Введение. Проблема бесконечно больших значений энергии, потенциала, силы, импульса и других физических величин возникла в классической физике в связи с точечными моделями носителей электрических и магнитных полей, заложенными в законы Кулона и Ньютона. Затем эта проблема перешла в квантовую механику и теорию относительности, где проявилась в виде инфракрасной и ультрафиолетовой расходимостей, возникающих соответственно при малых и больших импульсах. Поэтому в качестве первого шага к решению этой проблемы следует рассматривать устранение расходимостей в классической физике. В настоящей статье это осуществляется на основе энергодинамики [1], учитывающей пространственную неоднородность исследуемых систем.

1. Параметры пространственной неоднородности поливариантных систем.

Рассмотрим вначале произвольную континуальную среду, характеризующуюся неравномерным распределением по объему системы V плотности ρ_i(r,t) = (∂Θ_i/∂V) каких-либо термодинамических параметров Θ_i (заряда Θ_е, массы М, энтропии S, числа молей k-го вещества N_k, импульса их относительного движения Р_k и т.д.). Положение центра экстенсивной величины Θ_i, задаваемое радиусом-вектором R_i, определяется известным выражением:

       R_i = Θ_i^-1 ∫ ρ_i(r,t) rdV ,  (i =  1,2,...,n)                                         (1)

В однородном состоянии той же системы положение R_i0 центра величины Θ_i можно найти, вынося некоторое среднее значение этой величины ρ_i = ρ_i0(t) в выражении (1) за знак интеграла:

R_i0 =                                                           (2)

Таким образом, отклонение системы в целом от пространственно однородного состояния сопровождается возникновением специфических 'моментов распределения' Z_i параметров Θ_i:

  Z_i = Θ_i(R_i - R_i0) = Θ_i ∆R_i                                                       (3)

Аналогичным образом можно выразить момент распределения дискретных величин, например, разноименных зарядов или полюсов электрических и магнитных диполей. При этом момент распределения Z_i приобретает смысл электрического или магнитного дипольного момента:

Z_i = Θ_i′(R_i′ - R_i") = Θ_i′DR_i ,                                                  (4)

где Θ_i′ = - Θ_i" - разноименные дипольные заряды; DR_i - усредненное плечо диполей.

Существование в неоднородных системах новых независимых переменных - векторов смещения DR_i - означает, что полная энергия таких систем Э = Э(Θ_i, DR_i), т.е. становится функцией удвоенного числа переменных состояния по сравнению с однородной системой. При этом производные Х_i ≡ - (∂Э/∂Z_i) определяют так называемые 'термодинамические силы в их энергетическом представлении', стремящиеся вернуть систему в состояние внутреннего равновесия [2] и представляющие собой силы в их обычном (ньютоновском) понимании F_i, отнесенные к переносимой ими величине (Х_i = F_i/Θ_i) [1]. Эти силы связаны с моментами распределения Z_i функциональными зависимостями Х_i = Х_i (Z_i), относящимися к классу уравнений состояния. Частным случаем таких уравнений является зависимость момента распределения свободного заряда в единице объема проводника Z_iV = (∂Z_i/∂V) =  ρ_е∆R_е, имеющего смысл вектора электрического смещения D , с напряженностью внешнего электрического поля Z_еV ≡ D = ε_оЕ, где ε_о - диэлектрическая проницаемость вакуума.  В более общем случае                      

ρ_i = Ñ×Z_iV ; Θ_i = Ñ×Z_i  .                                                                (5)

Покажем теперь, что опираясь на эти параметры пространственной неоднородности, можно получить законы Кулона и Ньютонати,               

2. Устранение расходимостей в законах Кулона и Ньютона.

При теоретическом обосновании закона Кулона (1785) обычно исходят из представления о 'потоке поля' как о чем-то 'вытекающем' из точечного электрического заряда и затем 'растекающемся' в пространстве подобно тому, как это происходит с потоком тепла, газа или жидкости [2,3]. Однако в отношении электрического поля Е, которое никуда не перемещается и является функцией состояния, а не процесса, такая 'аналогия' выглядит чрезмерно искусственной. В связи с этим вывод закон Кулона из условия неоднородного распределения в пространстве электрических зарядов представляется значительно более  обоснованным.

Согласно (5) плотность электрического заряда ρ_е определяется дивергенцией момента распределения электрического заряда в единице объема проводника Ñ×Z_еV. Это непосредственно приводит к закону Гаусса

ρ_е = Ñ×D  = ε_оÑ×Е,                                                                     (6)

Согласно (5), электрический заряд Θ_е  области с объемом V равен

Θ_е = ∫ ρ_е dV  = ∫Ñ×Z_еV dV.                                                               (7)

Это выражение справедливо для тела любой формы. Поэтому выберем для удобства произвольную сферическую поверхность f = 4πR² радиусом R, охватывающую область V с зарядом Θ_е. Заменяя в выражении Z_еV на ε_оЕ в соответствии с (6), и переходя на основании теоремы Гаусса от интеграла по объему к интегралу по произвольной замкнутой поверхностности f=4πR², имеем:

Θ_е =  ε_о ∫ Е×ndf  = 4πε_о ∫ ЕdR².                                                            (8)

Здесь Е = Е×n характеризует абсолютную величину электрического поля Е как силы, действующей в направлении нормали n к поверхности сферы. Известно, что если распределение заряда в некотором объеме V равномерное, поле Е внутри него равно нулю [3,4]. Это означает, что оно терпит разрыв на поверхности сферы с некоторым радиусом R_с, в пределах которого распределение заряда остается равномерным. В таком случае формула Гаусса, как известно,  сохраняет силу, если перейти к так называемой поверхностной дивергенции, т.е. к разности сил величин Е(+R_с) и Е(-R_с) по обе стороны поверхности сферы с радиусом R_с. Поскольку внутри рассматриваемой сферы Е(-R_с) = 0, интегрирование (8) в пределах от 0 до R_с  дает величину поля на внешней поверхности сферы Е(R_с):

       Е(R_с) = Θ_е/4πε_оR_с²,                                                        (9)

Это выражение отличается от закона Кулона тем, что не пренебрегает пространственной протяженностью источника электрического поля. Оно указывает на то, что область применимости этого закона ограничена размерами 'полеобразующего' тела, точнее, тем минимальным расстоянием, на которое могут быть сближены два заряженных твердых тела конечных размеров. Это соответствует условиям эксперимента Кулона с крутильными весами, в которых использовались хоть и малые, однако имеющие конечные размеры твердые заряженные тела. Поскольку в стационарном поле его напряженность  Е ≡ -Ñφ = - dφ/dR, электрический потенциал φ = φ(R) в любой точке поля R ≥ R_с может быть найден интегрированием (9) в пределах от R_с до R:

φ (R) = (Θ_е/4πε_о)(1/R_с - 1/R).    (R ≥ R_с)                                                       (10)

Поскольку Е = - ∂φ/∂R = F_е/Θ_е', это выражение соответствует с закону Кулона:

            F_е = Θ_еΘ_е'е/4πε_оR² ,    (R ≥ R_с)                                                                       (11)

где е - единичный вектор, направленный в сторону 'полеобразующего' заряда Θ_е. Характерно, что в соответствии с (10) при R_с = R потенциальная энергия Е^п = φΘ_е'  'пробного' тела с зарядом Θ_е' обращается в нуль независимо от его знака в связи с исчезновением разности R - R_с. Это естественно, поскольку оба заряда в этом случае оказываются совмещенными в конечном счете в единый равномерно распределенный заряд величиной Θ_е + Θ_е'. В такой системе, как было показано выше, силы F_е отсутствуют. Они появляются только для пространственно разделенных зарядов (R ≥ R_с) и в зависимости от знака зарядов Θ_е и Θ_е' приобретают характер сил притяжения или отталкивания. Таким образом, закон Кулона является прямым следствием неоднородного распределения заряда в пространстве.

Применим теперь изложенный подход к закону тяготения Ньютона. Для системы массой М пространственная неоднородность характеризуется моментом распределения Z_m = МΔR, представляющим собой произведение массы тела М на величину смещения радиус-вектора его центра R  от его положения при однородном распределении массы. Соответственно для системы единичного объема момент распределения массы Z_mV = ∂Z_m/∂V будет определяться произведением плотности системы ρ = ∂М/∂V на величину смещения радиус-вектора его центра Z_mV = ρΔR. Отсюда как частный случай следует, что ρ = Ñ×Z_mV , т.е. определяется дивергенцией вектора смещения массы подобно тому, как в электродинамике плотность электрического заряда ρ_е определяется вектором электрического смещения D (ρ_е = Ñ×D). В таком случае массу М сплошной среды можно выразить через Ñ×Z_mv:

М  = ∫ρdV = ∫Ñ×Z_mV dV.                                                                 (12)

Повторяя те же рассуждения, вновь приходим к выводу, что максимум силы притяжения F_g двух масс М  и m с равномерным распределением плотности в них достигается при минимальном расстоянии между ними R_с :

F_g^max = - G_gМm/R_с²,                                                                  (13)

где G_g -гравитационная постоянная.

     Это соответствует гравитационному полю с потенциалом ψ_g [5]:

ψ_g  = G_gМ (1/R _с - 1/R). (R ≥ R_с).                                                      (12)

Согласно этому выражению,  потенциальная энергия гравитационного поля Е^п = mψ_g сугубо положительна, а его потенциал ψ_g обращается в нуль не при их бесконечном удалении (как это следует из закона Ньютона, а, напротив, при R = R_с, сколь бы малым ни был этот радиус R_с. К тому же этот потенциал не уменьшается, а увеличивается с расстоянием R, что соответствует известному факту увеличения работоспособности пробного тела в поле тяготения по мере его удаления, а также дальнодействующему характеру гравитационных сил. Как и в законе Кулона (11), потенциал гравитационного поля ψ_g и сила тяготения F_g не обращаются при R_с → 0 в бесконечность, поскольку при этом и масса 'полеобразующего' тела М = ρV обращается в нуль. Как частный случай, из него следует тот широко известный экспериментальный факт, что при однородном распределении масс (в том числе внутри тела с однородной плотностью) сила тяготения равна нулю (потенциал ψ_g постоянен). Следовательно, внутри тяготеющих тел закон тяготения Ньютона (12) не действует, т.е. область его справедливости находится вне 'полеобразующего' тела М и ограничена областью R ≥ R_с. Это снимает проблему 'расходимостей', которая, как выясняется, порождена произвольной экстраполяцией результатов наблюдения за небесными телами, а также опытов Кавендиша на 'точечные' объекты, обладающие массой М, но не имеющие размеров.

Изложенное требует коррекции некоторых наших представлений. Становится ясным, что электрическое и гравитационное поля порождены неоднородным распределением в пространстве зарядов и масс, а не ими самими. Далее, вопреки сложившимся представлениям, потенциальная энергия тяготеющих масс не может быть величиной отрицательной, что соответствует общему определению понятия внешней энергии как способности системы материальных тел совершать работу1). Наконец, изначальное присутствие в выражениях законов Кулона и Ньютона минимального расстояния до источника поля R_с  означает, что электрическое и гравитационные поля непосредственно связаны с их источниками и не могут рассматриваться как нечто независимое от них (как самостоятельная материя).

3. Неизбежны ли расходимости в квантовой теории?

Как следует из вышеизложенного, для решения проблемы расходимостей в классической физике достаточно признания того, что электрические и магнитные поля порождены неоднородным распределением в пространстве зарядов и масс, а не ими самими, что делает необходимым учет конечных размеров 'полеобразующих' материальных тел. Разумеется, это еще не дает решения проблемы возникновения бесконечных значений энергии, потенциала и силы в квантовой механике (КМ) и квантовой теории поля (КТП), которые в соответствии с идеологией позитивизма вообще отвергают реальность мира элементарных частиц и признает, что они существуют только в момент наблюдения. Они не допускают возможности того, чтобы фотон, электрон или другая элементарная частица имели какой-то объем и форму. Следуя этому, мы не можем допустить отличного от нуля радиуса R_c 'полеобразующего' заряда или массы и тем самым  избежать бесконечных значений их плотности. Поэтому речь может идти только о том, чтобы лишить возможности КМ и КТП ссылаться на классическую физику как источник проблемы расходимостей, переходящей к ним 'по наследству'. Устраняется и главный 'аргумент' против конечных размеров элементарных частиц, основанный на убежденности в том, что, например, электрон, имея конечные размеры, должен разлететься под действием сил электростатического отталкивания: как мы убедились выше, такие силы отсутствуют при равномерном распределении зарядов и масс по их объему, что соответствует представлениям об их 'элементарности'. Кроме того, обнаруживаются новые возможности в оценке сопоставимости электромагнитных и гравитационных сил в атомной физике, обусловленные тем, что для атомных ядер величина R_c  на много порядков меньше, чем радиус окружающего его электронного облака. Не представляется неразрешимой и проблема 'самодействия' носителя заряда (воздействия поля источника на сам источник), если поле не представлять себе как нечто, существующее отдельно от его источника.

Резюмируя, можно сказать, что проблемы, связанные с приближением физики микромира к реальности, не выглядят непреодолимыми [6].

Литература

1.      Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии).- СПб, 'Наука', 2008.-409 с.

2.  Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов.- М., 'Мир', 1967.

3. Фейнман Р. , Лейтон Р., Сэндс М.. Фейнмановские лекции по физике. - М.: Мир, 1976. Т. 5.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.8.,1982.

5.  Эткин В.А. О законе всемирного тяготения. //Сетевой ресурс http://zhurnal. lib.ru/ /e/ etkin_w_a/ от 14.08.2009.

6. Эткин В.А. Классические основания квантовой механики. //Сетевой ресурс http://zhurnal. lib.ru/e/etkin_w_a/ от 14.08.2009.