В общем понимании, паинька - идеальный ребёнок, образ воспитанного ребёнка иносказательно в шутливо-ласковой форме также переносится и на взрослых людей.
1) Существующая этимология
а) Викисловарь
Корень: -па-; суффикс: -иньк; окончание: -а. Значение: разг. тот, кто отличается послушанием, благоразумием и примерным поведением.
Этимология (автор не указан, Макс Фасмер)
Уменьш. от пай (пай-мальчик), далее из финно-угорск., обычно сравнивают с финск., эст. раi "хороший, милый", откуда и эст.-шв., прибалт.-нем. раi.
б) Этимологический словарь русского языка. - М.: Прогресс. М. Р. Фасмер. 1964-1973
Пай. II "хороший, послушный (о детях), паинька (Тургенев). Обычно объясняют из фин., эст. раi "хороший, милый, откуда и эст.-шв., прибалт.-нем. раi; см. Томсен, SА 4, 471. Тат. раi - то же заимств. из русск. (в детской речи; см. Радлов 4, 1118). II II "доля, часть", уменьш. паёк, род. п. пайка, укр. пай. Заимств. из тур., крым.-тат., тат. раi "часть, участок, пай" (Радлов 4, 1118); см. Мi. ЕW 230; ТЕl. 2, 138; Локоч 129; Преобр. II, 5.
2) Применение термина в русском языке
В древнерусской литературе и в основных русских словарях XVIII- XIX вв. термин не фиксируется.
* Национальный корпус русского языка
Применение термина в художественной литературе регистрируется Корпусом... с 1845 г., пик в 1867 г., затем быстрое снижение частоты использования слова до минимального уровня, вплоть до наших дней. Словарь Владимира Даля, где употребляется слово "паинька", вышел в свет в 1863-1866 гг., ПАЙ, паинька, петерб. чухонск. (эстонцы и финны) умник, послушный, говор. дитяти. Ты пай дитя. Паить дитя по головке, гладить и баловать.
* М. Е. Салтыков-Щедрин. Невинные рассказы/Запутанное дело (1848-1863): "И господин Беобахтер сделал несколько аккордов на гитаре и запел совершенно особенную и крайне затейливую бравуру, но запел таким голосом, как будто гладил кого-нибудь по головке, приговаривая: Паинька, душенька!.
* А. Ф. Писемский. Взбаламученное море (1863): Ну, умница! паинька! ― сказал Бакланов: ― дай ему за это чаю!.
3) Обобщение и вывод
* Термин был зафиксирован в середине XIX века в русской литературной среде (Салтыков-Щедрин, Тургенев, Писемский, Лесков), и скорее всего, использовался в устной народной речи, откуда и позаимствован писателями. Фольклористика развилась в научную дисциплину в первой половине XIX века. Ни в финском, ни в эстонском языке обнаружить указанный исследователями термин "раi" не удалось.
* Содержание термина: речь ребенка, послушный, благоразумный, примерный, баловать ребенка; в общем - воспитанный ребёнок. "Идеальным" ребёнок становиться не по рождению, а в процессе воспитания, обучения и накопления жизненного опыта в общении с окружающими вещами и людьми, как правило, в семье. В результате десятков тысяч повторов действий (подражание взрослым) и слов, в сознании ребёнка вырабатываются устойчивые нейронные связи - повторение ведёт к образованию памяти.
* Советский философ Э.В. Ильенков полагал: "Логику мышления можно понять до, вне и независимо от исследования логики языка, но в обратном порядке нельзя понять ни язык, ни мышление" (Философия и культура, М., 1991, с. 274).
Исторически сложилось так, что в ходе развития общества "логика мышления" (сознание и мышление) у нас иудеохристианская; формировалась в ходе религиозного обучения и воспитания (молитва, проповедь). Следовательно, грамматическая форма термина должна иметь логико-лексическую связь с сакральным языком иудеохристианства (иврит), т.е. содержать корни (основные понятия) материнского языка идеологии.
Нельзя ведь верить в еврейского Бога (=мыслить делами и словом Бога) и использовать при этом языческие (родоплеменные понятия), не так ли? Главенствующая идеология определяет и язык, основной лексикон общности, которая её исповедует, иначе - как понять (осмыслить) дела и слово Бога?
Вывод
Целесообразно рассмотреть термин в связи с библейским лексиконом и образами, тем более что языческое племя "этимологов" всячески сторонится сакрального языка. Истолковывают имя или термин от любого национального языка, даже от предполагаемого "финно-угров", не оставивших после себя никакой идеологической доктрины и организации распространяющей имя и термин в пространстве и времени; "Калевалу" создали в сер. XIX века буржуазные филологи на фольклорном материале.
4) Терминология иврита и библейский образ
Приведем термин в форму близкую к грамматике иврита и выделим корни; иврит язык согласных букв (такова древняя письменная традиция - согласные принадлежат Богу). Следовательно, из слова нам необходимо удалить гласные знаки - ПАИНЬКА = П.Н.К.; Ь ерь - древнее значение - сверхкраткий вариант звука [и], позже смягчение, звука не несёт.
У нас моментально выявляется соответствующий содержанию слова термин иврита П.Н.К., или в полном написании - ПАНАК, ПИНЕК воспитывать, баловать.
а) Терминология, варианты интерпретации
а) Основное истолкование
* ПАИНЬКА = П.Н.К. = арам., ивр. ПАНАК פָּנַק баловать, изнеживать, воспитывать, лечить деликатно; ПИННЕК פִּנֵּק нежить, баловать (поздний иврит?). Термин иврита ПАНАК прямо указывает на воспитание ребёнка.
б) Вариант, слово могло быть составлено из двух терминов
* ПАИНЬКА = ПА+ИНЬКА = ПЭ (ПИ) פֶּה уста, рот, речь, говорить + ЙНИКА (ЙНИК) יְנִיקָה молодой отпрыск, грудной младенец, ребёнок; от глагола ЙНАК сосать грудь. Библейские термины; в общем - речь ребёнка (подражание лепету грудного ребёнка); проявление родительской ласки, нежности.
* См. Еврейский и халдейский этимологический словарь к книгам Ветхого Завета, О.Н. Штейнберг, Вильно, 1878 г.; http://greeklatin.narod.ru/hebdict/img/_385.htm
б) Библейский образ
Притчи 29:21: Если с детства воспитывать (ПАНАК) раба в неге, то впоследствии он захочет быть сыном.
Таким образом, русский термин паинька является транслитерацией (передача другим алфавитом) еврейского слова П.Н.К., ПАНАК нежить, баловать, воспитывать. Заимствовано из библейского текста, относится к лексике общения родителей с малолетними детьми.