Аннотация: Может, кто и предлагал такое решение :) Но вот до чего я додумался сам.
Дано:
1. a2+ b2= c2;
Рассмотрим сумму двух квадратов геометрически.
Разобьём сторону большего квадрата (в данном случае равной a) на такое количество y квадратов со стороной равной x (соответственно их произведение равно длине стороны a), чтобы, если мы добавили все эти квадраты числом у2 (столько их помещается всего в квадрате со стороной равной а) к квадрату со стороной равной b, двумя рядами (условно к правой и верхней стороне), то у нас получился бы квадрат со стороной равной c. И соответственно сумма сторон b и x дала нам сторону c. Но так как все эти квадраты могут поместиться в большом квадрате со стороной а, только при условии, что x = y или x2 = a.
2. xy=a = x2;
3. b + x = c => x = c-b;
Тогда бы количество квадратов со стороной равной x, помещающихся на стороне протяжённостью b, равнялось бы b/x, а так как у нас по условия два ряда, то всё количество квадратов со стороной равной x исчислялось бы формулой y2 = 2b/x + 1 (где ещё один квадрат должен был встать в незаполненный угол).
4. y2 = 2b/x + 1 => y2x = 2b + x =>x2x = 2b + x => ax = 2b + x => x = 2b/(a - 1);
В то же время согласно уравнению N3 получаем
5. c - b = 2b/(a - 1) => (c - b)(a - 1) = 2b => ca - ba - c + b = 2b => ca - c = b + ba =>
=>c(a - 1) = b (a+1) => c/b = (a + 1)/(a - 1)
Т.о. если рассмотреть частный случай c = a + 1, а b = a - 1;
Подставим получившиеся значения в формулу 4 и получим: