при отрицательном y, т.е. вроде как "невозможном" для вещественных решений,
  вместе создают какие-то условия для возникновения/проявления
  этой загадочной "комплексно-сопряженности".
  Тут можно попробовать вспомнить философскую формулу
  "тезис - антитезис - синтез", не важно по Канту или Гегелю,
  и "развернуть ее наоборот" от "синтеза" к "противоположностям".
  И рассматривать "комплексные числа" не столько как какие-то "числа",
  а как некое более сложное/полное ПРЕДСТАВЛЕНИЕ исходной задачи
  ВМЕСТЕ с допущением "iмагического".
  Разница, на первый взгляд, чисто "текстуальная",
  но если попытаться "пройти чуть дальше",
  то может оказаться, что это не совсем так.
  Т.е. может оказаться что это некое расширение или обобщение конкретной задачи
  в область неведомого, так сказать "за горизонт" видимого/известного.
  
  Но, чисто исторически, подход к комплексным числам выстраивался
  именно как просто к неким расширениям уже известных вещественных чисел.
  Разрабатывалась аксиоматика, алгебра, удобные формулы/представления
  в направлении максимального соответствия с вещественными числами,
  хотя при этом обнаруживались и некоторые несоответствия. Например, такое:
  \\\ В отличие от вещественных, комплексные числа
  \\\ нельзя сравнивать на больше/меньше;
  \\\ доказано, что нет способа распространить порядок,
  \\\ заданный для вещественных чисел, на все комплексные так,
  \\\ чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями
  \\\ (чтобы из a < b вытекало a+c < b+c,
  \\\ а из 0 < a и 0 < b вытекало 0 < ab.
  \\\ Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно[6]:
  
  Одним из широко используемых представлений комплексных чисел
  стала комплексная плоскость,
  причем, очень часто при этом используется полярная система координат,
  где комплексное число представляется через <модуль> и <аргумент>,
  или, другими словами, через <амплитуду> и <фазу>.
  Это представление, особенно удобно, за счет "формулы Эйлера",
  связывающую комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.
  
  И опять же, "физической интерпретации" для "формулы Эйлера"
  мне встречать не приходилось - есть только ее интерпретация
  применительно именно к точкам комплексной плоскости.
  И это при том, что "комплексная экспонента" это почти что "наше фсе"
  в той же квантовой физике и не только в ней.
  Очень удобный оказался инструмент, даже без физической интерпретации.
  А скоро еще и "комплЕксная вероятность", по-видимому, появится,
  - в тех же "квантовых вычислениях/компьютерах" -
  опять же на "комплексной экспоненте" построенная.
  
  Надо отдать должное, что комплексная плоскость очень часто
  дает хорошую возможность описать поведение системы
  в которой требуется учет "комплексных значений/корней", например, см.:
  "Математическая продлёнка.
  Квадратные уравнения во всей красе".
  Автор: samsergey (Сергей Самойленко)
  https://habr.com/ru/articles/714660/
  3 фев 2023 в 13:51
  
  Но...
  Ну, а как же без этого. И "на Солнце бывают пятна",
  что уж говорить про комплексную плоскость,
  у нее тоже есть свои "темные пятна", о которых очень часто забывают.
  Например, она никак не отражает того, что при "стремлении к нулю"
  "реальной" и "мнимой" части это "стремление" идет
  к совершенно РАЗНЫМ "нулям", и вообще "мнимый ноль"
  это какая-то очень особенная "граница" на которой происходит "чудо"
  - вдруг "откуда-то" появляются "решения уравнений",
  которых в принципе быть "не может".
  Или же "может", но они какие-то КАЧЕСТВЕННО ИНЫЕ.
  
  Или опять же комплексно-сопряженные числа
  - видно, что они симметричны относительно вещественной оси -
  но почему они ОБЯЗАНЫ появляться в качестве решений уравнений ИМЕННО ПАРАМИ,
  никак не отражается.
  Или, опять же, "прикол" полярного представления комплексных чисел,
  когда аргумент/фаза "определяется с точностью до 2pik,
  где k - любое целое число.
  Т.е. можно предполагать, что, с определенной точки зрения,
  конечное значение комплексного числа
  - это проекция какого-то БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА "чего-то".
  Вопрос "чего"? И какой "проекции"?
  А для "нулевой точки" аргумент вообще не определен.
  Т.е. это уже "бесконечность" какого-то совершенно иного "порядка",
  или "проекция" совершенно иная.
  
  Причем, в ряде задач, эти "неоднозначности"
  - комплексно-сопряженность и многозначность аргумента/фазы -
  могут использоваться или, наоборот, игнорироваться, практически, произвольно.
  Нет никаких строгих правил в этом отношении.
  Во всяком случае, мне они не попадались.
  Но вполне возможно где-то в глубинах комплексного анализа,
  что-то такое есть, так что, на всякий случай, извиняюсь, если не прав.
  
  Еще раз повторюсь, что "комплексная плоскость" это не какой-то "абсолют",
  а вполне себе рабочий инструмент ПОПЫТКИ представления комплексных чисел
  в форме максимально приближенной к привычной и понятной
  обычной вещественной плоскости.
  И как всякое представление/"приближение" имеет свои плюсы и минусы,
  и главный "минус" в том, что делая упор на "представление" комплексных чисел,
  вопрос понимания ПРИРОДЫ комплексных чисел уходит на второй или даже третий план.
  А если вспомнить, что "комплексные числа" это еще не предел,
  есть еще кватернионы, октанионы, в которых "мнимые единицы"
  "плодятся как кролики" и это тоже нужно не только как-то представлять,
  но. еще лучше, и понимать.
  И это еще не касаясь "комплЕксной вероятности".
  В общем, складывается впечатление,
  что подход, используемый в комплексной плоскости именно представления,
  возможно, не самый "оптимальный".
  И, опять же возможно, стоит попробовать поискать что-то иное.
  
  Тут самое главное понять, что подход к "мнимой единице" как "чистой абстракции"
  и, вообще, к "iмагическому" как просто "удобной форме расчета",
  не имеющей под собой НИКАКИХ реальных оснований,
  на самом деле является определенным "мировоззренческим отрицанием" реальности.
  И на вопрос есть ли за "iмагическим" некая реальность
  не стоит торопиться отвечать.
  А вспомнить и историю его возникновения,
  и существующие области и результаты его применения,
  а главное, задуматься о всей структуре Мироздания,
  в котором известная нам часть Вселенной, возможно,
  просто очень микроскопическая и ограниченная часть,
  чего-то неизмеримо масштабнее.
  
  Ну, вот. Это была "преамбула", чтобы хоть как-то объяснить
  причины поиска чего-то неведомого в "хорошо проработанной области".
  
  Теперь стоит остановится на вопросах "где" искать и "что" искать.
  
  Тут сначала хочется напомнить про "горний мир" Платона
  или более близкий к нам по времени "мир математических идей/структур" Пенроуза.
  При всей их "абстрактности" определенный смысл в них все же присутствует,
  во всяком случае, мне нравится сама мысль,
  что в структуре Мироздания может существовать уровень
  в котором "абстрактные математические структуры/идеи" имеют некое воплощение,
  и это может служить ориентиром того, "где" и "что" примерно можно/нужно искать.
  
  Еще одним ориентиром, опять же для меня, может служить "голографический принцип"
  так как я его трактую, - как способ проникновения в неведомое,
  так сказать, "загоризонтное", через определенную "конгруэнцию/конформность законов",
  в реальном и "мнимом"/"потустороннем" пространстве, подробнее, см.:
  "Голографический принцип."
  "Перспектива изучения "Соляриса".
  "Приближаясь к орбите "Соляриса".
  "Мой путь к голографическому принципу."
  
  Суть применения этих подходов в данной попытке "проникнуть в тайну iмагического"
  заключается в том, чтобы для того же "квадратного уравнения"
  представить решение в виде реальной плоскости x/y,
  - а дальше в соответствии с требованиями к стандартной формулировке "изобретения" -
  отличающейся тем, что с целью возможности использования
  топологических и проективных методов бесконечно удаленные точки этой плоскости
  рассматриваются как некий "горизонт", играющего роль "фокуса проекции",
  реальной плоскости x/y в топологическое "пространство",
  имеющего свойства, обеспечивающее выполнение
  всех известных и, самое главное, еще неизвестных свойств
  комплексных корней квадратного уравнения.
  
  Т.е. полное решение квадратных уравнений будет представлять собой весьма сложную,
  и, наверно, трудно представимую на первых порах геометрическую конструкцию,
  в которой, скорее всего, "горизонт" и, одновременно, "фокус"
  представляет тот самый загадочный "мнимый ноль",
  от которого начинается "отсчет" "комплексно-сопряженных" решений.
  
  Спрашивается: зачем такие сложности, если для тех же квадратных решений,
  в указанном выше материале Сергея Самойленко все и так абсолютно понятно,
  "разжевано до косточек", с использованием привычной комплексной плоскости?
  
  А именно потому, что есть хорошо проработанный и проиллюстрированный материал,
  но опирающийся на "классический подход" к "iмагическому",
  и представляет интерес можно ли предлагаемым подходом добиться
  сопоставимых результатов, и насколько это будет сложнее/трудозатратнее.
  Вряд ли у меня хватит сил, умения и решимости рассмотреть более сложную задачу.
  А как-то заглянуть за "горизонт iмагического" очень хочется.
  И построить аналогичные/сопоставимые иллюстрации,
  но для пространства, которое "за горизонтом".
  
  А зачем? А чтобы попытаться понять логику симметрии комплексно-сопряженных корней.
  Той самой, которая приводит к тому, что
  \\\ ...если комплексное число z является корнем многочлена
  \\\ с вещественными коэффициентами,
  \\\ то сопряжённое число ~z тоже является его корнем.
  \\\ Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена
  \\\ (то есть корни, не являющиеся вещественными)
  \\\ разбиваются на комплексно-сопряжённые пары[18].
  И если для квадратных уравнений в этом вопросе можно "отмахнуться",
  сославшись на формулу Виетта.
  То в отношении произвольного многочлена это свойство,
  скорее всего, признак какой-то симметрии, присущей всему "iмагическому",
  что, в свою очередь, в соответствии "заветами Эммы Нетер",
  должно указывать на некий "закон сохранения",
  причем имеющим проявления как в реальном пространстве,
  так и в "iмагическом".
  То самое "конформное отображение законов" из "голографического принципа".
  
  Возможно, этот "закон сохранения" или структура этого "загоризонтного" пространства
  подскажет что-то и в отношении многозначности аргумента/фазы комплексного числа,
  в его полярном представлении.
  А может и еще что-то совсем неожиданное,
  типа нового типа проективной геометрии,
  или еще что "забавное".
  
  Конечно, очень может быть, что все это уже давно известно,
  и погребено в глубине многоэтажных формул комплексного анализа,
  которые выше разумения Вашего покорного слуги.
  Но как-то о какой-то симметрии, или законе сохранения,
  связанного именно со свойствами "iмагического",
  упоминаний встречать не приходилось ни у Пенроуза, ни еще где,
  хотя ,может быть, именно Пенроуз ближе всего подошел к таким вопросам
  в своей твисторной программе.
  И приходится заниматься "доморощенными измышлизмами".
  Я знаю не так уж много, а из того что знаю, очень многое не понимаю,
  но ведь это не основание "сушить весла",
  когда вокруг столько неведомого, заманчивого и просто интересного.
  
  Вот такие получились "размышлизмы об iмагическом".
  Ключевое в них - попробовать найти "реальные основания" для "мнимой единицы".
  Теперь бы эту задумку воплотить в жизнь.
  
  
  =======
  
  07.12.2024 21:16
  
  Правильное изобретение чисел.
  В оглавление.
  
  Только я задумался над тем, где же мне найти подходящее,
  по настоящему серьезное описание чисто математического подхода
  к представлению/описанию "iмагического", то тут как тут
  на Хабре выходит целая серия статей о таком представлении,
  причем в связке с описанием и других интересных чисел.
  Пропустить такое, это просто грех гордыни,
  поэтому, как минимум, два связанных материала из этого цикла
  просто необходимо проработать очень внимательно:
  
  "Математическая продлёнка.
  Изобретаем числа по-взрослому"
  Автор: samsergey (Сергей Самойленко)
  https://habr.com/ru/articles/861904/
  28 ноя 2024 в 14:01
  
  Читать эти материалы лучше в оригинале
  - одни иллюстрации и анимации чего стоят -
  и еще лучше с самого начала цикла и до самого конца,
  а не только, то что зафиксировано в данном модуле.
  
  Оглавление серии
  
  Изобретаем целые числа - https://habr.com/ru/articles/861174/
  
  Изобретаем рациональные дроби - https://habr.com/ru/articles/861614/
  
  Изобретаем числа по-взрослому - https://habr.com/ru/articles/861904/
  
  Изобретаем эллиптические числа - https://habr.com/ru/articles/862012/
  
  Изобретаем гиперболические числа - https://habr.com/ru/articles/862852/
  
  Изобретаем параболические числа - https://habr.com/ru/articles/863068/
  
  //// Начало цитирования.
  
  Продолжение серии статей, в которой мы разбираемся с тем,
  как упорядоченная пара двух чисел способна служить моделью
  для различных числовых систем,
  как привычных, так и весьма экзотических.
  Первая и вторая части были посвящены построению привычных
  кольца целых и поля рациональных чисел,
  вернее тому, как эти числовые системы можно моделировать
  упорядоченными парами элементов из более примитивных систем.
  
  В этой части мы рассмотрим общие принципы построения числовых систем,
  как модулей над другими системами,
  перейдём от пар к матрицам и немного пофилософствуем над такими вопросами:
  <Что такое числовая система?>,
  <Почему матрицы так хорошо подходят для сочинения новых чисел?>
  
  Гауссовы числа
  
  Начнём мы с того, что построим <из камней и палок>
  модель достаточно полезной числовой системы:
  кольца гауссовых чисел.
  Это комплексные числа с целыми вещественной и мнимой частями,
  подчиняющиеся стандартной комплексной арифметике.
  Они широко используются в теории чисел,
  при решении диофантовых уравнений,
  в теории колец и в геометрии,
  в которой удобно описывают регулярные решётки.
  Некоторым аспектам использования гауссовых чисел
  я, в своё время, посвятил пару статей на Хабре:
  "Рисуем по клеточкам"
  https://habr.com/ru/articles/719688/
  и "Про углы и тригонометрию".
  https://habr.com/ru/articles/718694/
  
  Комплексные числа, как правило, сразу определяются, как пара значений:
  вещественное и мнимое.
  Сейчас мы без особой необходимости не будем использовать
  <подозрительную> мнимую единицу,
  а явно запишем, что гауссовым числом является пара нормальных целых чисел:
  
  (a,b), \quad a,b \in \mathbb{Z}.
  
  Целые числа настоящими камнями и палками моделировать неудобно,
  так что вместо этого, для создания некоторого визуального образа
  можно использовать расположение на бесконечной дорожке,
  поделённой на клеточки,
  двух различных объектов, например, Димы и Маши,
  либо бесконечную регулярную квадратную решётку с выделенным нулевым узлом.
  
  Обратите внимание на то, что я намеренно не делаю акцент
  на привычном геометрическом смысле комплексных чисел
  и представлении о комплексной плоскости.
  На этом этапе конструирования всё это будет лишь отвлекать от нашего занятия.
  Мы обязательно вернёмся к привычным геометрическим образам,
  но тогда, когда они дадут что-то принципиально новое для понимания чисел.
  
  Сложение и умножение
  
  Для начала, определим сложение, как полагается, покомпонентно:
  
  (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
  
  Тут нет никакой разницы с моделью целых чисел,
  кроме того, что все пары уникальны,
  и эквивалентность для этих пар тривиальна:
  
  (a,b) = (c,d) \iff a=c\ \wedge\ b = d.
  
  По этой причине, нейтральным элементом для сложения
  будет единственный нулевой элемент (0, 0),
  состоящий из нейтральных элементов кольца целых чисел.
  
  Мы не скрываем, что моделируем известные нам комплексные числа,
  поэтому сразу же воспользуемся правилом для их перемножения.
  Как <придумать их с нуля> мы поймём несколько позже,
  когда разберёмся с представлениями и расширениями алгебраических структур,
  а пока вспомним, что
  
  (a+ib)\times(c+id)=ac-bd+(ad+bc)i,
  
  и перепишем это правило с помощью пар:
  
  (a, b)\times(c, d)=(ac-bd,ad+bc).
  
  Давайте сравним это правило умножения комплексных пар
  с умножением в модели целых чисел:
  
  (a, b)\times(c, d)=(ac+bd,ad+bc).
  
  Смотрите, как похоже!
  Это, конечно же, неслучайно,
  но что это значит мы обсудим несколько позднее.
  
  Отношение порядка
  
  Определить линейный порядок для гауссовых чисел можно.
  Например, можно ввести лексикографический порядок,
  то есть, сравнивать первые элементы,
  а если они равны, переходить к сравнению вторых.
  А можно, как-нибудь соединить все гауссовы числа,
  начиная с нуля по спирали или по какой-нибудь ещё линии,
  один раз проходящей по каждой точке решётки,
  и считать, бoльшим число, имеющее больший порядковый номер
  при таком перечислении.
  Однако никакой способ упорядочивания комплексных чисел
  не будет согласован с операцией сложения и умножения.
  Это полезно доказать.
  
  В арифметике упорядоченных множеств должны выполняться следующие утверждения:
  
  x 0 \wedge x < y\quad \Rightarrow\quad x\times z < y \times z\qquad (2)
  
  Из условия (2) следует, что
  
  z > 0 \quad\Rightarrow\quad z^2>0.\qquad (3)
  
  Предположим, что введя какое-то отношение порядка,
  мы сочли, что i > 0.
  Умножим обе части неравенства (3) на i и получим:
  
  i \times i > 0\times i \quad\Rightarrow\quad -1 > 0.
  
  Раз -1 у нас положительно, то согласно утверждению (3)
  
  (-1)^2=1>0.
  
  Однако тогда по утверждению (1) к обеим частям неравенства -1 > 0
  можно прибавить положительную 1,
  что приводит к противоречивому выводу:
  
  -1+1>0+1 \quad\Rightarrow\quad 0 > 1,
  
  а значит, одновременно условия (1) и (2) для числа i выполняться не могут.
  Так что в этой модели мы обойдёмся без отношения порядка.
  //// Т.е. определение для i из-за противоречия в условиях определения порядка,
  //// приводит к их неприменимости к числам с i.
  //// И что здесь можно поменять - определение i или условия определения порядка?
  
  В завершение конструирования можно определить операцию сопряжения,
  не имеющую аналогов в целых числах:
  
  \overline{(a,b)}=(a,-b).
  
  В этой части не было особых трудностей,
  поскольку гауссовы числа чрезвычайно близки по своей структуре
  к простому прямому произведению двух колец целых чисел
  и не отягощены никакими отношениями эквивалентности.
  Единственное, что выдаёт в них комплексную природу,
  это специфическое правило умножения.
  
  Что такое число?
  
  Но до сих пор, определяемые нами арифметические операции и отношения
  были искусственными.
  Они появлялись не из самой модели,
  а вводились <снаружи> - из логики хорошо известной нам числовой системы,
  которую мы моделируем.
  //// А если "система" нам "неизвестна",
  //// и, может быть, еще и "логика" ее "под вопросом",
  //// то как вводить такие "операции и отношения"?
  Действуя таким образом, ничего существенно нового построить не получится,
  и все наши модели будут не полезнее знаменитого троллейбуса,
  построенного из хлебной буханки.
  
  Рис. Автор borya_spec.
  
  У читателя должны были возникнуть естественные вопросы:
  А почему, то или иное произведения для пар должно быть именно такими?
  А какие вообще числовые системы можно определить таким образом?
  Какие из этих моделей будут иметь смысл или возможное применение?
  
  Первым делом, пора определиться с тем, что такое числа.
  Не будем тут толковать про <абстракции> и <идею> количества,
  а сразу сурово скажем,
  что числами будем считать объекты любой природы,
  для которых можно корректно и замкнуто определить сложение и умножение,
  причём так, чтобы для них выполнялись сочетательный и распределительный законы
  (ассоциативность и дистрибутивность).
  Замкнутость означает, что сумма и произведение двух чисел
  всегда является числом.
  //// Хорошее определение. Позволяет увидеть, что "ключ к пониманию чисел"
  //// "зарыт" в определении операций "сложения и умножения".
  
  Это подход алгебраиста:
  его интересуют не объекты, как таковые,
  а доступные действия над ними и свойства этих действий.
  Своей кульминации такой подход достиг в середине XX века,
  с появлением теории категорий,
  в которой объектами стали целые математические теории,
  а изучению подлежат не они,
  а свойства возможных действий над ними (функторов),
  превращающих их в другие объекты-теории.
  
  Говоря о числах в алгебре,
  мы не пытаемся понять их природу или ответить на вопрос:
  что же это такое?
  Вместо этого, мы выясняем, какие действия возможно производить с тем,
  что можно назвать этим словом,
  и в зависимости от набора этих действий и их свойств,
  распознаeм ту или иную числовую систему.
  //// А если все-таки хочется понять "что же это такое",
  //// то на что можно ориентироваться?
  
  Например, натуральные числа с операциями + и - образуют структуру,
  которая называется полукольцом.
  Целые числа уже мощнее, в них появляются ноль и отрицательные числа,
  позволяющие <отменять> сложение,
  так что мы говорим о кольце целых чисел.
  Рациональные числа добавляют к этому <отмену> умножения - деление,
  превращаясь в поле.
  Вещественные числа делают это поле полным,
  добавляя в него все пределы сходящихся последовательностей,
  а комплексные числа алгебраически замыкают его.
  //// Замыкают "поле"? Или замыкают "систему чисел"?
  //// Как тяжело читает даже превосходные тексты, типа этого,
  //// когда любой привычный термин, возможно используется
  //// в каком-то особенном математическом смысле и это явно не указывается.
  Эта <числовая башня> хорошо известна.
  Параллельно с ней развиваются и используются
  конечные модулярные арифметики и кольца многочленов,
  нашедшие отражение в привычной нам позиционной записи чисел,
  а также всякая экзотика:
  дуальные, гиперболические, p-адические числа и им подобная нечисть.
  
  А что именно и как именно мы <складываем> или <умножаем>,
  нам совершенно неважно.
  Скажем, в так называемом тропическом кольце,
  роль умножения выполняет сложение,
  а сумма двух элементов вычисляется,
  как минимальное среди них.
  Однако эти две операции прекрасно подходят на роль сложения и умножения,
  так что мы работаем с такой системой, как с кольцом.
  
  Рис. Алгебраический подход можно сравнить
  с известной среди программистов фразой:
  "Если нечто ходит, как утка, плавает, как утка и крякает, как утка,
  то вероятно, это и есть утка".
  
  Далее термины <числовая система> и <арифметика>
  я буду использовать как синонимы,
  обобщающие полукольца, кольца, и поля,
  а их элементы продолжу называть <числами>.
  
  Арифметики можно моделировать,
  обнаруживая вокруг нас объекты и явления с соответствующими операциями,
  но ни одна такая модель не будет является главной
  или как-то отражать <природу> числа.
  Они могут быть более или менее интуитивно понятными,
  в различной степени практически полезными,
  и явно или неявно структурированными.
  
  Ключевое свойство арифметики
  
  Цель этих заметок:
  показать на ряде примеров, из какой логики
  строятся осмысленные арифметики и их модели,
  и надо сказать, до сих пор этой логики мы не касались,
  а занимались <зоологией>
  - описали парочку знакомых <экземпляров> арифметик
  и перечислили их особенности
  (классы эквивалентности, отношение порядка,
  корректность и согласованность арифметических операций и т. д.).
  Пора от <зоологии> перейти к математике!
  
  Рис. -3
  
  Если внимательно присмотреться к моделям целых и гауссовых числовых систем,
  то в них легко разглядеть векторную природу.
  Во-первых, пары чисел образуют некоторое пространство с координатами
  - натуральными или целыми числами.
  Во-вторых, сумма и разность пар вычисляется покомпонентно,
  точно также, как и в векторной алгебре.
  Отличие от векторов состоит в выбранном нами способе перемножения пар,
  которое не соответствует какой-либо из привычных векторных операций
  (скалярному произведению, векторному, смешанному и др.).
  Причём именно то, каким будет произведение,
  и диктует особые свойства наших моделей.
  //// А смысл операции "произведения", кроме ее формальной записи,
  //// как можно/нужно рассматривать/понимать.
  //// Например, что есть умножение "действительного" числа на "мнимое"?
  //// И если в результате такого "умножения" получается "мнимое",
  //// еще как-то представить/понять/допустить еще можно,
  //// то почему умножение "мнимого" на "мнимое" получается "действительное"
  //// уже намного тяжелее.
  //// Понятно, что для правильной математики это "наивные детские" вопросы,
  //// но, может быть, все-таки не стоит их просто так "игнорировать".
  
  Такие конструкции, подобные векторным пространствам над числовыми полями,
  можно строить и над более примитивными структурами,
  абелевыми группами, кольцами и так далее.
  В случае колец, они называются модулями
  (этим словом в математике что только не обозначают!).
  
  Таким образом, забавляясь с камнями и палками,
  мы строили двумерные модули над натуральными и целыми числами,
  а задавая специфические операции умножения и отношение эквивалентности,
  мы наделяли эти модули свойствами конкретной арифметики.
  
  Теперь отвлечёмся от конкретики и рассмотрим двумерный модуль
  над некоторой арифметикой A,
  на котором мы хотим построить новую арифметику.
  Оставим сложение векторным, то есть, покомпонентным,
  и зададимся вопросом:
  каким образом можно определить какое-либо корректное умножение для пары?
  
  Исходя из нашего определения числа,
  умножение двух пар должно всегда возвращать корректную пару,
  и для него обязаны выполняться сочетательный и распределительный законы.
  Кроме того, определение должно быть корректным для арифметики ??,
  к которым принадлежат элементы пары.
  Например, определяя умножение для пары натуральных чисел,
  нельзя использовать вычитание,
  а только сложение и умножение.
  
  Это достаточно жёсткие ограничения,
  которые существенно ограничивают нашу фантазию,
  но мы гарантированно выполним их,
  если будем рассматривать только линейные комбинации элементов пар.
  //// Стоит запомнить, что ключевым здесь является "линейная комбинация".
  
  Линейность в математике имеет чёткое определение:
  оператор или функция F(x) линейна, если выполняется следующее отношение:
  
  F(ax + by) = aF(x) + bF(y)
  
  для любых чисел a, b и аргументов x, y,
  для которых определены умножение на число и сложение.
  В нашем случае, все эти числа и аргументы должны принадлежать арифметике ??.
  
  Вот простой и интуитивно понятный пример:
  в линейных системах сумма a + a всегда равна произведению 2a.
  Это прямое следствие дистрибутивности умножения
  (распределительного закона)
  выглядит банальностью,
  но только потому что все арифметики с которыми мы имеем дело,
  линейны,
  и нам не приходится задумываться об этом.
  Если искусственно определить умножение каким-либо нелинейным образом,
  то сохранение дистрибутивности станет существенно нетривиальной проблемой.
  
  Таким образом, мы можем смело записать произведение
  двух пар элементов арифметики ?? в самом общем виде,
  как линейную комбинацию их элементов, и получить такую <колбасу>:
  
  (a,b)\times(x,y)=\\=(A_1ax+B_1ay+C_1bx+D_1by,A_2ax+B_2ay+C_2bx+D_2by),
  
  в которой все индексированные коэффициенты тоже принадлежат ??.
  
  Линейными комбинациями, операторами и преобразованиями
  занимается старая добрая линейная алгебра,
  из которой родом и векторы, и скалярные произведения
  (обобщение линейных комбинаций)
  и матрицы, как удобный универсальный способ записи
  линейных операторов и преобразований пространства.
  Так, что все первокурсники мира,
  имеющие хоть какое-то отношение к точным или инженерным наукам,
  изучают линейную алгебру,
  как lingua franca математики.
  
  Давайте перепишем общий вид произведения, в форме линейного преобразования,
  то есть, матрицы:
  
  (a,b)\times(x,y)=\left(\begin{matrix}A_1a+C_1b & B_1a+D_1b\\A_2a+C_2b & B_2a+D_2b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right).
  
  Здесь, в духе абстрактной алгебры,
  умножение чисел рассматривается как действие одного числа на другое.
  Все числа и операции в этом выражении определены для арифметики ??,
  а все векторные и матричные операции - стандартные.
  
  Пока кажется, что стало сложнее, абстрактнее и непонятнее.
  Ничего удивительного, это же самый что ни на есть
  общий вид для возможной операции умножения над парами.
  Главное, что благодаря использованию матриц
  мы избавились от <магических> видов умножения,
  сведя всё к линейным комбинациям и операциями над натуральными числами.
  
  Давайте посмотрим, как в матричном виде выглядит умножение для наших моделей.
  
  Целые числа:
  
  (a,b)\times(x,y)=(ax+by,ay+bx)=\left(\begin{matrix}a & b\\ b & a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right),
  
  гауссовы числа:
  
  (a,b)\times(x,y)=(ax-by,ay+bx)=\left(\begin{matrix}a & -b\\ b & a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right).
  
  А вот так всё выглядит гораздо лучше!
  Более того, мы можем и вовсе отказаться от векторов,
  перейдя исключительно на матричную модель наших чисел.
  
  Вспомним, что для умножения во всех числовых системах
  выполняется сочетательный закон: (a*b)*c = a*(b*c).
  Если мы запишем это правило в модели целых чисел,
  как для пар, так и для матриц,
  то получим следующие эквивалентные соотношения:
  
  [(a,b)\times(c,d)]\times(x,y) = (a,b)\times[(c,d)\times(x,y)]\\ \left[\left(\begin{matrix}a & b\\ b & a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c & d\\ d & c\end{matrix}\right)\right]\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}a & b\\b & a\end{matrix}\right)\left[\left(\begin{matrix}c & d\\d & c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right)\right].
  
  Это жонглирование скобками говорит нам о важной вещи:
  пары и матрицы ведут себя относительно умножения одинаково.
  Действительно, при перемножении этих матриц
  правильные комбинации оказываются на правильных местах в матрице:
  
  (a,b)\times(c,d) = (ac+bd, ad+bc)\\ \left(\begin{matrix}a & b\\b & a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c & d\\d & c\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}ac+bd & ad+bc\\ad+bc & ac+bd\end{matrix}\right).
  
  Но если первая строчка выглядит искусственно,
  то вторая вытекает из стандартного матричного умножения.
  Теперь, если мы примем, что матрицы складываются покомпонентно,
  то получается, что эта эквивалентность сохраняется и относительно сложения.
  Так что можно написать, что для модели целых чисел
  
  (a,b) \sim \left(\begin{matrix}a & b\\b & a\end{matrix}\right).
  
  Выходит, один только правильный выбор матрицы,
  задающей модель числовой системы, полностью определяет всю арифметику,
  без необходимости введения каких-то искусственных правил.
  
  Тоже самое относится и к модели гауссовых чисел.
  Если мы перейдём от пар к матрицам:
  
  (a,b) \sim a + bi \sim \left(\begin{matrix}a & -b \\ b & a\end{matrix}\right),
  
  то используя только стандартные матричные операции,
  мы получим действующую модель комплексной арифметики
  со сложением и умножением и всеми их свойствами.
  Например, сопряжению в этом представлении
  соответствует транспонирование матрицы.
  
  Давайте ещё раз подчеркнём, в чём состоит двойственность подходов
  в построении моделей.
  
  Модель арифметики, основанная на парах:
  объекты - стандартные, операции - специфичные
  
  Модель арифметики, основанная на матрицах
  объекты - специфичные, операции - стандартные
  
  Рис. -13
  
  Матричные модели алгебраических структур (групп, колец, полей)
  называются их представлениями.
  Построением и исследованием таких моделей занимается целый раздел математики:
  теория представлений.
  
  Оба описанных выше подхода практически важны и широко используются.
  Составление пар (прямое произведение)
  это базовый инструмент абстракции,
  то есть, создания новых объектов на основе существующих или хорошо известных.
  Комплексные числа, рациональные дроби, дуальные числа, кватернионы,
  наконец, сами вектора и матрицы,
  все они строятся на базе прямого произведения.
  
  С другой стороны, многие математические структуры
  невозможно осмысленно описать иначе, чем через представления,
  например, группы и алгебры Ли, топологические группы,
  алгебраические системы, описывающие квантовые операторы
  и так далее.
  
  Что скрывается под матрицами
  
  Но пока мы, кажется, поменяли шило на мыло.
  Если в моделях, построенных на парах, мы брали <с потолка> операцию умножения,
  то в представлениях нам придётся откуда-то взять подходящую
  <магическую> матрицу.
  Однако, представления это не просто альтернативный способ построения
  алгебраических систем.
  Матрицы позволяют дать осмысленную интерпретацию элементам наших пар.
  
  Вернёмся к самому общему виду произведения:
  
  (a,b)\times(x,y)=\left(\begin{matrix}A_1a+C_1b & B_1a+D_1b\\A_2a+C_2b & B_2a+D_2b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right).
  
  Линейность даёт нам возможность разделить громоздкую матрицу на две части:
  
  (a,b)\times(x,y)=\left[a\left(\begin{matrix}A_1 & B_1\\A_2 & B_2\end{matrix}\right)+b\left(\begin{matrix}C_1 & D_1\\C_2 & D_2\end{matrix}\right)\right]\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right).
  
  А вот это уже интересно!
  Матрицы коэффициентов, которые полностью характеризуют нашу числовую систему,
  независимы от конкретных элементов в парах,
  и они способны разделить информацию,
  касающуюся каждого элемента пары по отдельности.
  Давайте взглянем как эта декомпозиция работает в наших двух моделях.
  
  Целые числа:
  
  (a,b) \sim \left(\begin{matrix}a & b\\b & a\end{matrix}\right) = a \left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)+b\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right),
  
  гауссовы числа:
  
  (a,b) \sim \left(\begin{matrix}a & -b \\ b & a\end{matrix}\right) = a \left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)+b\left(\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right).
  
  Единичная матрица имеет совершенно очевидный смысл
  - это олицетворение <обычной> единицы,
  то есть, нейтрального элемента для умножения.
  Тот элемент, который умножается на эту матрицу,
  отвечает за <ванильную> (натуральную или вещественную) часть числа,
  а второй добавляет изюминку
  и, собственно, отвечает за добавление функционала,
  которого не было в начальной алгебраической структуре.
  Давайте выясним что представляют собой эти <изюминки>.
  
  Что отличает целые числа от натуральных?
  В натуральных числах нет числа -1,
  имеющего важное мультипликативное свойство:
  при возведении в квадрат оно даёт единицу,
  но само при этом отлично от единицы.
  А добавив этот новый элемент, мы можем получить и ноль, и отрицательные числа.
  
  В матричном представлении целых чисел добавка представляет собой матрицу,
  которая не равна и не пропорциональна единичной,
  но при умножении её саму на себя,
  она превращается в единичную матрицу:
  
  \left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right).
  
  Из этого мы можем заключить, что эта матрица,
  действительно, представляет элемент -[1].
  В сумме с единичной матрицей она, как полагается,
  даёт элемент, эквивалентный [0]:
  
  \left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right) \sim [0].
  
  А что представляет собой секретный ингредиент в комплексных числах?
  Это такое число, которое при возведении в квадрат даёт -1.
  Давайте проверим, выполняет ли такую роль матрица,
  представляющая мнимый компонент:
  
  \left(\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right) = -\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right).
  
  И в самом деле, работает, ведь единичная матрица
  представляет вещественную единицу.
  
  Расширение алгебраической структуры
  
  Вернёмся к обобщённому взгляду.
  Матричные представления числовых систем позволили нам разглядеть
  в формальном и лишённом структуры прямом произведении
  (абстрактных парах) важную структуру:
  линейную комбинацию двух независимых компонент.
  Одна компонента при этом представляет базовую арифметику A,
  а другая пропорциональна элементу, не существующему в A.
  //// Очень интересная, на мой взгляд, интерпретация.
  //// И даже больше. Очень сильный прием - добавление "отсутствующего элемента",
  //// с новым "требуемым" свойством, что в итоге изменяет всю систему.
  //// Только за это описание нового, для меня, приема "конструирования",
  //// да еще и с такой замечательной иллюстрацией его работы,
  //// этот текст просто обязательно нужно включить в личный архив.
  /////// Наверное, стоит провести аналогию между этим "отсутствующим элементом"
  /////// и "X-элементом" в ТРИЗ.
  Эта добавка сосредотачивает в себе
  очень конкретные мультипликативные свойства новой арифметики
  и определяет каким будет умножение в ней.
  
  При этом, вся исходная арифметика полностью содержится в новой,
  как подсистема.
  Ею можно пользоваться, если <обнулить> добавку.
  Опять же, если вам кажется, что это банальная мысль,
  то вспомните нашу модель кольца целых чисел,
  в которой элементы пары, а значит и коэффициенты в линейной комбинации,
  не могут быть равны нулю, поскольку ноль не содержится в натуральных числах.
  Тем не менее, арифметика натуральных чисел
  содержатся в арифметике целых чисел,
  причём, в бесконечном числе копий.
  //// Тоже интересное замечание. Стоит подумать над его "философским обобщением".
  
  Процедура добавления к алгебраической структуре (полукольцу, кольцу или полю) A
  элемента x, которого в ней нет,
  но который в линейной комбинации с элементами A
  вновь порождает корректную алгебраическую структуру,
  называется расширением A,
  и обозначается как A(x).
  Для того, чтобы подчеркнуть свойства добавляемого элемента,
  он определяется уравнением, корнем которого он является.
  Так, в частности, гауссовы числа расширяют кольцо целых чисел,
  добавляя к нему корень многочлена x^2 + 1 = 0.
  Это обозначается так:
  
  \mathbb{Z}(i) = \mathbb{Z}[x]/(x^2+1).
  
  В случае гауссовых чисел это уравнение неразрешимо в исходной арифметике,
  но оно может быть и разрешимым,
  если исходная арифметика содержит не все его корни.
  Так в примере с расширением полукольца натуральных чисел
  до кольца целых с помощью добавления -1,
  мы добавляем элемент, решающий уравнение x^2 = 1, но не равный 1.
  Так что можно записать, что
  
  \mathbb{Z}\simeq \mathbb{N}(-1) = \mathbb{N}[x]/(x^2-1).
  
  Значок ? показывает, что мы имеем дело не с равенством,
  а с изоморфизмом, более мягким,
  но тем не менее, точным отношением.
  
  Подведeм промежуточный итог
  
  От пар (прямого произведения) чисел с искусственными операциями,
  моделирующих числовые системы, мы перешли к представлениям этих систем,
  которые живут по законам линейной алгебры.
  Представления, в свою очередь, снова вернули нас к парам,
  но наделили их несколько более отчeтливым смыслом:
  линейной комбинации двух независимых компонент.
  Одна из этих компонент отвечает за базовую арифметику,
  а вторая расширяет её,
  добавляя некоторый новый элемент.
  Свойства этого элемента и свойства новой алгебры
  полностью определяются мультипликативными свойствами
  одной единственной матрицы, представляющей добавку.
  
  Самое замечательное то, что про матрицы мы знаем всё.
  И надо сказать, что матриц 2х2,
  имеющих примечательный алгебраический и геометрический смысл,
  не так уж и много,
  более того, их можно определeнным образом классифицировать,
  а это значит, что можно получить исчерпывающую классификацию
  возможных арифметик над двумерными модулями.
  
  Вот это уже - математика!
  
  Матрицы, геометрия и мультики
  
  Векторы и матрицы встречаются повсеместно в математике и физике,
  поскольку примеров линейных пространств в нашем мире много.
  Сладкий кофе с молоком, кодировка цветов в формате RGB,
  разложение функции в ряд Тейлора,
  галилеево сложение скоростей, конфигурация электронных орбиталей в атомах,
  представление чисел в позиционной системе счисления,
  спектры звёзд и единицы измерения физических величин...
  Это всё примеры линейных пространств,
  и для их описания можно использовать векторы и матрицы.
  
  Впервые с линейным пространством мы встречаемся в школе,
  при решении систем линейных уравнений
  и когда знакомимся с геометрическим евклидовым пространством,
  в котором вектор, представляет направленный прямолинейный отрезок.
  Матрицы в геометрии представляют линейные преобразования всей плоскости,
  которые оставляют прямые линии прямыми и пересекающиеся прямые пересекающимися.
  Всё остальное: углы, расстояния и площади, может при этом измениться.
  
  Любое линейное преобразование двумерного пространства
  это композиция растяжения, сдвига, скашивания, поворота
  и отражения относительно какой-либо линии.
  
  Рис. Растяжение и сжатие
  
  Рис. Сдвиг
  
  Рис. Поворот
  
  Рис. Скашивание
  
  Рис. Отражение относительно линии
  
  За сдвиг отвечает сложение векторов,
  а умножение матрицы на вектор представляет те преобразования,
  которые оставляют начало координат на месте.
  
  Классификация линейных преобразований
  
  То как именно действует преобразование, описываемое конкретной матрицей
  
  A = \left(\begin{matrix}a & b \\ c & d\end{matrix}\right)
  
  определяется двумя числами, которые называются её собственными числами.
  Они вычисляются, как корни уравнения, которое называется характеристическим:
  
  (a-x)(b-x)-bc = x^2-(a+d)x+ad-bc=0
  
  Коэффициент a + d при линейном члене уравнения называется следом матрицы,
  а свободный член ad - bc - еe определителем.
  Согласно теореме Виета, след матрицы равен сумме собственных чисел,
  а её определитель - их произведению.
  Это полезно помнить, при работе с матрицами в контексте числовых систем.
  
  Набор собственных чисел матрицы называется еe спектром.
  Зная его, можно сказать каким будет действие преобразования,
  которое представляет матрица.
  
  Собственные числа вещественные - композиция растяжений и скашивания.
  При этом вдоль двух выделенных направлений наклон векторов не изменяется.
  
  Рис. Преобразование (справа) и его спектр (слева)
  для двух вещественных собственных чисел.
  Красными линями показаны направления,
  вдоль которых наклоны векторов при преобразовании не меняются.
  
  Собственные числа комплексные - композиция растяжений и поворота.
  При этом все векторы изменяют наклон.
  
  Рис. Преобразование (справа) и его спектр (слева)
  для двух комплексных собственных чисел.
  Все вектора при этом поворачиваются.
  
  Собственные числа равны друг другу (кратные)
  - композиция растяжений и скашивания.
  При этом есть одно выделенное направление
  вдоль которого наклоны векторов не изменяются.
  
  Рис. -10
  
  Если какое-либо собственное число равно нулю,
  то соответствующее преобразование становится вырожденным и необратимым.
  При этом всё двумерное пространство стягивается в одну линию.
  
  Рис. -11
  
  Итак, характер линейного преобразования определяется его спектром.
  Он, в свою очередь, зависит от характеристического уравнения:
  от знака дискриминанта и линейного члена.
  Для матриц второго порядка все возможные случаи можно показать
  на одной диаграмме,
  по осям которой отложены след и определитель матрицы.
  
  Рис. Здесь символами ? в подписях к осям
  обозначены собственные числа линейного преобразования.
  
  Я позволил себе дать областям имена,
  которые не являются общеупотребимыми,
  применительно именно к матрицам,
  и которые обычно используются для классификации квадратичных форм,
  конических сечений, дифференциальных уравнений в частных производных
  или двумерных динамических систем.
  Но дело в том, что все упомянутые объекты описываются с помощью матриц,
  а для классификации используются их собственные числа
  или приведeнная выше диаграмма.
  Так что выбор названий абсолютно оправдан.
  
  В область гиперболических преобразований попадают те,
  которые имеют вещественные собственные числа.
  Эллиптическими назовeм системы с комплексными собственными числами,
  а разделяют эти области параболические преобразования
  с кратными корнями характеристического уравнения.
  Среди гиперболических преобразований встречаются ещё вырожденные,
  имеющие одно собственное число, равное нулю.
  
  Для того, чтобы лучше понять характер линейного преобразования
  в контексте представлений арифметик,
  можно рассмотреть не однократное его действие на координатную сетку,
  а многократное действие этого преобразования на точки пространства.
  Так получаются линии-орбиты,
  вдоль которых происходит перемещение точек пространства
  при многократном применении к ним преобразования.
  
  Полюбуйтесь на то как выглядят линейные преобразования различных типов,
  их орбиты и собственные числа.
  
  Рис. Матрица и её характеристическое уравнение;
  траектории, соответствующие преобразованию;
  положение матрицы на диаграмме;
  собственные числа матрицы на комплексной плоскости.
  
  Теперь видно откуда берутся термины эллиптический, параболический
  и гиперболический, применительно к преобразованиям:
  орбитами соответствующих преобразований,
  действительно являются эллипсы (или эллиптические спирали),
  параболы и гиперболы.
  
  Теперь с этих позиций взглянем на арифметики,
  которые имеют представление в виде линейной композиции
  единичной матрицы и некоторой матрицы-расширения.
  Модель целых чисел, как модуля над натуральными
  является гиперболической арифметикой,
  а гауссовы числа относятся к эллиптическим.
  //// Вот эти эллиптические "арифметики" меня сейчас больше всего и интересуют.
  //// И вызываемые ими "преобразования координатных точек",
  //// имеющие вид эллипсов (или эллиптических спиралей)
  //// заставляют хорошенько задуматься именно о природе этих преобразований
  //// в данном конкретном случае.
  Забегая вперёд, замечу, что модель рациональных чисел
  в виде дробей тоже можно вписать в эту классификацию,
  но с некоторыми техническими нюансами.
  Мы увидим, что её можно отнести к параболическим арифметикам.
  
  Самое приятное свойство матричных представлений состоит в том,
  что между матрицами и их характеристическими уравнениями
  существует красивая связь:
  матрица представляет решения своего характеристического уравнения.
  
  Вспомните, гауссовы числа мы определили как расширение
  кольца целых чисел мнимой единицей i,
  которая решает уравнение x^2 + 1 = 0.
  Матричные представления для мнимой единицы могут выглядеть так:
  
  \left(\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}\right)
  
  и если мы выпишем для них характеристические уравнения,
  то оно будет совпадать с решаемым уравнением: x^2 + 1 = 0.
  
  Таким образом, по матрице можно понять,
  какое уравнение оно решает.
  И наоборот, по уравнению, не имеющему решения в заданной числовой системе,
  можно построить его решение в виде матрицы,
  для которой это уравнение будет характеристическим.
  
  В следующих статьях мы рассмотрим по отдельности примеры арифметик
  всех трёх типов и сможем увидеть какой геометрический смысл
  имеет в них операция умножения.
  
  ......
  
  //// И сразу же продолжение с темой, которая в данный момент
  //// меня больше всего интересует - представление "мнимой единицы".
  //// Той самой исходной точки "iмагического".
  
  "Математическая продлёнка.
  Изобретаем эллиптические числа".
  Автор: samsergey (Сергей Самойленко)
  https://habr.com/ru/articles/862012/
  29 ноя 2024 в 16:00
  
  Продолжаем разбираться с числостроительством
  в серии заметок <Изобретаем числа>.
  В предыдущих статьях этой серии мы последовательно подходили
  к построению числовых систем (алгебраических структур,
  которые я неформально называю арифметиками),
  как модулей над более простыми системами.
  В прошлый раз мы ввели классификацию таких арифметик,
  пользуясь их матричными представлениями,
  и разбили их на классы:
  эллиптические, гиперболические и параболические.
  
  .......
  
  Сегодня я хочу поговорить об эллиптических арифметиках,
  к которым относятся хорошо всем известные комплексные числа
  и менее известные, но полезные числа Эйзенштейна.
  В частности, мы поговорим о том,
  почему среди многообразия возможных эллиптических арифметик
  именно комплексные числа в том виде, в котором мы их знаем,
  являются наиболее удобными и универсальными.
  
  Реальна ли мнимая единица?
  
  Мой ответ:
  <Да, вполне. В той же мере, насколько реален поворот на 90®
  или листочек в клеточку.>
  Давайте разбираться, а заодно познакомимся с числами Эйзенштейна.
  
  Рис. Картина "Умножение на мнимую единицу",
  Johnson, Crockett,1964 г. National Museum of American History
  
  Этот вопрос явно относится к серии <классика жанра>,
  обязательной в любом математическом блоге или журнале.
  Я не буду рассказывать об истории, возникновения идеи комплексных чисел
  или повторять неоднократно приводимые аргументы об их полезности
  в алгебре, физике и прочих разделах математики,
  и сосредоточусь не на формальном смысле мнимой единицы,
  а именно на её связи с привычной и зримой окружающей нас
  геометрической реальностью.
  
  При этом опираться я буду не на философию,
  а на элементы теории представлений,
  с которыми мы постепенно знакомимся в этой серии статей.
  Теория представлений не относится к числу элементарных,
  но сегодня мы с её помощью от формальной стороны комплексных чисел
  сможем перейти к их вполне ощутимым свойствам.
  
  В прошлый раз мы перечислили основные типы линейных преобразований плоскости,
  https://habr.com/ru/articles/861904/
  и среди них выделили преобразования эллиптического типа,
  являющиеся композицией растяжения и поворота.
  
  Рис. Различные типы линейных преобразований,
  классифицированные по свойством их собственных чисел.
  (см. предыдущую статью серии).
  
  Матрицы, которые представляют такие преобразования,
  имеют исключительно вещественные элементы,
  их характеристическое уравнение тоже имеет вещественные коэффициенты,
  однако его дискриминант отрицателен
  и следовательно, вещественных корней оно иметь не может.
  Таким образом, мы приходим к выводу,
  что спектр этих матриц представляет собой
  пару сопряжённых комплексных чисел.
  А поскольку, как мы знаем, матрица является
  линейным представлением корней своего характеристического уравнения,
  то и сами <эллиптические> матрицы могут быть
  линейным представлением комплексных чисел.
  
  Среди матриц такого типа можно выделить те,
  что представляют решения уравнения: x^2 + 1 = 0.
  Они имеют нулевой след (сумму диагональных элементов)
  и равный единице определитель (не меняют площади фигур).
  Об этом говорят коэффициенты уравнения,
  и их толкование согласно теореме Виета.
  Можно построить целое многообразие таких матриц,
  параметризовав его вещественным числом t:
  
  \left(\begin{matrix}t & -t^2-1\\1 & -t\end{matrix}\right)
  
  Все они при возведении в квадрат дают матричный аналог вещественного числа -1.
  //// Хорошая мысль. "Матричный аналог". А какие еще "аналоги" известны?
  Давайте посмотрим на то, как выглядят соответствующие преобразования
  и их орбиты:
  
  Рис. Преобразования плоскости и орбиты этих преобразований
  для различных значений параметра t.
  Черные отрезки показывают как преобразовываются
  два взаимно перпендикулярных единичных вектора:
  (0, 1) и (1, 0).
  
  Как видите, все орбиты
  (множества, которые получаются при многократном применении преобразования)
  для этих матриц оказываются эллиптическими.
  И только при t = 0, они превращаются в окружности.
  Примерно при таком преобразовании происходит поворот всей плоскости на 90®
  и при этом сохраняются как расстояния, так и углы между всеми векторами.
  О том чем хорош поворот именно на 90®
  мы подробно говорили в статье <Самый правильный угол>.
  https://habr.com/ru/articles/736862/
  
  Линейное преобразование, обладающее такими свойствами,
  называется ортогональным.
  Расстояния и углы связаны со скалярным произведением,
  так что более общее утверждение таково:
  ортогональное преобразование сохраняет все скалярные произведения.
  
  И если говорить о матрицах,
  для них ортогональность определяется достаточно просто:
  её строки образуют ортогональные векторы,
  для которых скалярное произведение равно нулю.
  В нашем случае это условие приводит к такому уравнению:
  
  \left(\begin{matrix}t & -t^2-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1 \\ -t\end{matrix}\right) = t(t^2+2)=0.
  
  Из него следует, что только при t = 0 мы получим
  вещественнозначную ортогональную матрицу:
  
  \left(\begin{matrix}0 & -1\\1 & 0\end{matrix}\right) = i,
  
  которая представляет мнимую единицу в наиболее <чистом> виде,
  в виде ортогонального преобразования, сохраняющего скалярные произведения,
  то есть, линейные комбинации.
  //// Т.е. в такой трактовке "i - есть ортогональное преобразование
  //// - поворот на "самый правильный угол".
  В контексте арифметики это полезное свойство.
  Оно означает, что при умножении на мнимую единицу в таком представлении
  модуль комплексного числа изменяться не будет.
  
  Ортогональные матрицы обладают ещё одним важным свойством:
  если поменять местами строки и столбцы
  (отразить её относительно главной диагонали или транспонировать),
  то получится матрица обратная исходной.
  Если мы транспонируем матрицу, представляющую мнимую единицу,
  то получим представление числа -i:
  
  \left(\begin{matrix}0 & -1\\1 & 0\end{matrix}\right)^T=\left(\begin{matrix}0 & 1\\-1 & 0\end{matrix}\right) = -i,
  
  которое при умножении на число i даёт нейтральный элемент 1.
  Другие матричные решения уравнения x^2 + 1 = 0 таким свойством не обладают.
  
  Ну и что?
  
  Возможно, это было чересчур подробное введение,
  но мне хотелось строго показать,
  что среди всех вариантов представлений мнимой единицы,
  именно пара, соответствующая поворотам на 90®,
  является наиболее точным представлением этого объекта.
  Традиционно принято считать,
  что умножение на i поворачивает аргумент комплексного числа
  против часовой стрелки.
  
  Так что же является <главным>:
  
  формальное решение уравнения x^2 + 1 = 0,
  в реальности которого мы сомневаемся,
  
  или линейное представление этого решения в форме поворота на 90®,
  которое вполне реально, ощутимо и доступно для наблюдения?
  
  Для математика так вопрос не стоит.
  Оба эти математических объекта изоморфны друг другу,
  а следовательно, идентичны.
  Оба они образуют одинаковую алгебраическую структуру:
  циклическую группу четвёртого порядка.
  Кроме того, с их помощью можно расширить поле вещественных чисел
  и получить аглебраически замкнутое поле,
  состоящее либо из пар, либо из матриц:
  
  a+bi\simeq a\left(\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right) +b\left(\begin{matrix}0 & -1\\1 & 0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}a & -b\\b & a\end{matrix}\right) .
  
  Комплексные числа это, конечно, формализм,
  непригодный для подсчёта предметов, измерения веса или длины.
  Изображая график параболы, не пересекающей оси Ox,
  мы справедливо говорим об отсутствии корней у соответствующего уравнения,
  имея в виду вещественные корни.
  И только формальное введение мнимых чисел позволяет нам рассуждать
  о корнях <нерешаемых> уравнений
  (см. Квадратные уравнения во всей красе).
  https://habr.com/ru/articles/714660/
  Но при этом они так и остаются формальностью.
  //// "Случайности не случайны",
  //// а "формальности не формальны".
  
  В то же самое время, изоморфизм между комплексными числами
  и поворотами плоскости
  даёт нам возможность использовать их для описания периодических процессов,
  которые можно интерпретировать как вращение.
  Именно поэтому комплексные числа
  - незаменимый инструмент для моделирования переменного тока,
  импеданса (волнового сопротивления) реактивных сопротивлений
  и в матаппарате квантовой механики,
  где вероятность наблюдения элементарных частиц описывается волновой функцией.
  
  В общем, если вас смущает <нереальность> алгебры комплексных чисел,
  не смущайтесь, а вспомните, что ровно таким же образом ведут себя
  композиции масштабирования и поворотов.
  И то и другое - математическая абстракция,
  но в силу привычки одна из них нам кажется <абстрактнее> другой.
  
  ........
  
  //// Из комментариев.
  
  murkin-kot
  18 часов назад
  
  В предыдущем тексте вы показали обобщённое представление составных чисел через матрицы.
  Но не показали, почему матричные операции выбраны именно такими,
  какие они есть.
  В итоге обобщение пар чисел сводится к операциям,
  аксиоматически задаваемым на матрицах
  (в смысле без каких-либо видимых в тексте доказательств
  необходимости именно таких операций).
  Отсюда очевидно, что однажды выбрав матричную аксиоматику,
  включающую специфичные для тех же комплексных чисел операции,
  вы, разумеется, обнаружили что матрицы "подходят"
  для описания комплексных чисел.
  То есть показали, что масло, оказывается, масленое.
  
  Поэтому было бы интересно увидеть обоснование операций,
  применяемых к матрицам.
  И ещё интереснее - показать это на тех же камушках и веточках.
  Хотя последнее, видимо, весьма нетривиально
  из-за необходимости привлекать большое число предметов
  для указания корней проблемы,
  по видимому лежащих в области исследования систем линейных уравнений.
  
  Ну и если матрицы растут от линейных уравнений,
  то и их операции заимствованы оттуда.
  А основа там всё та же, что и в одномерной арифметике,
  но с добавкой специфики систем линейных уравнений.
  Ну и комплексные числа тогда,
  видимо напрямую заимствуют эту специфику систем уравнений.
  
  Всё это к тому, что вы хорошо углубились в обобщения,
  но корни показали недостаточно глубоко.
  Связь "системы + арифметика = новые числа (структуры)"
  можно показать глубже и нагляднее.
  
  samsergey
  18 часов назад
  
  Вы правы, просто перенося вопрос "почему"
  от алгебры комплексных чисел к алгебре матриц,
  нельзя докопаться до истины.
  Обоснование матричных операций я не планировал включать в эту серию,
  но в двух словах упомянул ключевые их свойства,
  линейность (отражающуюся в арифметике в форме дистрибутивности умножения)
  и свойства скалярного произведения (билинейной формы).
  Об этом я подробнее хочу поговорить,
  рассказывая об алгебрах Клиффорда в следующей серии заметок.
  
  ......
  
  //// Конец цитирования.
  
  Очень интересным и познавательным, лично для меня, оказалась эта серия статей.
  В очередной раз убедился, что "математиком мне не стать".
  Ну не получается у меня учить подробности "операций"/"действий",
  если не понятна сама "сущность"/"образ".
  И вопрос "как именно" следует за вопросом "что именно".
  А классическая математика построена как раз наоборот
  - важна общность по "операциям"/"свойствам",
  а "природа объекта" второй, а может и десятой важности.
  Хотя данный материал как раз можно считать исключением,
  настолько он доступный и понятный.
  "iмагическое" может иметь "матричный аналог"
  и использоваться без необходимости написания i,
  но, возможно, стоит еще поискать нечто другое.
  
  
  =======
  
  Тральщик Наставник. Модель Kandinsky 3.1 нарисовала: f4033b8b-d85f-4902-ae17-b79b0b079464
  
  Тральщик Наставник. Модель Kandinsky 3.1 нарисовала: 8a82c91d-5805-4774-8295-11e77a76660a
  
  Тральщик Наставник. Модель Kandinsky 3.1 нарисовала: 47e4b1e6-3341-4e59-ac00-9df29b87720c
  Flag Counter
  Free counters!
  Flag Counter
  
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"