Хмельник Соломон Ицкович. Принцип экстремума полного действия

Хмельник С.И.

Принцип экстремума полного действия

Здесь приводится сокращенный вариант статьи, которая опубликована в журнале "Доклады независимых авторов, 2010, выпуск 15".

Журнал можно посмотреть или бесплатно скачать. Для этого вызывайте ДНА-15.

Он откроется в новом окне. Формат PDF. Формулы приведены в конце статьи.

Оглавление

Введение

1. Формулировка принципа

2. Электротехника

3. Механика

4. Электродинамика

4.0. Вступление

4.1. Баланс мощности электромагнитного поля

4.2. Построение функционала для уравнений Максвелла

4.3. Расщепление функционала для уравнений Максвелла

Литература

Введение

В предыдущих работах [1, 2, 6-23] автор предложил принцип экстремума полного действия, позволяющий конструировать функционал для различных физических систем и, что самое важное, для диссипативных систем. Этот функционал имеет глобальную седловую точку и поэтому для расчета физических систем с таким функционалом можно применить метод градиентного спуска к седловой точке. Поскольку глобальный экстремум существует, то и решение существует всегда.

Первоначальный шаг в построении такого функционала состоит в том, что для некоторой физической системы записывается уравнение сохранения энергии или уравнение баланса мощностей. При этом учитываются и потери энергии (например, на трение или нагрев), и поток энергии в систему и из нее.

Этот принцип здесь описывается в применении к электротехнике, электродинамике, механике.

1. Формулировка принципа

Широко известен лагранжев формализм - универсальный метод вывода физических уравнений из принципа наименьшего действия. При этом действие определяется как определенный интеграл - функционал (1) от разности кинетической K(q) и потенциальной P(q) энергий, называемой лагранжианом (2). Здесь интеграл берется на определенном интервале времени t, а q - вектор обобщенных кординат, динамических переменных, которые, в свою очередь, зависят от времени. Принцип наименьшего действия утверждает, что экстремали этого функционала (т.е. уравнения, при которых он принимает минимальное значение) являются уравнениями реальных динамических переменных (т.е. реализуемых в действительности).

Например, если энергия системы зависит только от функций q и их производных от времени, то экстремаль определяется по формуле Эйлера [4] (3).

Лагранжев формализм применим к тем системам, в которых сохраняется постоянной полная энергия (сумма кинетической и потенциальной энергий). Он не отражает тот факт, что в реальных системах полная энергия (сумма кинетической и потенциальной энергий) при движении убывает, переходя в другие виды энергии, например, в тепловую энергию Q, т. е. происходит диссипация энергии. Отсутствие для диссипативных систем (т.е. систем с рассеиванием энергии) формализма, аналогичного лагранжеву формализму, кажется странным: при этом физический мир оказывается разделенным на гармоничную (с принципом наименьшего действия) часть и на хаотичную ("беспринципгую") часть.

Автор предлагает принцип экстремума полного действия, применимого к диссипативным системам. Полным действием предлагается называть определенный интеграл - функционал (4) от величины (5), которую будем называть энержианом (по аналогии с лагранжианом). В нем Q(q) - тепловая энергия. Далее рассматривается квазиэкстремаль полного действия, имеющая вид (6). Функционал (4) принимает (определенное далее) экстремальное значение на квазиэкстремалях. Принцип экстремального полного действия утверждает, что квазиэкстремали этого функционала являются уравнениями реальных динамических процессов.

Сразу же надо отметить, что экстремали функционала (4) совпадают с экстремалями функционала (1) - член, соответствующий Q(q), исчезает.

Определим экстремальное значение функционала (4, 5). Для этого "расщепим" (т.е. заменим) функцию q(t) на две независимые функции x(t) и y(t), а функционалу (4) поставим в соответствие функционал (7), который будем называть "расщепленным" полным действием. Подынтегральную функцию будем называть "расщепленным" энержианом. Этот функционал минимизируется по функции x(t) при фиксированной функции y(t) и максимизируется по функции y(t) при фиксированной функции x(t). Минимум и максимум являются единственными. Таким образом, экстремум функционала (7) является седловой линией, где одна группа функций xo минимизирует функционал, а другая yo - максимизирует его. Сумма пары оптимальных значений расщепленных функций дает искомую функцию q=xo+yo, удовлетворяющую уравнению квазиэкстремали (6). Другими словами, квазиэкстремаль функционала (4) является суммой экстремалей xo,yo функционала (7), определяющих седловую точку этого функционала. Важно отметить, что эта точка является единственной экстремальной точкой - нет других седловых точек и нет других точек минимума или максимума. В этом заключается смысл выражения "экстремальное значение на квазиэкстремалях". Наше утверждение 1 заключается в том, что

в каждой области физики можно найти соответствие между полным действием и расщепленным полным действием,

а тем самым доказать, что полное действие принимает глобальное экстремальное значение на квазиэкстремалях.

0x01 graphic

Оставить комментарий © Copyright Хмельник Соломон Ицкович Размещен: 16/10/2010, изменен: 16/10/2010. 7k. Статистика. Статья: Естествознание Физика Иллюстрации/приложения: 1 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: Предлагается новый вариационный принцип экстремума полного действия, который расширяет лагранжев формализм на диссипативные системы. Показывается, что этот принцип применим в электротехнике, механике с учетом сил трения и электродинамике. Предлагаемый вариационный принцип может рассматриваться как новый формализм универсального метода вывода физических уравнений, а также как метод решения этих уравнений. Формализм состоит в построении функционала с единственной седловой линией, уравнение которой и является уравнением динамических переменных для определенной области физики. Метод решения состоит в поиске глобальной седловой линии при заданных условиях физической задачи.

Хмельник Соломон Ицкович : другие произведения.

Принцип экстремума полного действия