Математический доклад о противоречиях допущенных в теории функций вещественного (действительного) переменного.
Автор Колосов Ф.Ф.
О таблице нумерации рациональных дробей интервала континуума и о двух фундаментальных множествах интервалов образованных точками данной таблицы.
Точки образующие континуум разделены на два множества это рациональные и иррациональные. Давайте рассмотрим таблицу нумерации рациональных интервала (0, 1) она имеет следующий вид:
Таблица нумерации рациональных дробей континуума
1/2
1/3 2/3
1/4 2/4 3/4
1/5 2/5 3/5 4/5
1/6 2/6 3/6 4/6 5/6
Таблица приведена в десятиченой системе исчисления. Таблица содержит сократимые. Таблица содержит все точки с рациональными координатами интервала континуума других точек с рациональными координатами в указанном интервале не существует. По аналогии выписываются строки число, которых стремится в бесконечность.
Итак, какие основные утверждения относительно данной таблицы существуют в ТФВП? Таких утверждений будет три. Именно:
1. Таблица содержит только точки с рациональными координатами.
2. Множество рациональных входящих в таблицу есть счётное множество.
3. Мера рациональных входящих в таблицу равна нулю.
Все эти три утверждения ошибочны. А теперь давайте подумаем почему так происходит.
Таблица содержит только точки с рациональными координатами. В действительности это не так. Таблица содержит как рациональные так и иррациональные причём других точек, которые могли бы быть определены так или иначе хотя бы гипотетически именно с помощью дробей не важно каких рациональных или иррациональных в континууме не существует. Все они находятся в таблице. В действительности для определения точек континуума у нас нет никакой другой арифметической операции кроме деления. Так как мы рассматриваем таблицу нумерации то это будет деление целого на целое и при дроблении интервала (0, 1) точками с рациональными координатами возникают два основных вида интервалов именно: интервалы с изменением на единицу числителя и интервалы с изменением на единицу знаменателя. Эти интервалы принципиально различны. Интервалы с изменением числителя образуют последовательности бесконечно малых а с изменением знаменателя - нули. Рассмотрим последовательность интервалов с изменением числителя:
При стремлении знаменателя данного ряда в бесконечность образуется тривиальная последовательность бесконечно малых на (0, 1), сумма которых равна единице. По модулю все эти интервалы равны. Модуль любого из интервалов входящих в данную последовательность равен:
|2/n - 1/n| = |1/n|.
Хочу обратить особое внимание читателя на тот факт, что данной последовательности при стремлении n в бесконечность в таблице нумерации соответствует самый нижний ряд образующий её основание. Он имеет наибольший знаменатель, в котором бесконечность натурального ряда полностью исчерпывает себя и он содержит наибольшее число точек. Следующий ряд, который находится над основанием содержит на одну точку меньше и т. д..
Теперь рассмотрим последовательности интервалов с изменением знаменателя:
По аналогии выписываются строки, число которых стремится в бесконечность.
Здесь сразу необходимо указать, что структура интервалов с изменением знаменателя значительно сложнее чем с изменением числителя. При стремлении знаменателя данных последовательностей в бесконечность образуются нули. Докажем это.
Все интервалы входящие в таблицу изменения знаменателя имеют разные модули. Наименьший по модулю интервал находится в левом верхнем углу. Это интервал
(1/n, 1/n - 1).
Его модуль равен
|(1/n - 1) - (1/n)| = |1/n(n - 1)|.
Давайте сравним по модулям используя критерий сравнения бесконечно малых интервал (1/n, 2/n) и интервал (1/n, 1/n - 1). Получим следующее:
(1/n ) : (1/n(n - 1)) = n - 1.
При предельном переходе при стремлении n в бесконечность мы получим бесконечность. То есть интервал (1/n, 1/n - 1) это по сути ноль. Это буквально две примыкающие к друг другу точки. Тогда как интервал (1/n, 2/n) есть бесконечно малая содержащая в себе бесконечное множество точек континуума и это множество по всей видимости эквивалентно бесконечности натурального ряда. Итак мы видим, что изменение числителя приводит к образованию бесконечно малых а изменение знаменателя приводит к образованию интервалов высшего порядка малости по сравнению с самими бесконечно малыми. Рациональные входящие в таблицу нумерации континуума образуют интервалы обоих видов. Это наводит на мысль, что при предельном переходе, который по определению существует в таблице начнётся бесконечное дробление бесконечно малых а это в свою очередь приведёт к образованию интервалов по модулю сравнимых (не эквивалентных но сравнимых) с интервалом вида (1/n, 1/n - 1). Таким сравнимым интервалом может быть например интервал (2/n, 2/n - 1). Данный процесс будет происходить равномерно по всему континууму, что приведёт к вырождению бесконечно малых находящихся в основании таблицы и образованию нулевых интервалов. А это уже наводит на мысль - а действительно ли мера рациональных на (0, 1) равна нулю?
Итак, ТФВП утверждает, что именно иррациональные составляют основной костяк, массив интервала (0, 1) и определяют его меру. Но это не так. Доказать это строго мы пока не можем но давайте рассмотрим следующий несложный пример, который пусть косвенно но уже указывает на то, что иррациональные в действительности составляют лишь бесконечно малую часть от всего множества точек входящих в таблицу нумерации континуума. Рассмотрим иррациональное число квадратный корень из 0, 2. Он приближённо равен 0,447213.... Как будет представлено это число в таблице обозначений точек? Это будет ни что иное как числитель 447213... делённый на знаменатель 1000000... Такая дробь действительно будет существовать на бесконечной нумерации в таблице обозначений. К чему приведёт изменение числителя этой дроби на единицу - к образованию бесконечно малой. А чему приведёт изменение на единицу знаменателя - к образованию бесконечно малого интервала по сравнению с бесконечно малой. Допустим если числитель на бесконечности имел единицу то есть 447213... ... ...1 то если прибавить к нему единицу получим 447213... ... ...2 - и это будет бесконечно малое. Но если из знаменателя 1000000... вычесть 1 то получим 999999... Но точка с координатой 447213... ... ...1 делённая на знаменатель 999999... даёт бесконечно малый интервал сравнимый с нулевым интервалом. Меньше этого интервала мы уже ничего указать не можем. Таким образом здесь уже видно, что таблица обозначений нумерует все точки а иррациональные это не более чем подмножество точек входящих в данную таблицу.
На что я как докладчик могу опираться в своих дальнейших рассуждениях. Я не знаю согласятся со мной теоретики или нет но на мой взгляд утверждение, что мера иррациональных на (0, 1) равна единице должно иметь геометрическое толкование, геометрический критерий. Таким геометрическим критерием на мой взгляд может быть только одно - в континууме должна существовать последовательность бесконечно малых интервалов, каждый из которых должен содержать только точки с иррациональными координатами число этих интервалов будет эквивалентно бесконечности натурального ряда а их бесконечная сумма будет равна единице. В противном случае на полном основании можно утверждать, что континуум заполнен рациональными точками и именно они и определяют меру (0, 1). Забегая вперёд скажу следующее: таблица нумерует все точки континуума, критерий счётности по крайней мере в контексте данной задачи не имеет математического смысла. Что касается мер множеств рациональных и иррациональных на (0, 1) то определить их невозможно а задача по отысканию указанных мер оказывается принципиально неразрешимой.