Аннотация: Также количество математических операций можно значительно расширить.
Теперь в данной статье продолжаем изложение оригинальной "новой"математики,начатой в таких статьях , как "Треугольная математика" и "Математика пришельцев", опубликованных в этом же месяце. Математика эта на первый взгляд представляеся совершенно необычной и своеобразной по своему характеру, а также и никак не вписывающейся в контуры привычной нам естественной современной математики.Математику эту можно отнести к прикладному ее разделу, так как она только вот началась и выкладка ее совсем не представляет того достаточного стандарта, требуемого для научного стиля изложения.
Следующая тема относится к треугольным арифметическим операциям, подобным таким обыкновенным операциям, как умножение, деление, возведения в степень и так далее, но все же не новой по своей сути и ее так называемые"двойники" или "прототипы" даже имеются в некоторых разделах современной математики. Это и треугольное число, пирамидальное число, биномиальный коэффициент и также сочетание n элементов по m элементов. Основу их составляет арифметическая прогрессия и пошаговое суммирование. Первая треугольная операция получается на базе операции сложения , производящей суммирование по порядку чисел, взятых из натурального ряда, начиная с еденицы.Или арифметически выражается как 1+2+3+..., результат ее представляет треугольное число. Обозначим операцию знаком "*", стоящей одиночно перед каким-либо числом или неизвестной переменной величине, так как операция представляется по характеру унарной, при которой одному числу из натурального ряда или неизвестной переменной в буквенном обозначении сопоставляется одно число или одна какая-нибудь переменной. При бинарной операции, сложение, умножение и прочие подобные представляют уже два числа или переменных, сопоставленных одному числу или переменной, являющимся результатом совершенной операции, проделанной над исходными двумя числами или переменными. Также применим другое обозначение для треугольной операции встречающейся в математике:знак Т с индесным обозначением, пример, Т1,Т2 и т.п. Итак, Т1=1, Т2=3,Т3=6,...,или в новом унарном обозначении, *1=1, *2=3, *3=6, *4=10, *5=15,... .
Также в Треугольной математике будут встречаться операции более сложного характера, которые сопоставляют одному числу или переменной, представлляющей результатом операции уже три и даже четыре исходных числа или переменных. Соответсвенно называются тернарными и кватернарными операциями.Такое сопоставление чем-то напоминает функцию, но функция может состоять из двух, трех и более различных операций, распределенных между несколькими переменными, с включением также констант. И если обозначить n-арную операцию общим знаком "∘", то унарная операция математически запишется ∘ a=b, бинарная a ∘ b=c, тернарная запишется совсем необычно :три графемы треугольно окружают знак операции.Подобно этому в кватернарном выражении четыре графемы окружают знак операции. Итак в общем виде изображаются соответственно :
a b a b В современной математике унарную операцию можно встре
∘ = d , ∘ = e . тить, пример, в тригометрических функциях. Выражения:
c c d sina=b, tgx=y, arccosx=y.
Но, если поискать, можно также найти в некоторых разделах особо обозначенные тернарные и кватернарные выражения.Здесь нужно смотреть только какое количество изначальных переменных или чисел сопоставляется результату выражения. Далее, посредством первой треугольной операции получается следующая вторая треугольная операция, слаживая значения по порядку Т1, Т2, Т3,..., или Т1+Т2+Т3..., получаем пирамидальные числа. А если слаживать по порядку и эти пирамидальные числа, то образуются числа высшей степени, а из тех n-мерные тетраэдральные числа высших степеней, вернее, "треугольных степеней". Здесь уже вводится новый вид математической операции , выражающей степень числа, и похожей на обыкновенные "четырехугольные степени", известные как возведение в квадрат числа, куб числа, число в четвертой степени и т.п, имеющие по существу "прямоугольный характер".Треугольное число по сути тождественно возведению во вторую степень, пирамидальное число соответствует третьей треугольной степени. Пирамидальная операция обозначается как P1, P2, P3, ..., где цифра указывает исходное число или аргумент операции, или также индексное обозначение. Слаживая пирамидальные числа, получаем числа возведенные в следующую четвертую треугольную степень. Так можно продолжать далее, образуя высшие по порядку треугольные степени чисел. Все эти степенные функции, если графически изображать в прямоугольной системе координат, похожи на графики парабол обыкновенной степенной функции и как раз располагаются между ними. Также имеются операции, обратные треугольным степеням и которые соответствуют операциям извлечения корней, но имеют уже свой треугольный характер.Результатом их могут быть иррациональные числа, которые никогда при их значении не обрываются и продолжить их можно неограниченно. Обычно значение таких чисел округляют. Первая треугольная операция, кроме того по существу, представляется двойственной: кроме второй степени, обратным которой является треугольный корень с возможным иррациональным значением, также ей соответствует умножение с обратной ей операцией треугольного деления и возможным еще и дробным значением. Полученная дробь уже носит треугольный характер, знак треугольного деления обозачается "∼" , пример, ∼b=c, здесь операция унарная. Из первой треугольной операции унарной по сути. также можно образовать бинарную оперцию, похожую на умножение. Для этого вычитаются два треугольных числа , от большего по значению вычитается меньшее. Обозначается a *b=c, и обратная ей операция, уже бинарная соответствует делению, выражается x∼y=z . Можно здесь знак "∼"записывать и вертикально в виде дроби, расположенной между двумя числами или переменными. Получается в итоге новый класс дробей или треугольных дробей. Значения таких дробей совершенно не похожи на значения обыкновенных дробей.
Также тема логики , топологии и проективной геометрии будет обсуждаться в дальнейшем, и считаю нужным, что они несомненно потом послужат для верных поисков и решений своей 'новой теории'. Теперь, треугольные операции. Обозначения:знак '*' перед символом означает первую унарную треугольную операцию или попросту фигурное треугольное число. Также, знак '*', расположенный между символами означает бинарную 'трапецевидную' операцию, получающейся при разности двух треугольных чисел, от большего меньшее. Математически выразится как *b-*a=(a+1)*b , или также T(b)-T(a)=(a+1)*b . Также запишется и так, *y-*(x-1)=y*x, T(y)-T(x-1)=y*x, впрочем, операция все же коммутативна, или (a+1)*b=b*(a+1), y*x=x*y . Трапецевидная операция определяется как a+(a+1)+(a+2)+...+b, или также b+(b-1)+(b-2)+(b-3)+...+a , что имеет одинаковое в результате значение. По своим свойствам трапецевидная операция уже четырехугольна и представляет некоторую противоположность операции умножения. Здесь, чем больше разница между двумя членами операции, тем меньше получающееся в результате значение, и также наоборот. То есть наибольшим по значению представляется 1*b и здесь выражение совпадает с первой треугольной операцией. Наименьшим по значению будет b*b, которая идемпотентна по своим свойствам или b*b=b, что однако не встречается среди обычных арифметических операций в нашей математике. Также c*(c+1)=c+(c+1)=2c+1 и b*(b-1)=b+(b-1)=2b-1 . Также посредством треугольных и трапецевидных операций можно выражать умножение. Пример, *n+*(n+1)=n×n или n^2 , здесь знак ''^'' означает возведение в степень. Также выражение, (x*y)+*(y-x)=y(y-x) . И подобных формул найдется немало, а пока для них и вообще для всяких формул треугольной математики будут представляться отдельные статьи.