Исаев Александр Васильевич

Большие числа Дирака и... Пирамида делителей

Пирамиду делителей в мире натуральных чисел я придумал в 1997 году. И ничего подобного (хотя бы даже близкого по смыслу к моей Пирамиде) ни в математике, ни в нумерологии, ни где-либо ещё - мне найти не удалось. Можно сказать, что Пирамида является главным "наглядным пособием" по моей виртуальной космологии (теория-игра, изложенная на сайте "Самиздат"). Алгоритм построения Пирамиды по своей простоте сопоставим с самим рядом натуральных чисел N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... (что может быть проще, не правда ли?!). Однако, оказывается, что Пирамида (как и сам ряд натуральных чисел), дает бесконечно богатую "пищу" для нашего ума, воображения и фантазии. Столь парадоксальное утверждение я попытаюсь обрисовать в самых общих чертах и в данной статье.

Глядя на Пирамиду делителей, можно без особого труда сформулировать, скажем, законы Пирамиды, которые преисполнены красотой, наивысшей гармонией и интересны сами по себе - как новые математические объекты, расширяющие рамки общеизвестной теории чисел. При этом уместно напомнить слова, пожалуй, самого гениального математика всех времен - Леонарда Эйлера (1707-1783): "Из всех проблем, рассматриваемых в математике, нет таких, которые считались бы в настоящее время более бесплодными и лишенными предложений, чем проблемы, касающиеся природы чисел и их делителей... . В этом отношении нынешние математики сильно отличаются от древних, придававших гораздо большее значение исследованиям такого рода. ... Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой степени совершенства, если бы древние не посвятили столько сил развитию вопросов, которыми сегодня большинство пренебрегает из-за их мнимой бесплодности" (курсив мой, причём указанные слова Эйлера звучат актуально и сегодня - спустя почти 250 лет).

Так вот, оказывается, что, рассматривая Пирамиду, а по сути дела, рассматривая "природу чисел и их делителей" (как завещал великий Эйлер), мы то и дело будем получать числа, очень близкие к... Большим числам Дирака (более подробно о них см., например, в Википедии). Эти числа относятся к наблюдениям Поля Дирака в 1937 году касательно отношения размеров Вселенной (мегамир) к размерам элементарных частиц (микромир), а также отношений сил различных масштабов. Эти отношения формируют очень большие безразмерные числа. Согласно гипотезе Дирака, современная эквивалентность этих отношений является не простым совпадением, а обусловлена космологическими свойствами Вселенной с необычными свойствами (не исключается зависимость физических фундаментальных постоянных от времени). Эти магические числа привлекали большое внимание физиков и нумерологов на протяжении многих десятилетий, но до сих пор "красивая теория" так и не была создана.

Моя виртуальная космология (скажем, теория-игра), помимо очевидного нового "вклада" (просто довольно тривиального) в теорию чисел, также является попыткой создать "красивую теорию", объясняющую Большие числа Дирака и прочие фундаментальные числа (величины, параметры) из теоретической физики, космологии, астрономии, имеющие отношение к самым основам Мироздания, к его фундаменту - пространству-времени Вселенной...

Впрочем, довольно "общих" слов и "лозунгов", пора перейти непосредственно к моей Пирамиде.

Пирамиду лучше всего рисовать на обычном тетрадном листке в клетку, а ещё удобнее - в ячейках-"клетках" электронной таблицы программы Excel - именно так я впервые и поступил в 1997 году... В данной статье (чисто по своим "техническим" причинам) я привожу лишь условный "рисунок" Пирамиды (перепишите все эти числа по клеточкам сами). Советую читателю хотя бы разок взглянуть на Пирамиду, скажем, в моей книге "Параллельные миры..." на стр. 18 (на сайте "Самиздат", автор раздела - Исаев Александр Васильевич или по ссылке:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number702-1.shtml ).     

Итак, приведу условный "рисунок" Пирамиды со своими комментариями (справа в строчках).

  N ...строка Пирамиды (справа от каждого числа N в квадратных скобках [...] указаны все его целые делители)

  1 ... [1].........................в 1-ом столбце каждое число является делителем [поэтому стоят в квадратных скобках];

  2 ... [1]-[2].....................во 2-ом столбце каждое 2-ое число является делителем [стоит в квадратных скобках];

  3 ... [1]--2--[3].................в 3-ем столбце каждое 3-е число является делителем [стоит в квадратных скобках];

  4 ... [1]-[2]--3--[4].............в 4-ом столбце каждое 4-ое число является делителем [стоит в квадратных скобках];

  5 ... [1]--2---3---4-[5].........в 5-ом столбце каждое 5-ое число является делителем [стоит в квадратных скобках];

  6 ... [1]-[2]-[3]--4--5-[6]......в 6-ом столбце каждое 6-ое число является делителем [стоит в квадратных скобках];

  7 ... [1]--2---3---4--5--6-[7]

  8 ... [1]-[2]--3--[4]-5--6--7-[8]........... в этой строке чёрные камни весом 1, 2, 4, 8 и белые камни весом 3, 5, 6, 7;

  9 ... [1]--2--[3]--4--5--6--7--8-[9].........в этой строке чёрные камни весом 1, 3, 9 и белые камни весом 2, 4, 5, 6, 7, 8;

10 ... [1]-[2]--3---4-[5]-6--7--8--9-[10]...в этой строке чёрные камни весом 1, 2, 5, 10 и белые камни весом 3, 4, 6, 7, 8, 9;

11 ... [1]--2---3---4--5--6--7--8--9--10-[11]

12 ... [1]-[2]-[3]-[4]-5-[6]-7--8--9--10--11-[12]

13 ... [1]--2---3---4--5--6--7--8--9--10--11--12-[13]

и так далее (до бесконечности), то есть здесь показана самая "вершина" Пирамиды.

Говоря о Пирамиде довольно удобно (и не более того!) говорить, что каждое число (каждая клетка) в "теле" Пирамиды - это "камень" Пирамиды, имеющий свою "массу" (масса любого камня - это число, стоящее в данной клетке-камне). Все камни-делители (изображенные здесь в квадратных скобках) удобно называть "чёрными" камнями (у себя на рисунке их полезно закрасить неким цветом), а все прочие камни-числа в теле Пирамиды удобно называть "белыми" камнями (их не закрашивайте).

Глядя даже на самую вершину Пирамиды, читатель может легко убедиться в главном свойстве Пирамиды - в любой, то есть в N-ой строке Пирамиды все чёрные камни - это целые делители (d) числа N. Например, число N = 1 имеет один делитель d = 1 (один черный камень); число N = 2 имеет два делителя d = 1, 2 (два черных камня); число N = 3 имеет два делителя d = 1, 3 (и один белый камень 2); число N = 4 имеет три делителя d = 1, 2, 4 (и один белый камень 3); число N = 5 имеет два делителя d = 1, 5 (и три белых камня 2, 3, 4); и т.д. Таким образом, чтобы найти все целые делители сколь угодно большого натурального числа N - не требуется выполнять действия деления (довольно "трудоемкого" само по себе), а достаточно "всего лишь" ("тупо") нарисовать вершину Пирамиды высотой равной N, то есть включающую в себя первые N строк и столбцов Пирамиды. Например, число N = 18.632.716.502.400 имеет 12.288 целых делителей или, иначе говоря (исключительно для краткости изложения), тип (Т) указанного числа N равен Т = 12.288. И чтобы увидеть все эти делители - достаточно ("тупо") нарисовать Пирамиду высотой в 18.632.716.502.400 строк. Правда, при этом даже если каждая клетка Пирамиды будет иметь размер, скажем, всего лишь в 1 миллиметр, то и тогда высота Пирамиды составит свыше... 18,6 миллионов километров, что почти в 50 раз больше расстояния от Земли до Луны! Разумеется, что ("тупое") "рисование" указанной Пирамиды (на любом компьютере) вряд ли окажется более быстрым процессом, чем вычисление (на том же компьютере) всех делителей "в лоб", то есть путем последовательного деления числа N на все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., N. Однако сама принципиальная (гипотетическая, теоретическая) возможность "нарисовать" сколь угодно высокую Пирамиду и при этом "увидеть" ВСЕ делители сколь угодно большого числа N говорит о том, что целые делители всех натуральных чисел, образно говоря, раз и навсегда "забетонированы" в теле Пирамиды (самим алгоритмом её построения, см. выше). Иначе говоря, в мире натуральных чисел (во всяком случае, в части их целых делителей) всё "заранее предсказано с самого начала" (начиная с первых чисел N = 1, 2, 3, ...), то есть в мире натуральных чисел нет места случайности (Его Величеству Случаю). В связи с этим довольно парадоксально звучит, скажем, и такое  моё утверждение: любое достаточно большое число N, имеющее наибольшее количество делителей (наибольший тип Т) среди всех предшествующих натуральных чисел, будет иметь целые делители (Т штук), которые лучше (точнее) всего будут описываться с помощью теории вероятности, придуманной учеными для "обслуживания"... Его Величества Случая. Этот парадоксальный факт, вероятно, заслуживает самого глубокого физического (и философского) осмысления. Наиболее подробно об указанном парадоксе рассказано в моей книге "Зеркало "Вселенной" на стр. 39-61 (на сайте "Самиздат" по ссылке:  http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/index_4.shtml), а также в моей статье "Закон распределения богатства" (на сайте "Самиздат" по ссылке: http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number55-2.shtml).

Большая Пирамида - это вышеописанная Пирамида высотой 8*10^60 чисел (N = 1, 2, 3, 4, ..., 8*10^61 - это так называемый Большой отрезок натурального ряда), то есть Большая Пирамида содержит столько строк N - сколько планковских времен (5,4*10^-44 секунды) содержится в возрасте нашей Вселенной (ученые полагают, что возраст Вселенной около 13,75 миллиардов лет). То есть мы будем исходить из следующего допущения:

13.750.000.000 лет * 365 дней * 24 часа * 60 минут * 60 секунд = 433.620.000.000.000.000 = 4,34*10^17 секунд;  

(4,34*10^17 сек)/(5,4*10^-44 сек) = 8*10^60 планковских времен или элементарных временных интервалов (эви) - это просто второе название планковского времени (то есть физики-теоретики используют оба указанных названия). В рамках моей виртуальной космологии Большая Пирамида символизирует собой "поток" пространства-времени нашей Вселенной - и это, как минимум, позволяет нам наглядней представить "временной" масштаб метаморфоз ("событий"), происходящих в мире натуральных чисел. Ведь любому отрезку натурального ряда (любой его длине) мы теперь можем соотнести некое время из биографии Вселенной. Так, самый конец Большого отрезка символизирует современную нам эпоху (наше время, в которое живет человеческая цивилизация).

Малые делители и тип числа N. Если все делители любого числа N расположить по возрастанию, то, перебрав первую их половину (малые делители), мы обнаружим, что остальные (большие делители) равны частному от деления числа N на один из малых делителей. Например, у числа N = 20 есть три малых делителя - 1, 2, 4, и три больших делителя - 5, 10, 20, которые можно найти путем деления числа N на малые делители: 20/4 = 5; 20/2 = 10; 20/1 = 20. Таким образом, определение всех целых делителей числа N (то есть определение его типа Т) сводится к поиску его малых делителей, причем на отрезке [1; N^0,5], то есть сводится к поиску малых делителей среди первых натуральных чисел (1, 2, 3,...), не превышающих числа N^0,5 (это число N, возведенное в степень 1/2 = 0,5, иначе говоря, N^0,5 -это корень квадратный из числа N). Ведь если число N > 1 и равно произведению двух натуральных чисел, то, по крайней мере, одно из них не больше, чем N^0,5 - это заметил ещё Леонардо Пизанский (1170-1250 гг.) - первый крупный математик средневековой Европы, наиболее известный под прозвищем Фибоначчи. Итак, образно говоря, малые делители числа N - это "паспорт" с полной информацией о числе N (и его большие делители - это уже "избыточная" информация о числе N).

В связи со сказанным о малых делителях любого натурального числа N становится очевидным, что в ряде случаев (при множестве задач из мира чисел) нам вполне достаточно рассмотреть так называемый Ствол (Пирамиды) - это часть Пирамиды, в которой содержатся все малые делители. "Рисунок" Ствола будет следующим:

  N ...строка Ствола (справа от каждого числа N в квадратных скобках [...] указаны все его малые делители)

  1 ... [1].............в 1-ом столбце каждое число является малым делителем [поэтому стоят в квадратных скобках];

  2 ... [1]  

  3 ... [1] 

  4 ... [1]-[2] ......во 2-ом столбце каждое 2-ое число является малым делителем [стоит в квадратных скобках];

  5 ... [1]--2............. в этой строке чёрный камень весом 1 и серый камень весом 2;

  6 ... [1]-[2]............ в этой строке только чёрные камни весом 1 и 2;

  7 ... [1]--2

  8 ... [1]-[2] 

  9 ... [1]--2--[3].....в 3-ем столбце каждое 3-е число является малым делителем [стоит в квадратных скобках];

10 ... [1]-[2]--3

11 ... [1]--2---3 ........... в этой строке чёрный камень весом 1 и серые камни весом 2, 3;

12 ... [1]-[2]-[3]........... в этой строке чёрные камни весом 1, 2, 3;

13 ... [1]--2---3............ в этой строке чёрный камень весом 1 и серые камни весом 2, 3;

и так далее (до бесконечности), то есть здесь показана самая "вершина" Ствола.

Все камни-делители Ствола [в квадратных скобках] уже были окрашены нами чёрным цветом (при построении Пирамиды). А теперь все прочие камни-клетки Ствола (на фоне белых камней Пирамиды) полезно окрасить серым цветом. Таким образом, все камни Пирамиды по цвету удобно разделять на три группы: белые, серые и черные.

Все (черные и серые) камни Ствола (на фоне всей Пирамиды) обрисовывают так называемые ступени (разумеется, Ствола, поскольку ступени Пирамиды, идущие под 45 градусов у её правого края, - это абсолютно не интересная для нас деталь в архитектуре Пирамиды). Начало каждой ступени всегда совпадает с числом вида N = C^2, где С^2 - это порядковый номер ступени, возведенный в квадрат (номер ступени во второй степени). Номера ступеней С = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... - это бесконечный ряд натуральных чисел, поэтому начало ступеней совпадает со следующими числами N = 1, 4, 9, 16, 25, .... Заметим, что только указанные числа (в начале каждой ступени) будут иметь тип Т, который выражается нечетным числом (соответственно): Т = 1, 3, 3, 5, 3, ... (все эти типы Т не делятся на 2). Все прочие числа N будут иметь чётные типы Т (которые делятся на число 2, см. вершину Пирамиды). Из самого определения понятия "ступень" вытекают следующие утверждения (для ступени с порядковым номером С):

- ширина ступени численно совпадает с её порядковым номером С (так, ширина 3-й ступени равна 3);

- середина ступени совпадает с числом N = C^2 + С (так, середина 2-й ступени - это N = 2^2 + 2 = 6);

- конец ступени совпадает с числом N = C^2 + 2*С (так, конец 2-й ступени - это N = 2^2 + 2*2 = 8);

- высота ступени равна Hc = 2*C + 1 (так, высота 2-й ступени - это Hc = 2^2 + 1 = 5), очевидно, что высота ступени с порядковым номером С - это количество натуральных чисел N , которые образуют ступень с номером С.

Зная начало ступени, то есть, зная первое число N = C^2 на данной ступени, мы всегда можем вычислить номер самой ступени: С =  N^0,5 [или C = N^(1/2)]. То есть число N расположено на ступени, номер которой численно равен корню квадратному из числа N. Для Большой Пирамиды можно полагать (опуская несущественные для данной статьи "тонкости") следующее:

С = (8*10^60)^0,5 = 2,8284*10^30 - это порядковый номер последней (самой высокой) ступени (Ствола),

Hc = 5,66*10^30 - это высота последней ступени (Ствола), то есть количество натуральных чисел N, образующих последнюю ступень. Поскольку в рамках виртуальной космологии указанное Hc - это также количество планковских времен (эви), то высота последней ступени эквивалентна отрезку времени в 3*10^-13 секунды. Для сравнения можно сказать, что пикосекунда (10^-12 сек) - это характерное время колебания кристаллической решетки (время образования и разрыва химических связей), а фемтосекунда (10^-15 сек) - это характерное время колебания атомов, время колебания электромагнитного поля в световой волне.

Теперь, ознакомившись с главной терминологией Пирамиды, мы можем сформулировать целый ряд так называемых законов Пирамиды, которые, учитывая очевидную "любовь" большинства читателей к математике, я поместил в "Приложение" к данной статье (см. ниже). И далее я приведу конкретные факты из моей виртуальной космологии, которые удивительным образом "повторяют"... Большие числа Дирака и прочие фундаментальные параметры Вселенной. Разумеется, что из Пирамиды (как из богатого математического объекта) можно "надергать" бесконечно много самых разных чисел (параметров), однако ниже речь идет именно о фундаментальных (самых "главных") параметрах Пирамиды (и все эти параметры, разумеется, взаимосвязаны). Именно поэтому я и посмел предположить, что математическая ("внутренняя") структура Большой Пирамиды (Большого отрезка натурального ряда) отчасти является некой наипростейшей "моделью" (слабой тенью, эрзацем, и т.п.) реальной математической структуры пространства-времени - главного "действующего лица" во Вселенной (где вся видимая нами материя является всего лишь... некими "флуктуациями" на фоне пространства-времени - именно об этом говорит нам современная теоретическая физика).

Далее в каждом (пронумерованном) абзаце я буду приводить одно из Больших чисел Дирака (один из параметров Вселенной) и тут же - буду приводить соответствующие параметры Большой Пирамиды (физическую "интерпретацию" которых в данной статье я, вообще говоря, давать не берусь).

1). Отношение радиуса Вселенной к планковской длине близко к 8*10^60 - именно столько планковских длин "укладывается" в радиусе Вселенной. Иначе говоря, отношение возраста Вселенной к планковскому времени. также близко к числу 8*10^60 - именно столько эви (элементарных временных интервалов - это просто втрое название планковского времени) насчитывается в возрасте Вселенной. В рамках виртуальной космологии Большой отрезок - это отрезок, содержащий первые 8*10^60 натуральных чисел (N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...,  8*10^60), а высота Большой Пирамиды также равна 8*10^60 (строк). И это - главное допущение виртуальной космологии, которое является (?)  ключом к объяснению ниже приведенных "совпадений" фундаментальных параметров реальной Вселенной с фундаментальными параметрами из виртуального мира чисел. Любопытно, что Большая Пирамида "генерирует" параметры, которые также близки к числу 8*10^60 (ведь это почти 10^61):

- количество всех (серых и черных) камней в последней ступени Ствола.................. kс = 1,6*10^61;

- в Стволе количество (Kс ) всех камней больше массы всех черных камней (Sс)... Kc - Sc = 1,2*10^61.

- суммарная энергия всех чисел N на последней (самой высокой) ступени Ствола....... Ес = 1,6*10^61. Согласно моему определению энергия числа N равна величине Е = k - 1, где k - это порядковый номер числа N в той ступени Ствола, где число N и расположено (в Стволе Пирамиды).

 

2). Объем Вселенной можно представить следующим образом: V = (1/6)*пи*D^3 = (1/6)*3,14*(2*8*10^60)^3 = 2,14*10^183 (кубических планковских длин). В Большой Пирамиде это численно почти совпадает с так называемой (и не более того) общей массой камней (Мп) (всех камней Пирамиды - белых, серых, чёрных), которая равна Мп = (1/6)*N^3 = 8,53*10^181 (это число в 25 раз меньше объема Вселенной - вот смысл моего "почти", что выше).

3). Так называемое главное (наиболее приемлемое) большое число Дирака близко к 0,9*10^62. И здесь уместно напомнить и ещё раз особо подчеркнуть, что в мире чисел (в Большой Пирамиде) главными объектами являются малые делители. Именно они - "квинтэссенция" мира чисел, а их количество в Большой Пирамиде... "повторяет" главное большое число Дирака:

- количество малых делителей (чёрных камней в Стволе Большой Пирамиды)...... Кмд = 5,61*10^62;

- количество всех делителей (всех черных камней) в Большой Пирамиде.............. Кд = 1,12*10^63.

4). Отношение энтропии Вселенной в современную эпоху к энтропии Вселенной при её зарождении близко к числу 10^90 (или даже 10^96?). В Большой Пирамиде похожее число также встречается и не один раз. Например:

- количество всех (серых и черных) камней в Стволе Пирамиды........Kс = 1,5*10^91;

- сумма всех малых делителей (всех делителей в Стволе)..................Sс = 1,5*10^91;

- суммарная энергия всех чисел N (на всех ступенях) Ствола равна......Е = 1,5*10^91;

- количество всех элементарных частиц во Вселенной также порядка... 10^91(?), при этом рассуждаем так: количество электронов (см. Википедию) в наблюдаемой Вселенной порядка 10^80, а количество всевозможных "сортов" ("видов") элементарных частиц может (?) достигать и-триллиона (7*10^11 - это максимально возможное количество делителей у чисел в конце Большого отрезка), поэтому 10^80*10^11 = 10^91 (всех частиц).

5). Отношение энергии Вселенной к "нулевой энергии" (связанной с наименьшей массой) оценивается как 5,33*10^121. В Большой Пирамиде похожее число также неоднократно встречается. Например:

- сумма ВСЕХ делителей в Большой Пирамиде........................ Sп = 5,26*10^121.

- количество всех (белых, серых и чёрных) камней в Пирамиде... Kп = 3,2*10^121.

- масса всех (серых и черных) камней в Стволе....................... Мкс =  1,6*10^121.

6). Отношение температуры масштаба Стони к температуре реликтового излучения равно 0,47*10^31. В Большой Пирамиде указанное отношение (близкое к нему) можно обнаружить многократно:

- количество всех ступеней Ствола (порядковый номер последней ступени)... С = 0,283*10^31;

- количество всех (серых и чёрных) камней в последней ступени (Ствола)..... Hc = 0,566*10^31;

- отношение количества всех камней в Пирамиде и Стволе..................... Кп/Кс = 2,13*10^30;

- отношение суммы делителей в Пирамиде и Стволе.............................. Sп/Sс = 3,5*10^30.

7). Средняя эукариотическая клетка (1,5*10^-5 м, см. Википедии) превосходит планковскую длину (1,6*10^-35 м) в 9,43*10^29 раз. Напомню, что клетка - это элементарная единица строения и жизнедеятельности всех живых организмов (кроме вирусов, о которых нередко говорят как о неклеточных формах жизни); причем все клеточные формы жизни на Земле можно разделить на два надцарства на основании строения составляющих их клеток: прокариоты - более простые по строению (по-видимому, они возникли в процессе эволюции раньше); эукариоты - более сложные (возникли позже, именно такие клетки и составляют тело человека). Так вот, в Большой Пирамиде количество (Kс) всех камней Ствола (на всех ступенях) превосходит количество (kс) камней на последней ступени в такое же количество раз: Kc/kс = (1/3)*N^(1/2) = 9,43*10^29.

Средний размер прокариотических клеток (5*10^-6 м) превосходит планковскую длину в 3,125*10^29 раз, а подобное отношение реализуется в Пирамиде (Kc/kс = 3,125*10^29) высотой "всего лишь" N = 8,79*10^59, что "эквивалентно" возрасту Вселенной около 1,5 миллиарда лет. На столь ранней стадии эволюции Вселенной (за 3 миллиарда лет до образования нашей планеты) могли возникнуть прокариотические клетки (которые потом были занесены на Землю)?

Мои ВЫВОДЫ (просто повторяю свою главную гипотезу уже который раз): математическая ("внутренняя") структура Большой Пирамиды (Большого отрезка натурального ряда), возможно, является некой наипростейшей "моделью" реальной математической структуры пространства-времени - главного "действующего лица" во Вселенной.

***************************************************

ПРИЛОЖЕНИЕ

Законы Пирамиды

Количество всех камней в Пирамиде:  Kп = (1/2)*N^2 + (1/2)*N

В Пирамиде (высотой N) просуммируем количество всех камней (белых, серых, чёрных) в каждой (горизонтальной) строке, при этом мы получим: Кп = 1 + 2 + 3 + ... + N = (1 + N)*N/2 = (1/2)*N^2 + (1/2)*N. Это общеизвестное тождество, "работу" которого легко проверить на конкретном числовом примере (взяв любое целое число N). Количество всех камней в Большой Пирамиде (N = 8*10^60) можно принять равным Kп = (1/2)*N^2 = (1/2)*(8*10^60)^2 = 3,2*10^121, поскольку при столь большом N - членом более низкого порядка (1/2)*N в выражении для Kп мы просто пренебрегаем (считаем его равным нулю). Аналогичным образом (учитывать член только наивысшего порядка) мы, вообще говоря, будем и в других случаях при рассмотрении Большой Пирамиды.

Количество всех камней в Стволе:  Кс = (2/3)*N^(3/2) + (3/2)*N + (5/6)*N^(1/2)

Глядя на "рисунок" Ствол (см. выше), мы видим, что количество всех (черных и серых) камней в ступени с номером С равно произведению ширины ступени (С = N^0,5) на высоту ступени (Hc = 2*С +1), то есть: С*Hc = С*(2*С +1) = 2*С^2 + C = 2*N + N^0,5, где N = C^2 - это первое число на ступени с порядковым номером С. Значит, количество (Kс) всех камней Ствола равно сумме всех камней в каждой из ступеней (с номерами 1, 2, 3, 4, ..., С):

Kс = (2*1^2 + 1) + (2*2^2 +2) + (2*3^2 + 3) + (2*4^2 + 4) + ... + (2*С^2 + C) =

    = 2(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + C^2) + (1 + 2 + 3 + 4 + ...+ C) = 2*C(C + 1)(2*C + 1)/6 + (1 + C)C/2 =

   = (2/3)*C^3 + (3/2)*C^2 + (5/6)*C =  (2/3)*N^(3/2) + (3/2)*N + (5/6)*N^(1/2).                                     

Для Большой Пирамиды (N = 8*10^60) мы получаем: Hс = 2*(N^0,5) = 5,66*10^30 - высота последней (самой высокой) ступени; kc = 16*10^60 - количество всех (чёрных и серых) камней в последней ступени (Ствола); Kс =  (2/3)*N^(3/2) = 1,5*10^91 - количество всех (чёрных и серых) камней во всех ступенях (то есть во всём Стволе).

 

Количество всех делителей в Пирамиде устремляется к числу Кд = N*(lnN + 0,154...)  

Почти правдоподобное количество (Кд) всех делителей (всех чёрных камней) в Пирамиде мы найдем, если просуммируем (почти правдоподобное) количество всех черных камней в каждом (вертикальном) столбце Пирамиды:

Кд = N + N/2 + N/3 + N/4 + ... + N/N = N*(1/1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N). 

Здесь в скобках мы получили общеизвестный гармонический ряд (сумма которого хорошо известна), поэтому искомая нами сумма будет расти близко к следующему закону: Кд = N*(lnN + Э + "эпсилон1"), где Э = 0,577215664901532... - постоянная Эйлера, а величина "эпсилон1" с ростом N быстро устремляется к нулю, поэтому для Большой Пирамиды "эпсилон1" можно смело полагать равным нулю. "Легко" полученная нами формула для Кд лишь чуточку больше реального значения Кд, которое вытекает из теоремы (скажем, о среднем типе Т у натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ..., N), давно доказанной П.Г.Л. Дирихле (1805-1859 гг.): Кд = N*(lnN + 2Э - 1 + "эпсилон2"), которую или для Большой Пирамиды можно записать так: Кд = N*(lnN + 2Э - 1) = N*(lnN + 0,154...).    

Поэтому в Большой Пирамиде (N = 8*10^60) количество всех делителей (всех черных камней) можно принять равным Кд = N*lnN = 8*10^60*ln(8*10^60) = (8*10^60)*(ln8 + 60ln10) = 1,12*10^63.

В приведенных здесь формулах фигурируют величины "эпсилон1" и "эпсилон2", которые с ростом N относительно быстро устремляется к нулю. Это говорит о том, что в начале натурального ряда существует сингулярность, поэтому там (при малых числах N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., Nc) многие формулы теории чисел  просто не работают (дают большие погрешности). В рамках виртуальной космологии я полагаю, что Nc < 10^17 - условная граница сингулярности в мире натуральных чисел.

Количество малых делителей в Пирамиде устремляется к числу Кмд = (Кд + N^0,5)/2  

Если Кмд - количество малых делителей, а Кбд - количество больших делителей в Пирамиде высотой N, то тогда верны утверждения: Кмд + Кбд = Кд (количество всех делителей в Пирамиде) и Кмд - Кбд = N^0,5, поскольку количество малых делителей превышает количество больших делителей на число всех ступеней (Ствола) в Пирамиде. Из двух указанных уравнений легко найти две неизвестных величины: Кмд = (Кд + N^0,5)/2 и Кбд = (Кд - N^0,5)/2. Поэтому в Большой Пирамиде (N = 8*10^60) количество всех малых делителей можно принять равным Кмд = [1,12*10^63 - (8*10^60)^0,5]/2 = 5,61*10^62.

Общая масса всех камней Пирамиды:  Мп = (1/6)*N^3 + (1/2)*N^2 + (1/3)*N.

Масса любого камня (белого, серого, черного) - это число, стоящее (указанное, написанное) в данной клетке-камне Пирамиды. Складывая массы всех камней в каждой (горизонтальной) строчке Пирамиды, мы получаем:

Мп = 1 + (1 + 2 ) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + ... + (1 + 2 + 3 + 4 + ...+ N) =

        = (1 + 1)*1/2 + (1 + 2)*2/2 + (1 + 3)*3/2 + (1 + 4)*4/2 + ... + (1 + N)*N/2 =

        = (1 + 2 + 3 + 4 +... + N)/2 + (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +... + N^2)/2 + =

        = (1 + N)*N/2/2 + N*(N + 1)*(2N +1)/6/2 = (1/6)*N^3 + (1/2)*N^2 + (1/3)*N.

Для Большой Пирамиды (N = 8*10^60) мы получаем Мп = (1/6)*N^3 = 8,53*10^181.

Общая масса всех камней Ствола:  Мс = (1/4)*N^2 + (1/4)*N + (1/2)*N^(1/2)

Складывая массы всех камней в каждом (вертикальном) столбце Ствола (с порядковыми номерами 1, 2, 3, ..., C, где С = N^0,5, а N - это первое число на самой высокой ступени Ствола), мы получаем:

Мс = (N - 1^2 +1)*1 + (N - 2^2 +1)*2 + (N - 3^2 +1)*3 + ...+ (N - C^2 +1)*C =

        = (1 + N)*(1 + 2 + 3 + ... + C) - (1^3 + 2^3 + 3^3 +... + N^3) =

        = (1 + N)*(1 + C)C/2 - C^2*(C + 1)^2*/4 = (1/4)*N^2 + (1/4)*N + (1/2)*N^(1/2).

Для Большой Пирамиды (N = 8*10^60) мы получаем Мк = (1/4)*N^2 = 1,60*10^121.

 

Сумма всех малых делителей (в Стволе) не более  Sc = (2/3)*N^(3/2) + (1/3)*N^(1/2)

Напомню, что все малые делители расположены в Стволе (Пирамиды). Глядя на Ствол высотой N (см. "рисунок"), мы видим, что сумма всех малых делителей в (вертикальном) столбце с порядковым номером С никогда не превзойдет числа [N/C - (C - 1)]*C = N - (C - 1)*C. При этом количество столбцов (с порядковыми номерами 1, 2, 3, ..., С), которые нам необходимо рассмотреть зависит от высоты Ствола и не превысит значения С = N^(1/2). В итоге мы получим искомую сумму малых делителей:

Sc = [N - (1 - 1)*1] + [N - (2 - 1)*2] + [N - (3 - 1)*3] + ... + [N - (C - 1)*C] =

= [N - 1^2 + 1] + [N - 2^2 +2] + [N - 3^2 +3] + ... + [N - C^2 +C] =

= N*C - (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + C^2) + (1 + 2 + 3 + ... + C) = N*C - C*(C + 1)*(2C +1)/6 + (1 + C)*C/2 =

= N*C - (1/3)*C^3 + (1/3)*C = (2/3)*N^(3/2) + (1/3)*N^(1/2).                                                                        

Если обозначить символом Sср - реальную сумму всех малых делителей в Стволе высотой N, то, вероятно, можно утверждать, что относительная погрешность ОП = (Sс - Sср)/Sс не превысит (2/3)/N^(1/2). Например, при N = 10.000 имеем Sср = 664510 и Sс = 666700, значит, ОП < 0,007 (относительная погрешность меньше 0,7%).

Для Большой Пирамиды (N = 8*10^60) мы получаем Sс = (2/3)*N^(3/2) = 1,5*10^91. Таким образом, сумма  всех малых делителей (Sc) почти совпадает с количество (Кс) всех (серых и черных) камней Ствола. "Почти", поскольку разность Kс - Sс = (3/2)*N + (1/2)*N^(1/2) = 1,2*10^61, что в 10^30 раз меньше самого значения Kс (или Sс). В части применяемой терминологии замечу, что сумму (Sс) малых делителей (которые все в Стволе) также можно назвать общей (суммарной) массой малых делителей или общей массой всех черных камней Ствола.

Сумма ВСЕХ делителей в Пирамиде не более  Sп = (1/2)*(пи^2/6)*N^/2 + (1/2)*N(lnN + 0,577...)

Глядя на Пирамиду высотой всего лишь N = 1, 2, 3, ..., 12 (см. "рисунок" выше), мы уже довольно чётко видим, что все делители (чёрные камни) "выстраиваются" в своеобразные "лучи". При этом самый "густонаселенный" (чёрными камнями) луч - это чёрные камни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, образующие правый край Пирамиды (эти чёрные камни уходят вниз по 45 градусов). Под первым лучом идет второй луч из чёрных камней 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., а под ним идут последующие лучи (их уже труднее разглядеть, но и они существуют): луч - 1, 2, 3, 4, ...; затем луч - 1, 2, 3,..., затем луч - 1, 2, ...; затем луч 1, .... Складывая все числа (иначе говоря, складывая массы всех чёрных камней) в "густонаселенном" луче, мы получим:  1 + 2 + 3 + ... + N = (1 +N)N/2 = N^2/2 + N/2. Складывая все числа во втором луче, мы получим: 1 + 2 + 3 + ... + N/2 = (N/2)^2/2 + (N/2)/2. Складывая все числа в третьем луче, мы получим: 1 + 2 + 3 + ... + N/3 = (N/3)^2/2 + (N/3)/2 и т.д. (для каждого луча). А затем, складывая все полученные выражения (для всех лучей), мы получим искомую (максимально возможную) сумму всех делителей в Пирамиде высотой N (общую массу всех черных камней в Пирамиде): Sп = (1/2)*N^2*{1 + 1/2^2 +1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/N^2} + (1/2)*N*[1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N] = (1/2)*(пи^2/6)*N^/2 + (1/2)*N(lnN + 0,577...). Поскольку сумма в квадратных скобках [...] - это сумма гармонического ряда (о котором уже говорилось выше, см. вывод Kд), а сумма в фигурных скобках {...} с ростом N, как хорошо известно математикам, быстро сходится к числу пи^2/6 = 1,644934... {в процессе этой сходимости относительная погрешность не превысит величины (пи^2/6 - 1)/N}.

Если обозначить символом Sпр - реальную сумму всех делителей в Пирамиде высотой N, то, вероятно, можно утверждать, что относительная погрешность ОП = (Sп - Sпр)/Sп не превысит 1/N^0,7. Например, при N = 250 имеем Sпр = 51482 и Sп = 52166, значит, ОП < 0,021 (есть относительная погрешность меньше 2,1%).

Для Большой Пирамиды (N = 8*10^60) мы получаем Sп = (1/2)*(пи^2/6)*N^/2 = 5,26*10^121.