После рассуждений о всём том, что названо "измерения", всё же продолжает мучить один вопрос. Ведь весьма странно то, что измерения, в частности - нашу родную трёхмерность, никто так и не смог определить математически. Такой тонкий инструмент, как математика - и не отражает измерений!
Получается, раз математика не отражает, то измерения не являются реальными свойствами пространства?
Выражать отношения - неотъемлемая задача математики. И всякому математическому выражению соответствует отношение каких-то реальностей. Но отношения - они же должны быть между чем-нибудь. То есть, вместо x, y и z всегда можно подставить какую-нибудь реальность. И реальные свойства какой-то вещи могут быть выражены математически в виде величин, то есть числами, показывающими отношение этих свойств (параметров) к другим свойствам (параметрам).
А вот когда говорим об измерениях, то x, y и z не заменяются никакими реальными величинами, которые выражали бы отношения измерений друг к другу.
Обыкновенно измерения отображают степенями - первой, второй и третьей. То есть, если линию обозначить а, то квадрат, стороны которого равны этой линии, будет а2, а куб - а3. Однако такое изображение измерений степенями условно, и математически нельзя выразить разницу между измерениями.
Получается, даже математика не чувствует протяжений пространства. Это можно понять, простить и объяснить только одним - тем, что этой разницы между измерениями не существует. И это засвидетельствует то, что измерения не есть математические величины.
Но математика в вопросе об измерениях как будто что-то видит. Через какие-то грани своих математических понятий, которые мы не ощущаем и не осознаём, - видит, что нашим понятиям измерений не соответствуют никакие реальности.
Если бы три измерения действительно соответствовали трём степеням, то мы бы имели полное право сказать, что только три степени относятся к геометрии, а все остальные отношения высших степеней, начиная с четвёртой, лежат за геометрией.
Но у нас нет даже этого. Изображение измерений степенями совершенно условно. Геометрия с точки зрения сущности математики есть искусственное построение для разрешения задач на условных данных. А условные данные получены разумом, и вероятно, не без воздействия свойств нашего восприятия и нашей психики.
Может быть, геометрии Лобачевского, Гаусса Римана и других зачинателей и исследователей неэвклидовой геометрии менее искусственны? Нисколько. Они никуда не отошли от поверхности. Они только ушли к видению иных поверхностей. Но вот представить себе, что линия может быть не на поверхности, что ряд линий параллельных или близких к параллельным не может быть обобщён ни в какой поверхности и даже вообще в трёхмерном пространстве, - они не решались. И не вышли из трёхмерного мира.
К представлению пространства трёх измерений как к отпечатку или разрезу высшего пространства ближе всех стоял Риман, понимавший отношение времени к пространству.
И вот, к примеру, обычная механика признаёт линию во времени, то есть линию не на поверхности, а как расстояние между двумя точками пространства. Эта линия берется в расчёт при вычислении параметров тел, механизмов в движении.
Тут снова возвращаемся к вопросу: а что же такое пространство?
Ответом было бы точное определение и объяснение трёхмерности пространства.
Но, увы - трёхмерность пространства остаётся для нас такой же непонятной, как прежде. По отношению к ней мы должны сделать одно из двух: или принять трёхмерность как данное и прибавить это данное к тем двум данным, которые мы установили вначале: наличие мира и наличие сознания, или признать неправильность такого метода рассуждений. И посыпать голову пеплом.
Вообще говоря, исходя из принятых нами двух основных данных: мира и сознания, мы должны установить, свойством чего является трёхмерное пространство - свойством мира или свойством нашего познания мира?
Вот Кант, к примеру, однозначно утверждает, что пространство есть свойство восприятия мира нашим сознанием.
А всё сомневаемся, и отклонились от этой идеи - стали рассматривать пространство как свойство мира. При этом допустили, что наше пространство в самом себе несёт условия, которые позволяют установить его отношение к высшему пространству. На основании этого допущения построили несколько аналогий, кое-что показывающих в вопросах пространства и времени, и их взаимных отношений. Но, к большому сожалению, они ничего не разъяснили относительно причин трёхмерности пространства.
С методом аналогий вообще-то получается только хождение вдоль стены, за которую не удаётся выглянуть. Он помогает уяснить некоторые вещи и отношения вещей, но ни на что не даёт прямого ответа. И от таких мучений уже вполне можно испытать прямо отвращение к аналогиям и искать прямого пути!
А какой же путь будет прямой? Путей-то может быть много. А если попробуем довериться основному положению Канта и строго его держаться? Тогда получается, что мы в себе самих несём условия нашего пространства и поэтому в себе же должны найти условия, которые позволили бы нам установить отношения нашего пространства к высшему.
Иначе говоря, мы должны в нашей психике, в нашем аппарате восприятия и осознания найти условия трёхмерности мира. И там же найти условия существования мира высших измерений.
Поставив себе такую задачу, мы становимся на совершенно прямой путь. И, по идее, должны будем получить прямой ответ на остающийся вопросом вопрос: что такое пространство и что такое его трёхмерность?
Ступая прямо, мы должны (в смысле можем) продолжить и развить изучение нашего сознания и его свойств. Так мы освободимся от всяких аналогий и станем на прямой путь к решению основного вопроса об объективности или субъективности пространства.
Говоря точнее, требуется рассмотреть психические формы, в которых нами познается мир и установить, нет ли соответствия между ними и трёхмерной протяженностью мира. Если это представление трёхмерной протяженности мира с его свойствами вытекает из наших свойств и свойств нашей психики - это, в сущности, и будет ответом.